8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 一、必备知识基础练 1.(2025安徽亳州高一月考)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AC1=13,BC=3,则该长方体的表面积为(　　) A.204 B.200 C.196 D.192 2.已知高为3的直棱柱ABC-A'B'C'的底面是边长为1的正三角形(如图所示),则三棱锥B'-ABC的体积为(　　) A. B. C. D. 3.已知正四棱锥棱长为5,底面边长为6,则此正四棱锥的表面积是(　　) A.48 B.12 C.84 D.36+12 4.“斗”是我国古代量粮食的器具,如图所示,其可近似看作正四棱台,下底面是边长为6的正方形,上底面是边长为2的正方形,高为4.“斗”的面的厚度忽略不计,则该“斗”的所有侧面的面积之和与上底面的面积之比为(　　) A.8 B.16 C.2 D.4 5.(2025湖北武汉高一期中)一个长方体容器ABCD-A1B1C1D1中盛有水,侧面ABCD为正方形,且A1A=16.如图,当面ABB1A1水平放置时,水面的高度恰好为AD,那么将面ABCD水平放置时,水面的高度等于　　　　　.  6.设正三棱锥S-ABC的侧面积是底面积的2倍,正三棱锥的高SO=3,求此正三棱锥的表面积S. 7.正方体的棱长为2,求以其所有面的中心为顶点的多面体的体积. 8.已知正四棱台的上、下底面边长分别为2,4,侧棱长为3,求该四棱台的体积. 二、关键能力提升练 9.(2025贵州黔西一模)如图所示的花盆为正四棱台,上口宽5 cm,下口宽3 cm,侧棱长3 cm,则该花盆的体积为(　　) A. cm3 B.49 cm3 C. cm3 D.245 cm3 10.在正四棱锥S-ABCD中,点O是底面中心,SO=2,侧棱SA=2,计算该棱锥的体积. 11.如图,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2,侧棱长为,求四棱锥A1-BB1D1D的表面积. 答案 1.D　解析 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,连接AC,AC1.因为AB=4,AC1=13,BC=3,所以AC==5,所以CC1==12,所以该长方体的表面积S=2AB·BC+2BC·CC1+2AB·BB1=2×4×3+2×3×12+2×4×12=192.故选D. 2.D　解析 V三棱锥B'-ABC=S△ABC·h=S△ABC·BB'=×3=. 3.C　解析 正四棱锥的底面积为6×6=36,侧面等腰三角形的高为=4, 则侧面积为4×=48,所以正四棱锥的表面积为36+48=84. 4.A　解析 由题意可知,正四棱台侧面四个等腰梯形的高均为=2, 所以“斗”的所有侧面的面积之和为S1=4××(6+2)×2=32.上底面的面积为S2=4. 所以=8.故选A. 5.4　解析 设正方形ABCD的边长为a,则当面ABB1A1水平放置时,水的体积为16a×=4a2,当面ABCD水平放置时,设水面高度为h,则a2h=4a2,解得h=4. 6.解 如图所示, 过点O作OE⊥AB,垂足为E,连接SE,设正三棱锥的底面边长为a,SE=h'. ∵S侧=2S底, ∴3×ah'=a2×2. ∴a=h'. ∵SO⊥OE,且OE=a=h'=, ∴由SO2+OE2=SE2,得32+()2=h'2. ∴h'=2,a=h'=6. ∴S底=a2=×62=9,S侧=2S底=18. ∴S=S侧+S底=18+9=27. 7.解 如图所示,由图可知,该几何体由两个四棱锥构成,并且这两个四棱锥体积相等. 四棱锥的底面为正方形,且边长为,故底面积为()2=2;四棱锥的高为1, 则四棱锥的体积为×2×1=. 故几何体的体积为2×. 8.解 连接AC,A1C1,作A1E⊥AC,由正四棱台性质可知A1E为正四棱台的高. 因为正四棱台的上、下底面边长分别为2,4, 所以AC=4,A1C1=2, 易知四边形ACC1A1为等腰梯形,所以AE=(AC-A1C1)=, 所以棱台的高A1E=, 因为上、下底面面积分别为2×2=4,4×4=16, 所以四棱台的体积为(4+16+)×. 9.A　解析 如图,由题意,该棱台的上、下底面的对角线长分别为5 cm,3 cm, 所以棱台的高为h==5(cm), 故棱台的体积为V=h(S上+S下+)=×5(52+32+)=(cm3).故选A. 10.解 ∵侧棱SA=2,高SO=2, ∴AO==2,因此,底面正方形的边长AB=AO=4,底面积为AB2=16. 该棱锥的体积为V=AB2·SO=×16×2=. 11.解 因为正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2,侧棱长为, 所以由勾股定理得BD=B1D1=2,而BB1=DD1, 易知四边形BB1D1D是矩形,其面积为×2=4, 而×2×2=2,×2×, ×2×,由勾股定理得A1B=A1D=. 如图,在△A1BD中,作BD的中点G,连接A1G,则A1G⊥BD, 所以BG=,由勾股定理得A1G=2,所以×2×2=2. 综上,四棱锥A1-BB1D1D的表面积=4+2++2=6+4. 5 学科网（北京）股份有限公司 $