8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 一、必备知识基础练 1.(探究点一)若直六棱柱的底面是边长为3的正六边形,高为4,则其侧面积等于(　　) A.12 B.48 C.64 D.72 2.(探究点二)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为a,且其体积为16,则a=(　　) A.2 B.2 C.4 D.4 3.(探究点二)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则三棱锥D-ACD1的体积是(　　) A. B. C. D.1 4.(探究点三)一个正四棱锥的底面边长为2,高为,则该正四棱锥的表面积为(　　) A.8 B.12 C.16 D.20 5.(探究点二·2025福建高一期末)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点S为棱A1B1上一动点,四棱锥S-ABCD的体积占正方体体积的(　　) A. B. C. D.不确定 6.(探究点二)棱台的上、下底面面积分别是2,4,高为3,则棱台的体积等于(　　) A.6+ B.3+2 C.6+2 D.6 7.(探究点三·2025上海,7)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1C=9,BD=4,则该正四棱柱的体积为　　　　.  (第7题图) 8.(探究点一、二)已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成,如图所示,其中长方体的长、宽、高分别为4,3,3,三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形,侧棱长为3,则此几何体的体积是　　　　　,表面积是　　　　　.  (第8题图) 9.(探究点三)有一个正四棱台形状的油槽,可以装油190 L,假如它的两底面边长分别等于60 cm 和40 cm,则它的深度为　　　 cm.  10.(探究点三)如图所示,正六棱锥的底面周长为24,H是BC的中点,O为底面中心,∠SHO=60°. (1)求正六棱锥的高和侧棱长; (2)求正六棱锥的表面积和体积. 二、关键能力提升练 11.连接正方体各表面的中心构成一个正八面体,则正八面体的体积和正方体的体积之比为(　　) A.1∶4 B.1∶6 C.1∶8 D.1∶16 12.如图,在正三棱柱ABC-A'B'C'中,AB=2,AA'=3,则三棱锥B'-A'BC的体积为(　　) (第12题图) A. B.3 C.2 D.6 13.如图,已知几何体ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E为AA1的中点,F为CC1上一点,则三棱锥A1-D1EF的体积为　　　　.  (第13题图) 14.如图所示,在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中,过上底面的一边A1B1和AC,BC的中点F,E作一个平面A1B1EF,记平面分三棱台两部分的体积为V1(三棱柱A1B1C1-FEC),V2两部分,那么V1∶V2=　　　　　.  15.在三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,P-ABC的体积为V2,则=　　　　　.  16.已知正四棱台的高是12 cm,两底面边长之差为10 cm,表面积为512 cm2,则上、下底面边长分别为　　　　　 cm,体积为　　　　　 cm3.  17.如图所示,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E,F分别为AA1,CC1的中点,求四棱锥A1-EBFD1的体积. 18.如图,棱长为6的正方体,截去八个一样的四面体,得到一个新的多面体. (1)求新多面体的体积; (2)求新多面体的表面积. 三、学科素养创新练 19.在正三棱台ABC-A1B1C1中,已知AB=10,棱台一个侧面梯形的面积为,O1,O分别为上、下底面正三角形的中心,连接A1O1,AO并延长,分别交B1C1,BC于点D1,D,∠D1DA=60°,求上底面的边长. 参考答案 1.D　∵六棱柱的底面是边长为3的正六边形, ∴底面周长C=6×3=18, 又棱柱的高h=4,∴棱柱的侧面积S=Ch=72.故选D. 2.C　因为正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为a,且其体积为16,则S△ABC=a2sin 60°=a2,所以=S△ABC·AA1=a3=16,解得a=4.故选C. 3.A　三棱锥D-ACD1的体积等于三棱锥D1-ACD的体积,三棱锥D1-ACD的底面ACD是直角边长为1的等腰直角三角形,高D1D=1, ∴三棱锥D-ACD1的体积为V=×1×1×1=. 4.B　由题意得侧面三角形底边上的高为=2, 所以该四棱锥的表面积为22+4××2×2=12. 5.B　不妨设正方体的棱长为1,则正方体的体积为1×1×1=1.四棱锥S-ABCD的体积为×1×1×1=,则四棱锥S-ABCD的体积占正方体体积的.故选B. 6.C　依题意,棱台的上底面面积S'=2,下底面面积S=4,高为h=3,故由公式可知,棱台的体积是V=(S'++S)h=×(2++4)×3=6+2.故选C. 7.112　连接AC,∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正四棱柱,BD=4, ∴AC=BD=4,∴AB=BC=4. 又A1C=9,在Rt△A1AC中,AA1==7.∴正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为AB×BC×A1A=4×4×7=112. 8.90　138　该几何体的体积V=4×6×3+×4×3×3=90,表面积S=2×(4×6+4×3+6×3)-3×3+×4×3×2+×3+3×4=138. 9.75　设油槽的上、下底面积分别为S',S,深度为h. 由V=(S++S')h,得h==75(cm). 10.解(1)因为正六棱锥的底面周长为24,所以正六棱锥的底面边长为4.在正六棱锥S-ABCDEF中,SB=SC,H为BC的中点,所以SH⊥BC.因为O是正六边形ABCDEF的中心,所以SO为正六棱锥的高.OH=BC=2. 在Rt△SOH中,∠SHO=60°,所以SO=OH·tan 60°=6. 在Rt△SOH中,SH==4. 在Rt△SHB中,SH=4,BH=2, 所以SB==2. 故该正六棱锥的高为6,侧棱长为2. (2)△SBC的面积为BC×SH=×4×4=8,△OBC的面积为BC×OH=×4×2=4, 所以正六棱锥的表面积为6×4+6×8=72, 体积为×6×4×6=48. 11.B　根据题意得,正八面体是由两个全等的底面为正方形的正四棱锥构成. 设正方体的棱长为1,则四棱锥的底面边长为, 所以正八面体的体积为V=2×,正方体的体积为1,所以正八面体的体积和正方体的体积之比为∶1,即1∶6.故选B. 12.A　由题意知△ABC的面积是S△ABC=×22×sin,则V棱锥B'-A'BC=V棱柱ABC-A'B'C'-V棱锥A'-ABC-V棱锥C-A'B'C'=V棱柱ABC-A'B'C'-2V棱锥A'-ABC=3V棱锥A'-ABC-2V棱锥A'-ABC=V棱锥A'-ABC=·S△ABC·AA'=×3=.故选A. 13.a3　由已知A1D1=a,A1E=a,所以A1D1·A1E=a·a=a2,三棱锥F-A1D1E的高等于CD,CD=a, 所以a2×a=a3, 又因为,所以a3. 14.3∶4　设三棱台的高为h,上底面的面积是S,则下底面的面积是4S,∴V棱台=h(S+4S+2S)=Sh,V1=Sh, ∴. 15.　 如图,设点C到平面PAB的距离为h,则点E到平面ABD的距离为h. ∵S△ABD=S△PAB,∴. 16.2,12　688　 如图,点O,O1分别是下底面和上底面的中心,点E,E1分别是所在棱的中点,连接OO1,OE,O1E1,过点E1作E1F⊥OE,F是垂足.设OE=x cm,则下底面边长为2x cm,上底面边长为(2x-10)cm,故O1E1=(x-5)cm,则FE=5 cm. 又正四棱台的高是12 cm, ∴EE1==13(cm). 故正四棱台的表面积S=(2x)2+(2x-10)2+4×(2x+2x-10)×13=8(x2+8x-20)=512(cm2),解得x=6 cm,所以正四棱台下底面边长为12 cm,上底面边长为2 cm. 该正四棱台的体积V=×12×(122++22)=4×(144+24+4)=688(cm3). 17.解因为EB=BF=FD1=D1E=a,D1F∥EB, 所以四边形EBFD1是菱形. 连接EF,则△EFB≌△EFD1. 易知三棱锥A1-EFB与三棱锥A1-EFD1的高相等,故=2=2.又因为EA1·AB=a2,易知点F到底面EBA1的高是a,则a·a2=a3,所以=2a3. 18.解(1)由题意正方体的体积V1=6×6×6=216,截去的每个四面体的体积V2=×3×3×3=,所以新多面体的体积V=V1-8×V2=180. (2)由题图可知新多面体的面由6个正方形和8个正三角形组成,正方形的边长和正三角形的边长均为=3,正三角形的高为,所以正方形面积S1=3×3=18,三角形面积S2=×3, 所以新多面体的表面积S=6S1+8S2=108+36. 19.解∵AB=10, ∴AD=AB=5,OD=AD=. 设上底面的边长为x(x>0),则O1D1=x. 如图所示,连接O1O,过D1作D1H⊥AD于点H,则四边形OHD1O1为矩形,且OH=O1D1=x.∴DH=OD-OH=x, 在Rt△D1DH中,D1D==2(x). ∵四边形B1C1CB的面积为(B1C1+BC)·D1D, ∴(x+10)×2(x),即40=(x+10)(10-x),∴x=2,故上底面的边长为2. 10 学科网（北京）股份有限公司 $