7.2.3 模型构建专题 平行线中的拐点问题【一题多解】-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）陕西专版

模型构建专题 平行线中的拐点问题【一题多解】 类型1含有一个拐点的平行线问题 【变式题1】本质不变，与三角尺结合背景复杂化 基本模型：如图，若AB∥CD,常过拐点E向左或向右 如图，直线a∥b,将一个含30°角的三角尺按如 作平行线来解决相关问题，常见的基本解题模型如下：： 图所示的位置放置.若∠1=24°，求∠2的度数. 小技巧：单拐，点问题通常构造与已知角成内错角关系 【变式题2】本质不变，改变一平行线方向及拐 的做法比构造同旁内角的做法更简单 点位置 1.如图，AB∥CD,∠B=15°，∠BED=90°，求 已知直线AB∥CD,P为平面内一点，连接 ∠D的度数， PA,PD. 解法一：如图，过点E向左作EM∥AB. (1)如图，若∠A=50°，∠D=150°，求∠APD A M--- 的度数. 解法二：如图，过点E向右作EN∥AB. (2)如图，点P在AB上方，则∠A,∠D,∠APD 之间有何数量关系？请说明理由 拓展解法：在小学初步了解了三角形的内角和为 180°，若延长BE交CD于点F,或延长DE交AB于 点H,或连接BD,你能结合三角形内角和解题吗？跟 同学们交流一下吧. 15第七章相交线与平行线 (3)如图，点P在AB上方，DP与AB相交，则 ∠A,∠D,∠APD之间有何数量关系？请 125 说明理由. F D (第3题图) (第4题图) 4.如图，直线CE∥DF,∠CAB=125°，∠ABD= 85°，则∠1+∠2的度数为 5.如图，若AB∥EF,用含a,B,Y的式子表示 x,应为 ( A.a+B+Y A B.3+Y-& 2.(2025·西安灞桥区月考)如图①是我们常 C.180°-a-Y+3 用的折叠式小刀，图②中刀柄外形是一个长 D.180°+a+y+3 方形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘 6.体育运动情境化近几年，全国掀起了滑雪热 线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形 潮，初次走进滑雪场的人，学会正确的滑雪 成如图②所示的∠1和∠2，经测量∠1= 姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺 35°，求∠2的度数. 直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微 微受力的状态.如图，AB∥CD,如果人的小腿 CD与地面的夹角∠CDE=60°，求身体BA与 水平线的夹角∠BAF的度数. 解法一：如图，延长AB交直线DE于点G: 图① 图② 解法二：如图，过点B作BM∥AF,过点C 作CN∥DE. 类型2含有多个拐点的平行线问题 名师点拨：通常通过各拐，点作平行线解决此类问题. 如图，AB∥CD,过拐点F,H分别作AB或CD的平 行线→∠AEF+∠FHC=∠EFH+∠HCD. A —D 3.如图，已知AB∥EF,则∠B+∠C+∠D ∠E的度数为 数学N七年级下册16第2课时平行线的性质与判定的综合运用 例题引路 【例】解：(1)：AE∥DG,.∠2+∠CAE=180°.：∠1十∠2=180°，.∠CAE=∠1. .EF∥AC.(2):AE∥DG,.∠AEC=∠CDG=100..∠AEB=180°-∠AEC= 80.:EF平分∠AEB,∠1=合∠AEB=40.由(1)知，∠CAE=∠1=40 基础过关 1.D2.B3.145°4.110°5.解：EF∥AB.理由如下：CD∥AB,∴∠ABC= ∠DCB=70°.：∠CBF=20°，∴∠ABF=∠ABC-∠CBF=50°.∠EFB=130°， .∠ABF+∠EFB=180°.∴.EF∥AB. 能力提升 6.C7.B8.65°9.EF∠3两直线平行，同旁内角互补∠3同角的补角相等 AB内错角相等，两直线平行两直线平行，同位角相等10.解：(1)∠GEA= ∠HFB.理由如下：AD∥BC,∠HPA=∠HFB,GE∥HF.∴.∠GEA=∠HPA. .∠GEA=∠HFB.(2)当∠EFC=35时，GH∥AD.理由如下：：AD∥BC,∴.GE∥ HF.根据折叠的性质可知∠G=∠D=70°，∠HFE=∠EFC=35°，.∠H=180°-∠G =180°-70°=110°，∠HFC=∠HFE+∠EFC=35°+35°=70°.∴.∠H+∠HFC= 110°+70°=180°.∴.GH∥BC.AD∥BC,∴.GH∥AD.∴.当∠EFC=35°时，GH∥ AD. 思维拓展 I1.解：延长EF,交CD于点P.AB∥CD,∴∠AEF=∠EPD.又∠AEF= ∠GHD,∴∠EPD=∠GHD.∴.EP∥GH∴.∠EFN+∠FNG=l80.:MG∥FN, ∴.∠G+∠FNG=180°.∴.∠EFN=∠G. 模型构建专题平行线中的拐点问题【一题多解】 1.解：解法一：：EM∥AB,∠B=15°，.∠B+∠BEM=180°.∠BEM=180°-∠B= 165°.：∠BED=90°，∴.∠DEM=360°-∠BEM-∠BED=105.:EM∥AB,AB∥ CD,∴EM∥CD.∠DEM+∠D=180°.∴.∠D=180°-∠DEM=75.解法二：EN ∥AB,.∠BEN=∠B=15.∠DEN=∠BED-∠BEN=75.:EN∥AB,AB∥ CD,∴EN∥CD.∴∠D=∠DEN=75°.【变式题1】解：如图， -“作直线c ∥a,则∠4=∠1=24°.：∠3十∠4=60°，.∠3=60°-∠4=36°.：c∥a,a∥b,∴.b∥ c.∴∠2=180°-∠3=144°.【变式题2】解：(1)过点P向左作PE∥AB,则∠APE= ∠A=50°.PE∥AB,AB∥CD,∴.PE∥CD..∠EPD+∠D=180°.∠D=150°， .∠EPD=180°-∠D=30°..∠APD=∠APE+∠EPD=80°.(2)∠A+∠D ∠APD=180°.理由如下：过点P向右作PE∥AB,则∠A十∠APE=180°.PE∥ AB,AB∥CD,∴.PE∥CD.∴.∠DPE=∠D.∴.∠APE=∠DPE-∠APD=∠D ∠APD.∴∠A十∠D-∠APD=180°，(3)∠APD=∠D-∠A.理由如下：过点P向 右作PF∥AB.:PF∥AB,AB∥CD,.PF∥AB∥CD..∠D=∠DPF,∠A= ∠APF.∠APD=∠DPF-∠APF,∴.∠APD=∠D-∠A.2.解：如图②， 设刀柄左下角顶点为A,过A作直线（平行于刀片边缘线，与垂直 方向的夹角为∠3，与水平方向的夹角为∠4.：直线1平行于刀片边缘线，∠1=35°， ∴∠3=∠1=35°，∠2=∠4.：刀柄外形是一个长方形，∠3十∠4=90°.∴.∠4=90° -∠3=90°-35°=55°.∴.∠2=55°，3.540°4.30°5.C6.解：解法一：AG∥ CD,∴∠AGE=∠CDE=60°.AF∥DE,∴∠BAF=∠AGE=60°.解法二：BM∥ AF,CN∥DE,.∠BAF=∠ABM,∠CDE=∠DCN=6O.AF∥DE,∴.BM∥CN. ∴.∠MBC=∠NCB.,AB∥CD,∠ABC=∠BCD..∠ABC-∠MBC=∠BCD ∠VCB,即∠ABM=∠DCN...∠BAF=∠CDE=60 第4页（共54页） 7.3定义、命题、定理 第1课时定义与命题 基础过关 1.D2.C3.D4.两直线平行同位角相等5.解：(1)如果两个角互补，那么这两 个角是钝角：题设是两个角互补，结论是这两个角是钝角.(2)如果两个数互为相反数， 那么这两个数的绝对值相等；题设是两个数互为相反数，结论是这两个数的绝对值相 等，6.D7.D8.如果两条直线相交，那么它们的交点只有一个真 能力提升 9.B10.解：(1)命题“相等的角是直角”的题设是两个或两个以上的角相等，结论是这 儿个角是直角；改写成“如果…那么…”的形式为如果两个或两个以上的角相等， 那么这几个角是直角.(2)“相等的角是直角”是假命题. 第2课时定理与证明 基础过关 1.D2.C3.B4.A5.OM⊥BD垂直的定义对顶角相等∠D等量代换 BD内错角相等，两直线平行∠ONA两直线平行，内错角相等 能力提升 6.A7.C8.解：(1)如果∠1十∠2=180°，∠3=∠A,那么AB∥CD.(2)该命题为真 命题.理由如下：：∠1十∠2=180°，∴.AD∥EF.∴.∠3=∠D.:∠3=∠A,∴.∠A= ∠D.∴.AB∥CD. 夯实基础专题平行线中的推理填空问题【培养推理能力】 1.垂直的定义2同角的余角相等内错角相等，两直线平行2.垂直的定义两 直线平行，同位角相等∠BFD同角的余角相等内错角相等，两直线平行3.两 直线平行，同旁内角互补同旁内角互补，两直线平行EF∥BG两直线平行，同位 角相等等量代换同旁内角互补，两直线平行两直线平行，同旁内角互补4.解： (1)两直线平行，内错角相等EF同位角相等，两直线平行(2)·AD∥EF, .∠FEA+∠3=180°..∠FEA=125°，.∠3=180°-∠FEA=55°.AD平分 ∠BAC,.∠BAC=2∠3=110°. 7.4平移 基础过关 1.C2.C3.B4.A5.解：如图， 三角形A'B'C即为所求 能力提升 6.C7.1408.解：(1)如图，△A'B'C即为所求.(2)如图， 记AC第一 次平移后得到的线段为A"C”.连接AA”,CC”,A'A”,CC”.在平移过程中，线段AC扫过 的图形的面积为S平行四边形1℃℃十S平行四边形ACC=4X2十2X2=12. 模型构建专题利用平移求不规则图形的 面积和周长【回归教材·通性通法】 1.C【变式题】982.8403.26【变式题】94.4256【变式题】63 数学活动画平行线的方法 知识回顾：相等相等互补情境回顾：同位角相等，两直线平行探究情境1：同位 角相等，两直线平行探究情境2：①②③④探究情境3：RS对应点所连的线段 平行且相等探究情境4：解：AB∥CD.理由如下：由图②中的折叠，得∠FEC= ∠FED.:∠FEC十∠FED=180°，∴.∠FEC=∠FED=90°.由图③中的折叠，得 ∠FPB=∠BPE.:∠FPB+∠BPE=180°，∴.∠FPB=∠BPE=90°.∴.∠FEC= 第5页（共54页） ∠FPB=90°.∴AB∥CD.变式情境：解：(1)AC∥DE.理由如下：由折叠的性质，得 ∠CAD=∠DAE,∠CDA=∠ADE.BM∥AN,.∠CDA=∠DAE..∠CAD= ∠ADE.AC∥DE.(2)AD∥EF.理由如下：由折叠的性质，得∠DEF=∠FEN, ∠CDA=∠ADE.NBM∥AN,∴∠CDE=∠DEN..∠CDA+∠ADE=∠DEF+ ∠FEN.∴.2∠ADE=2∠DEF.∠ADE=∠DEF.∴.AD∥EF 第七章章末复习 思维导图 平行相等相等互补相等相等互补 考点整合 1.C2.解：(1)∠AOC,∠FOE,∠BOD(2):OE⊥AB,OF⊥CD,∴.∠AOE=90°， ∠COF=90°.即∠AOF+∠EOF=90°，∠AOC+∠AOF=90°.∴.∠AOC=∠EOF. “∠EOF=子∠A0D,∠A0D=4∠EBOF=4∠A0C,“∠A0C+∠AOD=180, .∠A0℃+4∠AOC=180°..∠AOC=36°..∠E0F=∠AOC=36°.3.B4.85° 5.∠ABD=∠EBD(答案不唯一)6.(1)解：∠DCE=24°，∠ABE=3∠DCE, ∴.∠ABE=3×24°=72°.：∠A=59°，∠D=121°，∠A+∠D=59°+121°=180°. AB∥CD.∠DFE=∠ABE=72°.(2)证明：由(1)知∠DFE=72°，.∠BFC= ∠DFE=72°.：∠BFP=48°，∴.∠PFC=∠BFC-∠BFP=72°-48°=24°.又 ∠DCE=24°，∠PFC=∠DCE..CE∥PF.7.C8.如果两个角是同一个角的 余角，那么这两个角相等9.一3（答案不唯一）1（答案不唯一）10.C11.D 12.解：(1)三角形DEF如图所示 (2)①AD∥CF,AD=CF ②同旁内角内错角 聚焦课标 13.解：任务1：75°任务2：∠DEM-∠DPB=30°.理由如下：过点D作DH∥MN,如 图③所示，∴∠HDE=∠DEM.:'AB∥MN,.DH∥AB∥MN,∴.∠HDP=∠DPB. ∠HDE-∠HDP=∠EDF,且∠EDF=30°，∴∠DEM-∠DPB=30°.任务3： ∠ACE的角度所有可能的值为135或150°或60°或45°或15°.【解析】如图④，：'AB∥ EC,∠B=45°，∠ECB=∠B=45°.∴.∠ACE=∠ACB+∠BCE=90°+45°=135°；如 答图①，CB∥ED,∠E=60°，∴∠ECB=∠E=60°.∴.∠ACE=∠ECB+∠BCA= 60°+90°=150°；如答图②，：CA∥ED,∠E=60°，∴∠ACE=∠E=60°；如答图③， AB∥DC,∠B=45°，∴.∠BCD=∠B=45°，.∠ECB=∠ECD-∠BCD=90°-45 =45°，∴.∠ACE=90°-∠BCE=90°-45°=45°：如答图④，设BC与ED交于点T. :AB∥ED,∠B=45°，∴.∠ETC=∠B=45..∠ECT=180°-（∠ETC+∠E)=180 -(45°+60)=75..∠ACE=90°-∠ECT=90°-75°=15.综上所述，∠ACE的角 度所有可能的值为135°或150°或60°或45°或15°. 大人多 54 答图① 答图②答图③ 答图④ 第八章实数 8.1平方根 第1课时平方根 新知梳理 ①平方根二次方根 ②开平方开平方日两互为相反数0没有④士√a 正、负根号a 第6页（共54页）