7.2.3 第2课时 平行线性质与判定的综合运用&模型构建专题 平行线中的折线问题——过拐点作平行线-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）广西专版

第2课时平行线性月 ②基础过关⊙逐点击破 知识点平行线性质与判定的综合运用 1.如图，AB与CD相交于点O.若∠A=∠B= 30°，∠C=50°，则∠D的度数为 A.20° B.30 C.40° D.50° D (第1题图) (第2题图) 2.(北海期末)如图，如果∠1=∠3，∠4=140°， 那么∠2的度数为 A.140°B.130° C.809 D.40° 3.(桂林期末)阅读下列文字，完成推理填空 已知：如图，∠1=∠4，∠2= ∠3，试说明：AB∥CD. 解：如图，延长CF交AB于 点G. :∠2=∠3， ∥CF(内错角相等，两直线平行) ∴.∠1= (两直线平行，同位角相等)， ,∠1=∠4， ∴.∠AGF= ∴.AB∥CD( 能力提升。整合运用 4.(四川自贡)如图，在三角形ABC中，DE八 BC,∠EDF=∠C (1)∠BDF与∠A相等吗？为什么？ (2)若∠A=45°，DF平分∠BDE,请直接写 出三角形ABC的形状. 13 数学W七年级下册 贡与判定的综合运用 5.新考法逆向思维法如图①，有一张四边形纸 片ABCD,AD∥BC,点E,F分别在AD,BC 上，把纸片沿EF折叠，点D,C分别与点G, H重合，FH交线段AD于点P, (1)∠GEA与∠HFB相等吗？为什么？ (2)如图②，∠D=70°，猜想当∠EF℃为多少 度时，GH∥AD,并说明理由 图① 图② 模型构建专题 平行线中的 类型1“蹄”型 模型归纳 D 【结论1】若AB∥CD,则∠BOC=∠B+∠C. 【结论2】若∠BOC=∠B+∠C,则AB∥CD. 【解法点拨】过点O作OE∥AB 1.如图，a∥b,点M,N分别在a,b上，P为两平行 线间一点.如果∠2=60°，那么∠1十∠2+∠3 的度数为 A.180° B.120° C.90° D.2409 (第1题图) (第2题图) 2.(南宁期未)如图是一种卫星接收天线的轴 截面示意图，卫星波速AB与DC平行射入 接收天线，经反射聚集到焦点O处.若 ∠ABO=37°，∠DCO=45°，则∠BOC的度 数为 3.综合与实践 已知AB∥CD,E,F分别是AB,CD上的两 点，点G在AB,CD之间，探究∠BEG, ∠DFG与∠EGF之间的数量关系. A E B C C 图① 图② (1)当点G在如图①所示位置时，试说明： ∠BEG+∠DFG=∠EGF: (2)当点G在如图②所示位置时，∠BEG 123°，∠DFG=132°，则∠EGF的度数为 线问题 一过拐点作平行线 类型2“铅笔头”型 模型归纳 D 【结论1】若AB∥CD,则∠B+∠BOC+∠C=360°. 【结论2】若∠B+∠BOC+∠C=360°，则AB∥CD. 【解法点拨】过点O作OE∥AB. 4.如图，1∥12，∠1=105°，∠2=140°，则∠3的 度数为 ( A.55° B.60° C.65° D.70 5.（南宁期中)近几年中学生近视的现象越来 越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯， 其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如 图所示，其中BC⊥AB,ED∥AB,经使用发 现，当∠EDC=126°时，台灯光线最佳，则此 时∠DCB的度数为 E 6.如图①，已知AB∥CD,∠AEP+∠CFP= ∠EPF成立吗？为什么？小明想到了以下 方法，请帮助他完成解答过程， A E BAE B A E P P G D C F D 图① 图② 图③ (1)解：如图①，过点P作PG∥AB,则∠AEP .AB∥CD(已知)， .PG∥ ). ∴.∠CFP= ( 又.∠1十∠2=∠EPF, '.∠AEP+∠CFP=∠EPF(等量代换)； (2)如图②，AB∥CD,请写出∠AEP+ ∠EPF+∠CFP的和，并说明理由； 第七章相交线与平行线14 (3)如图③，AB∥CD,请直接写出图③中 ∠AEP+∠EPQ+∠PQF+∠QFC 的和. 类型3“钩”型 模型归纳 A 图① 图② 【解法点拔】图①过点C作CF∥AB;图②过，点E作 EF∥AB. 7.如图，AB∥CD,且∠A=40°，∠D=24°，则 ∠E的度数为 A.40° B.32 C.24° D.16 8.已知AB∥CD,点E为AB,CD之外任意 一点. B 75 0 D 135° 图① 图② 图③ (1)如图①，探究∠BED与∠B,∠D之间的 数量关系是 15数学N七年级下册 (2)如图②，探究∠BED与∠B,∠D之间的 数量关系； (3)应用：如图③，AB∥EF,∠ABC=75°， ∠CDF=135°，则∠BCD的度数为 类型4“锯齿”型 模型归纳 A M- .- 6-Q E 【结论】如图，AB∥EF,则∠B十∠D=∠C十∠E. 【解法点拨】如图，过，点C作MN∥AB,过点D作 PQ∥AB. 9.如图，AB∥EF,∠C=90°，则a,B,Y的关系 为 ( A.a+B-Y=90° -B B.B=a+Y C BD C.a+3+y=180° D.3+y-a=90° 10.(1)如图①，AB∥CD,则∠E+∠G ∠B十∠F十∠D:(选填“>”“<”或“=”) (2)如图②，若AB∥CD,则能得到什么结 论？请直接写出结论 G E 图① 图②.∠B=180°-∠A=180°-115°=65°，∠C=180°-∠D=180°-100°=80°. 能力提升 8.B9.55°10.70°11.解：(1)AB∥CD.理由如下：∠1=∠AGE=∠CGD,.BF ∥CE,∴∠C=∠BFD.:∠B=∠C,∴.∠B=∠BFD,∴AB∥CD:(2)由(1)知，BF∥ CE,∴∠BEC+∠B=180°.：∠BEC=4∠B,∴.4∠B+∠B=180°，∠B=36°.∠B =∠BFD,∴.∠BFD=36°. 思维拓展 12.解：(1)：AB∥EF,∴.∠1=∠3.：BC∥DE,∠2=∠3.∠1=∠2；(2)：AB∥ EF,∴.∠1=∠4.BC∥DE,∴∠2+∠4=180°.∴.∠1十∠2=180；【得出结论】相等 或互补(3)设其中一个角的度数为x°，则另一角的度数为(2x一60)°.①当x=2x一60 时，解得x=60.此时两个角的度数分别为60°，60°；②当x十2x-60=180,解得x=80, 则2x一60=100.此时两个角的度数分别为80°，100°.综上所述，这两个角的度数为 60°，60°或80°，100°. 第2课时平行线性质与判定的综合运用 基础过关 1.D2.D3.BE∠AGF∠4等量代换内错角相等，两直线平行 能力提升 4.解：(I):DE∥BC,∴.∠C=∠AED.:∠EDF=∠C,∴∠AED=∠EDF,∴.DF∥ AC,.∠BDF=∠A:(2)三角形ABC是等腰直角三角形.[解析：：∠A=45°， ∴∠BDF=45°.DF平分∠BDE,∴∠BDE=2∠BDF=90°，DE∥BC,∠B= 180°-∠BDE=180°-90°=90°，.∠C=180°-∠B-∠A=180°-90°-45°=45°， 三角形ABC是等腰直角三角形]5.解：(1)∠GEA=∠HFB.理由如下：：AD∥ BC,∴.GE∥HF,∠HPA=∠HFB,.∠GEA=∠HPA,.∠GEA=∠HFB;(2)当 ∠EFC=35时，GH∥AD.理由如下：AD∥BC,.GE∥HF.根据折叠的性质可知 ∠G=∠D=70°，∠HFE=∠EFC=35°，.∠H=180°-∠G=180°-70°=110°， ∠HFC=∠HFE+∠EFC=35°+35°=70°，∴.∠H+∠HFC=110°+70°=180°， .GH∥BC,.GH∥AD,∴.当∠EFC=35时，GH∥AD 模型构建专题平行线中的折线问题一过拐点作平行线 1.B2.82°3.解：(1)如图，4EB过点G作GH∥AB.因为AB∥CD,所以 C F D AB∥GH∥CD,所以∠BEG=∠EGH,∠DFG=∠FGH,所以∠EGF=∠EGH+ ∠FGH=∠BEG+∠DFG:(2)105°4.C5.144°6.解：(1)∠1两直线平行，内错 角相等CD如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行∠2 两直线平行，内错角相等(2)∠AEP+∠EPF+∠CFP=360°.理由如下：如图②， A E B过点P作PM∥AB,∴.∠AEP+∠EPM=180°.：AB∥CD,∴.PM∥ M-- P C F D CD,∴∠CFP+∠FPM=l8O°.又：∠EPF=∠EPM+∠FPM,.∠AEP+∠EPM+ ∠CFP+∠FPM=360°，∴.∠AEP+∠EPF+∠CFP=360°；(3)540°.[解析：过点P, Q分别作PM∥AB,QN∥CD,而AB∥CD,.AB∥PM∥NQ∥CD,,.∠AEP+ ∠EPM=180°，∠MPQ+∠PQN=180°，∠NQF+∠QFC=180°，∴.∠AEP+∠EPQ 十∠PQF+∠QFC=540]7.D8.解：(1)∠B=∠BED+∠D(2)∠D=∠B+ ∠BED.理由如下：如图②，过点E作EF∥AB,则∠B十∠BEF=180°，A B ∴.∠DEF=∠BEF-∠BED=18O°-∠B-∠BED.AB∥CD,AB∥ EF,.CD∥EF,·∠D+∠DEF=180°，即∠D+180°-∠B-∠BED=C D F------万 180°，∴.∠D=∠B+∠BED;(3)30°9.A10.解：(1)=(2)∠B+ 图② ∠F十∠F2十…十∠Fm-1十∠D=∠E十∠E2十…十∠E 夯实基础专题与平行线性质有关的角度的计算 1.A2.解：(1)AB∥CD,∴∠A+∠ACD=180°.∠A=52°，∠ACD=128 :CE,CF分别平分∠ACP和∠PCD,∠ECP=合∠ACP,∠PCF=号∠PCD, 第4页（共48页） ∴∠ECF=∠ECP+∠PCF=(∠ACP+∠PCD)=∠ACD=X12S=64: (2)不变.：AB∥CD,∴.∠CPA=∠PCD,∠CFA=∠FCD.又：CF平分∠PCD, .∠PCD=2∠FCD,.∠CPA=2∠CFA:(3)∠ACE=∠FCD.理由如下：AB∥ CD,∴.∠AEC=∠ECD..'∠AEC=∠ACF,∴.∠ACF=∠ECD,∴∠ACE+∠ECF= ∠FCD+∠ECF,∴.∠ACE=∠FCD.3.B4.105°5.A6.70° 重点突破专题平行线的判定与性质 L.C2.①②③3.解：(1)∠PAD=32°，∠PAD=∠BAE,∠PAD+∠PAB+ ∠BAE=180°，.∠PAB=180°-∠PAD-∠BAE=180°-32°-32°=116°：(2)BC∥ PA.理由如下：：∠PAD=∠BAE,∠PAB=180°-∠PAD-∠BAE,∴∠PAB=180 -2∠BAE.同理可得∠ABC=180°-2∠ABE.:∠BAE+∠ABE=90°，∠PAB+ ∠ABC=180°-2∠BAE+180°-2∠ABE=360°-2（∠BAE+∠ABE)=360°-2× 90°=180°.∴.BC∥PA.4.B5.B6.解：在三角形EFG中，∠EFG=90°，∠E=35°， ∴.∠EGF=180°-∠EFG-∠E=180°-90°-35°=55°.：GE平分∠FGD,∴.∠EGF =∠EGD=55°.AB∥CD,∴∠EHB=∠EGD=55°.又：∠AHE=180°-∠EHB= 180°-55°=125°，.∠EFB=180°-∠AHE-∠E=180°-125°-35°=20°.7.A8.D 9.BC同旁内角互补，两直线平行∠E两直线平行，内错角相等角平分线的定 义等量代换∠4等量代换CD同位角相等，两直线平行两直线平行，同位角 相等10.解：(1)认同.理由如下：：AB∥CD,∠BAC+∠ACD=180°.：AP平分 ∠BAC,CP平分∠ACD,.∠BAC=2∠1，∠ACD=2∠2，.2∠1+2∠2=180°，∴∠1 +∠2=90°；(2)：CP⊥AC,∴.∠ACP=90°，即∠2+∠ACD=90°.：∠2=22， .∠ACD=90°-∠2=90°-22°=68°.AB∥CD,.∠BAC+∠ACD=180°， ·∠BAC=180-∠ACD=180°-68=112.：AP平分∠BAC,·∠1=号∠BAC= 56;(3)CP平分∠ACD,∠ACD=2∠2，AP⊥AC .AB∥CD,..∠BAC+∠ACD=180°.又.∠BAC=∠CAP+∠1=90°+∠1，.90 +∠1+2∠2=180°，.∠1+2∠2=90. 7.3定义、命题、定理 第1课时定义与命题 基础过关 1.B2.A3.D4.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等5.解：(1)如果两个角 互补，那么这两个角是钝角；题设是两个角互补，结论是这两个角是钝角；(2)如果两个 数互为相反数，那么这两个数的绝对值相等；题设是两个数互为相反数，结论是这两个 数的绝对值相等，6.D7.C8.如果两条直线相交，那么它们的交点只有一个真 能力提升 9,A10.解：(1)命题“相等的角是直角”的题设是两个角相等，结论是这两个角是直 角：改写成“如果……那么…”的形式为如果两个角相等，那么这两个角是直角； (2)“相等的角是直角”是假命题. 第2课时定理与证明 基础过关 1.B2.D3.C4.D5.A6.对顶角相等等量代换同位角相等，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 能力提升 7.B8.A9.(1)3×0=(-2)×0(答案不唯一)(2)（一1）=1（答案不唯一） 10.解：(1).DE∥BC,.∠1=∠2.又∠1=∠3，.∠2=∠3，.CD∥FG..∠CDB =∠BFG.CD⊥AB,.∠CDB=90°..∠BFG=90°..FG⊥AB;(2)是真命题.理由 如下：：CD⊥AB,FG⊥AB,∴.∠CDB=∠GFB=90°.∴.CD∥FG.∴∠2=∠3.又 :∠1=∠3，∴∠1=∠2.DE∥BC;(3)是真命题.理由如下：同(2)可得∠2=∠3. DE∥BC,∴.∠1=∠2，.∠1=∠3. 7.4平移 新知梳理 ②(1)形状大小(2)对应点平行在同一条直线上相等 第5页（共48页） 例题引路 【例1】解：对应点分别是点A和点D,点B和点E,点C和点F:所有的对应角分别是 ∠A和∠D,∠B和∠DEF,∠ACB和∠F;所有的对应线段分别是AB和DE,BC和 EF,AC和DF;平移方向：沿着射线BC的方向；平移距离：线段BE(CF)的长度. 【例2】解：如图，三角形A'B'C‘即为所求. 北 ·东 C B N P. 基础过关 1.D2.D3.B4.35.C6.解：(1)如图， 三角形DEF即为所 求；(2)平行且相等 能力提升 7.B8.309.140【变式1】4【变式2】90010.解：(1)三角形ABC如图； (2)号(3)AA与CC平行且相等 思维拓展 11.解：(1)这4个图形都是正方形；(2)设AB=xcm,AD=ycm,则4x·2十4y·2= 144,4(2x十2y)=144,所以2x十2y=36,即原长方形ABCD的周长为36cm. 数学活动 1.D2.D3.C4.解：如图.（答案不唯一） 5.解：(1)①如图， C 线段EH即为所求作的垂线段；②直线MN即为所求作的平行线； -N OH -B D/ (2)EO>EH垂线段最短(3).∠OEH=30°，∠EHO=90°，.∠EOH=90°- ∠OEH=90°-30°=60°..∠A0E=180°-∠E0H=180°-60°=120°.OP平分 ∠AOE,.∠A0P=∠A0E=60.MN/AB,∴∠OPE=∠AOP=60. 第七章整合与提升 高频考点突破 1.D2.B3.55°4.D5.C6.50°7.∠BFD对顶角相等∠2等量代换 DE同位角相等，两直线平行∠CDE两直线平行，同旁内角互补∠C两直线 平行，内错角相等8.解：(1)AD是∠BAC的平分线，∠BAD=35°，∠BAC= 2∠BAD=70°.又，AB∥DG,∴.∠DGC=∠BAC=70°；(2)AB∥DG,.∠2= ∠BAD,又∠1=∠2，.∠1=∠BAD,.AD∥EF.9.D10.两个角是两条直线被 第三条直线所截得到的同旁内角这两个角互补假11.解：(1)选择①②为题设， ③为结论，命题为若∠1=∠2，∠B=∠C,则AB∥CD,该命题是真命题；选择①③为题 设，②为结论，命题为若∠1=∠2，AB∥CD,则∠B=∠C,该命题是真命题；选择②③ 为题设，①为结论，命题为若∠B=∠C,AB∥CD,则∠1=∠2，该命题是真命题：(2)选 择①②为题设，③为结论.（答案不唯一）证明如下：∠1=∠2，∠1=∠CGD,.∠2= ∠CGD..CE∥BF..∠C=∠BFD.∠B=∠C,.∠B=∠BFD..AB∥CD. 12.D13.1814.解：三角形ABC沿AB向右平移得到三角形DEF,.AD=BE= 第6页（共48页）