7.2.3 夯实基础专题 与平行线性质有关的角度的计算&重点突破专题 平行线的判定与性质-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）广西专版

.∠B=180°-∠A=180°-115°=65°，∠C=180°-∠D=180°-100°=80°. 能力提升 8.B9.55°10.70°11.解：(1)AB∥CD.理由如下：∠1=∠AGE=∠CGD,.BF ∥CE,∴∠C=∠BFD.:∠B=∠C,∴.∠B=∠BFD,∴AB∥CD:(2)由(1)知，BF∥ CE,∴∠BEC+∠B=180°.：∠BEC=4∠B,∴.4∠B+∠B=180°，∠B=36°.∠B =∠BFD,∴.∠BFD=36°. 思维拓展 12.解：(1)：AB∥EF,∴.∠1=∠3.：BC∥DE,∠2=∠3.∠1=∠2；(2)：AB∥ EF,∴.∠1=∠4.BC∥DE,∴∠2+∠4=180°.∴.∠1十∠2=180；【得出结论】相等 或互补(3)设其中一个角的度数为x°，则另一角的度数为(2x一60)°.①当x=2x一60 时，解得x=60.此时两个角的度数分别为60°，60°；②当x十2x-60=180,解得x=80, 则2x一60=100.此时两个角的度数分别为80°，100°.综上所述，这两个角的度数为 60°，60°或80°，100°. 第2课时平行线性质与判定的综合运用 基础过关 1.D2.D3.BE∠AGF∠4等量代换内错角相等，两直线平行 能力提升 4.解：(I):DE∥BC,∴.∠C=∠AED.:∠EDF=∠C,∴∠AED=∠EDF,∴.DF∥ AC,.∠BDF=∠A:(2)三角形ABC是等腰直角三角形.[解析：：∠A=45°， ∴∠BDF=45°.DF平分∠BDE,∴∠BDE=2∠BDF=90°，DE∥BC,∠B= 180°-∠BDE=180°-90°=90°，.∠C=180°-∠B-∠A=180°-90°-45°=45°， 三角形ABC是等腰直角三角形]5.解：(1)∠GEA=∠HFB.理由如下：：AD∥ BC,∴.GE∥HF,∠HPA=∠HFB,.∠GEA=∠HPA,.∠GEA=∠HFB;(2)当 ∠EFC=35时，GH∥AD.理由如下：AD∥BC,.GE∥HF.根据折叠的性质可知 ∠G=∠D=70°，∠HFE=∠EFC=35°，.∠H=180°-∠G=180°-70°=110°， ∠HFC=∠HFE+∠EFC=35°+35°=70°，∴.∠H+∠HFC=110°+70°=180°， .GH∥BC,.GH∥AD,∴.当∠EFC=35时，GH∥AD 模型构建专题平行线中的折线问题一过拐点作平行线 1.B2.82°3.解：(1)如图，4EB过点G作GH∥AB.因为AB∥CD,所以 C F D AB∥GH∥CD,所以∠BEG=∠EGH,∠DFG=∠FGH,所以∠EGF=∠EGH+ ∠FGH=∠BEG+∠DFG:(2)105°4.C5.144°6.解：(1)∠1两直线平行，内错 角相等CD如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行∠2 两直线平行，内错角相等(2)∠AEP+∠EPF+∠CFP=360°.理由如下：如图②， A E B过点P作PM∥AB,∴.∠AEP+∠EPM=180°.：AB∥CD,∴.PM∥ M-- P C F D CD,∴∠CFP+∠FPM=l8O°.又：∠EPF=∠EPM+∠FPM,.∠AEP+∠EPM+ ∠CFP+∠FPM=360°，∴.∠AEP+∠EPF+∠CFP=360°；(3)540°.[解析：过点P, Q分别作PM∥AB,QN∥CD,而AB∥CD,.AB∥PM∥NQ∥CD,,.∠AEP+ ∠EPM=180°，∠MPQ+∠PQN=180°，∠NQF+∠QFC=180°，∴.∠AEP+∠EPQ 十∠PQF+∠QFC=540]7.D8.解：(1)∠B=∠BED+∠D(2)∠D=∠B+ ∠BED.理由如下：如图②，过点E作EF∥AB,则∠B十∠BEF=180°，A B ∴.∠DEF=∠BEF-∠BED=18O°-∠B-∠BED.AB∥CD,AB∥ EF,.CD∥EF,·∠D+∠DEF=180°，即∠D+180°-∠B-∠BED=C D F------万 180°，∴.∠D=∠B+∠BED;(3)30°9.A10.解：(1)=(2)∠B+ 图② ∠F十∠F2十…十∠Fm-1十∠D=∠E十∠E2十…十∠E 夯实基础专题与平行线性质有关的角度的计算 1.A2.解：(1)AB∥CD,∴∠A+∠ACD=180°.∠A=52°，∠ACD=128 :CE,CF分别平分∠ACP和∠PCD,∠ECP=合∠ACP,∠PCF=号∠PCD, 第4页（共48页） ∴∠ECF=∠ECP+∠PCF=(∠ACP+∠PCD)=∠ACD=X12S=64: (2)不变.：AB∥CD,∴.∠CPA=∠PCD,∠CFA=∠FCD.又：CF平分∠PCD, .∠PCD=2∠FCD,.∠CPA=2∠CFA:(3)∠ACE=∠FCD.理由如下：AB∥ CD,∴.∠AEC=∠ECD..'∠AEC=∠ACF,∴.∠ACF=∠ECD,∴∠ACE+∠ECF= ∠FCD+∠ECF,∴.∠ACE=∠FCD.3.B4.105°5.A6.70° 重点突破专题平行线的判定与性质 L.C2.①②③3.解：(1)∠PAD=32°，∠PAD=∠BAE,∠PAD+∠PAB+ ∠BAE=180°，.∠PAB=180°-∠PAD-∠BAE=180°-32°-32°=116°：(2)BC∥ PA.理由如下：：∠PAD=∠BAE,∠PAB=180°-∠PAD-∠BAE,∴∠PAB=180 -2∠BAE.同理可得∠ABC=180°-2∠ABE.:∠BAE+∠ABE=90°，∠PAB+ ∠ABC=180°-2∠BAE+180°-2∠ABE=360°-2（∠BAE+∠ABE)=360°-2× 90°=180°.∴.BC∥PA.4.B5.B6.解：在三角形EFG中，∠EFG=90°，∠E=35°， ∴.∠EGF=180°-∠EFG-∠E=180°-90°-35°=55°.：GE平分∠FGD,∴.∠EGF =∠EGD=55°.AB∥CD,∴∠EHB=∠EGD=55°.又：∠AHE=180°-∠EHB= 180°-55°=125°，.∠EFB=180°-∠AHE-∠E=180°-125°-35°=20°.7.A8.D 9.BC同旁内角互补，两直线平行∠E两直线平行，内错角相等角平分线的定 义等量代换∠4等量代换CD同位角相等，两直线平行两直线平行，同位角 相等10.解：(1)认同.理由如下：：AB∥CD,∠BAC+∠ACD=180°.：AP平分 ∠BAC,CP平分∠ACD,.∠BAC=2∠1，∠ACD=2∠2，.2∠1+2∠2=180°，∴∠1 +∠2=90°；(2)：CP⊥AC,∴.∠ACP=90°，即∠2+∠ACD=90°.：∠2=22， .∠ACD=90°-∠2=90°-22°=68°.AB∥CD,.∠BAC+∠ACD=180°， ·∠BAC=180-∠ACD=180°-68=112.：AP平分∠BAC,·∠1=号∠BAC= 56;(3)CP平分∠ACD,∠ACD=2∠2，AP⊥AC .AB∥CD,..∠BAC+∠ACD=180°.又.∠BAC=∠CAP+∠1=90°+∠1，.90 +∠1+2∠2=180°，.∠1+2∠2=90. 7.3定义、命题、定理 第1课时定义与命题 基础过关 1.B2.A3.D4.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等5.解：(1)如果两个角 互补，那么这两个角是钝角；题设是两个角互补，结论是这两个角是钝角；(2)如果两个 数互为相反数，那么这两个数的绝对值相等；题设是两个数互为相反数，结论是这两个 数的绝对值相等，6.D7.C8.如果两条直线相交，那么它们的交点只有一个真 能力提升 9,A10.解：(1)命题“相等的角是直角”的题设是两个角相等，结论是这两个角是直 角：改写成“如果……那么…”的形式为如果两个角相等，那么这两个角是直角； (2)“相等的角是直角”是假命题. 第2课时定理与证明 基础过关 1.B2.D3.C4.D5.A6.对顶角相等等量代换同位角相等，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 能力提升 7.B8.A9.(1)3×0=(-2)×0(答案不唯一)(2)（一1）=1（答案不唯一） 10.解：(1).DE∥BC,.∠1=∠2.又∠1=∠3，.∠2=∠3，.CD∥FG..∠CDB =∠BFG.CD⊥AB,.∠CDB=90°..∠BFG=90°..FG⊥AB;(2)是真命题.理由 如下：：CD⊥AB,FG⊥AB,∴.∠CDB=∠GFB=90°.∴.CD∥FG.∴∠2=∠3.又 :∠1=∠3，∴∠1=∠2.DE∥BC;(3)是真命题.理由如下：同(2)可得∠2=∠3. DE∥BC,∴.∠1=∠2，.∠1=∠3. 7.4平移 新知梳理 ②(1)形状大小(2)对应点平行在同一条直线上相等 第5页（共48页） 例题引路 【例1】解：对应点分别是点A和点D,点B和点E,点C和点F:所有的对应角分别是 ∠A和∠D,∠B和∠DEF,∠ACB和∠F;所有的对应线段分别是AB和DE,BC和 EF,AC和DF;平移方向：沿着射线BC的方向；平移距离：线段BE(CF)的长度. 【例2】解：如图，三角形A'B'C‘即为所求. 北 ·东 C B N P. 基础过关 1.D2.D3.B4.35.C6.解：(1)如图， 三角形DEF即为所 求；(2)平行且相等 能力提升 7.B8.309.140【变式1】4【变式2】90010.解：(1)三角形ABC如图； (2)号(3)AA与CC平行且相等 思维拓展 11.解：(1)这4个图形都是正方形；(2)设AB=xcm,AD=ycm,则4x·2十4y·2= 144,4(2x十2y)=144,所以2x十2y=36,即原长方形ABCD的周长为36cm. 数学活动 1.D2.D3.C4.解：如图.（答案不唯一） 5.解：(1)①如图， C 线段EH即为所求作的垂线段；②直线MN即为所求作的平行线； -N OH -B D/ (2)EO>EH垂线段最短(3).∠OEH=30°，∠EHO=90°，.∠EOH=90°- ∠OEH=90°-30°=60°..∠A0E=180°-∠E0H=180°-60°=120°.OP平分 ∠AOE,.∠A0P=∠A0E=60.MN/AB,∴∠OPE=∠AOP=60. 第七章整合与提升 高频考点突破 1.D2.B3.55°4.D5.C6.50°7.∠BFD对顶角相等∠2等量代换 DE同位角相等，两直线平行∠CDE两直线平行，同旁内角互补∠C两直线 平行，内错角相等8.解：(1)AD是∠BAC的平分线，∠BAD=35°，∠BAC= 2∠BAD=70°.又，AB∥DG,∴.∠DGC=∠BAC=70°；(2)AB∥DG,.∠2= ∠BAD,又∠1=∠2，.∠1=∠BAD,.AD∥EF.9.D10.两个角是两条直线被 第三条直线所截得到的同旁内角这两个角互补假11.解：(1)选择①②为题设， ③为结论，命题为若∠1=∠2，∠B=∠C,则AB∥CD,该命题是真命题；选择①③为题 设，②为结论，命题为若∠1=∠2，AB∥CD,则∠B=∠C,该命题是真命题；选择②③ 为题设，①为结论，命题为若∠B=∠C,AB∥CD,则∠1=∠2，该命题是真命题：(2)选 择①②为题设，③为结论.（答案不唯一）证明如下：∠1=∠2，∠1=∠CGD,.∠2= ∠CGD..CE∥BF..∠C=∠BFD.∠B=∠C,.∠B=∠BFD..AB∥CD. 12.D13.1814.解：三角形ABC沿AB向右平移得到三角形DEF,.AD=BE= 第6页（共48页）夯实基础专题与平行： 类型1利用平行线的性质求角度 1.(西藏)如图，已知直线1∥12，ABLCD于点 D,∠1=50°，则∠2的度数是 A.40° B.45° D C.50 B D.60° 2.如图，已知AB∥CD,P是射线AB上一动点 (不与点A重合)，CE,CF分别平分∠ACP 和∠PCD,分别交射线AB于点E,F. (1)若∠A=52°，求∠ECF的度数； (2)在点P的运动过程中，∠CPA与∠CFA 的数量关系是否随之发生变化？若变 化，请说明理由；若不变，求出∠CPA与 ∠CFA的数量关系； (3)当点P运动到使∠AEC=∠ACF时，探 究∠ACE与∠FCD的数量关系，并说明 理由. 线性质有关的角度的计算 类型2利用三角尺的特征求角度 方法指导 一副三角尺提供了30°，45°，60°，90°的已知角，再 加上平行线的性质通过“同位角、内错角相等，同旁内 角互补”可以得到不同位置的角的数量关系，进而求 出一些未知角的度数 3.(山东东营)已知直线a∥b,把一块含有30° 角的直角三角尺如图放置，∠1=30°，三角尺 的斜边所在直线交b于点A,则∠2的度数 为 ( A.50 B.60° C.70 D.80 a (第3题图) (第4题图) 4.将一副直角三角尺如图放置，已知∠E= 60°，∠C=45°，EF∥BC,则∠BND的度数 为 类型3与折叠有关的角度计算 方法指导 图形折叠前后两部分完全重合，即能重合部分的 角相等，边相等；再依据平行线的性质可求出角的数 量关系 5.如图，把一张长方形纸片按如图所示方式折 叠后，B,C两点分别落在B1,C处.若 ∠EFC=125°，则∠AEB1的度数为() A.70° B.60° C.65° D.55° (第5题图) (第6题图) 6.将一张长方形纸片按如图所示方式折叠.若 ∠1=40°，则∠2的度数是 第七章相交线与平行线16 重点突破专题平 类型1平行线的判定 1.(崇左期末)如图，下列条件能判定AD∥BC 的是 ( A.∠C=∠A B.∠A+∠ADC=180 C.∠ADE=∠C D.∠C+∠B=180 /E 6人5 ✉h 乎8 (第1题图) (第2题图) 2.如图，直线a,b被直线c所截，现给出下列四 个条件：①∠2=∠6；②∠2=∠8；③∠1+ ∠6=180°；④∠3=∠8.其中，能判定a∥b 的条件是 .(填序号) 3.情境题台球（教材P3s复习题T6变式）如图， 台球运动中母球P击中桌边的点A,经桌边 反弹经过点C.(提示：∠PAD=∠BAE, ∠ABE=∠CBF) (1)若∠PAD=32°，求∠PAB的度数； (2)已知∠BAE十∠ABE=90°，母球P经过 的路线BC与PA一定平行吗？请说明 理由. D 17 数学W七年级下册 行线的判定与性质 类型2平行线的性质 4.如图，AB∥CD,∠A=70°，则∠1的度数 是 () A.130 B.110° C.100° D.70 77777777777777777777 (第4题图) (第5题图) 5.生活中的椅子一般依据人体工学原理设计， 如图为生活中一把椅子的侧面图，从人体脊 柱的形势而言，当靠背角度∠DEF=115° 时，能产生较为接近自然腰部的形状，此时 最舒适.已知DE与地面平行，支撑杆BD与 地面夹角∠ABD=50°，则制作时用螺丝固 定支撑杆BD和AF时，需构成夹角∠ACB 的度数为 A.70° B.65° C.60° D.50° 6.如图，AB∥CD,三角形EFG的顶点F,G分 别落在直线AB,CD上，GE交AB于点H, GE平分∠FGD.若∠EFG=90°，∠E=35°， 求∠EFB的度数. G 类型3平行线的判定与性质的综合运用 7.(南宁横州市期末)如图，∠1=110°，∠2 70°，∠3=114°，则∠4的度数是 A.114° B.110° C.70 D.65 (第7题图) (第8题图) 8.如图，点E,F分别在直线AB,CD上，点G, H在两直线之间，线段EF与GH相交于点 O,且有∠AEF+∠CFE=180°，∠1=∠2. 甲：AB∥CD;乙：GE∥FH;丙：AB∥GH.下 列判断正确的是 A.甲错，乙对 B.甲对，乙错 C.甲对，丙对 D.乙对，丙错 9.(百色期未)【阅读理解】如图，∠D十∠3= 180°，AE平分∠BAD交CD于点F,交BC 的延长线于点E,∠4=∠E,试说明：∠B ∠DCE.下面是小明同学的解答过程，请认 真阅读并完善解答过程及填写 相应的依据。 解：.∠D+∠3=180°（已知）， .AD∥ .∠1 ( .'AE平分∠BAD(已知)， .∠1=∠2( .∠2=∠E( ∠4=∠E(已知)， ∠2= .AB∥ ( ∴.∠B=∠DCE( . 10.学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小 组在练习中看到这样一道题“如图①，AP 平分∠BAC,CP平分∠ACD,∠1+∠2 90°.判断AB,CD是否平行，并说明理由”， 试着“玩”起数学来。 【基础巩固】 (1)条件和结论互换，改成了：“如图①，AP 平分∠BAC,CP平分∠ACD,AB∥CD, 则∠1十∠2=90°.”小明认为这个结论正 确，你认同他的想法吗？请说明理由； 【尝试探究】 (2)小明发现：若将其中一条角平分线改成 AC的垂线，则“∠1十∠2=90”这个结 论不成立.请帮小明完成探究： 如图②，AB∥CD,AP平分∠BAC, CP⊥AC,∠1是AP与AB的夹角，∠2 是CP与CD的夹角，若∠2=22°，求 ∠1的度数； 【拓展提升】 (3)如图③，若AB∥CD,AP⊥AC,CP平 分∠ACD,试说明：∠1+2∠2=90°. 图① 图② 图③ 第七章相交线与平行线18