1.4.4诱导公式与旋转 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

学习目标 情境引入 探求新知 典例铺路 随堂演练 课堂小结 当堂检测 第一章 三角函数 互动设计 1.4.4 诱导公式与旋转 互动设计课程 1 学 习 目 标 掌握”奇变偶不变，符号看象限”的完整应用。。。 返回主页 1 2 理解、型诱导公式的推导过程，掌握”奇变偶不变，符号看象限”的完整应用 能够熟练运用奇变类诱导公式进行化简、求值和证明 掌握”奇变”的本质：函数名改变（正弦↔余弦） 能够综合运用奇变与偶变公式，将任意角的三角函数化为锐角三角函数 通过单位圆的旋转对称性（90°、270°旋转）推导奇变公式，深化数形结合思想 对比奇变与偶变公式的异同，构建完整的诱导公式体系 培养观察、类比、归纳的数学思维能力 情 境 引 入 【情境一】“奇变偶不变”的悬念 返回主页 【情境二】特殊角计算困境 【情境三】坐标旋转 【情境一】“奇变偶不变”的悬念 🎯 回顾：上节课我们学了”偶不变”——π±α、2π±α、-α时，函数名不变。 问题：那”奇变”是什么意思？什么情况下函数名要改变？ 猜测：与有关？ 【情境二】特殊角计算困境 任务：如何求sin120° 尝试： 方法一：（偶不变） 方法二：sin120°=sin(90°+30°)=? 能用30°表示吗？ 启发：120°=90°+30°，终边与30°有什么关系？坐标如何变化？ 【情境三】坐标旋转 📐 操作：在坐标系中，点P(1,0)绕原点逆时针旋转90°到哪里？旋转270°呢？ 发现： - 旋转90°→P’(0,1)：x变y，y变-x - 旋转270°→P’’(0,-1)：x变-y，y变x 过渡：角的终边旋转90°、270°，三角函数值如何变化？ 互 动 设 计 【探究活动1】公式五：-α（互余关系） 返回主页 【探究活动2】公式六：+α（旋转90°） 【探究活动3】公式七、八：∓α（拓展） 【探究活动1】公式五：-α（互余关系） 画图探究： 角α终边过P(x,y) ,角终边过Q(y,x)（关于y=x对称） 推导： 公式五 函数 公式 正弦 sin(-α)=cosα 余弦 cos(-α)=sinα 几何意义：直角三角形两锐角互余，一角的正弦等于另一角的余弦。 【探究活动2】公式六：+α（旋转90°） 小组推导： 角：将α的终边逆时针旋转90° 点P(x,y)旋转90°后→P’(-y,x) 检验符号：在第二象限（设α为锐角），正弦为正，∴应为 公式六 函数 公式 正弦 sin(+α)=cosα 余弦 cos(+α)=-sinα 【探究活动3】公式七、八： 类比推导： - ：旋转270°（或-90°） - 点(x,y)旋转270°得(y,-x) 公式七（）和公式八（）由学生自主完成。 探 求 新 知 1. 完整口诀：“奇变偶不变，符号看象限” 返回主页 2. 奇变公式汇总 3. 诱导公式完整体系 1. 完整口诀：“奇变偶不变，符号看象限” 要点 详解 “奇变” 的奇数倍（）→ 函数名改变：sin↔cos, tan↔cot “偶不变” 的偶数倍（）→ 函数名不变 “符号看象限” 把α看成锐角，看原函数在目标象限的符号 2. 奇变公式汇总 π/2 - α π/2 + α ↓ ↓ sin → cos (+) sin → cos (+) cos → sin (+) cos → sin (-) ↓ ↓ 3π/2 - α 3π/2 + α ↓ ↓ sin → cos (-) sin → cos (-) cos → sin (-) cos → sin (+) 快速记忆：时，正弦结果全为正；时，正弦结果全为负。 3. 诱导公式完整体系 类型 角的形式 函数名 记忆核心 周期类 不变 终边重合 负角类 正弦变号 奇函数性质 π加减类 不变 关于原点/y轴 π/2加减类 改变 互余/旋转90° 3π/2加减类 改变 旋转270° 典 例 铺 路 【例1】基础奇变求值 【例2】型求值 【例3】综合化简（奇偶混合） 【例4】给值求值（奇偶混合） 【例5】三角形中的诱导公式 【例1】基础奇变求值 求下列三角函数值： (2) (3) 解(1)： 或 （两种方法对照） 解(2)： 解(3)（偶变复习）： 【例2】型求值 求值： (1) （先偶变） (2) （先偶变） (3) （奇变） (4) （混合） 【例3】综合化简（奇偶混合） 化简： 【例4】给值求值（奇偶混合） 已知，且α是第四象限角，求： (1) (2) 【例5】三角形中的诱导公式 在△ABC中，求证： (1) (2) 随 堂 演 练 返回主页 【基础训练】 1. 的值等于（　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 【基础训练】 2. 的值等于（　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 【基础训练】 3. 若，则（　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 【能力提升】 4. 已知，求的值。 随 堂 检 测 返回主页 【选择题】 1. 的值为（　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 2. 若，则（　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 【填空题】（每题5分） 3. 已知，且α是第二象限角，则 ______ 4. 若（），则 ______ 【解答题】（10分） 5. 已知，求： (1) 的值； (2) 的值。 课 堂 小 结 1. 知识小结 返回主页 2. 方法小结 3. 思想方法 1 2 3 4 认真领会 1. 知识小结 诱导公式完整体系 ↓ ┌─────────┼─────────┐ ↓ ↓ ↓ 偶不变 奇变 综合应用 ↓ ↓ ↓ π±α,2π±α π/2±α,3π/2±α 化简求值证明 -α 函数名改变 函数名不变 sin↔cos 46 2. 方法小结 类型 方法 判断象限 化归法：化为0°~360°范围内的等效角 找终边相同角 加圈减圈：加减360°的整数倍 范围角问题 不等式法：建立不等式，注意k的分类讨论 等分角问题 几何法：象限等分图示法 【奇变公式速记表】 公式 正弦结果 余弦结果 符号规律 (+) (+) 全正 (+) (-) 余弦负 (-) (-) 全负 (-) (+) 正弦负 3. 思想方法 方法 体现 数形结合 单位圆旋转对称推导公式 分类讨论 的奇偶倍分类 转化与化归 任意角→锐角三角函数 类比推理 奇变与偶变对比记忆 $