精品解析：山东济南市历下区2025-2026学年七年级上学期期末数学试题

七年级数学学情调研 考试时间120分钟 满分150分 第I卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，早在我国秦汉时期的《九章算术》中就引入了负数．若在粮谷计算中，益实一斗（增加1斗）记为斗，那么损实七斗（减少7斗）记为（ ） A. 斗 B. 斗 C. 斗 D. 斗 2. 临沭柳编是山东省临沂市临沭县的传统工艺，也是国家级非物质文化遗产之一．下列选项为一组传统柳编工艺品，其中能近似看作由如图旋转一周得到的是（ ） A. B. C. D. 3. 人一根头发的直径大约为0.000072米，将0.000072用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的方程和关于的方程的解相同，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 5. 下列各项调查适合普查的是（ ） A. 了解某校7（1）班每位同学的视力情况 B. 了解小清河中现有鱼的种类 C. 了解某品牌节能灯的使用寿命 D. 了解济南市观众对贺岁电影的观影感受 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若多项式与的差与的取值无关，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 如图是国家统计局2025年2月28日发布的2020～2024年国内生产总值及其增长速度的统计图．根据统计图提供的信息，下列结论不正确的是（ ） A. 2024年我国国内生产总值突破了130万亿元 B. 2020年至2024年期间国内生产总值持续上升 C. 2020年至2024年期间2021年国内生产总值的年实际增长速度最快 D. 与2023年相比，2024年国内生产总值增长速度下降，说明2024年国内生产总值低于2023年国内生产总值 9. 某地天然气收费方案如下： 阶梯 年用气量 价格 补充说明 第一阶梯 （含）的部分 1.5元 当家庭人口超过3人时，每增加1人，第一、二阶梯年用气量上限将分别增加110、150，同时，第二、三阶梯年用气量下限随之调整，每一阶梯的价格保持不变． 第二阶梯 （含）的部分 3元/ 第三阶梯 以上的部分 5元/ 甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为4人．某年甲、乙两户年用气量之和为，甲户年用气量大于乙户年用气量．已知甲、乙两户一共缴纳燃气费用1800元．设甲户的用气量为，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，下列图形都是由黑色和白色的小圆点按一定的规律排列组成的，其中图形①中有2个黑色小圆点，图形②中有8个黑色小圆点，图形③中有17个黑色小圆点……按此规律，则图形⑩中黑色小圆点的个数是（ ） A. 161 B. 162 C. 163 D. 164 第II卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. _____． 12. 计算：__________． 13. 若与是同类项，则_____． 14. 如图所示，边长为的正方形边长增加b得到新正方形，新正方形的面积为；边长为a的正方形一边增加2b，另一边减小b得到的长方形，此长方形的面积为；则__________．（填“”、“”或“”） 15. 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休．”将两个正方形纸片按照如图的方式摆放在一起，使三点在同一条直线上，连接．若阴影部分的面积之和是17，的面积为11，则线段BE的长度为_____． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 元旦假期，小明和同学去大明湖公园游玩，他们登上超然楼俯瞰公园．如图，点P为小明所在的超然楼，曾堤A在超然楼P的北偏西的方向上，知春桥B在超然楼P的南偏东的方向上． （1）求从超然楼P看曾堤和知春桥的视角的度数； （2）东湖上有一条小船C在的平分线上，则小船C在超然楼P的什么方向上？ 20. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”译文：假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？请你列一元一次方程解决这个问题． 21. 如图，有一块长为米，宽为米的长方形苗圃，现计划扩建，以如图方式向外扩建x米的距离． （1）请用含有x和a的式子表示扩建后的苗圃的面积； （2）若，扩建后的面积比原面积的大了400平方米，求a的值． 22. 七年级1班和七年级2班两个班的同学到公园开展社会大课堂活动，公园门票每人40元，超过30人可以购买团体票．公园购票处张贴着团体优惠购票的方案表格如下： 人数优惠方案 30人以上 方案一 八折优惠 方案二 4人免票，其他人九折优惠 （1）若1班有35名学生，他们该选择哪个方案更省钱，说明理由； （2）若2班（30人以上）无论选择哪种方案付的钱是一样多，求2班有多少人． 23. 为帮助学生拓展阅读视野，教育部推荐初中七年级必读名著书目4部，分别是《西游记》、《朝花夕拾》、《骆驼祥子》、《钢铁是怎样炼成的》．某初中为了解七年级学生对四部推荐名著的阅读情况，就“七年级必读名著你读完了几部”的问题随机选取了部分七年级学生进行调查，得到的数据如下： ①：数据收集，读完必读名著数量（单位：部）： 3 1 4 1 2 3 4 2 3 4 2 1 3 1 1 3 4 3 2 2 1 2 1 4 1 3 0 3 0 3 4 1 4 1 1 3 1 1 m 1 ②：数据整理，根据调查结果绘制成如图所示尚不完整的统计图： 请根据以上信息，解决下列问题： （1）在收集的数据中，m＝_____； （2）在扇形统计图中，n＝_____，并请补全条形统计图； （3）扇形统计图中“3部”所在扇形的圆心角为_____． （4）已知七年级学生共有800人，请你估算七年级学生大约有多少人读完4部必读名著． 24. 综合探究：直角三角形旋转变换下的角度问题 【背景材料】 在几何学习中，我们经常使用两种常见的直角三角板：等腰直角三角板：内角度数为．含的直角三角板：内角度数为，，． 这两种三角板不仅是静态的作图工具，还可以在动态几何问题中作为研究对象．本次活动将探究一块三角板绕其某个顶点旋转时，所产生的角度相关问题． 【探究准备】 小明先用三角板画出了直线，然后将一副三角板按如图1的方式拼接在一起，其中直角三角板的角的顶点与直角三角板的角的顶点互相重合，边与直线重合，两个三角板在直线的上方． 【探究问题】 （1）如图1，的度数为__________度； （2）如图2，直角三角板固定不动，将直角三角板绕点按顺时针方向旋转一周． ①当射线平分时，求的度数； ②如图3，当线段在内部时，请探究和的数量关系，并说明理由． 25. 新定义：点P是线段上一点，此时三条线段中，若有一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“二倍点”． （1）若点是线段的中点，则点 线段的“二倍点”；(填“是”或“不是”)； （2）若，点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，设点的运动时间为秒，求当为何值时，点是线段的“二倍点”； （3）如图，点P是线段的“二倍点”，且，点M是延长线上一点，点C在线段上运动，当时，点C是否是线段的“二倍点”，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学学情调研 考试时间120分钟 满分150分 第I卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，早在我国秦汉时期的《九章算术》中就引入了负数．若在粮谷计算中，益实一斗（增加1斗）记为斗，那么损实七斗（减少7斗）记为（ ） A. 斗 B. 斗 C. 斗 D. 斗 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正数和负数，根据正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：若在粮谷计算中，益实一斗（增加1斗）记为斗，那么损实七斗（减少7斗）记为斗， 故选：C 2. 临沭柳编是山东省临沂市临沭县的传统工艺，也是国家级非物质文化遗产之一．下列选项为一组传统柳编工艺品，其中能近似看作由如图旋转一周得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了面动成体的几何原理，解题的关键是判断平面图形绕轴旋转一周后形成的立体图形的形状．先分析题干中平面图形的轮廓特征，再与选项中立体工艺品的形状进行匹配，即可得出答案． 【详解】解：题干中的平面图形左右两侧向内凹陷，呈“腰鼓”状的对称曲线． A、该立体为圆柱，由矩形旋转得到，此选项不符合题意； B、该立体上下宽、中间窄，呈“腰鼓”状，与题干平面图形旋转后的形状一致，此选项符合题意； C、该立体中间鼓、上下窄，由不同曲线旋转得到，此选项不符合题意； D、该立体为圆柱，由矩形旋转得到，此选项不符合题意． 故选：B． 3. 人一根头发的直径大约为0.000072米，将0.000072用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为，其中，值可正可负，当表示的数绝对值小于1时，值为负；当表示的数绝对值大于10时，值为正；熟记科学记数法的表示方法，准确确定的值是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 4. 若关于的方程和关于的方程的解相同，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的解的含义及其解法，先求解第一个一元一次方程得到x的值，再根据同解方程的定义，将x的值代入第二个方程，进而求出k的值． 【详解】解：∵解方程， 移项得， ∴， ∵两个方程的解相同， ∴将代入中，得， 移项得， 即， ∴． 故选：C 5. 下列各项调查适合普查的是（ ） A. 了解某校7（1）班每位同学的视力情况 B. 了解小清河中现有鱼的种类 C. 了解某品牌节能灯的使用寿命 D. 了解济南市观众对贺岁电影的观影感受 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了普查与抽样调查的适用条件，解题的关键是根据调查对象的范围、数量、调查的破坏性等因素，判断应采用普查还是抽样调查． 【详解】解：A、了解某校7（1）班每位同学的视力情况，调查范围小，要求精准，适合普查，此选项符合题意； B、了解小清河中现有鱼的种类，调查范围广，难以全面普查，适合抽样调查，此选项不符合题意； C、了解某品牌节能灯的使用寿命，调查具有破坏性，适合抽样调查，此选项不符合题意； D、了解济南市观众对贺岁电影的观影感受，调查范围大，适合抽样调查，此选项不符合题意． 故选：A． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘，掌握运算法则是解题的关键． 根据合并同类项、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘逐一判断即可． 【详解】解：A．，该项错误； B．，该项错误； C．，该项正确； D．，该项错误； 故选：C． 7. 若多项式与的差与的取值无关，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的加减混合运算，根据多项式与的差与x的取值无关，即整理后含的项，系数为零，据此建立等式求出与的值，即可解题． 【详解】解：由题意得， ， 多项式与的差与x的取值无关， 且， 解得，， ， 故选：D． 8. 如图是国家统计局2025年2月28日发布的2020～2024年国内生产总值及其增长速度的统计图．根据统计图提供的信息，下列结论不正确的是（ ） A. 2024年我国国内生产总值突破了130万亿元 B. 2020年至2024年期间国内生产总值持续上升 C. 2020年至2024年期间2021年国内生产总值的年实际增长速度最快 D. 与2023年相比，2024年国内生产总值增长速度下降，说明2024年国内生产总值低于2023年国内生产总值 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与折线统计图的综合应用，解题的关键是正确理解统计图中各项数据的含义，区分“国内生产总值”的绝对数值与“比上年增长”的相对速度两个概念．依次分析每个选项，判断其与统计图信息是否一致，即可找出不正确的结论． 【详解】解：A、年我国国内生产总值为亿元，突破了万亿元，此选项不符合题意； B、年至年期间，国内生产总值的数值依次为、、、、，持续上升，此选项不符合题意； C、年至年期间，各年的增长速度分别为、、、、，其中年的增长速度最快，此选项不符合题意； D、与年相比,年国内生产总值增长速度下降，仅表示增长幅度变小,年国内生产总值亿元仍高于年的亿元，此选项符合题意． 故选：D． 9. 某地天然气收费方案如下： 阶梯 年用气量 价格 补充说明 第一阶梯 （含）的部分 1.5元 当家庭人口超过3人时，每增加1人，第一、二阶梯年用气量上限将分别增加110、150，同时，第二、三阶梯年用气量下限随之调整，每一阶梯的价格保持不变． 第二阶梯 （含）的部分 3元/ 第三阶梯 以上的部分 5元/ 甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为4人．某年甲、乙两户年用气量之和为，甲户年用气量大于乙户年用气量．已知甲、乙两户一共缴纳燃气费用1800元．设甲户的用气量为，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程应用，核心是先判断甲、乙两户用气量所在的收费阶梯，再根据总费用列出对应方程． 【详解】解：∵甲户家庭人口为3人，年用气量为，且甲户年用气量大于乙户，两户用气量和为， ∴，即， ∴，， ∴甲户用气量超过第一阶梯上限，其费用为， ∵乙户家庭人口为4人，每增加1人第一阶梯上限增加， ∴乙户第一阶梯上限为 又∵乙户年用气量为， ∴乙户用气量全部在第一阶梯，费用为 ∵两户总费用为1800元 ∴可列方程：， 故选：C 10. 如图，下列图形都是由黑色和白色的小圆点按一定的规律排列组成的，其中图形①中有2个黑色小圆点，图形②中有8个黑色小圆点，图形③中有17个黑色小圆点……按此规律，则图形⑩中黑色小圆点的个数是（ ） A. 161 B. 162 C. 163 D. 164 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形规律探究，解题的关键是通过分析前几个图形中黑色小圆点的个数，归纳出第个图形中黑色小圆点个数的通项公式，再代入计算． 【详解】解：图形①中黑色小圆点个数：， 图形②中黑色小圆点个数：， 图形③中黑色小圆点个数：， …… 由此可得第个图形中黑色小圆点的个数为：． 当时：． 故选：D． 第II卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. _____． 【答案】 48.5° 【解析】 【分析】本题考查了角度单位的换算，解题的关键是掌握度与分之间的换算关系，即． 先将分换算为度，再与原有的度相加，得到最终结果． 【详解】解： 故答案为：． 12. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：. 13. 若与是同类项，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同类项，负整数指数幂的含义，代数式求值．根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同，因此建立关于m和n的方程并求解． 【详解】解：∵ 与 是同类项， ∴， 解得：，， ∴． 故答案为 14. 如图所示，边长为的正方形边长增加b得到新正方形，新正方形的面积为；边长为a的正方形一边增加2b，另一边减小b得到的长方形，此长方形的面积为；则__________．（填“”、“”或“”） 【答案】＞ 【解析】 【分析】此题考查了整式的乘法公式和混合运算的应用，分别求出，，作差比较大小即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休．”将两个正方形纸片按照如图的方式摆放在一起，使三点在同一条直线上，连接．若阴影部分的面积之和是17，的面积为11，则线段BE的长度为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质与三角形面积计算，解题的关键是利用等积变换，将阴影部分面积之和转化为两个正方形面积和的一半，再结合已知条件求出线段的长度． 【详解】解：设小正方形边长为，大正方形边长为， ． ． ∵， ， ． ∴． ， ． 故答案为：10． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）20 （2） 【解析】 【分析】此题考查了零指数幂，负整数指数幂，绝对值，同底数幂的乘除，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算零指数幂，负整数指数幂，绝对值，然后计算加减； （2）首先计算同底数幂的乘除，然后计算加减． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【解析】 【分析】此题考查了整式的化简求值，平方差公式和完全平方公式，利用乘法公式进行计算得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： 当时， 原式 ． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤：移项，合并同类项，系数化为1求解即可； （2）根据解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1求解即可． 【小问1详解】 解： 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【小问2详解】 解：， 去分母，得 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 19. 元旦假期，小明和同学去大明湖公园游玩，他们登上超然楼俯瞰公园．如图，点P为小明所在的超然楼，曾堤A在超然楼P的北偏西的方向上，知春桥B在超然楼P的南偏东的方向上． （1）求从超然楼P看曾堤和知春桥的视角的度数； （2）东湖上有一条小船C在的平分线上，则小船C在超然楼P的什么方向上？ 【答案】（1）的度数为 （2）小船在超然楼的北偏东方向上 【解析】 【分析】本题考查了方向角与角平分线的应用，解题的关键是根据方向角的定义，准确计算出的度数，再利用角平分线的性质求出小船的方向角． （1） 根据方向角的定义，分别求出和，再利用方向角与直角的性质计算； （2） 先求出的度数，再计算的度数，从而确定小船的方向． 【小问1详解】 解：根据题意得：，， ∴，又， ∴． 答：的度数为． 【小问2详解】 解：平分， ， ∴． 答：小船在超然楼的北偏东方向上． 20. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”译文：假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？请你列一元一次方程解决这个问题． 【答案】 共有9个人共同出钱买鸡，鸡的价钱是70钱 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程在实际问题中的应用，解题的关键是抓住“鸡的价钱不变”这一等量关系，通过两种不同的出钱方式列出方程． 设人数为未知数，根据“每人出9钱多11钱”和“每人出6钱少16钱”分别表示鸡价，令两式相等列方程求解；再将人数代入表达式求出鸡价． 【详解】解：设共有人共同出钱买鸡．， ， ， ． 鸡的价钱为：． 答：有9个人共同出钱买鸡，鸡的价钱是70钱． 21. 如图，有一块长为米，宽为米的长方形苗圃，现计划扩建，以如图方式向外扩建x米的距离． （1）请用含有x和a的式子表示扩建后的苗圃的面积； （2）若，扩建后的面积比原面积的大了400平方米，求a的值． 【答案】（1）平方米 （2） 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘法和一元一次方程的应用，解题的关键是根据图形变化准确表示出扩建后长方形的长和宽，再利用面积公式建立方程求解． （1） 先求出扩建后长方形的长和宽，再根据长方形面积公式列出表达式并化简； （2） 先求出原面积与扩建后面积的差，代入得到关于的一元一次方程，解方程求出的值． 【小问1详解】 解：扩建后的长为：， 扩建后的宽为：， 扩建后的面积为： 故扩建后的面积为 平方米． 【小问2详解】 解：原面积为：， 面积增加量为：， 当 时，面积增加了400平方米， 代入得，即，， ∴． 答：的值为． 22. 七年级1班和七年级2班两个班的同学到公园开展社会大课堂活动，公园门票每人40元，超过30人可以购买团体票．公园购票处张贴着团体优惠购票的方案表格如下： 人数优惠方案 30人以上 方案一 八折优惠 方案二 4人免票，其他人九折优惠 （1）若1班有35名学生，他们该选择哪个方案更省钱，说明理由； （2）若2班（30人以上）无论选择哪种方案付的钱是一样多，求2班有多少人． 【答案】（1） 解：选择方案二更省钱，理由如下： 方案一：（元）， 方案二：（元）， ∵， ∴选择方案二更省钱． （2）二班有36人 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算以及一元一次方程的应用，正确掌握相关内容是解题的关键． （1）分别计算出方案一和方案二的费用，再进行比较，即可作答； （2）先设二班有人，再列出方程，然后解方程，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设二班有人， 根据题意得，， 解得， 答：二班有36人． 23. 为帮助学生拓展阅读视野，教育部推荐初中七年级必读名著书目4部，分别是《西游记》、《朝花夕拾》、《骆驼祥子》、《钢铁是怎样炼成的》．某初中为了解七年级学生对四部推荐名著的阅读情况，就“七年级必读名著你读完了几部”的问题随机选取了部分七年级学生进行调查，得到的数据如下： ①：数据收集，读完必读名著数量（单位：部）： 3 1 4 1 2 3 4 2 3 4 2 1 3 1 1 3 4 3 2 2 1 2 1 4 1 3 0 3 0 3 4 1 4 1 1 3 1 1 m 1 ②：数据整理，根据调查结果绘制成如图所示尚不完整的统计图： 请根据以上信息，解决下列问题： （1）在收集的数据中，m＝_____； （2）在扇形统计图中，n＝_____，并请补全条形统计图； （3）扇形统计图中“3部”所在扇形的圆心角为_____． （4）已知七年级学生共有800人，请你估算七年级学生大约有多少人读完4部必读名著． 【答案】（1）4 （2） 35，补全条形统计图如下： （3） （4）人 【解析】 【分析】本题考查了统计图表的综合应用与样本估计总体的思想，解题的关键是准确统计原始数据中各阅读数量的人数，再利用占比与总量的关系进行计算． （1）统计“4部”的人数，确定的值； （2）用“1部”的人数除以总人数求，再统计“2部”的人数补全条形图； （3）用“3部”的人数占比乘以求圆心角； （4）用样本中“4部”的比例乘以总人数进行估算． 【小问1详解】 解：统计条形统计图原始数据，“4部”的人数为，而统计表格中“4部”的人数为7，故． 故答案为：． 【小问2详解】 解：总人数为40，“1部”的人数为14，，故。 从统计表格中得知，“2部”的人数为6人， 故答案为：． 【小问3详解】 解：“3部”的人数为10， 圆心角为． 故答案为：． 【小问4详解】 解：样本中读完4部的比例为， 估算人数为（人）． 答：七年级学生大约有人读完4部必读名著． 24. 综合探究：直角三角形旋转变换下的角度问题 【背景材料】 在几何学习中，我们经常使用两种常见的直角三角板：等腰直角三角板：内角度数为．含的直角三角板：内角度数为，，． 这两种三角板不仅是静态的作图工具，还可以在动态几何问题中作为研究对象．本次活动将探究一块三角板绕其某个顶点旋转时，所产生的角度相关问题． 【探究准备】 小明先用三角板画出了直线，然后将一副三角板按如图1的方式拼接在一起，其中直角三角板的角的顶点与直角三角板的角的顶点互相重合，边与直线重合，两个三角板在直线的上方． 【探究问题】 （1）如图1，的度数为__________度； （2）如图2，直角三角板固定不动，将直角三角板绕点按顺时针方向旋转一周． ①当射线平分时，求的度数； ②如图3，当线段在内部时，请探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）60 （2）①的度数为；②或 【解析】 【分析】（1）利用直接计算； （2）①先由求出，再根据角平分线得到，分在上方和下方两种情况，利用角的和差求出；②分两种情况，通过作差推导数量关系． 【小问1详解】 解：∵ ，， ∴ ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：①∵ ， ∴ ． ∵ OA平分， ∴ ． 当OB在MN上方时：， ． 故的度数为． ②或，理由如下： 情况一：如图， ∵ ， ， ∴ ． 即； 情况而：如图， ， 又， ， ； 综上，或． 25. 新定义：点P是线段上一点，此时三条线段中，若有一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“二倍点”． （1）若点是线段的中点，则点 线段的“二倍点”；(填“是”或“不是”)； （2）若，点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，设点的运动时间为秒，求当为何值时，点是线段的“二倍点”； （3）如图，点P是线段的“二倍点”，且，点M是延长线上一点，点C在线段上运动，当时，点C是否是线段的“二倍点”，请说明理由． 【答案】（1）是 （2）当为、或时，点是线段的“二倍点” （3） 点是线段的“二倍点”，理由如下 ∵ 点是线段的“二倍点”，且， ∴ ， ∴ ， ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 点是线段的“二倍点”． 【解析】 【分析】本题考查了线段的和差关系、动点问题以及新定义“二倍点”的应用，解题的关键是根据“二倍点”的定义分类讨论线段之间的倍数关系，结合线段长度的计算方法进行求解． （1）根据中点定义及“二倍点”定义判断； （2）用表示和的长度，分三种情况讨论与的倍数关系，列方程求解； （3）先由“二倍点”及确定与的关系，再结合推导与的关系，判断点C是否为线段的“二倍点”． 【小问1详解】 解：∵ 点是线段的中点， ∴ ， 满足“二倍点”定义， 故答案为：是． 【小问2详解】 解：由题意得：， ① 当时：， 解得； ② 当时：， 解得； ③ 当时：， 解得； ④ 当时：， 解得； 答：当为、或时，点是线段的“二倍点”． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $