精品解析：江苏南京市秦淮区2025-2026学年上学期期末七年级数学试卷

七年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为100分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用DB铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 2026的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用只有符号不同的两个数互为相反数解答即可． 【详解】解：的相反数是符号相反的． 2. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了合并同类项：将同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变．掌握合并同类项法则是解题关键． 【详解】解：，故A错误； 不是同类项，不能合并，故B错误； ，故C正确； ，故D错误； 故选：C 3. 下列等式的变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据等式的性质进行逐一判断即可． 【详解】解：A、若，则，变形正确，符合题意； B、若，则，变形错误，不符合题意； C、若，当时，不成立，变形错误，不符合题意； D、若，当，不一定成立，变形错误，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，等式两边同时加上或减去一个数或式子，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为0的数等式仍然成立． 4. 如图，用图①的一副七巧板拼成图②小鱼的图案，若七巧板面积为32，则图②中阴影部分的面积是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了七巧板拼图形问题，一元一次方程的应用，设，根据题意得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：如图所示， 设， ∵七巧板面积为32， ∴， ∴， ∴， ∴图②中阴影部分的面积是． 故选：D． 5. 如图，下列条件中：①，②，③，④，能判断的有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；逐项判断即可得出答案． 【详解】解：①∵， ∴，故①符合题意； ②∵， ∴，故②不符合题意； ③∵， ∴，故③符合题意； ④∵，， ∴， ∴，故④符合题意； 综上所述，正确的有①③④，共3个， 故选：C． 6. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车x辆，根据题意，可列出的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设车辆，根据乘车人数不变，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设车辆，根据题意得：． 故选：B． 7. 如图，把一张长方形纸片沿折叠，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质和平行线的性质，解题的关键是结合折叠的性质与长方形对边平行的性质，通过角度间的数量关系推导的度数． 【详解】解：如图， 长方形纸片沿折叠，设折叠后与对应的角为，根据折叠性质可知：，． 长方形对边互相平行，折叠后原长方形的边仍保持平行关系． 可得 即． ． 故选：D． 8. 一个正方体的表面展开图如图所示．在这个正方体中，下列结论：①点与点重合；②与重合；③；④与的夹角是．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查几何体的展开图，将正方体的表面展开图还原成几何体即可解答本题． 【详解】解：将正方体的表面展开图还原成几何体，如图， ①点与点重合，结论正确； ②与垂直，不是重合，故结论错误； ③，结论正确； ④连接，则是等边三角形，所以，即与的夹角是，故结论正确． 所以，正确的结论为①③④． 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 9. 据南京智慧旅游大数据监测平台预测，今年国庆小长假全市景区景点、文博场馆、乡村旅游等监测点接待游客量达4861000人次．用科学记数法表示4861000是 _________ ． 【答案】 【解析】 【详解】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此解答即可． 【分析】解：． 故答案为：． 10. 若，则的余角为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了求一个角的余角，如果两个角的和为，则这两个角互为余角，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴的余角为． 故答案为：． 11. 若是关于的方程的解，则的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据方程的解的概念，直接代入求解即可． 【详解】由题意可得，将代入，即，解得 故答案为：3 【点睛】此题考查一元一次方程的解，解题关键是直接代值计算． 12. 若，则代数式的值为__________． 【答案】13 【解析】 【分析】此题考查了代数式求值，通过代数变形，将所求表达式用已知条件表示，然后整体代入计算． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：13． 13. 一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件可获利12元，则这种服装每件成本为_______________元． 【答案】100 【解析】 【详解】解：设每件的成本价为x元．由题意得：（1+40%）x•80%﹣x=12，解得：x=100．故答案为100． 点睛：用一元一次方程这个数学模型来解答实际问题是中考的常见题．注意：利润=售价﹣进价．其中八折即标价的80%． 14. 从七边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将七边形分成个三角形，则__________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查多边形的性质，根据从多边形的一个顶点出发，可以引出条对角线，将多边形分为个三角形，求出，，然后代入求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴． 故答案为：9． 15. 如图，小明在纸上画了两条平行线，又画了一条直线与相交于，小明觉得直线一定和相交．小明作出这个判断的依据是教材上的一个基本事实．这个基本事实是___________． 【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【解析】 【分析】本题考查平行公理，根据平行公理进行作答即可． 【详解】解：由题意，这个基本事实是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 16. 如图，直线相交于点，平分为平面上一点，且，若，则_________． 【答案】或##65或115 【解析】 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，根据题意画出满足条件的图形是解题关键． 【详解】解：由题意得：， ∵平分 ∴ 若在内部，如图所示： 则； 若在内部，如图所示： 则； 故答案为：或 17. 如图，分别平分．若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，平行线的性质，作，推出，同理可得，再根据，进行求解即可． 【详解】解：∵分别平分， ∴，， 作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 18. 如图，鸡蛋饼的表面可以看作是一个圆面，分割的每一刀都可以抽象为一条直线．切一刀将饼分成2块；切两刀可将饼分成3块，若两刀在饼内有1个交点（不含边界），最多可将饼分成4块；三刀在饼内最多有3个交点（不含边界），最多可将饼分成7块；那么切刀在饼内最多有个交点（不含边界），最多可将饼分成块，则，之间的数量关系是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，一刀2块没有交点，两刀最多4块，1个交点，三刀最多7块，3个交点，根据，依次类推即可得出结果． 【详解】解：一刀2块没有交点，； 两刀最多4块，1个交点，； 三刀最多7块，3个交点，； 依次类推， 切刀在饼内最多有个交点（不含边界），最多可将饼分成块，则； 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算乘方，再计算出发，最后计算加法即可得解； （2）先将除法转化为乘法，再根据乘法运算律计算即可得解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】根据整式的加减，先去括号，再合并同类项，然后代入求值即可． 本题考查了整式的混合运算及化简求值，解答这类题目的关键是把最后结果化到不能再合并，然后代入求值． 【详解】 ； 当时，原式． 21. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次方程， （1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； 解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 【小问1详解】 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； 【小问2详解】 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 22. 如图，所有小正方形的边长都为1个单位，、、、均在格点上． （1）过点画线段的垂线，垂足为； （2）点到线段的距离即线段_________的长； （3）在直线上找一点，使得的值最小． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查画垂线，点到直线的距离，两点之间线段最短，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）利用三角板画垂线即可； （2）根据点到直线的距离为垂线段的长，进行作答即可； （3）根据两点之间线段最短，的交点即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：由题意，的长，即为点到线段的距离； 【小问3详解】 解：如图，点即为所求． 23. 如图，直线上依次有三个点，，，，，是线段的中点． （1）当时，求的长； （2）在直线上有一点，()， _______（用含，的代数式表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了线段中点、线段的和与差运算、列代数式等知识，解题关键是运用分类讨论的思想分析问题，避免遗漏． （1）由题意易得，结合是线段的中点可得，然后通过求解即可； （2）分点在点的左侧和右侧两种情况讨论：①当点位于点左侧时，则由题意易得，由是线段的中点可得，结合，即可求得的值；②当点位于点右侧时，同理可求得的值，即可获得答案． 【小问1详解】 解：如下图， ∵，， ∴， ∵是线段的中点， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 分两种情况讨论： ①当点位于点左侧时，如下图， ∵，， ∴， ∵是线段的中点， ∴， 又∵， ∴； ②当点位于点右侧时，如下图， 由①可知， 又∵， ∴． 综上所述，． 故答案为：． 24. 如图，，，那么相等吗？为什么？ 解法1：．理由如下： 因为（已知）， 所以（①_________）． 同理②_________ 所以．（③_________）． （1）请你将解法1中的证明过程补充完整． （2）请你用另一种方法完成此题． 【答案】（1）①两直线平行，同旁内角互补；②；③同角的补角相等 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键： （1）根据平行线的性质和等量代换，进行作答即可； （2）连接，根据平行线的性质，得到，，进而推出即可． 【小问1详解】 解：解法1：．理由如下： 因为（已知）， 所以（①两直线平行，同旁内角互补） 同理② 所以．（③同角的补角相等） 【小问2详解】 解：解法2：．理由如下： 连接． 因为， 所以． 同理． 所以． 即． 25. 已知点为直线外一点． （要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要文字说明．） （1）如图①，过点作与直线平行的直线． （2）如图②，已知，在直线上作点，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作平行线，作一个角等于已知角： （1）作直线，以为顶点，作一个角等于即可； （2）过点作直线，作，延长交于点即可． 【小问1详解】 解：如图所示，直线即为所求． 【小问2详解】 解：如图所示，点即为所求． 26. 某快递公司利用无人机提供同城快送服务，配送费用＝基础配送费＋路程附加费＋重量附加费，已知基础配送费为12元，其他收费标准如下表： 路程附加费 重量附加费 不超过的部分 超过的部分 不超过的部分 超过且不超过的部分 超过且不超过的部分 4元 5元 6元 2元 5元 例如：配送路程为，物品重量为时，配送费用元． （1）当配送路程为，物品重量为时，配送费用为__________元； （2）小亮的妈妈通过这家同城快递寄了一件重量不超过的物品，路程，共支付配送费32元．这件物品的重量是多少千克？ 【答案】（1）47 （2）10千克 【解析】 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确的列出算式和方程是解题的关键： （1）根据收费标准，列出算式进行求解即可； （2）设这个物品的重量为千克，分3种情况，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：（元）； 故答案为：47； 【小问2详解】 解：设这个物品的重量为千克． 当时，配送费用元；，故舍去 当时， ． 当时， （舍）． 答：这件物品的重量为10千克． 27. 阅读下列材料，完成探究任务： 【材料一】光的反射是生活中常见的现象，图1是光的反射示意图．（反射角等于入射角且法线与平面镜垂直，垂足为入射点） 【材料二】 我们把右侧后视镜及汽车车身抽象成数学模型，如图2，用线段表示右侧的后视镜，用长方形表示汽车的部分车身，司机在车内点处，，后视镜与形成的为，司机观察车右侧后视镜的视角的度数不大于，点为线段上的任意一点，且点为入射点． 【材料三】 当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车位的遮挡，会形成我们常说的汽车盲区．如图3，小汽车的车头、车尾盲区，以及两侧后视镜的可见区域．一辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，小汽车车尾盲区为正后方长为5米的长方形区域，在小汽车的正后方跟随着一辆匀速行驶的摩托车．若此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个1.2秒的反应时间．已知小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32米． 【问题解决】（提示：“三角形的内角和为”可直接使用．） （1）若，则图2中入射角_____； （2）图2中，我们把称为司机观察车右侧的“给力角”，当入射点与点重合时，“给力角”最大．请求出图2中“给力角”的最大值为_____． （3）已知在行驶过程中的某一时刻，测得小汽车与摩托车之间相距45米，如图4是根据题意画出的线段示意图； ①线段表示的实际意义是_____ ②如果此时小汽车司机刚好紧急刹车，为了保证摩托车不闯入小汽车的车尾盲区，则摩托车行驶的最大速度为：_____米/秒． 【答案】（1）40 （2）100 （3）①小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米；②25 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，角的和差关系，一元一次方程的实际应用： （1）根据平行线的性质，得到，三角形的内角和定理求出的度数，垂直得到，角的和差关系求出的度数即可； （2）当入射点与点重合时，的度数最大，为，同法（1）进行求解即可； （3）①根据题意，易得表示小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离；②设摩托车的行驶速度为米秒，当米时，摩托车的速度最大，根据线段的和差关系列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图①，因为且， 所以； 又因为， 所以； 因为， 所以； 所以． 【小问2详解】 解：如图②，当入射点与点重合时，的度数最大，为． 因为， 所以； 又因为， 所以； 因为，所以； 所以， 所以． 【小问3详解】 解：①由题意，表示小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米． ②解：设摩托车的行驶速度为米秒， 当米时，摩托车的速度最大． 即， ∴， 解得； 故摩托车的行驶速度为米秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为100分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用DB铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 2026的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式的变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 如图，用图①的一副七巧板拼成图②小鱼的图案，若七巧板面积为32，则图②中阴影部分的面积是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 如图，下列条件中：①，②，③，④，能判断的有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3个 D. 4个 6. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车x辆，根据题意，可列出的方程是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，把一张长方形纸片沿折叠，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 一个正方体的表面展开图如图所示．在这个正方体中，下列结论：①点与点重合；②与重合；③；④与的夹角是．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 9. 据南京智慧旅游大数据监测平台预测，今年国庆小长假全市景区景点、文博场馆、乡村旅游等监测点接待游客量达4861000人次．用科学记数法表示4861000是 _________ ． 10. 若，则的余角为__________． 11. 若是关于的方程的解，则的值是______． 12. 若，则代数式的值为__________． 13. 一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件可获利12元，则这种服装每件成本为_______________元． 14. 从七边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将七边形分成个三角形，则__________． 15. 如图，小明在纸上画了两条平行线，又画了一条直线与相交于，小明觉得直线一定和相交．小明作出这个判断的依据是教材上的一个基本事实．这个基本事实是___________． 16. 如图，直线相交于点，平分为平面上一点，且，若，则_________． 17. 如图，分别平分．若，则__________． 18. 如图，鸡蛋饼的表面可以看作是一个圆面，分割的每一刀都可以抽象为一条直线．切一刀将饼分成2块；切两刀可将饼分成3块，若两刀在饼内有1个交点（不含边界），最多可将饼分成4块；三刀在饼内最多有3个交点（不含边界），最多可将饼分成7块；那么切刀在饼内最多有个交点（不含边界），最多可将饼分成块，则，之间的数量关系是_________． 三、解答题（本大题共9小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 解方程： （1）； （2）． 22. 如图，所有小正方形的边长都为1个单位，、、、均在格点上． （1）过点画线段的垂线，垂足为； （2）点到线段的距离即线段_________的长； （3）在直线上找一点，使得的值最小． 23. 如图，直线上依次有三个点，，，，，是线段的中点． （1）当时，求的长； （2）在直线上有一点，()， _______（用含，的代数式表示）． 24. 如图，，，那么相等吗？为什么？ 解法1：．理由如下： 因为（已知）， 所以（①_________）． 同理②_________ 所以．（③_________）． （1）请你将解法1中的证明过程补充完整． （2）请你用另一种方法完成此题． 25. 已知点为直线外一点． （要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要文字说明．） （1）如图①，过点作与直线平行的直线． （2）如图②，已知，在直线上作点，使． 26. 某快递公司利用无人机提供同城快送服务，配送费用＝基础配送费＋路程附加费＋重量附加费，已知基础配送费为12元，其他收费标准如下表： 路程附加费 重量附加费 不超过的部分 超过的部分 不超过的部分 超过且不超过的部分 超过且不超过的部分 4元 5元 6元 2元 5元 例如：配送路程为，物品重量为时，配送费用 元． （1）当配送路程为，物品重量为时，配送费用为__________元； （2）小亮的妈妈通过这家同城快递寄了一件重量不超过的物品，路程，共支付配送费32元．这件物品的重量是多少千克？ 27. 阅读下列材料，完成探究任务： 【材料一】光的反射是生活中常见的现象，图1是光的反射示意图．（反射角等于入射角且法线与平面镜垂直，垂足为入射点） 【材料二】 我们把右侧后视镜及汽车车身抽象成数学模型，如图2，用线段表示右侧的后视镜，用长方形表示汽车的部分车身，司机在车内点处，，后视镜与形成的为，司机观察车右侧后视镜的视角的度数不大于，点为线段上的任意一点，且点为入射点． 【材料三】 当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车位的遮挡，会形成我们常说的汽车盲区．如图3，小汽车的车头、车尾盲区，以及两侧后视镜的可见区域．一辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，小汽车车尾盲区为正后方长为5米的长方形区域，在小汽车的正后方跟随着一辆匀速行驶的摩托车．若此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个1.2秒的反应时间．已知小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32米． 【问题解决】（提示：“三角形的内角和为”可直接使用．） （1）若，则图2中入射角_____； （2）图2中，我们把称为司机观察车右侧的“给力角”，当入射点与点重合时，“给力角”最大．请求出图2中“给力角”的最大值为_____． （3）已知在行驶过程中的某一时刻，测得小汽车与摩托车之间相距45米，如图4是根据题意画出的线段示意图； ①线段表示的实际意义是_____ ②如果此时小汽车司机刚好紧急刹车，为了保证摩托车不闯入小汽车的车尾盲区，则摩托车行驶的最大速度为：_____米/秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $