第10章 概率 章末归纳提升（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（人教A版）

数学·必修第二册 章末归纳提升 [网络构建] 列举法 有限样本空间 样本点和样本空间 列表法 与随机事件 随机事件 树状图法 事件的包含与相等 事件的关 事件的并（和） 事件的交（积） 系和运算 事件的互斥与对立 事件的混合运算 概 概率的定义一概率的意义 劑 有限性 古典概型的特征 应 古典概型 等可能性 古典概型的概率公式 P(A)=k(A) n(2) 古典概型的应用 性质1：对任意的事件A,都有P(A)≥0 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(2)=1,P()=0 概率的基 性质3：如果事件A与事件B互斥 推广：P(A1UA2U…UAm)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am) 本性质 那么P(AUB)=P(A)+P(B) 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1一P(A),P(A)=1一P(B) 性质5：如果ASB,那么P(A)≤P(B) 性质6：设A,B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(AUB)=P(A)十P(B)-P(A∩B) 事件的相互独立性：P(AB)=P(A)P(B) 推广：P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An) 频率的稳定性 用频率估计概率 频率与概率 随机模拟 区别与联系 [归纳提升] 题型一 事件样本空间 2.判断两个事件或多个事件之间的关系，需要根 1.求试验的样本空间主要是通过观察、分析、 据相关定义进行判断.若一个事件A的发生必 然导致事件B的发生，则有A二B,可以类比集 模拟试验，列举出各个样本点.对于样本点 合进行记忆. 个数的计算，要保证列举出的试验结果不重 [例]设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动 不漏.写样本空间时应注意两大问题：一是 员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的 抽取的方式是否为不放回抽取；二是试验结 方法从这三个协会中抽取6名运动员组队 果是否与顺序有关。 参加比赛 ·180· 第十章概率 (1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员 ⊙[变式训练] 的人数： 1.一只口袋装有除颜色外，形状、大小等完全 (2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分 相同的2个白球，3个黑球，4个红球，从中 别为A1,A2,A3,A4,AA。.现从这6名运 分两次依次取两个球 动员中随机抽取2人参加双打比赛. (1)写出这个试验的样本空间； (ⅰ)用所给编号列出所有可能的结果； (2)求这个试验的样本点个数： (ⅱ)设A为事件“编号为A,和A。的两名 (3)“至少有1个白球”这一事件包含哪几个 运动员中至少有1人被抽到”，写出该事件 样本点？ 的集合表示 ·181· 数学·必修第二册 题型二】 事件写概率 (3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽 (1)对随机事件进行大量的重复试验时，其发 取2人，求此2人的评分都在[40,50)的 生的频率稳定在某个常数上，这个常数反 概率. 映了随机事件发生的可能性的大小，用概 率描述.根据概率的统计定义，我们可以由 频率估计概率，因此应理解频率与概率的 关系.频率是概率的近似，是随机的，随着 试验的不同而改变，而概率是大量重复试 验中频率的稳定值，是一个常数，所以不可 以用一次或少数的试验中的频率来估计 概率. (2)概率是反映随机事件可能性大小的一个数 量，概率意义下的可能性是大量随机现象 的客观规律，与我们日常生活中所说的“可 能”“估计”是不同的，也就是说，单独一次 试验结果的不确定性与积累结果的有规律 性才是概率意义下的“可能性”，事件A的 概率是事件A的本质属性， [例2]某企业为了解下属某部门对本企业 职工的服务情况，随机访问50名职工，根据 这50名职工对该部门的评分，绘制频率分 布直方图（如图所示），其中样本数据分组区 间为：[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90， 100]. 频率 组距 0.028 0.022 ◇[变式训练] 0.018 2.我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经 0.004 停某站的高铁列车中，有10个车次的正点 405060708090100分数 率为0.97，有20个车次的正点率为0.98， (1)求频率分布直方图中a的值； 有10个车次的正点率为0.99，则经停该站 (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于 高铁列车所有车次的平均正点率的估计值 80的概率； 为 ·182· 第十章概率 题型三】 古典概型 ◇[变式训练] 等可能事件的概率问题是概率中最基础、最 3.一个问题，甲正确解答的概率为0.8，乙正 确解答的概率为0.7.记事件A:甲正确解 常见的问题，古典概型问题就是要判断样本 答，事件B:乙正确解答.假设事件A与B 空间中的样本点是否有限，且等可能，其中 相互独立. 样本点的总数就是古典概型的概率计算公 (1)求恰有一人正确解答问题的概率； 式中的分母，所讨论事件包含的样本点的个 (2)某同学解“求该问题被正确解答的概率” 数就是古典概型的概率计算公式中的分子， 的过程如下： 即所求概率是一个比值，而“树状图”“图表” 解：“该问题被正确解答”也就是“甲、乙二人 中至少有一人正确解答了问题”，所以随机 是求出这个比值的常用工具. 事件“问题被正确解答”可以表示为A十B. [例3]抛掷两枚均匀的骰子，求： 所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8+0.7 (1)点数之和为5的概率； =1.5. (2)出现两个4点的概率； 请你指出这位同学错误的原因，并给出正确 (3)点数之和不小于9的概率. 解答过程. ·183· 数学·必修第二册 题型四 事件的相互独立性 ⊙[变式训练] 互斥事件与相互独立事件都描述两个事件 4.某工厂生产一种汽车的元件，该元件是经过 间的关系，但互斥事件强调不可能同时发 a,b,c三道工序加工而成的，a,b,c三道工 生，相互独立事件则强调一个事件的发生与 序加工的元件合格率分别为2，号，是已知 否对另一个事件发生的概率没有影响；互斥 每道工序的加工都相互独立，三道工序加工 的两个事件可以独立，独立的两个事件也可 都合格的元件为一等品；恰有两道工序加工 以互斥.用表格表示如下： 合格的元件为二等品；其他的为废品，不进 相互独立事件 互斥事件 入市场. 个事件的发生与 两个事件不可 (1)生产一个元件，求该元件为二等品的 判断 否对另一个事件发 能同时发生，即 概率； 方法 生的概率没有影响 集合A∩B=必 (2)若从该工厂生产的这种元件中任意取出 三个元件进行检测，求至少有一个元件是一 若事件A与B 等品的概率. 若事件A与B相 互斥，则P(AU 概率 互独立，则P(AB) B)-P(A)+P 公式 =P(A)P(B) (B),反之不 成立 [例4幻 假定生男、生女是等可能的，一个家 庭中有若干个小孩，事件A表示“一个家庭 中既有男孩又有女孩”，事件B表示“一个 家庭中最多有一个男孩”.对下列两种情形， 判断事件A与事件B是否相互独立. (1)一个家庭中有2个小孩； (2)一个家庭中有3个小孩. ·184·变式训练 1.D[对于A,实验中，出现的某种事件的频率总在一个固定 的值的附近波动，并不是一个确定的值，一批产品次品率为 0.05,则从中任取200件，次品的件数在10件左右，而不一 定是10件，A错误；对于B,100次并不是无穷多次，只能说 明这100次试验出现正面朝上的频率为品故B错误；对 于C,根据定义，随机事件的频率只是概率的近似值，它并不 等于概率，C错误；对于D,频率估计概率，频率为出现的次 数与重复试验的次数的比值，抛掷骰子100次，得点数是6 的结果有20次，到出现6点的频率是品=0,2，D正确] 2.解：(1)由题意知，所有由1,2,3,4,5,6组成的“三位递增数 共有20个.分别是123,124,125,126,134,135,136,145， 146,156,234,235,236,245,246,256,345,346,356,456. (2)不公平，由(1)知，所有由1,2,3,4,5,6组成的“三位递增 数”有20个，记“甲参加数学竞赛”为事件A,记“乙参加数学 竞赛”为事件B.则事件A含有基本事件有：124,134,234， 126,136,146,156,236,246,256,346,356,456共13个.由古 典概型计算公式，得P(A)=事件A含有的基本事件的个数 试验所有基本事件的总数 品又A与B对立，所以P=1-PA=1一是-易 所以P(A)>P(B).故选取规则对甲、乙两名学生不公平， 3.解：利用设计模拟试验的方法来解决问题，利用计算机或计 算器可以产生0到9之间取整数值的随机数 用1,2,3,4表示投中，用5,6,7,8,9,0表示未投中，这样可 以体现投中的概率是40%.因为是投篮3次，所以将每3个 随机数字作为一组.例如，产生18组随机数： 812,932,569,683,271,989,730,537,925, 907,113,966,191,431,257,393,027,556. 这就相当于做了18次试验.在一组数中，如果恰有2个数字 在1,2,3,4中，那么表示恰有2次投中，它们分别是812， 932,271,191,393,共有5组数，所以我们得到了3次投篮中 格有2次投中的概阜近似为品≈28%。 4.解：(1)根据数据分组及频数分布表，100名学生中课外阅读 时间不少于12小时的学生共有6十2十2=10（名），所以样 、本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1一品= 0,9.故从该校随机选取1名学生，估计其课外阅读时间少于 12小时的概率为0.9. (2)课外阅读时间落在组[4,6)内的有17人，频率为0.17， 所以a=频车=017=0.085. 组距2 .25 参考答案 课外阅读时间落在组[8,10)内的有25人，频率为0.25，所 以b=频率=0.25=0.125. 组距一 2 (3)样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第 4组. 章末归纳提升 归纳提升[例1][解析](1)甲、乙、丙三个协会共有的运动 员人数为27十9十18=54，则应从甲协会抽取27× 6 =3(人)， 从乙协会抽取9X 6=1(人) 5=2(人. 从丙协会抽取18X 故从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2 (2)()从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有 可能结果为(A1,A2),（A1,A3),(A1,A1),(A1,A),(A1, A6),(A2,A),（A2,A1),（A2,A),(A2,A),(A,A1), (A3,A),(A3,A.),(A1,A),(A1,A.),(A,A),共15种」 （i)事件A可用集合表示为{(A1,A),(A1,A),(A2,A), (A2,A),(AA),(A,A),(A1,A),(A1,A),(AA). [例2][解析](1)因为(0.004十a十0.018十0.022×2十 0.028)×10=1,所以a=0.006 (2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80 的频率为(0.022十0.018)×10=0.4， 所以估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率为 0.4. (3)受访职工中评分在[50,60)的有50×0.006×10=3（人），记 为：A1,A2,A3: 受访职工中评分在「40,50)的有50×0.004×10=2（人），记 为B1,及B2 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有 10种，即(A1,A2),(A1,A),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A), (A2,B),(A2,B2),(A,B1),(A3,B2),(B1,B2). 因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即(B,, B),所以所求的概率为品 [例3][解]在抛掷两枚均匀的骰子的试验中，每枚骰子均 可出现1点、2，点…6点，共6种结果.两枚骰子出现的点 数可以用一对有序实数对(x,y)来表示，它与平面直角坐标 系内的一个点对应，则样本空间为 {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), 数学·必修第二册 (4,1),(4,2),(4,3).(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6, 3),(6,4),(6,5),(6,6)},共有36个样本点. (1)记“点数之和为5”为事件A,从图中可以看到事件A包 含的样本点共有4个，为(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1).所以 P(A)=36= 4 秀 最6789101112 子567891011 都4567⑧910 蝎3456189 234、5678 1 234567 须0123456 y 第一枚骰子抛掷后向上的点数x (2)记“出现两个4点”为事件B,则事件B包含的样本点只 有1个，为(4,4) 所以P(B)=36· 1 (3)记“，点数之和不小于9”为事件C,则从图中可以看到事件 C包含的样本点有10个，为(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(4， 6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6). 所以P(C)=0=点 36=18 [例4幻解：(1)若家庭中有2个小孩，样本空间为{（男，男）， (男，女)，（女，男），（女，女）}，共有4个样本点.由等可能性， 知每个样本点发生的概率都为子 此时A={(男，女)，（女，男）}，B={(男，女)，（女，男），（女， 女)，而AB=(男，女).（女，男）1则P(A)=是=号， P(B)=P(AB)= 1 显然P(AB)≠P(A)P(B),故在一个家庭中有2个小孩的前 提下，事件A与事件B不相互独立 (2)若家庭中有3个小孩，样本空间为{（男，男，男），（男，男， 女)，（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，女，男）， (女，男，女)，（女，女，女）}，共有8个样本点.由等可能性，知 每个样本点发生的概率都为8： 1 此时A={(男，男，女)，（男，女，男），（女，男，男），（男，女， 女)，（女，女，男），（女，男，女）}，B={(男，女，女)，（女，女， 男)，（女，男，女），（女，女，女）}，而AB={(男，女，女)，（女， 女，男).（女，男女）则PA=合=子，PB)=音= 3 P(AB)=8: ·25 显然P(AB)=P(A)P(B),故在一个家庭中有3个小孩的前 提下，事件A与事件B相互独立. 变式训练 1.解析：(1)这个试验的样本空间2={（白，白），（黑，黑），（红， 红)，（白，黑），（白，红），（黑，白），（红，白），（黑，红），（红，黑）}. (2)样本点个数是9. (3)“至少有1个白球”这一事件包含以下5个样本，点：（白， 白)，（白，黑），（白，红），（黑，白），（红，白） 2.解析：所有车次的平均正点率的估计值为 10×0.97+20×0.98+10X0.99=0.98. 10+20+10 答案：0.98. 3.解：(1)事件“恰有一人正确解答”可表示为AB十AB,因为 AB、AB互斥，A与B相互独立，所以P(AB十AB)=P(AB) 十P(AB)=P(A)P(B)十P(A)P(B)=0.2X0.7+0.8×0. 3=0.38. (2)该同学错误在于事件A、B不互斥，而用了互斥事件的概 率加法公式，正确的解答过程如下：“问题被解答”也就是 “甲、乙二人中至少有一人正确解答了问题”，可以表示为 AB十AB十AB,且AB、AB、AB两两互斥，A与B相互独立， 所以P(AB十AB+AB)=P(AB)十P(AB)十P(AB)= P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.2×0.7+0.8X 0.3十0.8×0.7=0.94.或者P(A+B)=1-P(AB)=1一 P(A)P(B)=1-(1-0.8)(1-0.7)=0.94」 4.解：(1)不妨设元件经a,b,c三道工序加工合格的事件分别 为A,B,C, 则PA)=,P(B)=号，P(C)=, 所以PA)=之，P(B)=合PC)= 1 设事件D为“生产一个元件，该元件为二等品”， 由已知A,B,C是相互独立事件， 根据事件的独立性、互斥事件的概率运算公式，得 P(D)=P(ABC-A BC-ABC)=P(ABC)-P(A BC)- P(ABC) 所以生产一个元件，该元件为二等品的概率为费 (2)生产一个元件，该元件为一等品的概率为力= 设事件E为“任意取出三个元件进行检测，至少有一个元件 是-等品”，尉P(E=子X是×子-器，戴P(E)=1-器 4 一哥所以至少有一个元件是一等品的版奉为器