第10章 概率 章末归纳提升（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（人教A版）

第十章概率 章未归纳提升 对应学生用书P180 [网络构建] 列举法 有限样本空间 样本点和样本空间 列表法 与随机事件 随机事件 树状图法 事件的包含与相等 事件的关 事件的并（和） 事件的交（积） 系和运算 事件的互斥与对立 事件的混合运算 概率的定义 概率的意义 率 有限性 古典概型的特征 应 古典概型 等可能性 用 古典概型的概率公式 P(A)(A) n(2) 古典概型的应用 性质1：对任意的事件A,都有P(A)≥0 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(2)=1,P(☑)=可 概率的基 性质3：如果事件A与事件B互斥， 推广：P(A1UA2U…UAm)=P(A1)十P(A2)+…+P(Am) 本性质 那么P(AUB)=P(A)+P(B) 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1一P(A),P(A)=1一P(B) 性质5：如果A三B,那么P(A)≤P(B) 性质6：设A,B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(AUB)=P(A)十P(B)一P(A∩B) 事件的相互独立性：P(AB)=P(A)P(B) 推广：P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An) 频率的稳定性 用频率估计概率 频率与概率 随机模拟 区别与联系 [归纳提升] 题型一 事件样本空间 [例1门设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数 分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个 1.求试验的样本空间主要是通过观察、分析、模拟试 协会中抽取6名运动员组队参加比赛。 验，列举出各个样本点.对于样本点个数的计算，要 (1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的 保证列举出的试验结果不重不漏.写样本空间时应 人数； 注意两大问题：一是抽取的方式是否为不放回抽 (2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为 取；二是试验结果是否与顺序有关 A1,A2,A3,A4,A,A.现从这6名运动员中随机 2.判断两个事件或多个事件之间的关系，需要根据相 抽取2人参加双打比赛. 关定义进行判断.若一个事件A的发生必然导致 (1)用所给编号列出所有可能的结果； 事件B的发生，则有A二B,可以类比集合进行 (ⅱ)设A为事件“编号为A和A的两名运动员 记忆. 中至少有1人被抽到”，写出该事件的集合表示. ·251· 数学·必修第二册 [解析](1)甲、乙、丙三个协会共有的运动员人数 的，也就是说，单独一次试验结果的不确定性与积 为27+9十18=54，则应从甲协会抽取27× 6 累结果的有规律性才是概率意义下的“可能性”， 54 事件A的概率是事件A的本质属性： =3(人)， [例2]某企业为了解下属某部门对本企业职工的 .6 从乙协会抽取9×是4=1（人）， 服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工 从丙协会袖取18×号-2（人） 对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所 示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)， 故从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别 …,[80,90),[90,100]. 为3,1,2. 频率4 (2)(1)从6名运动员中随机抽取2人参加双打比 组距 0.028 赛的所有可能结果为(A1,A2),(A1,A3),(A1, 0.022 A4),(A1,A),(A1,A),(A2,A3),(A2,A4),(A2 0.018 A),(A2,A6),(A3,A4),(A3,A),(A3,A6),(A4 A),（A4,A6),(A,A6),共15种. 0.004 (i)事件A可用集合表示为{(A1,A),(A1,A), 405060708090100分数 (A2,A),(A2,A。),(A3,A),(A3A6),(A4,A), (1)求频率分布直方图中a的值： (A4,A),(A,A。)}. (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的 ◇[变式训练] 概率； 1.一只口袋装有除颜色外，形状、大小等完全相同的 (3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2 2个白球，3个黑球，4个红球，从中分两次依次取 人，求此2人的评分都在[40,50)的概率. 两个球 [解析](1)因为(0.004+a+0.018+0.022×2+ (1)写出这个试验的样本空间； 0.028)×10=1,所以a=0.006. (2)求这个试验的样本点个数； (2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分 (3)“至少有1个白球”这一事件包含哪几个样 不低于80的频率为(0.022+0.018)×10=0.4， 本点？ 所以估计该企业的职工对该部门评分不低于80的 解析：(1)这个试验的样本空间2={（白，白），（黑， 概率为0.4. 黑)，（红，红），（白，黑），（白，红)，（黑，白)，（红， (3)受访职工中评分在[50,60)的有50×0.006×10= 白)，（黑，红），（红，黑）} 3(人)，记为：A1,A2,A3 (2)样本点个数是9. 受访职工中评分在[40,50)的有50×0.004×10= (3)“至少有1个白球”这一事件包含以下5个样本 2(人)，记为B1,及B2 点：（白，白），（白，黑），（白，红），（黑，白），（红，白） 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结 题型二 事件与概率 果共有10种，即（A1,A2),(A1,A3),(A1,B1), (1)对随机事件进行大量的重复试验时，其发生的频 (A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1), 率稳定在某个常数上，这个常数反映了随机事件 (A3,B2),(B1,B2). 发生的可能性的大小，用概率描述.根据概率的统 因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1 计定义，我们可以由频率估计概率，因此应理解频 率与概率的关系.频率是概率的近似，是随机的， 种，即(B,B),所以所求的概率为0 随着试验的不同而改变，而概率是大量重复试验 ◇[变式训练] 中频率的稳定值，是一个常数，所以不可以用一次 2.我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站 或少数的试验中的频率来估计概率. 的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有 (2)概率是反映随机事件可能性大小的一个数量，概 20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率 率意义下的可能性是大量随机现象的客观规律， 为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正 与我们日常生活中所说的“可能”“估计”是不同 点率的估计值为 ·252· 第十章概率 解析：所有车次的平均正点率的估计值为 (3)记“点数之和不小于9”为事件C,则从图中可以 10×0.97+20×0.98+10×0.99 看到事件C包含的样本点有10个，为(3,6)，(6， 10+20+10 =0.98. 3),(4,5),(5,4),(4,6),(6,4),(5,5),(5,6)(6, 答案：0.98. 5),(6,6) 题型 古典概型 等可能事件的概率问题是概率中最基础、最常见的 所以P(C)= 105 36-18 问题，古典概型问题就是要判断样本空间中的样本 ◇[变式训练] 点是否有限，且等可能，其中样本点的总数就是古 3.一个问题，甲正确解答的概率为0.8，乙正确解答 典概型的概率计算公式中的分母，所讨论事件包含 的概率为0.7.记事件A:甲正确解答，事件B:乙正 的样本点的个数就是古典概型的概率计算公式中 确解答.假设事件A与B相互独立. 的分子，即所求概率是一个比值，而“树状图”“图 (1)求恰有一人正确解答问题的概率； 表”是求出这个比值的常用工具。 [例3]抛掷两枚均匀的骰子，求： (2)某同学解“求该问题被正确解答的概率”的过程 (1)点数之和为5的概率； 如下： (2)出现两个4点的概率； 解：“该问题被正确解答”也就是“甲、乙二人 (3)点数之和不小于9的概率。 中至少有一人正确解答了问题”，所以随机 [解]在抛掷两枚均匀的骰子的试验中，每枚骰子 事件“问题被正确解答”可以表示为A十B. 均可出现1点、2点…6点，共6种结果.两枚骰 所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8+0.7 子出现的点数可以用一对有序实数对(x,y)来表 =1.5. 示，它与平面直角坐标系内的一个点对应，则样本 请你指出这位同学错误的原因，并给出正确解答 空间为 {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), 过程。 (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), 解：(1)事件“恰有一人正确解答”可表示为AB十 (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), AB,因为AB、AB互斥，A与B相互独立，所以P (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (AB+AB)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1), (A)P(B)=0.2×0.7+0.8×0.3=0.38. (6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共有36个样 (2)该同学错误在于事件A、B不互斥，而用了互斥 本点 事件的概率加法公式.正确的解答过程如下：“问题 (1)记“点数之和为5”为事件A,从图中可以看到事 被解答”也就是“甲、乙二人中至少有一人正确解答 件A包含的样本点共有4个，为(1,4)，(2,3)，(3， 了问题”，可以表示为AB十AB+AB,且AB、AB、 2.4,1.所以PA)-斋子 AB两两互斥，A与B相互独立，所以P(AB十AB 第 +AB)=P(AB)+P(AB)+P(AB)=P(A)P(B) 6789101112 +P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.2×0.7+0.8×0. 字567891011 掷4567⑧910 3+0.8×0.7=0.94.或者P(A+B)=1-P(AB) 3 456789 =1-P(A)P(B)=1-(1-0.8)(1-0.7)=0.94. 2 345678 23④567 题型四 事件的相互独立性 数01234了6号 互斥事件与相互独立事件都描述两个事件间的关 第一枚骰子抛掷后向上的点数x 系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事 (2)记“出现两个4点”为事件B,则事件B包含的 件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生 样本点只有1个，为(4,4). 的概率没有影响；互斥的两个事件可以独立，独立 所以P(B)= 1 36 的两个事件也可以互斥.用表格表示如下： ·253· 数学·必修第二册 相互独立事件 互斥事件 PA)=g-,P(B=音-名PAB)= 个事件的发生与 两个事件不可能同时 判断 显然P(AB)=P(A)P(B),故在一个家庭中有3 否对另一个事件发 发生，即集合A∩B 方法 个小孩的前提下，事件A与事件B相互独立. 生的概率没有影响 =必 ⊙[变式训练] 若事件A与B相 若事件A与B互斥， 4.某工厂生产一种汽车的元件，该元件是经过a,b,c 概率 互独立，则P(AB) 则P(AUB)=P(A) 三道工序加工而成的，a,b,c三道工序加工的元件 公式 =P(A)P(B) +P(B),反之不成立 合格率分别为2，号，兰已知每道工序的加工都相 [例4]假定生男、生女是等可能的，一个家庭中有 互独立，三道工序加工都合格的元件为一等品；恰 若干个小孩，事件A表示“一个家庭中既有男孩又 有两道工序加工合格的元件为二等品；其他的为废 有女孩”，事件B表示“一个家庭中最多有一个男 品，不进人市场。 孩”.对下列两种情形，判断事件A与事件B是否 (1)生产一个元件，求该元件为二等品的概率； (2)若从该工厂生产的这种元件中任意取出三个元 相互独立. 件进行检测，求至少有一个元件是一等品的概率. (1)一个家庭中有2个小孩： 解：(1)不妨设元件经a,b,c三道工序加工合格的 (2)一个家庭中有3个小孩 事件分别为A,B,C, 解：(1)若家庭中有2个小孩，样本空间为{（男， 男)，（男，女），（女，男），（女，女）}，共有4个样本 则P(A)=P(B)=子，P(C)=, 点由等可能性，知每个样本点发生的概率都为子 所以P(A)=2,P(B)=},P(C)=4 此时A={(男，女)，（女，男）}，B={(男，女)，（女， 设事件D为“生产一个元件，该元件为二等品” 男)，（女，女）}，而AB={(男，女)，（女，男）}，则 由已知A,B,C是相互独立事件. 根据事件的独立性、互斥事件的概率运算公式，得 PA)-子-，P(B=,PAB)- P(D)=P(ABC+A BC+AB C)=P(ABC)+ 显然P(AB)≠P(A)P(B),故在一个家庭中有2 P(A BC)+P(ABC) 个小孩的前提下，事件A与事件B不相互独立. ×号×+××+×号× (2)若家庭中有3个小孩，样本空间为{（男，男， 男)，（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男， 所以生产一个元件，该元件为二等品的概率为 女，女)，（女，女，男），（女，男，女），（女，女，女）}，共 (2)生产一个元件，该元件为一等品的概率为p= 有8个样本点.由等可能性，知每个样本点发生的 概率都为日 设事件E为“任意取出三个元件进行检测，至少有 此时A={(男，男，女)，（男，女，男），（女，男，男）， -个元件美一等品”别PE=×子×登-器 (男，女，女)，（女，女，男），（女，男，女）}，B={(男， 女，女)，（女，女，男），（女，男，女），（女，女，女）}，而 故PB)=1一器-品所以至少有一个元件是一 AB={(男，女，女)，（女，女，男），（女，男，女）}，则 等品的概率为 641 ·254·