第6章 平面向量及其应用 章末归纳提升（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（人教A版）

数学·必修第二册 从而有MB=MCBC=15(千米). 因此，汽车还需行驶15千米才能到达M汽车站. 课堂互动学案 [例1][解](1)在△ABD中，∠ADB=60°，B=45°，由正 ABsin B 126x2 2 弦定理得AD= sin∠ADB -=24. 3 2 (2)在△ADC中，由余弦定理得 CD2=AD2+AC-2AD·ACcos30°， 解得CD=8√5.即C处与D处的距离为8√5 n mile. [例2】[解析]由cos∠AOB'-器则cos∠A0B 23 32 又OA=OB=12,则AB=OA+OB-2XOA×OB×23= 32 28-2X12X12×2-81,中AB=9, 又物拒：像距=6：1，则AB=日×AB=号，即像高 为 [答案]3 2 [例3][解]如图，连接A1B,由已知 北 120 A,B=10E,AA:=30厄x810厄. 、1059 A1A2=A2B2. B 又∠A1A2B2=180°-120°=60°， .△A1AB2是等边三角形， A1B2=A1A2=10V2. 由已知，A1B1=20, 在△A1B2B1中，∠B1A1B2=105°-60°=45. 由余弦定理得 B1B=A1B十A1B号-2A1B1·A1B2·cos45 =202+10V2)2-2X20×102×5=200. 2 ∴.B1B,=10√2 因北，乙船的速度为10E×60=302(海里/时). 20 变式训练 1.解：设红方侦察艇经过工小时后在 B C处追上蓝方的小艇，结合题意： 750 北 易得∠ABC=120°，AC=14x,BC 45 =10x,BC=12,在△ABC中，利用A 余弦定理：(14x)2=12十(10x)2-2×12×10xcos120°，解 ·2( 得2=2成x=一是（合去 ,红方侦察艇拦截住蓝方小艇最少需要2小时， 2.解：根据图示，AC=100√2m 在△MAC中，∠CMA=180°-75°-60°=45°. 由正孩定理得AA>AM=10vm sin 45 sin 60 在Rt△AMN中，M 'AM =sin60°， .MN=1005x5=150(m. 3.解：(1)依题意知，∠BAC=120°，AB=12,AC=10×2=20, ∠BCA=a. 在△ABC中，由余弦定理，得BC=AB+AC-2AB·AC ·c0s∠BAC=122+202-2X12×20Xcos120°=784. 解得BC=28, 所以渔船甲的速度为BC=14(海里/时). 2 (2)在△ABC中，因为AB=12,∠BAC=120°，BC=28, ∠BCA=a,由正弦定理，得AB= BC sin a sin 1205, 即sina=ABsin120°12X5 BC 28 14 章末归纳提升 归纳提升[例1]C[因为CD=4DB=rAB+sAC, 所以CD=4C第=(A店-AC)=rAB+sAC, 所以r=告=-青，所以3r中=号-号=号. [例2][解](1)，(2a-3b)·(2a十b)=61, ∴.4a2-4a·b-3b2=61. a=4,b=3,.a·b=-6, ∴.a+b=√a2+a2+2a·b =√4+32+2×(-6)=√/13. (2)a·(a+b)=a2+a·b=42-6=10, 向量a在向量a十b上的投影向量的长度为a:(a+b) a+b 10=10√13 √/1313 [例3]A[由题意，得∠AOC=90°，故以O 为坐标原点，OC,OA所在直线分别为x 轴，y轴建立平面直角坐标系， 0 则O(0,0),A(0,√3)，C(√3,0)， B(√3cos30°，-√3sin30°)， 2 因为0心元=入OA+0, 所以5,0)=0)+x号.-5×， -uX3x 2 3 即 则 [例4幻解析：若c=√3b,因为sinA=√3sinB,结合正弦定理 sinA-sinB,知a=36=c, b 所以A=C=吾，B=号， 所以sinA= 血B-9与血A=5inB 1 所以此时不存在这样的△ABC 答案：选择③，不存在 解析：因为sinA=sinB,结合正孩定理in4_sinB,知a b =√3b, 由余弦定理知c2=a2十b2-2 abcos C=b,即c=b, 若csin A=3,由正孩定理i血A=i血C知a=6, a 所以c=b=2√3」 答案：选择②，c=2√ 解析：因为sinA=5sinB,结合正弦定理sinA_sinB,知 a=√3b, 由余弦定理知c2=a2十b2-2 abcos C=,即c=b, 若ac=√3，则c=1. 答案：选择①，c=1 [例5][解]由题意知AB=5(3十√3)n mile, ∠DBA=90°-60°=30°，∠DAB=90°-45°=45°， ∴.∠ADB=180°-(45°+30°)=105°， 在△ADB中，由正弦定理得in∠DABsin ZAD丽' DB AB .DB=AB·sin∠DAB_5(3+V3)·sin45 sin∠ADB sin 105 5(3+√3)·sin45 sin45cos60°+cos45°·sin60 53+1)-10 3(n mile), W3+1 2 又∠DBC=∠DBA十∠ABC=30°+(90°-60°)=60°， BC=20√5(n mile)), 在△DBC中，由余弦定理得 ·20 参考答案 CD=BD+BC2-2BD·BC·cos∠DBC =300+1200-2X10、5×205×2=90, CD=30(amie).剩需要的时间1-器=1h。 [答]救援船到达D点需要lh. 变式训练 1.B[因为AC=λAM+uBD, =A(AB+BMD)+(BA+AD) =A(A店+号A方+(-A店+AD) =(A)A店+（空十）Ai, -=1, [λ3 且AC=AB+AD,所以 1 得 (2十=1, A= 31 所以A十=号] 2.B BC=AC-AB,AF=AD+DF =合A成+2成=号A成+是A花， B元.A=(AC-A)(2A店+AC) =￥AC-2AB-子AC.A店 =×1X1-×1X1-×1x1Xc0s60=g.] 3.A[如图，以A为坐标原，点建立平面直角坐标系， 则A(0,0),B(2,0),C(3,3),D(2,2√3)，E(0,2√5)， F(-1,W3),设P(x,y),则-1<x<3,由AP=(x,y),AB (2,0),所以AP·AB=2x∈(-2,6).] 4.解：(1)由正弦定理和已知条件得BC-AC-AB=AC· AB. ① 由余弦定理得BC=AC+AB-2AC·ABcos A. ② 由①，②得c0sA=一合，因为0A<x,所以A=要 （②)由正法充理及得二品品-26 从而AC=2√3sinB, 03 数学·必修第二册 AB=2√3sin(π-A-B)=3cosB-√3sinB, 故BC+AC+AB=3+√3sinB+3cosB =3+25sin(B+号） 又0<B<号，所以当B=否时，△ABC周长取得最大值3 3 十2√3. 5.D[由题意可知，在Rt△ABM中， AB=15√5-15，∠AMB=15°，则sin ∠AMB=A8=sn15=sn(45 2 2 2 4 所以AM=155-15=30E. 6-√2 4 在△ACM中，∠MAC=30°+15°=45°，∠AMC=180°-60° -15°=105°，则∠ACM=180°-45°-105°=30°， AM CM 由正弦定理得sin ZACM=sin∠MAC,所以CM= 302X 2 -=60,在Rt△MCD中，∠CMD=60°， 利m∠CMD品-9所以CD-×0=0后，所以 小明估算索菲亚教堂的高度为30√3m.] 第七章复数 7.1复数的概念 7.1.1数系的扩充和复数的概念 课前预习学案 情境引入 提示若m,n为实数可以比较大小，若m,n是虚数则无法 比较大小 知识梳理 一、(1)全体复数(2)x 二，a=c且b=d 三b=0b≠0a=0且b≠0 [思考] 提示两个复数，如果不全是实数，只有相等与不相等的关 系，而不能比较它们的大小 预习自测 1.C[-2i的实部为0，虚部为-2.] 2.D[由复数虚部定义可知，1-i的虚部为一1.故选D.] ·20 3.B[对于A,当a=0,b≠0，b∈R时，复数a十bi是纯虚数， 命题错误； 对于B,当x=1时，复数之=2i是纯虚数，命题正确； 对于C,(x2-4)十(x2十3x+2)i是纯虚数，则 j2-4=0, 即x=2,命题错误； (x2+3.x+2≠0， 对于D,复数x=a十bi,a,b未注明为实数，错误.] 4,解析：由a-2i=bi十1，所以a=1,b=-2,所以a2十b2=5. 答案：5 5.解析：根据复数相等的充要条件有 +y-2=0,,1x=3, (x-y-4=0,（y=-1. 答案：3-1 课堂互动学案 [例1][解]①的实部为2，虚部为3，是虚数：②的实部为 一3，虚部为2，是虚数：圆的实部为区，虚部为1，是虚教； ④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为 一√5，是纯虚数：⑥的实部为0，虚部为0，是实数. 1m2+m-6=0, [例2][解](1)由 得m=2. （m十3≠0， 所以当m=2时，之是实数. m十m-6≠0， （m≠2且m≠-3， (2)由3 即m≠2且m≠ m十3≠0， （m≠-3， -3. 所以当m≠2且m≠一3时，之是虚数. 〔m2十-6≠0， 〔m≠2且m≠-3， (3)由{m十3≠0， 得{m≠-3， 即m=3或m m2-7m+12=0, m=3或m=4, =4. 所以当m=3或m=4时，之是纯虚数， [例3][解]（)由复数相等的充要条件，得+y=0, 解 (y=x十1， x=-2 得 y=2 (2)因为a,m∈R,所以由a2十am十2十(2a十m)i=0,可得 (a 十am十2=0 解得a2, 2a十m=0, (m=-2√2(m=22, 所以a=士√2.数学·必修第二册 章末归纳提升 [网络构建] 向量的模 Ia1或1A店 相关概念 向量的方向 零向量一可 特殊向量 单位向量 字母表示 a或AB 基本概念 表示方法 几何表示一有向线段 坐标表示一a=(z,) 相等向量一a=b,大小相等，方向相同 向量的特殊关系 共线向量一a∥b 定义 三角形法则、平行四边形法则 向量的加减法 运算律 |a士b|的范围 运算律 a模和方向 线性运算 数乘 向量共线定理 平面向量基本定理 加、减法 a士b=(x1士x2'y1士y2) 运算的坐标表示 数乘-a=(x1y) 平面向量及其应用 向量共线-马必一2y=0 向量夹角的概念 数量积的概念 a·b=|a11b1cos0,8是a与b的夹角 数量积 几何意义 a·b=x1x2十yy2 运算律 求模|a|=√好+ 运算的坐标表示 求夹角cos0 1T2+yy2 0是a与b的夹角 WJ(x2+y)(x号+y2) 向量垂直：a·b=12十2=0 平面几何中的应用 向量应用 解析几何中的应用 Cos A= b2+c2-a2 26 物理中的应用 cos B=a+c 2ac a2=b2+c2-26 cos A cos C= a2+b2-c2 2ab 边角互化 定理 b2 a2+c2-2accos B 变形 c2 a2+62-2abcos C a2=c2-62+2ab cos C 余弦定理 b2 =a2-c2+26cos A 已知两边及其夹角，求其他元素 c2 b2-a2 +2accos B 应用 已知三边，求其他元素 已知两边和其中一边的对角，求其他元素 =2R sin A bsin A sin B 边角 定理 C sin A= sin B sin C →变形 互化 a a+b+c sin A-sin B sin C sin A+sin B+sin C 正弦定理 已知两角及任一边，求其他元素 应用 已知两边和其中一边的对角，求其他元素 测量高度问题 余弦定理、正弦定理应用举例 测量距离问题 测量角度问题 ·48· 第六章平面向量及其应用 [归纳提升] 题型一“平面向量的线性运算及应用 (2)求向量的夹角和模的问题 向量线性运算的基本原则和求解策略 ①设a=(x1y1),则a=√x十y. (1)基本原则 ②两向量夹角的余弦值(0≤≤π) 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量 a·b cos 0-Tallbl x1x2十y1y2 的线性运算，向量的线性运算的结果仍是 √+y/+ 一个向量，因此，对它们的运算法则、运算 [例2已知a=4.|b|=3,(2a一3b)·(2a 律的理解和运用要注意向量的大小和方向 +b)=61. 两个方面， (1)求|a+b; (2)求解策略 (2)求向量a在向量a+b方向上的投影向 ①向量是一个有“形”的几何量，因此在进 量的长度. 行向量线性运算时，一定要结合图形，这是 研究平面向量的重要方法与技巧. ②线性运算的常用技巧： 首尾相接用加法的三角形法则，如AB十 BC=AC;共起点两个向量作差用减法的 几何意义，如OB-OA=AB [例1]若D点在三角形 ABC的边BC上，且CD=4 DB=rAB+sAC,则3r+S 的值为 ( A. B号 c D.5 @[变式训练] 1.如图所示，正方形ABCD 中，M是BC的中点，若AC =入AM十4BD,则入十2 等于 A B号 c号 D.2 ◇[变式训练] 题型】 向量的数量积 2.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点 数量积运算是向量运算的核心，利用向量数 D,E分别是边AB,BC的中点，连接DE并 量积可以解决以下问题： 延长到点F,使得DE=2EF,则AF·BC的 (1)设a=(x1,y1),b=(x2y2), 值为 () a∥b台x1y2-x2y1=0, a⊥b台x1x2+y1y2=0. cn.号 ·49· 数学·必修第二册 题型平面向量在九何中的应用 ⊙[变式训练] 把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了 4.△ABC中，sinA-sin2B-sinC=sin Bsin C. 有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相 (1)求A; 应的代数运算和向量运算，从而解决问题. (2)若BC=3,求△ABC周长的最大值. 这样的解题方法具有普遍性 [例3]如图，半径为√的扇 形，AOB的圆心角为120°， 点C在AB上，且∠COB= 30°，若OC=λOA十4OB,则入+4等于( ) A.3 B号 c D.25 ⊙[变式训练] 3.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP·AB的取值范围是() A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6)》 题型四利用余弦、正弦定理解角形 1.已知三角形的任意两个角和一边，可结合三 角形内角和定理及正弦定理解此三角形. 2.已知三角形的两边和其中一边的对角，这个 三角形解的情况是不确定的.如已知△ABC 的边长a,b和角A,根据正弦定理求角B 时，可能出现一解、两解、无解的情况，这时 应借助已知条件进行检验，务必做到不漏 解，不多解 [例4]在①ac=√3，②c sin A=3,③c=√3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题 中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问 题中的三角形不存在，说明理由。 问题：是否存在△ABC,它的内角A,B,C的 对边分别为a,b,c,且sinA=√3sinB,C= 6 ? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个 解答计分. ·50· 第六章平面向量及其应用 题型五余弦、正弦定理在实际问题中的应用】 ⊙[变式训练] 正、余弦定理在实际生活中，有着非常广泛 5.圣·索菲亚教堂（英语：SAINTSOPHIA 的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以 CATHEDRAL)坐落于中国黑龙江省，是 及平面图形的面积等很多方面.解决这类问 座始建于1907年拜占庭风格的东正教教 题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽 堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批 象为三角形的模型，然后利用定理求解.注 全国重点文物保护单位.其中央主体建筑集 意隐含条件和最后将结果还原为实际问题 球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以 进行检验 让游客从任何角度都能领略它的美，小明同 [例5]如图，A,B是 学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教 海面上位于东西方 北445 604北 堂的正东方向找到一座建筑物AB,高为 A风 B 向相距5(3+√3)n 600 (15√3一15)m,在它们之间的地面上的点 mile的两个观测点. M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A及教 现位于A点北偏东 堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出 处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索 求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相 菲亚教堂的高度为 距20√3 n mile的C点的救援船立即前往营 救，其航行速度为30 n mile/h,该救援船到 30° 达D点需要多长时间？ 15o A.20m B.30m C.20√3m D.303m ·51