第6章 平面向量及其应用 章末归纳提升（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（人教A版）

数学·必修第二册 章未归纳提升 对应学生用书P48 [网络构建] 向量的模一la|或1A店 相关概念 向量的方向 零向量一可 特殊向量 单位向量 字母表示 a或AB 基本概念 表示方法 几何表示 有向线段 坐标表示一a=(x,y) 相等向量一a=b,大小相等，方向相同 向量的特殊关系 共线向量-a∥b 定义 三角形法则、平行四边形法则 向量的加减法 运算律 |a士b|的范围 运算律 a模和方向 线性运算 数乘 向量共线定理 平面向量基本定理 加、减法一a士b=(x1士x2,y,士y2) 运算的坐标表示 数乘-a=(x1A) 平面向量及其应用 向量共线一 1y2-x2y=0 向量夹角的概念 数量积的概念 a·b=a||b|cos9,0是a与b的夹角 数量积 几何意义 a·b=x2+yy2 运算律 求模a|=√十 运算的坐标表示 求夹角cos0= x1x2十y1y2 ,0是a与b的夹角 √(+y)(a十吃) 向量垂直：a·b=1x2十yy2=0 平面几何中的应用 Cos A= b2+c2-a2 向量应用 解析几何中的应用 物理中的应用 cos B a2+c2b2 2ac a2=6+c2-2 cos A cos C- a2+b2-c2 2ah 边角互化 定理 62 =a2+c2-2ac cos B 变形 e2= a2+62-2abcos C a2 =c2-62+2ab cos C 余弦定理 62=a2-c2+26 cos A 已知两边及其夹角，求其他元素 c2=62-a2+2accos B 应用 已知三边，求其他元素 已知两边和其中一边的对角，求其他元素 2R sin A= bsin A 边角 定理 a b c sin B sin A sin B sin C 变形 互化 a+b+c sin A sin B-sin C sin A+sin B+sin C 正弦定理 已知两角及任一边，求其他元素 应用 已知两边和其中一边的对角，求其他元素 测量高度问题 余弦定理、正弦定理应用举例 测量距离问题 测量角度问题 ·70· 第六章平面向量及其应用 [归纳提升] 题型 平面向量的线性运算及应用 题型 向量的数量积 向量线性运算的基本原则和求解策略 数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可 (1)基本原则 以解决以下问题： 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性 (1)设a=(x1,y1),b=(x2y2), 运算，向量的线性运算的结果仍是一个向量，因 a∥b台x1y2-x2y=0, 此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注 a⊥b台x1x2+y1y2=0. 意向量的大小和方向两个方面： (2)求向量的夹角和模的问题 (2)求解策略 ①设a=(x1y),则a=√a十y ①向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量 ②两向量夹角的余弦值(0≤≤π) 线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量 a·b 21x2十y1y2 的重要方法与技巧. c0s9= ab√+√+ ②线性运算的常用技巧： [例2]已知a=4.b=3,(2a-3b)·(2a+b) 首尾相接用加法的三角形法则，如AB+BC-AC: =61. 共起点两个向量作差用减法的几何意义，如OB (1)求a+b: (2)求向量a在向量a十b方向上的投影向量的 OA=AB. 长度 [例1]若D点在三角形ABC的 [解](1).(2a-3b)·(2a+b)=61, 边BC上，且CD=4DB=rAB .4a2-4a·b-3b12=61. +sAC,则3r+s的值为( a=4,b=3,.a·b=-6 A.9 B号 ∴.|a+bl=√Ta2+a+2a·b =√/42+32+2×(-6)=√13. C. D青 (2),a·(a+b)=a2+a·b=4-6=10, 解析：C[因为CD=4DB=rAB+sAC, .向量a在向量a十b上的投影向量的长度为 所以Ci=C成=专(A店-AC)=rA店+AC, a·(a+b)_10_10√13 a+b√13 13 ◇[变式训练] 所以r= 2.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D,E分 ◇[变式训练] 别是边AB,BC的中点，连接DE并延长到点F,使 1.如图所示，正方形ABCD中，M D 得DE=2EF,则AF·BC的值为 ( 是BC的中点，若AC=入AM+ A.- R吉 c BD,则入十：等于 解析：B[:BC-AC-AB,AF=A+D示 A c号 =3A店+2D元-号A店+是C, D.2 ÷BC.A京=(AC-AB)(2A+AC 解析：B[因为AC=入AM+BD =A(AB+BM+(BA+AD) =是AC-AE-aC.A店 =A(A店+2AD+(-A店+AD) ×1X1-号×1X1-是×1X1X0s60 = =(a-A店+（含+Ai, 入-=1, =4 题型平面向量在几何中的应用 且A元=AB+AD,所以 。得 1 把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点 u=3 与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算 和向量运算，从而解决问题.这样的解题方法具有 所以入十H= 普遍性. ·71· 数学·必修第二册 [例3]如图，半径为√3的扇形， [例4]在①ac=√3，②c sin A=3,③c=√3b这三个 AOB的圆心角为120°，点C在 条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的 AB上，且∠C0B=30°，若O元= 三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在， λOA十OB,则入十4等于 说明理由 问题：是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分 A.√3 号 c D.2√3 别为a,b,c,且sinA=5simB,C=晋， 解析：A[由题意，得∠AOC= 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答 90°，故以O为坐标原，点，OC,OA 计分 所在直线分别为x轴，y轴建立 平面直角坐标系， 解析：若c=√3b,因为sinA=√3sinB,结合正弦定 则O(0,0),A(0,W3),C(W3,0), 理sinA-sinB,知a=5b=c, a B(W3cos30°，-√5sin30), 因为O元=入OA+uOB, 所以A=C-吾，B-餐， 所以5.0)=A0+5×9.-x. 所以如A=子如B要与加A=n区 所以此时不存在这样的△ABC. 5=x5x 2√ 2 3 答案：选择③，不存在 即 l0=a-x2, 入= ,所以X+=5. 解析：因为sinA=√3sinB,结合正弦定理sinA a 3 ◇[变式训练] sinB,知a=3b, b 3.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一 由余弦定理知c2=a2+b-2 abcos C=b,即c=b, 点，则AP·AB的取值范围是 若csin A=3,由正弦定理sinA=sinC知a=6, A.(-2,6) B.(-6,2) C C.(-2,4) D.(-4,6) 所以c=b=2√3 解析：A[如图，以A为坐标原点建立平面直角坐 答案：选择②，c=2√3 标系， 解析：因为sinA=尽sinB,结合正弦定理sinA a 0,知a=b, 由余弦定理知c2=a2+b-2 abcos C=b2,即c=b, 若ac=√3，则c=1. 答案：选择①，c=1. ◇[变式训练] 4.△ABC中，sinA-sin2B-sin2C=sin Bsin C. 则A(0,0),B(2,0),C(3W3),D(2,2√3)，E(0,2√3)， (1)求A: F(-1W3),设P(x,y),则-1<x<3,由AP=(x,y), (2)若BC=3,求△ABC周长的最大值 AB=(2,0),所以AP·AB=2x∈(-2,6).] 解：(1)由正弦定理和已知条件得BC一AC一AB 题型四利用余弦、正弦定理解三角形 =AC·AB. ① 由余弦定理得BC=AC+AB-2AC·ABcos A.② 1.已知三角形的任意两个角和一边，可结合三角形内 角和定理及正弦定理解此三角形， 由①，②得cosA=- 2,因为0<A<,所以A 2.已知三角形的两边和其中一边的对角，这个三角形 解的情况是不确定的.如已知△ABC的边长a,b 3 和角A,根据正弦定理求角B时，可能出现一解、两 解、无解的情况，这时应借助已知条件进行检验，务 (2)由正弦定理及(I)得AC=AB=BC sin B sin C-sin A23, 必做到不漏解，不多解. 从而AC=2√3sinB, ·72· 第六章平面向量及其应用 AB=2√3sin(x-A-B)=3cosB-√3sinB, ◇[变式训练] 故BC+AC+AB=3+√3sinB+3cosB 5.圣·索菲亚教堂（英语：SAINTSOPHIA CATHE =3+25sin(B+) DRAL)坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907 年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建 又0<B<行，所以当B=吾时，△ABC周长取得最 筑，被列为第四批全国重点文物保护单位.其中央 大值3+2√5. 主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美， 题型五余弦、正弦定理在实际问题中的应用 可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学 正、余弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用， 为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东 常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的 面积等很多方面.解决这类问题，关键是根据题意 方向找到一座建筑物AB,高为(15√5-15)m,在 画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利 它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处 用定理求解.注意隐含条件和最后将结果还原为实 测得楼顶A及教堂顶C的仰角分别是15°和60°， 际问题进行检验， 在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算 [例5]如图，A,B是海面 索菲亚教堂的高度为 ) 上位于东西方向相距5 北+459 604北 (3+√)n mile的两个观 A 测点.现位于A点北偏 60° 东45°，B点北偏西60°的 30 D点有一艘轮船发出求 15° 救信号，位于B点南偏西 60°且与B点相距20√5 n mile的C点的救援船立 A.20m B.30m 即前往营救，其航行速度为30 n mile/h,该救援船 C.20√3m D.30√5m 到达D点需要多长时间？ 解析：D[由题意可知，在Rt [解]由题意知AB=5(3十√5)n mile, △ABM中，AB=15W3-15, ∠DBA=90°-60°=30°，∠DAB=90°-45°=45°， .∠ADB=180°-(45°+30)=105°， ∠AMB=15°，则sin∠AMB= 在△ADB中，由正弦定理得 DB =sin15°=sin(45°-309D AB sin∠DAB AB sin∠ADB' x号×-，所以AM= 2 2 2 4 DB=AB·sim∠DAB_5(3+)·sin45 sin∠ADB sin 105 153=15=302, 5(3+√3)·sin45 6-2 4 sin45c0s60°+c0s45°·sin60 5w3(w5+1) 在△ACM中，∠MAC=30°+15°=45°，∠AMC= =10√/3(n mile), √3+1 180°-60°-15°=105°，则∠ACM=180°-45° 2 105°=30°， 又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°) =60°， 由正弦定理得 AM CM sin∠ACM-sin∠MAC,所以CM BC=20√3(n mile), 在△DBC中，由余弦定理得 CD=BD2+BC-2BD·BC·cos∠DBC 0× =60,在Rt△MCD中，∠CMD=60°， =30+1200-2X105×205× =900, 2 CD=30 n mile.)则需要的时间器 =1(h). 则n/CwD需-9所以(D9×0 [答]救援船到达D点需要1h 30√5，所以小明估算索菲亚教堂的高度为30√5m.] ·73·