10.3 频率与概率（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（人教A版）

数学·必修第二册 10.3 频落与概率 课程标准 素养解读 1.在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进 在统计中通过概率来设 一步了解概率的意义以及频率与概率的区别 计相关考题进行判断和 2.了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进 评价，发展学生数据分 行模拟)估计概率. 析和数学运算素养. 3.通过阅读与思考等栏目，加深对随机现象的理解 课前。预习学案 [情境引入] 复试验后，它又具有稳定性，即频率在某个 抛掷一枚硬币，“正面向上”的概率为0.5， “常数”附近摆动，并且随着试验次数的增 这是否意味着： 加，摆动的幅度具有越来越小的趋势 “抛掷2次，一次正面向上”？ (2)有时候试验也可能出现频率偏离“常数”较 “抛掷50次，25次正面向上”？ 大的情况，但是随着试验次数的增加，频率 [知识梳理] 偏离“常数”的可能性会减小. [知识点一]频率与概率 (3)个别随机事件在一次试验中可能出现也可 1.频率与概率的区别 能不出现，但在大量试验中，它出现的次数 与总试验次数之比常常是比较稳定的.这 本身是随机的，在试验之前是无法 种现象称为频率的稳定性，是随机事件内 确定的，在相同的条件下做同样次 频率 在规律性的反映， 数的重复试验，得到的事件的频率 3.频率的稳定性（用频率估计概率） 值也可能会不同， 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验 本身是一个在[0,1]内的确定值， 概率 中，一个随机事件A发生的频率具有随机 不随试验结果的改变而改变 性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏 例如，在相同条件下掷一枚硬币1000次， 离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频 出现正面向上的次数是521，则正面向上的 率f.(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率 521 P(A).我们称频率的这个性质为 频率f1(正面向上)=000，而正面向上 因此，我们可以用频率f,(A)估计 的概率P(正面向上)= 它是一个容观 概率P(A). 常数。 ?思考1.某同学认为：“一个骰子掷一次得到 2.频率的特点 6点的概率是，这说明一个骰子揽6次会 随机事件在一次试验中是否发生具有不确 出现一次6”这种说法对吗？说说你的 定性，但是，在相同条件下的大量重复试验 理由. 中，它发生的频率有以下特点。 (1)在某次随机试验中，事件A发生的频率是 一个变量，事先是无法确定的.但在大量重 174 第十章概率 [知识点二]生活中的概率 [知识点三]随机模拟 1.游戏的公平性 有的时候，做大量的重复试验较为麻烦，需 在各类游戏中，如果每 警示 POINT 花费大量时间，因此可以利用计算器或计算 在设计某种游戏规则时 个游戏参与者获胜的概 这种规则 机来模拟试验，从模拟试验中统计事件发生 对每个游戏参与者都是 率相等，那么游戏是公 公平的”这一重要原则 的频率，从而利用概率的定义，将概率求解 平的.例如，在体育比赛中，裁判员用抽签器 出来.我们称利用随机模拟解决问题的方法 决定两个运动员谁先发球，两个运动员获得 为蒙特卡洛方法。 发球权的概率均为0.5，所以这个规则是公 [预习自测] 平的 1.下列说法正确的是 ( 2.天气预报的概率解释 A.任何事件的概率总是在(0,1)之间 B.频率是客观存在的，与试验次数无关 天气预报是气象专家依据气象观测资料和 C.随着试验次数的增加，频率越来越接近 气象学理论以及专家们的实际经验，经过分 概率 析推断得到的.天气预报的概率属于主观概 D.概率是随机的，在试验前不能确定 率，这是因为在现有的条件下，不能对“天 2.已知一个容量为20的样本，其数据具体 气”做多次重复试验，进行规律的总结，因 如下： 此，在天气预报中所提及的概率和我们前面 1086101381012117 通过频率稳定性来定义的概率并不一样。 8911912910111211 另外，天气预报中降水概率的大小只能说明 那么频率为0.4的范围是 降水的可能性大小，概率值越大，表示降水 A.5.5≈7.5 B.7.59.5 的可能性越大.在一次试验中“降水”这个事 C.9.511.5 D.11.513.5 件是否发生仍然是随机的.例如，天气预报 3.在一次男子羽毛球单打比赛中，运动员甲 说“明天降水的概率为90%”，尽管明天下 和乙进入了决赛（比赛采用3局2胜制）， 雨的可能性很大，但由于“明天下雨”是随机 假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，现采 事件，因此明天仍然有可能不下雨。 用随机模拟方法估计甲获得冠军的概率， 先由计算机产生1~5之间的随机数，指 ?思考2.在生活中，我们有时要用抽签的方法 定1,2,3表示一局比赛中甲胜，4,5表示 决定一件事情，例如5张彩票中有1张为中奖 一局比赛中乙胜、经随机模拟产生了如下 彩票，5个人按照顺序从中各抽1张以决定谁 20组随机数： 得到其中的中奖彩票，那么先抽还是后抽（后 334221433551 454452315 142331 423 抽的人不知道先抽的人抽出的结果)对每个人 212541121451231414312552324115 来说公平吗？也就是说，每个人抽到中奖彩票 据此估计甲获得冠军的概率为 的概率相同吗？ 4.已知某运动员每次投篮命中的概率低于 40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员 三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器 175 数学·必修第二册 产生0到9之间取整数值的随机数，指定1， (1)请完成上述表格（保留3位小数）； 2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中， (2)该油菜籽发芽的概率约为多少？ 再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的 结果，经随机模拟产生了20组随机数： 907966191925271932812458569 683431257393027556488730113 537989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中 的概率为 ( A.0.35 B.0.25 C.0.20 D.0.15 5.某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果 如下表： 每批粒数 10 70130700150020003000 发芽的粒数 2 6011663713701786270g 发芽的频率 课堂。互动学案 题型一 频率的稳定性 规律方法 [例1]下列说法正确的是 频率是一个试验值，具有随机性，随着试验 ①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映 次数的增加，频率总在一个稳定值附近波 事件发生的可能性的大小： 动，可用这个稳定值来估计概率， ②做n次随机试验，事件A发生了m次，则 ◇[变式训练] 事件A发生的藏率P(A)=兴， 1.下列命题中正确的是 A.有一批产品的次品率为0.05，则从中 ③含百分比的数是频率，但不是概率； ④频率是不能脱离次随机试验的试验值， 任意取出200件产品中必有10件是 而概率是脱离随机试验的客观值； 次品 ⑤概率是频率的稳定值. B.抛100次硬币，结果51次出现正面，则出 A.①④⑤ B.①② 现正面的概率是0.51 C.②③ D.②③⑤ C.随机事件发生的概率就是这个随机事件 [思路点拨]根据概率的意义逐个进行判 发生的频率 断.概率表示事件发生的可能性的大小，并 D.掷骰子100次，得点数为6的结果有20 不是事件发生的绝对次数， 次，则出现6点的频率为0.2 ·176· 第十章概率 题型二】 概率的意艾 ⊙[变式训练] [例2]如图所示，有两个可以自由转动的均 2.已知n是一个三位正整数，若n的个位数字 匀转盘A,B.转盘A被平均分成3等份，分 大于十位数字，十位数字大于百位数字，则 别标上1,2,3三个数字；转盘B被平均分成 称n为“三位递增数”（如135,256,345等） 4等份，分别标上3,4,5,6四个数字.有人 现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市 为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转 组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1， 动转盘A与B,转盘停止后，指针各指向一 2,3,4,5,6组成的所有“三位递增数”中随 个数字，将指针所指的两个数字相加，如果 机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三 和是6，那么甲获胜，否则乙获胜.你认为这 位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否 样的游戏规则对双方公平吗？如果公平，请 则，乙参加数学竞赛 说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能 (1)由1,2,3,4,5,6可组成多少“三位递增 使游戏对双方公平？ 数”？并一一列举出来 (2)这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？ 并说明理由」 题型】 用随机模拟法求概率 [例3]种植某种树苗，成活率为0.9，若种植 这种树苗5棵，求恰好成活4棵的概率， [思路点拔]把数字之和的结果分别列举 出来，求其概率 汇思路点拔](1)对于满足“有限性”但不 满足“等可能性”的概率问题我们可采用随 机模拟方法；(2)根据成活率设计要产生的 随机数的个数，并赋予它们相应的含义； (3)因为种植了5棵树苗，所以5个随机数 作为一组。 规律方法 根据游戏公平性的定义，只要每个游戏的参 与者获胜的概率相同，就可以认定这个游戏 是公平的.因此，解决此类问题的关键是求 出每个人获胜的概率，然后加以比较，进行 判断. 177· 数学·必修第二册 规律方法 题型四利用概率知识解决实际生活中的问题】 用整数随机数模拟试验估计概率时，首先要 [例4]为了估计水库中鱼的尾数，可以使用 确定随机数的范围和用哪些数代表不同的 以下方法：先从水库中捕出一定数量的鱼， 试验结果.可以从以下方面考虑： 例如2000尾，给每尾鱼做上记号（不影响 (1)试验的基本事件等可能时，基本事件总 其存活)，然后放回水库，经过适当时间，再 数即为产生随机数的范围，每个随机数 从水库中捕出一定数量的鱼，如500尾，查 字代表一个基本事件： 看其中做记号的鱼的数量，设有40尾.试根 (2)研究等可能事件的概率时，用按比例分 据上述数据，估计水库中鱼的尾数， 配的方法确定表示各个结果的数字个数 汇思路点拨]利用样本估计总体，是解决 及总个数 本题的关键 同时每次试验结果需要各随机数表示 时，要把各随机数作为一组来处理，一定 要注意每组中随机数字能否重复， ◇[变式训练] 3.某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮 命中的概率是40%，那么连续3次投篮，恰 有2次投中的概率大概是多少？ 规律方法 由于概率体现了随机事件发生的可能性，所 以可用样本出现的频率来近似地估计总体 中该结果出现的概率.本题是概率思想在实 践中应用的典型例子，主要考查概率与频率 的关系及由样本估计总体的能力.解题的关 键是假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，可 用样本的频率近似估计总体的概率， ·178· 第十章概率 ⊙[变式训练] (2)求频率分布直方图中a,b的值； 4.从某校随机抽取100名学生，获得了他们一 周课外阅读时间（单位：时）的数据，整理得 到数据分组及频数分布表和频率分布直方 图（如图）. 组号 分组 频数 [0,2) 6 2 [2,4) 8 3 [4,6) 17 4 [6,8) 22 5 [8,10) 25 6 [10,12) 12 7 [12,14) 6 8 [14,16) (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间 2 的中点值代替，试估计样本中的100名学生 9 [16,18] 2 该周课外阅读时间的平均数在第儿组（只需 ↑频率/组距 写出结论). 024681012141618阅读时 间时 (1)从该校随机选取1名学生，试估计这名 学生该周课外阅读时间少于12小时的 概率； C温馨提今 学习至此，请完成课时作业(10.3) ·179·数学·必修第二册 =号××号+号××+××号- 恰有一人合格的概率为： P=1-P。-P-P,=1-0600-12 .1-23-1=5 结合(1)可知P。、P、P。、P,中P最大，所以出现恰有一人 合格的概率最大 10.3频率与概率 课前预习学案 知识梳理 一、3.频率的稳定性 [思考] 1.提示：不对，随机事件的概率是刻画事件发生的可能性的大 小，出现6点可能发生也可能不发生 2.提示：不管排第几位上抽签，在不知前面人抽出结果的前提 下，中奖的概率为号，是公平的. 预习自测 1.C[由于必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故A 不正确：频率是通过试验得出的，频率是概率的近似值，概 率是频率的稳定值，故B,D不正确：频率是与试验次数有关 的值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值， 随着试验次数的增加，频率越来越接近概率，故C正确.] 2C[5.57.5的频率为易=0.1,7.5~0.5的复率为8 03,9.5~1.5的频率为员=0.4,1.513.5的频率为 4 =0.2,所以C选项正确.门 3.解析：20组数据中，334,221,433,315,142,331,423,212， 121,231,312,324,115,共13组数据表示甲获得冠军，故估 计甲获得冠军的版车为品-0.65， 答案：0.65 4.B[由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了20 组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的 有191,271,932,812,393，共5组随机数，所求概牵易 =0.25.] 5.解：(1)填入题表中的数据依次为1.000,0.800,0.900,0. 857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903. 填表如下： ·25 每批 5 10 70 130 700 150020003000 粒数 发芽的 4 9 60 116 637 1370 17862709 粒数 发芽的 1.0000.8000.9000.8570.8920.9100.9130.8930.903 频阜 (2)由(1)估计该油莱籽发芽的概率约为0.900. 课堂互动学案 [例1][解析]A[根据频率与概率的定义，可知①正确； 概率不是频率，而②中所给的是事件A发生的频率，因此② 错误；概率是一个数值，可以是百分数也可以是小数，因此③ 错误；根据概率的定义可知，概率是一个客观值，频率是一个 试验值，因此④正确，⑤正确.故选A] [例2][解]列表如下： B 3 6 A 4 5 2 5 6 7 P 3 6 8 9 由表可知，等可能的结果有12种，和为6的结果只有3种. 31 因此P(和为6)=是=车，即甲，乙获胜的概率不相等，所以 这种游戏规则对双方不公平，如果将规则玫为“和是6或7， 则甲获胜，否则乙获胜”，那么游戏规则就是公平的（规则改 动不唯一，符合题意即可) [例3][解]利用计算器或计算机产生0到9之间取整数 值的随机数，用0代表不成活，1到9的数字代表成活，这样 可以体现成活率是0.9.因为是种植5棵树苗，所以每5个 随机数作为一组，产生30组随机数】 698016609777124229617423531516297472494557558 652587413023224374454434433315271202178258555 610174524144134922017036283005949265617334783 166243034401117 这就相当于做了30次试验.在这30组随机数中，如果恰有 一个是0，则表示恰有4棵成活，共有9组，于是得到种植5 裙这样的树苗格有4挪成活的概率近似为易=30%。 [例4][解]设水库中鱼的尾数为n,n是未知的，现在要估 计的值.假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，从水库中任 捕一尾，设事件A={捕到带有记号的鱼〉，由概率的统计定 义可知P(A)=2000.①从水库中捕出500尾，观察每尾鱼 n 上是否有记号，其中带有记号的鱼有40尾，即事件A发生 的频数m=40,则P(A)≈品.@由①@两式，得200≈ n 品解得n≥2500， 所以估计水库中有鱼25000尾. 0 变式训练 1.D[对于A,实验中，出现的某种事件的频率总在一个固定 的值的附近波动，并不是一个确定的值，一批产品次品率为 0.05,则从中任取200件，次品的件数在10件左右，而不一 定是10件，A错误；对于B,100次并不是无穷多次，只能说 明这100次试验出现正面朝上的频率为品故B错误；对 于C,根据定义，随机事件的频率只是概率的近似值，它并不 等于概率，C错误；对于D,频率估计概率，频率为出现的次 数与重复试验的次数的比值，抛掷骰子100次，得点数是6 的结果有20次，到出现6点的频率是品=0,2，D正确] 2.解：(1)由题意知，所有由1,2,3,4,5,6组成的“三位递增数 共有20个.分别是123,124,125,126,134,135,136,145， 146,156,234,235,236,245,246,256,345,346,356,456. (2)不公平，由(1)知，所有由1,2,3,4,5,6组成的“三位递增 数”有20个，记“甲参加数学竞赛”为事件A,记“乙参加数学 竞赛”为事件B.则事件A含有基本事件有：124,134,234， 126,136,146,156,236,246,256,346,356,456共13个.由古 典概型计算公式，得P(A)=事件A含有的基本事件的个数 试验所有基本事件的总数 品又A与B对立，所以P=1-PA=1一是-易 所以P(A)>P(B).故选取规则对甲、乙两名学生不公平， 3.解：利用设计模拟试验的方法来解决问题，利用计算机或计 算器可以产生0到9之间取整数值的随机数 用1,2,3,4表示投中，用5,6,7,8,9,0表示未投中，这样可 以体现投中的概率是40%.因为是投篮3次，所以将每3个 随机数字作为一组.例如，产生18组随机数： 812,932,569,683,271,989,730,537,925, 907,113,966,191,431,257,393,027,556. 这就相当于做了18次试验.在一组数中，如果恰有2个数字 在1,2,3,4中，那么表示恰有2次投中，它们分别是812， 932,271,191,393,共有5组数，所以我们得到了3次投篮中 格有2次投中的概阜近似为品≈28%。 4.解：(1)根据数据分组及频数分布表，100名学生中课外阅读 时间不少于12小时的学生共有6十2十2=10（名），所以样 、本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1一品= 0,9.故从该校随机选取1名学生，估计其课外阅读时间少于 12小时的概率为0.9. (2)课外阅读时间落在组[4,6)内的有17人，频率为0.17， 所以a=频车=017=0.085. 组距2 .25 参考答案 课外阅读时间落在组[8,10)内的有25人，频率为0.25，所 以b=频率=0.25=0.125. 组距一 2 (3)样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第 4组. 章末归纳提升 归纳提升[例1][解析](1)甲、乙、丙三个协会共有的运动 员人数为27十9十18=54，则应从甲协会抽取27× 6 =3(人)， 从乙协会抽取9X 6=1(人) 5=2(人. 从丙协会抽取18X 故从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2 (2)()从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有 可能结果为(A1,A2),（A1,A3),(A1,A1),(A1,A),(A1, A6),(A2,A),（A2,A1),（A2,A),(A2,A),(A,A1), (A3,A),(A3,A.),(A1,A),(A1,A.),(A,A),共15种」 （i)事件A可用集合表示为{(A1,A),(A1,A),(A2,A), (A2,A),(AA),(A,A),(A1,A),(A1,A),(AA). [例2][解析](1)因为(0.004十a十0.018十0.022×2十 0.028)×10=1,所以a=0.006 (2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80 的频率为(0.022十0.018)×10=0.4， 所以估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率为 0.4. (3)受访职工中评分在[50,60)的有50×0.006×10=3（人），记 为：A1,A2,A3: 受访职工中评分在「40,50)的有50×0.004×10=2（人），记 为B1,及B2 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有 10种，即(A1,A2),(A1,A),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A), (A2,B),(A2,B2),(A,B1),(A3,B2),(B1,B2). 因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即(B,, B),所以所求的概率为品 [例3][解]在抛掷两枚均匀的骰子的试验中，每枚骰子均 可出现1点、2，点…6点，共6种结果.两枚骰子出现的点 数可以用一对有序实数对(x,y)来表示，它与平面直角坐标 系内的一个点对应，则样本空间为 {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),