35 第6章 平面向量及其应用 章末复习提升（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件系统梳理了平面向量的基本表示（线性运算、数量积坐标表示）及应用（几何中的正余弦定理、面积公式，实际测量等），通过“知识体系构建”和“核心要点整合”将知识点分要点串联，形成逻辑清晰的知识网络。 其亮点在于采用“核心要点+分层训练”模式，如线性运算的基础题（训练1）、数量积的综合题（训练5）、实际应用的测量题（训练13），培养数学运算、逻辑推理和数学建模素养。分层设计让学生巩固知识，教师可精准把握学情提升复习效率。

第六章 平面向量及其应用 章末复习提升 1 1 2 知识体系 构建 核心要点 整合 2 PART 01 第一部分 知识体系 构建 3 知识体系 构建 返回目录 4 知识体系 构建 返回目录 5 PART 02 第二部分 核心要点 整合 6 要点一 平面向量的线性运算 1.进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一 顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运 算来求解. 2.向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算 律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面. 3.向量的线性运算中要注意数形结合的运用，提升学生的数学运算和逻辑 推理的核心素养. 核心要点 整合 返回目录 7 训练1 设，为所在平面内两点，， ，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 选B.如图，因为， ，所以 ，，所以 .故选B. 核心要点 整合 返回目录 8 训练2 如图，在中，，是线段 上一点，若 ,则实数 的值为( ) A A. B. C.2 D. 核心要点 整合 返回目录 9 【解析】 选A.设,因为，所以 ，则 , 又因为 , 所以解得 核心要点 整合 返回目录 10 训练3 （2024·河南郑州月考）已知为 内一点， ，则 ( ) A A.3 B.8 C. D. 【解析】 选A. , 整理得 , 由奔驰定理可知 . 核心要点 整合 返回目录 11 训练4 （2024·广西南宁月考）若是三角形 的外心，且 , ,则实数 的值为( ) A A. B. C. D.以上三个选项均不正确 核心要点 整合 返回目录 12 【解析】 选A.如图所示，设 的中点为D，则 . 由，得 ， 所以向量，共线，又是 的外心，所以 ，所以，从而.因为 ，所以 ，即四边形是菱形，于是 ， 所以 , 所以 . 核心要点 整合 返回目录 13 要点二 平面向量的数量积 1.平面向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量 的数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的长度等. 2.通过向量的数量积运算，提升逻辑推理和数学运算素养. 核心要点 整合 返回目录 14 训练5 （2024· 新课标Ⅰ卷）已知向量, ，若 ，则 ( ) D A. B. C.1 D.2 【解析】 选D.方法一：因为，所以 ，即 .因为，，所以， ，得 ，所以，解得 .故选D. 方法二：因为， ，所以 ．因为 ， 所以，所以，所以 ，解 得 .故选D． 核心要点 整合 返回目录 15 训练6 （多选）如图，点，和分别在半径为1与3的同心圆上.当 的面积最大时，下列结论正确的是( ) ACD A. B. C. D. 核心要点 整合 返回目录 16 【解析】 选.对于A，若将点A，B固定，当点C到 的距离最大时， 的面积最大， 此时 .同理，固定点A，C. 当点B到 的距离最大时， 的面积最大，此时 .固定点B，C是一样的，也就是说当 面积最大时，是的垂心，所以 ,即 ,即.同理可得， ， 所以A正确； 核心要点 整合 返回目录 17 对于B，由题知，圆心在内部，易知 ， 所以， 不是重心，所以B错误； 对于C，如图，设A,B固定且面积最大时，边上的高为 , 核心要点 整合 返回目录 18 因为 , 所以 ，所以C正确； 对于D， . 即,所以D正确.故选 . 核心要点 整合 返回目录 19 训练7 在平行四边形中，若，， ，点 在边上，则 的最大值为___. 2 解析：因为，， ，所以 ，所以， ， 所以 .以点为原点，所在直线为 轴建立如图所示的平 面直角坐标系，则，，设,,, ,所以 ,,, ,则 核心要点 整合 返回目录 20 ,令,, , 则在,上单调递减，在， 上单调递增，所以 . 核心要点 整合 返回目录 训练8 如图，在中，,,为 上一点，且满足.若,则 的最小值为___. 2 核心要点 整合 返回目录 22 解析：设 ,则 , 所以解得 . 核心要点 整合 返回目录 23 因为,所以 ， . 当且仅当,即时，等号成立.所以 的最小值 为2. 核心要点 整合 返回目录 要点三 余弦定理、正弦定理 1.主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形，判断三角形的形状、求三 角形的面积，以及余弦定理、正弦定理简单的综合应用. 2.借助解三角形，培养逻辑推理、数学运算的核心素养. 核心要点 整合 返回目录 25 训练9 在中，有,且 ,则 为 ( ) C A. B. C. D.其他三个选项均不对 【解析】 选C.由余弦定理可得 ,因为 ，所以， 所以，从而 ，故 . 核心要点 整合 返回目录 26 训练10 （2024·河北石家庄月考）在中，角，， 的对边分别 为,,，已知,且,则 的值为___. 4 解析：方法一：在中，因为 ，则由正弦定 理及余弦定理的推论有 , 化简并整理得 . 又,所以 ， 解得或 （舍去）. 核心要点 整合 返回目录 27 方法二：由余弦定理得 . 又,,所以 . ① 又 , 所以 ， 从而 , 即 . 由正弦定理得,故 . ② 由①②解得 . 方法三：,同理,则 ， 解得 . 核心要点 整合 返回目录 28 训练11 （2024·北京卷）在中，内角，，的对边分别为 ， ，，为钝角，， ． （1）求 ； 解：由题知， . 又为钝角，所以 为锐角， 故，所以 . 又,所以 . 又为钝角，所以 . 核心要点 整合 返回目录 29 （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 得存在，求 的面积． 条件①：；条件②：；条件③： ． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要 求的条件分别解答，按第一个解答计分． 核心要点 整合 返回目录 30 解：若选①，结合（1）得,, ，则 不存在， 所以条件①不符合要求，故不选择条件①． 若选②，由题知 , 又,即,所以 . 又 ， 所以 . 所以 . 核心要点 整合 返回目录 31 若选③，由题知,所以 . 由得， , 即,解得 （负值已舍去）. 所以 . 核心要点 整合 返回目录 要点四 平面向量的实际应用 1.平面向量在实际生活中有着广泛的应用，如向量在物理中的模型有力、 速度、位移等；实际生活中的一些和解三角形有关的问题如距离、高度、 角度的求解等. 2.通过建模利用向量求解实际问题，提升数学建模和逻辑推理的核心素养. 核心要点 整合 返回目录 33 训练12 用两条成 角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重力为 ，求每根绳子的拉力大小. 解：如图，由题意得,以两根绳子，为邻边构成菱形 ，其中 ，由 得， ，则 ，即每根绳子的拉力大小为 . 核心要点 整合 返回目录 34 训练13 如图，当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距 的 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船 的南偏西 相距的 处的乙船.试问：乙船应朝北偏东多少度的 方向沿直线前往处救援？精确到 ，参考数据： 核心要点 整合 返回目录 35 解：连接（图略）.在中，， ， . 由余弦定理，知 ,所以 . 由正弦定理，得 ，所以 . 核心要点 整合 返回目录 36 因为为锐角，所以 . 过点作交的延长线于点 （图略）， 则 .因此，乙船应朝北偏东约 的方向沿直 线前往 处救援. 核心要点 整合 返回目录 $