期中质量检测 B卷 素养提升卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂单元双测卷（人教A版）

数学A版· (2)作A1F⊥DE,垂足为F,连接BF 因为A1E⊥平面ABC,所以BC⊥A1E.因为BC⊥ AE,AE∩AE=E, 所以BC⊥平面AA1DE.所以BC⊥A1F. 又因为DE∩BC=E,所以A1F⊥平面BBC,C. 所以∠A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成 的角. 由AB=AC=2,∠CAB=90°，得EA=EB=√2. 由A1E⊥平面ABC,得A1A=A1B=4,A1E=√14. 由DE=BB1=4,DA1=EA=√2，∠DA1E=90°，得 AF=竖所以m乙ABF=号 8 期中质量检测 (B卷) 1A[告=i降= -1+i_(-1+i)(1-i边_2i 2 =i,所以之=i=1.] 2.A[c=a+b=(1+k,2+k),又b⊥c,所以1X(1+ k)十1X(2十)=0，解得=一号.] 3.C[由正弦定理得(c-b)(c十b)=(c-a)a,即c2+a2 1 -b2=ae,2 accos B=ac,cosB=2又0<B<元，因 此B=子] 4B[设国维底面来径为，高为，则V=音（侣）月 =3，V=子,由于体积相等 3wh=乞Sa=标（传）=2,5g Sa1Sa2] 5.A[由已知得|a+b12=10,a-b2=6,两式相减， 得a·b=1.] 6.C[若a⊥b,则x(x+1)+2x=0,即x2十3.x=0,解 得x=0或x=-3,.A错，C对；若a∥b,则2(x十1) -x2=0,即x2-2x-2=0,解得x=1土√5，故B、 D错.] AB⊥AC 7.A[,非零向量AB与AC满足 ·BC IABI ACI =0,∴∠BAC的平分线垂直于BC,.AB=AC. 又coS∠BAC= AB·AC1 ∠BAC=60, IABIIACI △ABC为等边三角形.] 8.D[因为球O的半径为2，所以 球O不与侧面ABB1A1及侧面 A AFF1A1相交，连接OC1,A1C1, B OE1,A1E1,由题得OA1=1, A1C1=A1E1=3.所以OC1=0 2,所以球O与侧面BCC1B1交 于点C,C,与侧面EFFE1交 于点E1,E. 在正六边形A1B1C1D1E1F1 必修第二册 中，易得A1C⊥CD1,因为CC1⊥平面ABCD1EF1, ACC平面A1B1C1D1EF1. 所以CC1⊥A1C1,又CD1∩CC1=C1,CD1,CCC 平面CDD1C1,所以A1C1⊥平面CDD1C1,即OG⊥平 面CDD1C1,且OG=5,又√J22-(√3)2=1，OH= OC1=OC=2. 所以球O与侧面CDD,C,的交线为以CC1为直径的 半圆，同理可得球O与侧面EDD1E的交线为以EE 为直径的半圆. 由题易得∠EAG=受，则球0与上底面 A1 BCiDiEF及下底面AECDEF的交线均为名个 半径为√3的圆. 所以球面与该正六棱柱各面的交线总长为2×πX1十 2x×2x×6-(2+2￥} 9.BCD[对于A,由十=0，得子=-1，则A错误：时 于B,因为之·之=z2,所以之2=2之|，解得z=2 或z=0(舍去)，则B正确：对于C,设之=a十bi(a,b ∈R,且ab≠0)，则1=之=a-bi,所以之1=a十bi=之， 则C正确：对于D,由|之十之1|=0，得1=一之.设之=a 十bi(a,b∈R,且ab≠0)，则1·之=-之·之=-(a2+ b2),x2=a2十b2,从而之1·之十|z2=0,则D正确.] 10.AD[a·b=-3x十3x=0,∴.a⊥b,A正确，B错 误.可令m=0,则ma十b=b,无论x为何值，都有b b.D正确，C错误.] 1L.ABC[注意折叠前DE⊥AF,折叠后其位置关系没 有改变. A中，由已知可得平面A'FG⊥平面ABC,∴.点A'在 平面ABC上的射影在线段AF上. B中，BC∥DE,BC丈平面A'DE,DEC平面A'DE, .BC∥平面A'DE. C中，当平面A'DE⊥平面ABC时，三棱锥A'一 FED的体积达到最大 D中，因为4℉的长度在(0，)范国内，所以存在 一个位置，使AF=2a,又因为△DEF是正三角 形，所以该位置使三棱锥A'一FED是正三棱锥.故 D不正确.] 12,解析：：AM=2M花，AM=名AC.:BN=NC, AN=(A店+AC.M=AN-AM=(A店 +AG-号AC=吉A店-日AC又M=:A+ 答案：日-日 13.解析：如图所示，设AB=a,AC =a,BD=k,DC =2k,Bk 2kC △ABD与△ADC中分别运用余弦定理有 参考 (a2=k2+2+2k, 2a2=4k2+2-4k, 解得k2-4k-1=0→k=2+√5. 答案：2+√5 14.解析：设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高 为2R, .V圈柱=πR2X2R=2πR3, 、4匹R3,V球一4之、S圆柱=2rR× R 2R十2XxR2=6元R2,S球=4πR2, 器紧-是 答案：号号 15.解(1)证明：由题意得|a-b12=2,即(a-b)2=a2 2a·b+b2=2. 又因为a2=b2=a2=b2=1,所以2-2a·b=2, 即a·b=0,故a⊥b. (2)因为a+b=(cosa十cos3,sina+sin3)=(0,1), 所以cosa十cosB=0,① Isin a+sin3=l,② 由①得，cosa=c0s(r B),由0<B<π，得0<π一B元.又0<a<π，故a=π -R. 代入sina十sin9=1,得sin=si=子，丙>R,所 以a=晋g=吾 16.解：(1)因为(a十b+c)(a-b+c)=ac,所以a2+c2 62=-ac, 由余孩定理得cosB=2+c2-&=-1」 2ac 2 又B∈(0°，180°)，因此B=120°. (2)由(1)知A+C=60°，① 所以cos(A-C)=cos Acos C.+sin Asin C =cos Acos C-sin Asin C+2sin Asin C=cos(A+ C)+2sin Asin C =名+2×-誓又周为-60<A-C<0,故 4 A-C=30°或A-C=-30°.② 由①②得C=15°或C=45. 17.解：(1)如图，设圆台 上、下底面半径分别 为r、R,AD=x,则 R OD=72-x. 由题意得 [2xR=60:x.72, 180 2xr= 9072-.1 .R=12,r=6,x=36,.AD 72-x=3R =36cm. (2)圆台所在圆锥的高H=√722一R2=12√35， 圆台的高=丹=6√5，小圆维的高/=6√35， 2 V多=V大像-V小维=子RH-子2W=504V丽 答案 18.解：因为cosB=4>0,所以0<B<元，所以sinB -oB=1-(传) 是，由正徐定理 AC sin B sm石所以ABAC·sm62 AB -=5√2 sin B (2)在三角形ABC中A十B十C=π，所以A=π-(B +C). 于是cosA=-os(B+C)=-c0s(B+F)】 =-cos Boos-于+-sin Bsin至，又cosB=号，sinB -是，故c0sA=一×号+×号-侣因为0 <A<,所以imA--0sA=7三 10 因此cos(A-否）=coAcos吾+sinA·sim君 唱×+语×1 = 20 19.解：(1)根据题意，结合维向量的定义，则两两垂直的 4维信号向量可以为：(1,1,1,1)，（-1，-1,1,1)， (-1,1,-1,1),(-1,1,1,-1). (2)假设存在14个两两垂直的14维信号向量1， y2,…,y14因为将这14个向量的某个分量同时变号 或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向 量的内积不变，所以不妨设y1=(1,1,…,1),y2= (1,1,1,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1), 因为y1·y3=0,所以y3有7个分量为一1，设y3的 前7个分量中有r个一1，则后7个分量中有7-r个 -1,所以y2·y3=r·(-1)+(7-r)十(7-r)十r· (一1)=0，可得=子，矛质，所以不存在14个两两 垂直的14维信号向量. (3)任取i,j∈{1,2，…}，计算内积x:·x,将所有 这些内积求和得到S,则S=x十x十…x号=2024k, 设1x2…,x的第k个分量之和为c,则从每个分 量的角度考虑，每个分量为S的贡献为c,所以S= c十c号十…十c吃24≥c十c号十…+c品=k2m,令2 024k≥k2m,所以km≤2024<2025，所以√km<45. 第九章统计 (A卷) 1.A[依题意，自来水式钢笔应抽取的数量为 15 5+15+20×1000=375.] 2.B[刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是 标准差.] 3.C[由图可知该校女教师的人数为110×70%十150 ×(1-60%)=77+60=137.] 4.C[因为20×80%=16，所以样本数据的第80百分 位数为样本数据由小到大排列的第16个数据，落在 区间[50,60)内.] 5.B[由题知C专业有学生1200-380-420=400（名）， 那么C专业应热取的学生数为的0X品-0（名，】数 新高考 期中质量检测 学 同步单元双测卷 B卷·素养提升卷 (时间：120分钟，满分：150分) 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.) 1.设复数之满足十=i,则1 1-之 A.1 B.2 C.3 D.2 2.设a=(1,2),b=(1,1),c=a十kb.若b⊥c,则实数k的值等于 A- B-号 c号 如 3.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且二b sin A 则B等于 c-a sin C+sin B' A.君 B. C. 瞬 1 4.若一圆锥与一球的体积相等，且此圆锥底面半径与此球的直径相等，则此圆锥侧面积与此球的表 h 面积之比为 ( A.2:2 B.5:2 C.√5：2 D.3:2 5.设向量a,b满足|a+b=√/10，|a-b=√6，则a·b= A.1 B.2 C.3 D.5 6.(2024·全国甲卷（理）)设向量a=(x十1，x),b=(x,2),则 A.x=一3是a⊥b的必要条件 B.x=一3是a∥b的必要条件 C.x=0是a⊥b的充分条件 D.x=-1+√3是a∥b的充分条件 AB 7.在△ABC中，已知向量AB与AC满足 BC-0且AB·AC 号，则△ABC是 IABIIACI A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形 阳 8.在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，AA1=2AB=2,O为棱AA1的中点，则以O为球心，2 为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为 ( A(+- 2+ c(+2} D 2+ 23 3 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.若之是非零复数，则下列说法正确的是 A.若十=0，则三=i B.若之·=2x,则||=2 C.若1=之，则1=之 D.若引之十11=0，则1·之+|之2=0 数学试题期中质量检测B卷第1页（共4页） 10.已知向量a=(x,3),b=(一3，x),则下列叙述中正确的是 A.不论x取何值都有a⊥b B.存在实数x,使(a+b)∥a C.存在实数x,m,使(ma+b)∥a D.存在实数x,m,使(ma十b)∥b 11.如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G,已知 △A'DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形(A'不与A,F重合)，则下 列命题中正确的是 () B A.动点A'在平面ABC上的射影在线段AF上 B.BC∥平面A'DE C.三棱锥A'一FED的体积有最大值 D.三棱锥A'一FED不可能是正三棱锥 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在题中的横线上.） 12.在△ABC中，点M,N满足AM=2MC,BN=NC.若MN=xAB+yAC,则x= y= 13.在△ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD,AD=√2，∠ADB=135°.若AC=√2AB,则BD 14.如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球， 这个球的直径恰好与圆柱的高相等.相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发 现.我们来重温这个伟大发现：圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表 面积之比分别为 .(本题第一空2分，第二空3分) 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分13分)已知a=(cosa,sina),b=(cos3,sin3),0<3<a<π. (1)若引a-bl=√2，求证：a⊥b; (2)设c=(0,1),若a+b=c,求a,B的值. 数学试题期中质量检测B卷第2页（共4页） 16.(本小题满分15分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a十b十c)(a一b十c)=ac. (1)求B; ②若mAnC,求C 17.(本小题满分15分)如图所示，有一块扇形铁皮OAB,∠AOB=60°，OA= 0 72cm,要剪下来一个扇形环ABCD,作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形 OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面（大底面）： R 试求：(1)AD的长； 0 (2)容器的容积. B 数学试题期中质量检测B卷第3页（共4页） 18.(本小题满分17分)在△ABC中，AC=6,c0sB=青，C-至 (1)求AB的长； (2)求cas(4-)的值. 19.(本小题满分17分)n个有次序的实数a1,a2,…,am所组成的有序数组(a1,a2,…,am)称为一个n 维向量，其中a:(i=1,2…,n)称为该向量的第i个分量.特别地，对一个n维向量a=(a1a2,…, am),若|a:|=1,i=1,2…n,称a为n维信号向量.设a=(a1,a2,…,am),b=(b1,b2…,bn),则a 些 和b的内积定义为a·b=之ab,且a⊥b=a·b=0. (1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量； (2)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量； (3)已知k个两两垂直的2024维信号向量x1,x2,…,x%满足它们的前m个分量都是相同的，求 证：√km<45. 烯 数学试题期中质量检测B卷第4页（共4页） 期中质量检测B卷 数学答题卡 姓 名 准考证号 条形码区 缺考标记（学生禁止填涂）☐ 1.答题前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核对条形码上的姓名、 填 正确填涂 注 准考证号。 涂 2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写， 样 错误填涂 × 安 涂写要工整、清晰。 3按照题号在对应的答题区域内作答，超出答题区域的答题无效，在草稿纸、试 例 )0力 项 题卷上作答无效。 4.答题卡不得折叠、污染、穿孔、撕破等。 选择题(1一8小题，每小题5分，9一11小题，每小题6分，共58分) 请在各 1A®g回 4A®回回 7AB回回 10A⑧@回 目的答题区 2A⑧g回 5A®g回 8A®@回 11ABg回 3 A BCD 6ABC回 9ABCD 内作答 非选择题 (需用0.5毫米黑色签字笔书写) 填空题（共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分） 超 12 13. 框的答案无 14 解答题：本题共5小题，共77分 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡期中质量检测B卷第1页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 16.(本小题满分15分) 17.(本小题满分15分) 0 C 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡期中质量检测B卷第？页（共4页） 考生务必将姓名、座号用0.5毫米黑色签字笔认真填写在书写框内，座 考生 姓名 座号 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字.填写样例：若座号02，则填 必填 写为@2 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡期中质量检测B卷第3页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡期中质量检测B卷第4页（共4页）