第8章 立体几何初步 B卷 素养提升卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂单元双测卷（人教A版）

数 新高考 第八章 立体几何初步 ( 学 同步单元双测卷 B卷·素养提升卷 (时间：120分钟，满分：150分) 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.) 1.如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是 (1) (2) (3) (4) A.(1)是棱台 B.(2)是圆台 C.(3)是棱锥 D.(4)是棱柱 2.用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A'BC'.已知点 如 O是斜边B'C'的中点，且A'O'=1,则△ABC的高AC为 ( ) A.1 B.2 C.√2 D.2√2 3.现在国际乒乓球赛的用球已由“小球”改为“大球”.“小球”的直径为38mm,“大球”的直径为 40mm,则“小球”的表面积与“大球”的表面积之比为 () A.√19：√20 B.19:20 C.192:202 D.193:203 4.(2024·全国甲卷（理）)设a、3为两个平面，m、n为两条直线，且a∩B=m.下述四个命题： ①若m∥n,则n∥a或n∥3②若m⊥n,则n⊥a或n⊥B③若n∥a且n∥B,则m∥n④若n与 a,3所成的角相等，则m⊥n 其中所有真命题的编号是 A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④ 5.如图，将一个正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则棱锥的体积与原正方 体的体积之比为 A.1:3 B.1:4 期 C.1:5 D.1:6 6.在四面体ABCD中，已知棱AC的长为√2，其余各棱长都为1，则二面角ACD-B的余弦值为 1 A. B. 3 C 3 D② 3 7.(2024·新课标Ⅱ卷)已知正三棱台ABCA1BC的体积为号，AB=6,AB,=2,则A1A与平面 ABC所成角的正切值为 A.2 B.1 C.2 D.3 数学试题第八章B卷第1页（共4页） 8.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，△ABC是边长为2的正三角形，AA1= 1,N为棱A1B1上的中点，M为棱CC1上的动点，过N作平面ABM的垂 线段，垂足为点O,当点M从点C运动到点C1时，点O的轨迹长度为 A晋 B号 c晋 D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列说法正确的是 A.相等的角在直观图中对应的角仍然相等 B.最长的线段在直观图中对应的线段仍最长 C.线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 D.直角梯形的直观图可能是等腰梯形 10.如图，等边三角形ABC的边长为1，BC边上的高为AD,沿AD把三角形ABC折 起来，则 A.在折起的过程中始终有AD⊥平面DB'C B三棱锥A-DBC的体积的最大值为得 C.当∠BDC=60时，点A到B'C的距离为正 D当∠B'DC=90时，点C到平面ADB'的距离为号 11.已知平面a∥平面B,P是a,3外一点，过点P的直线m与a,3分别交于点A,C,过点P的直线n 与a,B分别交于点B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为 () A等 以号 C.24 D.12 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在题中横线上.） 12.设正三角形ABC的边长为a,PA⊥平面ABC,PA=AB,则A到平面PBC的距离为 13.(2024·北京高考卷)汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升 量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底 面直径依次为65mm、325mm、325mm,且斛量器的高为230mm,则斗量器的高为 mm,升量器的高为 mm.(不计量器的厚度).（本题第一空2分，第二空3分） 14.如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD,则下列结论中 正确的是 ①AC⊥SB: ②AB∥平面SCD: ③SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角； ④AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角， 数学试题第八章B卷第2页（共4页） 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(本小题满分13分)如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,E, F分别是A1A,CC1的中点，求四棱锥C1-B1EDF的体积. D 16.(本小题满分15分)如图，在四面体ABCD中，CB=CD,AD⊥BD,且E、F分 别是AB、BD的中点 求证：(1)EF∥平面ACD; (2)平面EFC⊥平面BCD. 17.(本小题满分15分)已知圆柱OO1的底面半径为2，高为4. ·01 (1)求从下底面出发环绕圆柱侧面一周到达上底面的最短路径长； D (2)若平行于轴OO1的截面ABCD将底面圆周截去四分之一，求截面面积； (3)在(2)的条件下，设截面将圆柱分成的两部分中较小部分为1，较大部分为Ⅱ，求 、 0 V,:Vm(体积之比). 数学试题第八章B卷第3页（共4页） 18.(本小题满分17分)在三棱锥SABC中，SA⊥底面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分 SC且分别交AC、SC于D、E,又SA=AB,SB=BC. (1)求证：BD⊥平面SAC; (2)求二面角EBD-C的大小. 19.(本小题满分17分)如图①梯形ABCD中AD∥BC,AB=√3，BC=1,CD=√2，BE⊥AD且BE= 1,将梯形沿BE折叠得到图②，使平面ABE⊥平面BCDE,CE与BD相交于O,点P在AB上， 且AP=2PB,R是CD的中点，过O、P、R三点的平面交AC于Q. ① (1)证明：Q是AC的中点； (2)M是AB上一点，已知二面角MECB为45°，求的值。 数学试题第八章B卷第4页（共4页） 第八章 立体几何初步B卷 数学答题卡 姓 名 准考证号 条形码区 缺考标记（学生禁止填涂）☐ 1.答题前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核对条形码上的姓名、 填 正确填涂 注 准考证号。 涂 意 2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写， 样 错误填涂 涂写要工整、清晰。 ☑× 事 3按照题号在对应的答题区域内作答，超出答题区域的答题无效，在草稿纸、试 例 )T三 项 题卷上作答无效。 4.答题卡不得折叠、污染、穿孔、撕破等。 选择题(1一8小题，每小题5分，9一11小题，每小题6分，共58分) 请在各 1A®g回 4囚®回回 7AB回回 10A®@回 目的答题区 2A⑧g回 5A®g回 8A®@回 11ABCD 3 A BCD 6ABC回 9ABCD 内作答 非选择题 (需用0.5毫米黑色签字笔书写) 填空题（共3小题，每小题5分，共15分，其中13题第一空2分，第二空3分） 12 框的答案无 14 解答题：本题共5小题，共77分. 15.(本小题满分13分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡第八章B卷第1页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 16.(本小题满分15分) B FA E A 17.(本小题满分15分) C 请在各题目的答题区域内作答 01 , 40 A 出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡第八章B卷第2页（共4页） 考生务必将姓名、座号用0.5毫米黑色签字笔认真填写在书写框内，座 考生 姓名 座号 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字.填写样例：若座号02，则填 必填 写为@2 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡第八章B卷第3页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 19.(本小题满分17分) D 0 D R B ① ② 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡第八章B卷第4页（共4页）数学A版· 2√3a2,而正方体的表面积为6a2,故三棱锥A'-BCD 的表面积与正方体的表面积的比值25区 6a2 3 (2)三棱锥A'-ABD,C-BCD,D-A'D'C',B A'B'C'是完全一样的. 故V三梭锥A-CD=V正方体一4V三校维A-ABD= -4xg×a2xa= 18.(1)证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥底面 ABC.所以BB1⊥AB. 又因为AB⊥BC,BB1∩BC=B,BB1,BCC平面 B1BCC1,所以AB⊥平面B1BCC1 所以平面ABE⊥平面B1BCC1· (2)证明：取AB的中点G,连接 EG,FG,如图.因为E,F分别是 A1C,BC的中点，所以FG∥AC, 且PG=2AC 因为AC∥A1C1,且AC=A1C, 所以FG∥EC1,且FG=EC. 所以四边形FGEC1为平行四边形. 所以CF∥EG. 又因为EGC平面ABE,C,F丈平面ABE, 所以C1F∥平面ABE. (3)解：因为AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,所以 AB=√/AC2-BC2=√5 所以三棱维E-ABC的依积V=子S△A联·AM 合×3×5x1x2-g 31 19.解：(1)线段BC的中点就是满足条件的点P 证明如下：取AB的中点F,连接DP,PF,EF,则FP /AC,FP=AC,取AC的中点M,连接EM,EC, 因为AE=AC且∠EAC=60°，所以△EAC是正三 角形，所以EM⊥AC.所以四边形EMCD为矩形，所 以ED=MC=号AC,又因为ED∥AC,所以ED∥ FP且ED=FP,所以四边形EFPD是平行四边形， 所以DP∥EF,而EFC平面EAB,DP亡平面EAB, 所以DP∥平面EAB. (2)过C作CG∥AB,过B 作BG∥AC,CG∩BG=G, 连接GD. 因为ED∥AC,所以ED∥ BG,所以B,E,D,G四点共 面，所以平面EBD与平面 ABC相交于BG,因为CD ⊥AC,平面ACDE⊥平面 ABGC,所以CD⊥平面ABGC,又因为BGC平面 ABGC,所以BG⊥CD,又BG⊥GC,CD∩GC=C,所 以BG⊥平面CDG,所以BG⊥DG,所以∠DGC是平 面EBD与平面ABC所成的锐二面角日，设AB=AC =AE=a,则GC=AB=a,DC=EM=,所以GD a+( √ a,所以cos9=cos∠DGC-部 27 必修第二册 第八章 立体几何初步 (B卷) 1.C[只有C正确.] 2.D[·△ABC的直观图是等腰直角三角形A'B'C', ∠B'A'C'=90°，A'O=1,∴.A'C'=√2.根据直观图平 行于y轴的长度变为原来的一半，.△ABC的高为 AC=2A'C'=2√2.] 3.C[因为S小球=4元·192，S大球=4π·202，所以S小球 ：S大球=(4π·192)：(4x·202)=192:202.] 4.A[对于①，若m∥，则n∥a或n∥B,正确：对于②， 若m⊥n,当nCa或nC3时，结论不一定成立，错误； 对于③，若n∥a且n∥3，根据线面平行的性质知，m∥ 1,正确，对于④，若n与a,3所成的角相等，m与n不 一定垂直，错误.] 5.D[设正方体的棱长为a,则棱锥的体积V1=3 合XaXaXu=告，又正方你的条叔，=a,所以 V1:V2=1:6.] 6.C[取AC的中，点E,CD的中点 F,剥F=名，B=号，F= 2 B ∴.△BEF为直角三角形，cos0= 」 7.B[分别取BC,B1C1的 中点D,D1,则AD= 33,A1D1=√5，可知 A S8版=合×6X6X 2 =95,SaA5=子×2 B X√3=√3，设正三棱台ABCA1B,C1的高为h,则 VacA,G=子(9后+5+√95X5)h=是，解得 A=1如因，分别过A1心作底面套钱，童足为M。 N,设AM=,则AM=AM+AM√2+ 3 DN=AD-AM-MN=2√3-x,可得DD1= DN+DN=√2-x)+罗，结合等腰掃形 CGB可程=()'+DD,即2+5 3 (25-)++4,解得=45，所以AA与平面 3 ABC所成角的正切值为ian∠AAM=A AM =1.] 8.A[取AB中点P,连接A PC,CN,如图：因为PC⊥ AB,PN⊥AB,且PC∩PN N B =P,PCC平面PCCN, Q --C PNC平面PCCN,所以 AB⊥平面PCCN,又AB C平面ABM,所以平面 夕 ABM⊥平面PCCN,过N作NO⊥PM,文平面 参考 ABM∩平面PCC,N=PM,NOC平面PCC,N,所以 NO⊥平面ABM,当点M从点C运动到点C1时，O 点是以PN为直径的圆Q(部分)，当点M到点C1时， 0点到最高点，此时PC=,CC=l,∠CPG=吾， 所以∠OPQ号，从而∠OQP=晋，所以孤长1=哥 ×号=吾，即点0的执造长度为音] 9.CD[在斜二测画法中，平行性不变，线段上点的相对 位置不变，但线段的长度、角的大小都可能改变，] 10.ABC[因为AD⊥DC,AD⊥DB',且CD∩DB'= D,所以AD⊥平面DB'C,故A正确：当DB'⊥DC 时，△DB'C的面积最大，此时三棱锥A一DB'C的体 积电成大最大值为行×9×合×宁×-得故B 2 正确：当∠BDC=60°时，△DBC是等边三角形，设 B'C的中点为E,连接AE,DE,则AE⊥B'C,即AE 为成A到B'C的距离，A受+9 5,故C正确；当∠BDC=90时，CD⊥DB,CD ⊥AD,故CD⊥平面ADB',则CD就是点C到平面 ADB'的距离，则CD=,故D不正确.] 11.AC[连接AB,CD. (1)当，点P在CA的延长线上，即，点P在平面a与平 面B的同侧时，如图(1) :a∥B,平面PCD∩a=AB,平面PCD∩B=CD,∴. AB/cD-器 PA=6,AC=9.PD=8,号-8D每得BD 2 51 (2)当点P在线段CA 上，即点P在平面a与 平面3之间时，如图 (2).类似(1)的方法， 可得院器 .PA=6,PC=AC- PA=9-6=3,PD= 图(1) 图(2) 8,6=PB,解得PB=16,BD=PB+PD=24 38 综上，BD的长为碧或24.] 12.解析：如图所示，取BC中点E,连 接AE,PE,则AE⊥BC,又BC⊥ PA,.BC⊥平面PAE..平面 PAE⊥平面PBC. 在平面PAE内过A作AF⊥PE, 垂足为F,则AF⊥平面PBC 则AF=PA·AE=2 PE 7a. 答案。 ·9 答案 13.解析：设升量器的高为h1,底面半径为r1,容积为 V1,斗量器的高为h2,底面半径为r2,容积为V2,斛 量器的高为，底面半径为，容积为V,则1-要 325 325 mm,r2= 2 mm,r3= 2 mm,h3=230mm, V1=元rh1= (xh (mm )V2 32512 (2 h2(mm3),V3=xr号h3= 325 2 ×230π (mm3). V1,V2,V3成等比数列且公比g=10,.V1·g2= V3,即 /6512 2)x·h1·100= 325 2 X230π，解得h1 15 2 2 mm,V2·q=V3,即 325 2 π·h2·10= (2）×230m,解得h2=23mm.∴.斗量器的高2 /325 23mm,升量器的高h5mm, 答案：23 115 2 14.解析：易证AC⊥平面SBD,因 而AC⊥SB,①正确； AB∥DC,DCC平面SCD,故 AB∥平面SCD,②正确； 由于SA,SC与平面SBD的AB 相对位置一样，因而所成的角相同，③正确. ,AB∥DC,∴AB与SC所成角为∠SCD,是锐角. DC⊥SD,DC⊥DA,∴.DC⊥平面SAD. ∴.DC⊥SA,即DC与SA成直角，④错. 答案：①②③ 15.解：连接EF,B1D1.设B1到 平面CEF的距离为h1,D到 平面C,EF的距离为h2, 正方体ABCD-A1B1CD 的棱长为a,E,F分别是 A1A,CC的中点，.h1+h2 =B1D1=√2a. D 又sacm=6GF,EF=名x号×Ea=9a 1 VC-B,EDF=VaC,F+VDC,F=3·S△C,F·(h1 +hb)=日×2xa-日. 16.证明：(1)E,F分别是AB,BD的中点，∴EF是 △ABD的中位线，∴.EF∥AD,:EF亡平面ACD, ADC平面ACD,.EF∥平面ACD. (2)AD⊥BD,EF∥AD,∴.EF⊥BD. CB=CD,F是BD的中点，.CF⊥BD. 又EF∩CF=F,∴.BD⊥平面EFC. ,BDC平面BCD,'.平面EFC⊥平面BCD. 17.解析：(1)将侧面沿某条母线剪开铺平 01 得到一个矩形，邻边长分别是4π和4， 则从下底面出发环绕侧面一周到达上 底面的最短路径长即为此矩形的对角 线长4√1+π2. 数学A版· (2)连接OA,OB,:藏面ABCD将底面圆周藏去， .∠AOB=90°， :OA=OB=2,∴.AB=2√2，而截面ABCD是矩形 且AD=4, ∴.S载面AD=2V2X4=8V2. (3)依题知V圈柱=Sh=16π，三棱柱AOB-DO1C的 体积是8， 则V1+8=子Va数=，V1=4x-8,而V1 V图柱-V1=12x+8, 于是V1:V1=3x+2 π-2 18.解：(1)证明：如图，DE⊥SC, 且E为SC的中点，又SB=BC, .BE⊥SC. 又DE∩BE=E,根据直线与平 面垂直的判定定理知SC⊥平面 BDE,BDC平面BDE,∴.SC ⊥BD. 又SA⊥平面ABC,BDC平面ABC,∴.SA⊥BD. 又SA∩SC=S,∴.BD⊥平面SAC. (2)由(1)知∠EDC为二面角EBD-C的平面角，又 △SACc∽△DEC,∴.∠EDC=∠ASC. 在Rt△SAB中，∠SAB=90°，设SA=AB=1,则SB =√2. 由SA⊥BC,AB⊥BC,AB∩SA=A,∴.BC⊥平面 SAB,SBC平面SAB,∴.BC⊥SB. 在Rt△SBC中，SB=BC=√2，∠SBC=90°，则SC =2. 在Rt△SAC中，∠SAC=90°，SA=1,SC=2. cs∠AsC-2子. ∴.∠ASC=60°，即二面角EBDC的大小为60. 19.解：(1)在图①中过C作CF⊥AD,则EF=BC=1, CF=BE=1, 图②中，BD∩CE=O,又CD=√2，∴DF=1,∴.DE =2,.DE=2BC且DE∥BC..△BCO∽△EDO, '.DO=2OB,在△BAD中，DO=2OB,AP=2PB, '.OP∥AD,又OP中平面ACD,ADC平面ACD, ∴.OP∥平面ACD,平面OPQR∩平面ACD=RQ, .OP∥RQ,∴RQ∥AD,又R是CD的中点，∴.Q是 AC的中点； C ① (2)如图，过M作MH⊥BE交 BE于H,过H作HG⊥CE于 ,点G,连接MG,且BE⊥AE,因 为平面ABE⊥平面BCDE,平 面ABE∩平面BCDE=BE,所 以AEL平面BCDE,MH年BaO 必修第二册 面BCDE,所以AE∥MH,因为CEC平面BCDE,所 以MH⊥CE,因为MH∩HG=H,MH、HGC平面 MHG,所以CE⊥平面MHG,MGC平面MHG,所 以MG⊥CE,则∠MGH为二面角M-CE-B的平面 角，∴∠MGH=45,设-AMH=(1-XAE =1-E,又能-器-2HE=BE=在 △BCE中，∠BFBC=45,HG=号HE=号X,由 ∠MGH=45得HG=MH,p号A=-1-XE.a 2.AM_2 3…AB=3 期中质量检测 (A卷) 1.C[由题意得之=i(-1-i)=1-i.] 2.B[由于(a-b)⊥a,所以(a-b)·a=0,即a2-a ·h-0,所以ah=a2=2,所以osa,b)=日治 一记要甲：与B的大病说导] 3.A[设圆台较小底面圆的半径为r,由题意，另一底 面圆的半径R=3r.所以S侧=π(r十R)l=4πr×3= 84π，解得r=7.] 4.C[..a sin A-sin B-sin C2R-8,sin C-8 sa=a6snC-答=l5g2-反] 16 5.A[设球的半径为R,截面圆的半径为r, 则（瓷）+r2-R所以产=子爬.故=职 S球4πR2 6.A[设此铁塔高h(m),则BC=√5h,在△ABC中， ∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=200. 银搭正提定理得品解得么-四m] 3 7.B[设P(x,0),则有AP·BP=(x-2,0-2)·(x 4,0-1)=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2 十1，当x=3时，(AP·BP)mim=1,此时P点坐标为 (3,0). 8.D[四棱锥的底面是边长为4 的正方形，且PA=PB=4,PC A =PD=2√2，如图，设AB,CD E2…0 的中点分别为E,F,则PE⊥B AB,PF⊥CD,连接EF,,EF⊥CD,PF⊥CD,EF∩ PF=F,EFC平面PEF,PFC平面PEF,.CD⊥平 面PEF,又CDC平面ABCD,∴.平面PEF⊥平面 ABCD,且平面PEF∩平面ABCD=EF.过点P作 PO⊥EF于点O,则POC平面PEF,则PO⊥平面 ABCD.在△PEF中，由题可求得PE=2√3，PF=2, EF=4,∴.PE2+PF2=EF2,∴∠EPF=90°，根据面 积相等可得PO·EF=PE·PF,即4PO=2√5×2， 得PO=√3.]