第八章 立体几何初步全章综合测试卷（基础篇）-2025-2026学年高一数学春季讲义（人教A版必修第二册）

第八章 立体几何初步全章综合测试卷（基础篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·湖北黄冈·期末）下列说法正确的是（    ） A．通过圆台侧面一点，有无数条母线 B．棱柱的底面一定是平行四边形 C．圆锥的轴截面都是等腰三角形 D．用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台 【答案】C 【解题思路】根据空间几何体的定义依次判断各个选项即可. 【解答过程】对于A，根据母线定义可知，通过圆台侧面一点，有且仅有一条母线，故A错误； 对于B，棱柱包括三棱柱、四棱柱等，其中三棱柱底面是三角形，四棱柱底面是四边形即可，故B错误； 对于C，圆锥的轴截面都是等腰三角形，故C正确； 对于D，由棱台的定义可知，需用平行于底面的平面截棱锥可得棱台，不是任意平面都可以，故D错误. 故选：C. 2．（5分）（24-25高一下·广东云浮·期末）如图所示，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据斜二测直观图求出, 的长，求出的面积． 【解答过程】由斜二测直观图可知，且， 则的面积. 故选：D. 3．（5分）（24-25高一下·天津·期末）已知三个不同的平面，，和三条不同的直线，，，下列命题中为假命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 【答案】B 【解题思路】利用空间线面的位置关系逐个判断即可. 【解答过程】因为，，所以，A正确； 若，，则或，B不正确； 因为，，，所以， 因为，，，根据线面平行的性质定理，所以，又，所以，C正确； 因为，，所以，D正确. 故选：B. 4．（5分）（24-25高一下·四川泸州·期末）已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先由侧面积得母线长，再由母线得到高，进而圆台的体积公式可得出. 【解答过程】如图，由圆台上、下底面面积分别是、，得上底面半径，下底面半径. 侧面积是，得，得，在直角三角形中， ，高， 所以. 故选：A. 5．（5分）（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）已知长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】连接，根据可知或其补角即为所求，然后利用余弦定理求解即可. 【解答过程】如图所示：连接，根据长方体的性质易知， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成角，则或其补角即为所求， 不妨， 在中，， 所以由余弦定理得. 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 6．（5分）（24-25高一下·福建福州·期末）已知在三棱锥中，，则三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】只需求得三棱锥外接球的半径，再结合球的体积公式即可求解. 【解答过程】如图所示，取中点，因为， 所以， 而，所以， 所以， 所以点为三棱锥外接球的球心， 所以三棱锥外接球的半径为，故所求为. 故选：A. 7．（5分）（24-25高一下·湖北咸宁·期末）如图，在三棱锥中，点D、F分别为棱PB，AC上的点，且，，E为线段BC上的点，若，且满足平面PEF，则λ=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】取的中点，平面PEF，平面PEF，得到平面平面，然后得出最后得到结果. 【解答过程】如图，取的中点，连接， 由，所以为的中点，又为的中点，所以 PE， 平面，平面，所以平面， 又平面，且，平面， 所以平面平面，由平面，所以平面 又平面，平面平面，所以 又，所以，所以，故 故选：A. 8．（5分）（24-25高一下·福建福州·期末）如图，直三棱柱，，平面平面，直三棱柱的体积为，则与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】过点作，垂足为，由平面平面可得平面，进而得到，结合直三棱柱的特征可得，进而得到平面，可得为直线与平面所成的角，进而求解即可. 【解答过程】过点作，垂足为， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 在直三棱柱中，平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面，而平面， 则为直线与平面所成的角，且， 因为，且直三棱柱的体积为， 所以，解得， 而，则，即， 则与平面所成的角为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·陕西西安·期末）下列命题中不正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 【答案】ABC 【解题思路】根据棱柱的几何结构特征依次判断选项即可． 【解答过程】对于A中，如图所示： 满足有两个面互相平行，其余各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，故A不正确； 对于B中，正六棱柱中有四对互相平行的面，但只有一对面为底面，所以B不正确； 对于C中，长方体、正方体的底面都是平行四边形，故C不正确； 对于D中，根据棱柱的几何结构特征，可得棱柱的侧棱都相等，且侧面都是平行四边形，所以D正确. 故选：ABC. 10．（6分）（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，该几何体是正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，正四棱柱的高为，则下列选项中正确的是（    ） A．正四棱锥的高为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的体积为 D．一只小蚂蚁从点沿几何体的表面爬行到点，它所经过的最短路程为 【答案】ACD 【解题思路】求出四棱锥的高判断A；求出表面积判断B；求出体积判断C；将长方形及正三角形置于同一平面内，求出最短路程判断D. 【解答过程】对于A，正四棱锥底面半径，高，故A正确； 对于B，几何体的表面积为，故B错误； 对于C，该几何体的体积为，故C正确； 对于D，观察图形知，小蚂蚁从点爬行到点的最短路径为沿表面越过棱或， 由对称性，不妨取长方形及正三角形，将它们置于同一平面内， 连接，如图，取中点，连接， 则，而， 所以最短路程为，故D正确． 故选：ACD． 11．（6分）（24-25高一下·湖南岳阳·期末）在如图所示的三棱锥中，，平面，，下列结论正确的为（　　） A．直线与平面所成的角为 B．二面角的正切值为 C．到面的距离为 D．两条异面直线与所成的角的余弦值为 【答案】BCD 【解题思路】根据线面角的定义判断A，取中点为，连接，即可得到为二面角的平面角，求解可判断B，利用等体积法求解可判断C，利用定义法求得异面直线所成的角的余弦值可判断D. 【解答过程】因为平面，故为直线与平面所成的角， 又，所以， 故直线与平面所成的角不是，故A不正确； 如图，取中点为，连接，因为，所以， 又平面，平面面，， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 故为二面角的平面角， 因为，，所以是等边三角形， 所以，所以， 所以二面角的正切值为，故B正确； 因为，，所以， ，， 设到面的距离为，由，得， 所以，解得，故C正确； 如图，过分别作，交于点，连接， 则（或其补角）为异面直线所成的角， 因为，所以，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以两条异面直线所成的角的余弦值为，故D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·山东烟台·月考）如图，这是用斜二测画法画出的水平放置的梯形的直观图，其中，，梯形的面积为30，则梯形的高为___________． 【答案】10 【解题思路】根据斜二测画法的规则以及梯形的面积公式进行求解即可. 【解答过程】根据题意，设原图梯形的高为h，直观图梯形的面积为30， 则原图的面积， 原图中，，且， 则有，则． 故答案为：． 13．（5分）（24-25高一下·北京·期末）随着畜牧业经济的发展和牧民生活的改善，穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替．一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体.如图，已知该圆锥的高为3m，圆柱的高为4m，底面直径为8m，该蒙古包的体积是___________. 【答案】 【解题思路】由题知该蒙古包由圆柱和圆锥构成，利用圆柱和圆锥体积公式计算即可. 【解答过程】根据题意该蒙古包由圆柱和圆锥构成， 则该几何体体积为. 故答案为：. 14．（5分）（24-25高一下·上海·期末）如图，在边长为的正方体中，为的中点，过 、、作正方体的截面，则截面面积为____________. 【答案】 【解题思路】首先根据平行的性质，作出平面，再求面积. 【解答过程】如图，取的中点，连结，，，， 因为为的中点，所以，又， 所以，则平面为平面，且 四边形为截面四边形，为等腰梯形， ，，， 所以梯形的高， 所以梯形的面积. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·全国·课后作业）指出下面两图中的几何体是由哪些简单几何体构成的．      ①             ② 【答案】①由2个四棱锥构成；②由1个三棱柱和1个四棱柱构成 【解题思路】由组合体结合简单几何体判断． 【解答过程】由组合体结合简单几何体知道①由2个四棱锥构成； ②由1个三棱柱和1个四棱柱构成. 16．（15分）（2025高一·全国·专题练习）如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 【答案】(1)图象见解析 (2)5， 【解题思路】（1）利用斜二测画法的规则即可画出原四边形； （2）利用梯形的面积公式求解即可. 【解答过程】（1）得， 如图，建立平面直角坐标系， 在轴上截取，，， 在过点的轴的平行线上截取， 在过点的轴的平行线上截取， 连接，即可得到原四边形． （2）由题意得，原四边形是直角梯形，且，，， 故四边形的面积为， 又直观图中梯形的高为，，， ∴四边形的面积为． 17．（15分）（24-25高三上·宁夏·月考）如图，空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且． (1)求证：四点共面； (2)设与交于点，求证：三点共线． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）证明四边形中有一对平行直线即可. （2）要证明三点共线，可证明点在直线上，即证明点在平面与平面的交线上即可. 【解答过程】（1）证明：在中，∵为的中点， ∴． 在中，∵， ∴，∴， ∴四点共面． （2）∵，，， ∴平面，平面， 又平面平面， ∴直线．∴三点共线． 18．（17分）（24-25高一下·辽宁·月考）如图所示，某模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面直径为，高为，圆锥母线长为. (1)求该模型的体积； (2)现要用油漆对500个这种模型进行粉刷，油漆费用为每平方米30元，求总费用. 【答案】(1) (2)元 【解题思路】（1）先求出圆锥的高，再根据圆柱与圆锥的体积公式，即可求解； （2）先求出组合体的表面积，再求总费用. 【解答过程】（1） 如图所示，由题可知，，. 所以在中，， 所有该圆柱的体积为， 截去的圆锥的体积为， 故该模型的体积为. （2）由题可知该圆柱的侧面积为， 圆柱的上底面的面积为， 圆锥侧面积为， 故该模型的表面积为， 所以油漆的总费用为元. 19．（17分）（24-25高一下·吉林长春·期末）如图1，在中，，，分别是的中点，现将沿逆时针翻折形成四棱锥（如图2），且，直线与平面所成的角为. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）由已知先证明平面，然后由面面垂直的判定定理即可证明； （2）连接，过点作，垂足为，连接，得出二面角的平面角为，即可求解. 【解答过程】（1）因为分别是的中点，所以， 因为，所以，则，，即， 又因为，平面，所以平面， 故平面，又平面， 所以平面平面. （2）连接，过点作，垂足为，连接，如图所示， 因为平面，直线与平面所成的角为 所以，即， 因为，，所以，是等腰直角三角形， 可得，所以，即为等边三角形， 则点为中点，， 在中，，在中，，则， 由点为中点得，， 又平面，平面，平面平面， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以二面角的正切值为. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 立体几何初步全章综合测试卷（基础篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·湖北黄冈·期末）下列说法正确的是（    ） A．通过圆台侧面一点，有无数条母线 B．棱柱的底面一定是平行四边形 C．圆锥的轴截面都是等腰三角形 D．用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台 2．（5分）（24-25高一下·广东云浮·期末）如图所示，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的面积是（ ） A． B． C． D． 3．（5分）（24-25高一下·天津·期末）已知三个不同的平面，，和三条不同的直线，，，下列命题中为假命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 4．（5分）（24-25高一下·四川泸州·期末）已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）已知长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（24-25高一下·福建福州·期末）已知在三棱锥中，，则三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 7．（5分）（24-25高一下·湖北咸宁·期末）如图，在三棱锥中，点D、F分别为棱PB，AC上的点，且，，E为线段BC上的点，若，且满足平面PEF，则λ=（   ） A． B． C． D． 8．（5分）（24-25高一下·福建福州·期末）如图，直三棱柱，，平面平面，直三棱柱的体积为，则与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·陕西西安·期末）下列命题中不正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 10．（6分）（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，该几何体是正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，正四棱柱的高为，则下列选项中正确的是（    ） A．正四棱锥的高为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的体积为 D．一只小蚂蚁从点沿几何体的表面爬行到点，它所经过的最短路程为 11．（6分）（24-25高一下·湖南岳阳·期末）在如图所示的三棱锥中，，平面，，下列结论正确的为（　　） A．直线与平面所成的角为 B．二面角的正切值为 C．到面的距离为 D．两条异面直线与所成的角的余弦值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·山东烟台·月考）如图，这是用斜二测画法画出的水平放置的梯形的直观图，其中，，梯形的面积为30，则梯形的高为___________． 13．（5分）（24-25高一下·北京·期末）随着畜牧业经济的发展和牧民生活的改善，穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替．一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体.如图，已知该圆锥的高为3m，圆柱的高为4m，底面直径为8m，该蒙古包的体积是___________. 14．（5分）（24-25高一下·上海·期末）如图，在边长为的正方体中，为的中点，过 、、作正方体的截面，则截面面积为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·全国·课后作业）指出下面两图中的几何体是由哪些简单几何体构成的．      ①             ② 16．（15分）（2025高一·全国·专题练习）如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 17．（15分）（24-25高三上·宁夏·月考）如图，空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且． (1)求证：四点共面； (2)设与交于点，求证：三点共线． 18．（17分）（24-25高一下·辽宁·月考）如图所示，某模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面直径为，高为，圆锥母线长为. (1)求该模型的体积； (2)现要用油漆对500个这种模型进行粉刷，油漆费用为每平方米30元，求总费用. 19．（17分）（24-25高一下·吉林长春·期末）如图1，在中，，，分别是的中点，现将沿逆时针翻折形成四棱锥（如图2），且，直线与平面所成的角为. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正切值. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $