第7章 复数 B卷 素养提升卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂单元双测卷（人教A版）

参考 15.解：(1)根据复数相等的充要条件，得 (m2+5m+6=2, (m2-2m-15=-12, 解得m=一1. (2)根据共轭复数的定义，得 m2+5m+6=12,.解得m=1. (m2-2m-15=-16, (3)由题意，知m2-2m-15>0,解得m<-3或m> 5,故实数m的取值范围为(-o∞，一3)U(5,十c∞). 16.解：x2+ax+b=(1+i)2+a(1+i)+b=a+b+(2 十a)i,x2-之+1=(1十i)2-(1+i)+1=i, :+az+h=(2+a)-（a+bi=1-i. …之2-之十1 2士a=解得{a。1, (a+b=1, 1b=2. 17.解：设之=a+bi(a,b∈R). ,|x=1+3i-之，.√a2+b3-1-3i+a+bi=0, 即W0+F+a-1=0, b-3=0, 解得=-4，」 ,.之=4+3i, b=3, :1+i)23+4)2=2C-7+24n=24+7i=3+4i. 2(-4+3i)4-3i 18.解：(1)设之=bi(b∈R且b≠0)，则之=-bi,因为之 |=25,则|2bi=2√5，即b=√5，所以b=士√5 所以之=士√i. (2)设之=a十bi(a,b∈R),则=a-bi,因为|x-之= 2√3，则|2bi=2√3，即b|=√3，x-之2=a+bi-(a bi)2=a-a2+b2+(b+2ab)i. 因为之一心2为实数，所以b+2ab=0,因为|b=√5，所 以a=合所以1√(）)+（士2=四 2 19.解：由题意，得之1 a千5-(10-a2)i,则+2 3 a年-(10-a2)i+2。+(2a-5)i 3 (是+名a)十a2+2a-15i 因为之1十2可以与任意实数比较大小，所以之1十2 是实数，所以a2+2a-15=0,解得a=-5或a=3. 又因为a十5≠0，所以a=3所以1=号+i2:=-1 +i. 所以0Z=(尽1)0Z=(-110.所以0Z·02 =号×(-10+1x1=号 第七章复数 (B卷) 1.B[由ab=0,得a=0,b≠0或a≠0，b=0或a=0,b =0,a十名-a一i不一定为纯虚教：若a十台=a一i b 为纯虚数，则有a=0且b≠0，这时有ab=0.综上，可 知选B.] 答案 2.A[因为之=5十i,所以之=5-i,故i(之十x)=10i] 3.A[设之=a+bi(a,b∈R),则之=a-bi.故2x+3z= 2(a+bi)+3(a-bi)=5a-bi=5-3i,所以 {巴。5年号化所以=1+ b=3, 4.C ['2=cos20-sin20-2isin 0cos 0=cos 20-isin 20, :/sin20=0 cs20=10=kx(k∈z.J 5.C[由已知，得m-2m+2>0 g(m2+3m-3)=01 即m2-2m+2>0 '{m2+3m-3=1解得m=1或-4.们 6.A[因为3-i=·(-2i),所以之=3- -2√3i 侣，凰-日+得头对应的点的 (-2√i)(23i) 12 生样为（合号）在第一泉联 7.B[,1十√②i是关于x的实系数方程x2十b.x十c=0 的一个根，∴.(1十√②i)2+b(1+√2i)十c=0,整理得(b +c-1)+(2√2+√2b)i=0, 。2 b+c-1=0, 8.B[之十2-2i=1表示圆心为点(-2,2)，半径为1 的圆，而之一2-2i表示圆上的点到点(2,2)的距离， 其最小值为3，∴之-2一2i-3的最小值为0.] 9.ABD[对于A,若之∈C,设之=a十bi(a,b∈R),则之 ·之=a2十b2∈R,所以A是真命题；对于B,若虚数a +bi(a,b∈R)是方程的根，则a一bi也一定是方程的 一个根，所以B是真命题；对于C,例如之=i,则之= 一i,此时之·之=1，所以C是假命题：对于D,若之1> 2,则1,2必为实数，所以D是真命题.] 10.BD[A中之1十22=0只能说明之1=一之2；B中|之1 十之2|=0，说明1=之2=0，即=2=0；C中 1x1=|21,说明1OZ11=10Z21,但OZ1与0Z2方向 不一定相同；D中之1一之2=0，则21=之2，故之1=之2： 故正确的为BD项.] 11.ABD[对选项A:OZ1∥OZ2,则1×y-(-1)×x 0,即x十y=0,故A正确； 对选项B:OZ1⊥OZ2,则OZ1·OZ2=(1,-1)·(x, y)=x-y=0,即x=y, 1之1+21=W(1十x)2+(x-1)2,|1-2|= √(x-1)2+(1十x)2,故B正确： 对选项C:OZ1⊥OZ2,则x=y,z12=(1-i)(x+xi) =2x,当x≠0时，之12≠0，故C错误；对选项D:之号十 x号=-2i+x2-y2+2.xyi=0,则x2-y2=0且xy= 1好名-02.2-=0t OZ1⊥OZ2,故D正确.] 数学A版· 12.解析：由题意知m>0,(log2m)2十16≤25，即 (log2m)2≤9，-3≤log2m≤3，所以23≤m≤23，即 名<m<8。 答案[日8] 13.解析：(1)不正确，设互为共轭复数的两个复数分别 为之=a十bi及之=a-bi(a,b∈R),则之-之=2bi或之 一之=一2bi,当b≠0时，之一之，之一之是纯虚数，当b=0 时，之一之=0，之一之=0： (2)不正确，可以举反例：设之=i,则之2=2=一1<0： (3)不正确，可以举反例：设1=3十i,之2=2十i,则 之1一2=1>0，但之1，之2不能比较大小： (4)不正确，：a>b,∴.a,b∈R,故a十i,b+i都是虚 数，不能比较大小.故填0. 答案：0 14.解析：z=z1-2=(3.x+y-4y+2x)+(y-4x+5x +3y)i=(5x-3y)+(x+4y)i=13-2i. 1郑化 y=-1. .21=5-9i,22=-8-7i. 答案：5-9i-8-7i 15.解：设之=a+bi,则之=a-bi(a,b∈R), .(1+2i)(a-bi)=4+3i..(a+2b)+(2a-b)i=4 +3i. :8+2h=4a=2,6=1,g=2+i.2=2- (2a-b=3, 三2+-+ 之2一i 5 16.解：(1)设x=a十bi(a、b∈R),则2=a2-b2+2abi, 由题意得a2+b2=2且2ab=2,解得a=b=1或a= b=-1,所以之=1十i或之=-1一i. (2)当之=1十i时，之2=2i,之-2=1-i,所以A(1, 1)、B(0,2)、C(1,-1),所以S△ABC=1. 当之=-1-i时，之2=2i,x-之2=-1-3i, 所以A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),所以S△ABC =3×2X1=1 17.解：1)因为=2i+10-2i=10=10(3-D=3-i, 3+i 3+i 10 所以|x|=√0. (2)因为(3-i)(3-i+a)=(3-i)2+(3-i)a=8+3a a+6)i=b+i,所以8+3a=b, >a=-7, 1-(a+6)=1,1b=-13. 15-5i15-5i(15-5i)(3-4i) 18.解：(1)因为2=(2+)23+4i (3+4i)(3-4i) =2575i=1-3i,所以12=(2-3i)(1-3i)= 25 -7-9i. (2)由之-名|=1知，之在以(2，-3) 为圆心，以1为半径的圆上，如图：之2 在复平面内对应的点为B(1,一3)， 0 所以当之对应的点为A(3,一3)时， |之一之2的最大值为2. BA 必修第二册 l9.解析：(1)之1·z2=r1(cosa十isin a)·r2(cos3+isin3) =rir2[cos acos B-sin asin B+i(sin acos B+cos asin ]=os(a+B)+in(a+B小， r(cos a+isin a)r (cos a+isin a)(cos B-isin B) r2(cos B+isin B)r2 (cos B+isin B)(cos B-isin B) r[cos acos B+sin asin B+i(sin acos B-cos asin B)] r2 (cos2B+sin2B) -月[costagD+isine-g]: (2)设arg之3=a,arg之4=B,之3的模为r3,之4的模为 r4,a,3∈[0,2x),对于之3=1-cos0+isin0有 (1-cos 0=r3cos a>0 ,0∈（元，2x), sin 0=rasin a<0 对于4=1+cos0+isin0有{，+cos9=c0s>0 Isin 0=rasin <0 sin 0 sin 0e(r,2x),所以tana=-cos0tan月=1中c0s0 ,9∈（受，2x)降以tama+tan月=00十 sin sin a sin (1+cos +sin (1 cos 0)2 1+cos 0 (1-cos8)(1+cos0) sin sin sin tan atan--os0‘1中cos0-l,所以an(a+) tana十tan巴无意义，即a十B的角的终边在y轴上，又a 1-tan atan B +3∈(3π，4x),所以a+B=2 -7匹，即arg3十arg4= 7π (3)如图，建立平面直角坐 标系，在复平面内，过原点 A作BC的平行线，过C作 AB的平行线，交于点D, 则AB+AD=AC,所以c (cos A+isin A)+a[cos (-C)+isin(-C)]=b,即 ccos A+icsin A+acos C- iasin C=b,E (ccos A+acos C)+i(csin A-asin C)=b 根据复数的定义，实部等于实部，虚部等于虚部，可 将A十m二降以品 sin A=sin C.ccos A+ aasC=6,同里B+-asA= b sin C sin Bbcos C.+ccos B=a,所以a b b sin A sin B sin Ca=bcos C+ccos B,b=acos C+ccos A.c= acos B+bcos A. 第八章 立体几何初步 (A卷) 1.B[①③⑤不是柱体，②是圆柱，④是以左、右面为底 面的棱柱.] 2.C「该几何体是圆柱. 3.A[因为AD∥BC∥B1C1,且1与B1C1不平行，所 以1与AD不平行.] 4.B[设圆柱的底面半径为r,则圆锥的母线长为 √2+3，而它们的侧面积相等，所以2πr×√3=πrX数 新高考 第七章复数 () 学 同步单元双测卷 B卷·素养提升卷 (时间：120分钟，满分：150分) 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.) 1.设a,b∈K,i是虚数单位，则“ab=0”是“复数a+为纯虚数”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2024·全国甲卷（理）)若x=5+i,则i(之十x)= A.10i B.2i C.10 D.2 3.若复数之满足2x十3之=5一3i,其中i为虚数单位，则之= 如 A.1+3i B.1-3i C.-1+3i D.-1-3i 4.若=cos0+isin0(i为虚数单位)，则使乏2=1的0值可能是 A.3 R牙 C.元 D. 5.若复数≈=1g(m2一2m+2)+i·1g(m2+3m一3)为实数，则实数m的值为 A.1 B.-4 C.1或-4 D.以上都不对 6.已知3一√i=之·（一2√3），那么复数之在复平面内对应的点应位于 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.若1+√2i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则 ( A.b=2,c=3 B.b=-2,c=3 C.b=-2,c=-1 D.b=2,c=-1 8.若之∈C且|之+2-2i=1,则|之-2-2i-3的最小值是 ( A.-1 B.0 C.1 D.2 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.设有下面四个命题，其中正确的是 A.若∈C,则之·之∈R B.若虚数a十bi(a∈R,b∈R)是方程x3+x2十x+1=0的根，则a一bi也是方程的根 翻 C.已知复数1,2，则1=2的充要条件是12∈R D.若复数1>2，则之12∈R 10.已知1,2是复数，以下结论正确的是 ( A.若十2=0，则1=0，且2=0 B.若之1十|之2|=0，则之1=0，且2=0 C.若|x1|=|2I,则向量OZ1和OZ2重合 D.若引之1一x2|=0,则1=2 11.已知复数1=1-i,复数2=x+yi,x,y∈R,1,2所对应的向量分别为OZ1,OZ2,其中O为坐 标原点，则 A.若OZ1∥OZ2,则x十y=0 B.若OZ1⊥OZ2,则|1+21=|x1-2 C.若OZ1⊥OZ2,则12=0 D.若+=0，则OZ1⊥OZ2 数学试题第七章B卷第1页（共4页） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在题中横线上.） 12.已知实数m满足不等式1log2m十4i≤5，则m的取值范围为 13.下面命题中正确的有 个. (1)两个共轭复数的差是纯虚数； (2)若x∈C,则之2≥0： (3)若1之2∈C,且1一2>0，则之1>2； (4)若a>b,则a十ib+i. 14.(多空题)已知1=(3.x+y)+(y-4x)i(x,y∈R),2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R).设之= 之1一2，且之=13一2i,则1= .（本题第一空2分，第二空3分) 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 之 15.(本小题满分13分)已知(1+2i)x=4十3i,求之及一。 16.(本题满分15分)已知复数之满足|之|=√2，z2的虚部是2. (1)求复数之； (2)设之之2，之一2在复平面上的对应点分别为A、B、C,求△ABC的面积. 数学试题第七章B卷第2页（共4页） 17.(本小题满分15分)已知复数：=1+)2+2(5-卫 3+i (1)求|之； (2)若(x+a)=b+i,求实数a,b的值. 8.(本小题满分12分)吧知复数1=2一31，之2=5求 (1)之1·2. (2)若z∈C,且|之一1|=1，求|x一2|的最大值. 数学试题第七章B卷第3页（共4页） 19.(本小题满分17分)复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、 欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.形如之=a十bi(a,b∈R)的数称为复数，其中 a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位，2=一1.当b=0时，之为实数；当b≠0且a=0时，之为 纯虚数.其中|x|=√a2+b2,叫做复数之的模.设x1=a+bi,2=c+di,a,b,c,d∈R,1=2台 6如图，点Za,b,复数2=a十i可用点Za,b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数 的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚 轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反 过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数之=a十bi都可以 表示成r(cos0十isim9)的形式，即a=cos9, 其中r为复数之的模，0叫做复数x的辐角，我们规 (b=rsin 0 定0≤0<2π范围内的辐角0的值为辐角的主值，记作arg之.r(cos0+isin0)叫做复数之=a+bi的 三角形式 a±a2人(a+b±(c+d)=(a±c+6±1 Z:a+bi z1z2 (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i 7a+bi ac+bd bc-ad 人c+di=c2+d c2+ i(c+di≠0) 0 a x (1)设复数x1=(cosa十-isina),2=r2(cosB+isin),求1·2、的三角形式： (2)设复数x3=1-cos0十isin0,4=1十cos0+isin0,其中0∈（π，2x),求arg3十arg4; (3)在△ABC中，已知a、b、c为三个内角A,B,C的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所 给复数相关内容，证明： ①a b sin A sin B sin Ci 2a=bcos C+ccos B,b=acos C+ccos A:c=acos B+bcos A. 注意：使用复数以外的方法证明不给分. 数学试题第七章B卷第4页（共4页） 第七章复数B卷 数学答题卡 姓 名 准考证号 条形码区 缺考标记（学生禁止填涂）☐ 填 正确填涂 注 1.答题前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核对条形码上的姓名、 准考证号。 涂 意 2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写， 样 错误填涂 × 涂写要工整、清晰。 3按照题号在对应的答题区域内作答，超出答题区域的答题无效，在草稿纸、试 例 )0力 项 题卷上作答无效。 4.答题卡不得折叠、污染、穿孔、撕破等。 选择题(1一8小题，每小题5分，9一11小题，每小题6分，共58分) 请在各 1A®g回 4A®回回 7AB回回 10A⑧@回 目的答题区 2A⑧g回 5A®g回 8A®@回 11A®C回 3 A BCD 6ABC回 9ABCD 内作答 非选择题 (需用0.5毫米黑色签字笔书写) 填空题（共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分） 超 12 13. 框的答案无 14 解答题：本题共5小题，共77分 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡第七章B卷第1页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 16.(本小题满分15分) 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答 ,超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡第七章B卷第2页（共4页） 考生务必将姓名、座号用0.5毫米黑色签字笔认真填写在书写框内，座 考生 姓名 座号 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字.填写样例：若座号02，则填 必填 写为@2 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡第七章B卷第3页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 19.(本小题满分17分) 1±z2人(a+bi±(c+d)=(a±c)+(6±d0i a‘z2人(a+bi(c+di)=(ac-bd+(bc+ad0i atbi ac+bd be-ad c+di i(c+di≠0) 2 c+d c2+d2 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡第七章B卷第4页（共4页）