第7章 复数 A卷 基础达标卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂单元双测卷（人教A版）

数 新高考 第七章 复数 () 学 同步单元双测卷 A卷·基础达标卷 (时间：120分钟，满分：150分) 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.) 1.复数i(2一i)= A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i 整 2.已知i为虚数单位，则 +√5i 9+ c9+ D.2 如 3.如果复数-1十则 A.|x1=2 B.之的实部为1 C.之的虚部为一1 D.x的共轭复数为1+i 4.若(1+2ai)i=1-bi,其中a,b∈R,则|a+bi= 识 A.2 1 B.5 D.是 5.(2024·新课标1卷)若产=1+i,则 A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 6.若复数之满足(3一4i)x=|4+3i引，则之的虚部为 ( A.-4 R-专 C.4 n.青 7.复数 2=2一3分别对应复平面内的点P,Q,则向量PQ对应的复数是 毁 A.√10 B.-3-i C.1+i D.3+i 8.已知(1十i)b=a(i-1)十2i,其中a,b∈R,i为虚数单位，则以a,b为根的一个一元二次方程是 A.x2-1=0 B.x2+x=2 C.x2-x=0 D.x2+x=0 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 阳 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列命题正确的是 1 函 A.复数1，之2的模相等，则之1,2是共轭复数 B.1,2都是复数，若1十2是虚数，则1不是2的共轭复数 C.复数：是实数的充要条件是之=之（之是之的共轭复数） D.已知复数1=一1+2i,2=1-i,3=3-2i(i是虚数单位)，它们对应的点分别为A,B,C,O为 坐标原点，若OC=xOA+yOB(x,y∈R),则x+y=1 10.已知a∈R,i是虚数单位.若之=a+√3i,x·之=4，则a= ( A.1 B.-1 C.-√5 D.5 数学试题第七章A卷第1页（共4页） 11.设有下面四个命题，其中为真命题的是 () A.若复数：满足∈R,则∈R B.若复数之满足之2∈R,则之∈R C.若复数1,2满足12∈R,则1=2 D.若复数之∈R,则z∈R 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在题中横线上.） 12.计算(2+5)-(1+2= √2 13.已知w为复数，1+3i:为纯虚数，w一2年且w-5厄，则w 14.如果p,q都是实数，关于x的方程2x2十px十q=0有一个根一2十3i,则p一q= 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(本小题满分13分)已知复数之=(m2+5m十6)+(m2一2m一15)i,求满足下列条件的实数m的 值或取值范围. (1)复数之与复数2-12i相等； (2)复数之与复数12十16i互为共轭复数； (3)复数之在复平面内对应的点在x轴上方. 数学试题第七章A卷第2页（共4页） 16.(本小题满分15分)已知：=1十i,若+a士b-1-i,求实数a6的值。 之2-之+1 17.(本小题满分15分)已知复数之满足|=1+3i-之， 求1+)3+4i)2的值. 数学试题第七章A卷第3页（共4页） 18.(本小题满分17分)设之为复数之的共轭复数，满足|之一之|=2√5. (1)若之为纯虚数，求： (2)若一2为实数，求|. 9.(本小题满分17分)设0为坐标原点，已知向量0Z,0Z2分别对应复数2，且1=，35十(10 2 些 -a2)i,z2=1-a +十(2a-5)i,a∈R.若1十2可以与任意实数比较大小，求OZ1·OZ2的值. 烯 数学试题第七章A卷第4页（共4页） 第七章 复数A卷 数学答题卡 姓 名 准考证号 条形码区 缺考标记（学生禁止填涂）☐ 填 正确填涂 注 1.答题前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核对条形码上的姓名、 准考证号。 涂 错误填涂 意 2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写， 样 × 涂写要工整、清晰。 3按照题号在对应的答题区域内作答，超出答题区域的答题无效，在草稿纸、试 例 )0力 项 题卷上作答无效。 4.答题卡不得折叠、污染、穿孔、撕破等。 选择题(1一8小题，每小题5分，9一11小题，每小题6分，共58分) 请在各 1A®g回 4A®回回 7AB回回 10A®CD 目的答题区 2A⑧g回 5A®g回 8A®@回 11ABg回 3 A BCD 6A®CD 9AEg回 内作答 非选择题 (需用0.5毫米黑色签字笔书写) 填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 超 12 框的答案无 14 解答题：本题共5小题，共77分 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡第七章A卷第1页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 16.(本小题满分15分) 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答 ,超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡第七章A卷第2页（共4页） 考生务必将姓名、座号用0.5毫米黑色签字笔认真填写在书写框内，座 考生 姓名 座号 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字.填写样例：若座号02，则填 必填 写为@2 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡第七章A卷第3页（共4页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡第七章A卷第4页（共4页）数学A版· 1.解析：血(-晋）号nCmC .∴cosA=√5 cos Bsin C-cos Bcos C, .'cos[x-(B+C)]=3cos Bsin C-cos Bcos C, .'.-(cos Bcos C-sin Bsin C)=3cos Bsin C-cos Bcos C, 又sinC>0,.sinB=√3cosB, tanB=5,B∈(0，xB=子， (2):cosB=a2+c2-2-1 2ac 21 ∴.a2+c2-b2=ac, 又b2-(a-c)2=2-(a2+c2) +2ac=6,.ac=6, 设|PA|=x,|PB|=y,|PC :B=60°，三角形ABC的三个角均小于120°， ∴.根据题意可得∠APB=∠BPC=∠APC=120°， 又S△APB+S△BPC+S△APC=S△ANC, 2 .xy+yz+xz=ac=6,∴.PA·PB+PB·PC+PA ·花=w·（)+·()+· (7）2y+yg+e)=-3 (3)由S△APB+S△BPC+S△APC=S△ABC, ?+·+1 +……9 21 xy十y之十x之=ac,由余弦定理可得b2=x2+2 2.xzc0s120°=x2+之2+xz,同理可得c2=x2+y2+ xy,a2=x2+y2+yx,相加可得a2十c2+b2=2x2+ 2y2+222+xy+yz+之x=2x2+2y2+2x2+ac,又a2 十c2-b2=ac,所以x2+y2+之2=1，由于B=60°， ∠APB=120°，∴.∠ABP+∠CBP=60°，∠ABP+ ∠BAP=6O°，所以∠BAP=∠CBP,又∠APB= ∠BPC=120°，故△ABP∽△BCP,所以=义→y2 =x,故x2+x十x2=1→(x十x)2-x2=1→x2 (十2-1≤+e2,且=x+,故 4 十≤√月，当且仅当=：时等号成立，又z叶>0 =1,所以1+≤√1PA1+PC-PB= 十之-y=x十之-√x2=x+之一√(x+)2-1,令x十 4 之=t,则1K1≤√3，所以|PA|+PC-PB=i -√2-1 t+√2 三，由于函数y=t,y=√平-1均 为1<1≤√厚上的单羽递增画数，故y-可 为1≤√停的单调地增西数，故y1中 (1w],进而PA|+|PC1-1PB=1 t+√-1 停 必修第二册 第七章复数 (A卷) 1.A[i(2-i)=2i-2=2i+1=1+2i.] 2.B i=i1-√3) 1+√5i(1+√5i)(1-√5i) -+] 3.C[因为=22-】D--1-.所以1 -1+i2 √2，之的实部为一1，虚部为-1，共轭复数为一1十i,因 此选C.] 4.C[因为(1十2ai)i=1-bi,所以-2a+i=1-bi,则a 5.C[由题知=(1+i)(之-1)，=1中i=1-i.] i 6.D[由复数模的定义可得4十3i=5,从而(3一4i)之 =5则写产岁型，故：的是布为 7.D[,x1=(-i)2=-1,之2=2十i,∴.PQ对应的复数 是之2-之1=2十i-(-1)=3十i.] 8.A[因为(1+i)b=a(i-1)+2i,所以b+bi=-a+(a +21所以么2所以名，国此所选方意的 两根应为士1，仅有x2一1=0符合要求.] 9.BC[对于A,,2可能是相等复数，故A错误：对 于B,若之1和2是共轭复数，则相加为实数，不会为 虚数，故B正确：对于C,由a十bi=a-bi得b=0,故C 正确，对于D,由题可知A(-1,2),B(1,-1),C(3, 2,建之学式{包3解将气长D婚洗] y=4, 10.AB[由之·=a2+(√3)2=a2+3=4,得a2=1,所 以a=±1.] 1.AD[对于命题N,由∈R,得∈，即∈ · R,∴之∈R,之∈R,故A为真命题；对于命题B,显 然2=一1∈R,但i在R,故B为假命题；对于命题C, 显然之1·321=3|之1|2∈R,但当之1≠0时，之1≠3之1， 故C为假命题：对于命题D,之∈R,则之∈R,D为真 命题.] 12.解析：原式=(2+i2.3)-[()2]1=(2-i) i1=2-i计i=2. 答案：2 13.解析：由题意，设(1十3i)之=ki(k≠0且k∈R),则w= ki (2+i)(1+3i) -2论。：。=5Ek=士50，故 w=士(7-i). 答案：士(7-i) 14.解析：解析：因为-2+3i为关于x的方程2x2+px 十q=0的一个根，所以-2-3i为关于x的方程2.x2 十p.x+q=0的一个根， -2+3i+(-2-3i)=-2 所以 (-2+3i)·(-2-310=号 ，解得p=8,g 26,所以p-q=8-26=-18. 答案：-18 参考 15.解：(1)根据复数相等的充要条件，得 (m2+5m+6=2, (m2-2m-15=-12, 解得m=一1. (2)根据共轭复数的定义，得 m2+5m+6=12,.解得m=1. (m2-2m-15=-16, (3)由题意，知m2-2m-15>0,解得m<-3或m> 5,故实数m的取值范围为(-o∞，一3)U(5,十c∞). 16.解：x2+ax+b=(1+i)2+a(1+i)+b=a+b+(2 十a)i,x2-之+1=(1十i)2-(1+i)+1=i, :+az+h=(2+a)-（a+bi=1-i. …之2-之十1 2士a=解得{a。1, (a+b=1, 1b=2. 17.解：设之=a+bi(a,b∈R). ,|x=1+3i-之，.√a2+b3-1-3i+a+bi=0, 即W0+F+a-1=0, b-3=0, 解得=-4，」 ,.之=4+3i, b=3, :1+i)23+4)2=2C-7+24n=24+7i=3+4i. 2(-4+3i)4-3i 18.解：(1)设之=bi(b∈R且b≠0)，则之=-bi,因为之 |=25,则|2bi=2√5，即b=√5，所以b=士√5 所以之=士√i. (2)设之=a十bi(a,b∈R),则=a-bi,因为|x-之= 2√3，则|2bi=2√3，即b|=√3，x-之2=a+bi-(a bi)2=a-a2+b2+(b+2ab)i. 因为之一心2为实数，所以b+2ab=0,因为|b=√5，所 以a=合所以1√(）)+（士2=四 2 19.解：由题意，得之1 a千5-(10-a2)i,则+2 3 a年-(10-a2)i+2。+(2a-5)i 3 (是+名a)十a2+2a-15i 因为之1十2可以与任意实数比较大小，所以之1十2 是实数，所以a2+2a-15=0,解得a=-5或a=3. 又因为a十5≠0，所以a=3所以1=号+i2:=-1 +i. 所以0Z=(尽1)0Z=(-110.所以0Z·02 =号×(-10+1x1=号 第七章复数 (B卷) 1.B[由ab=0,得a=0,b≠0或a≠0，b=0或a=0,b =0,a十名-a一i不一定为纯虚教：若a十台=a一i b 为纯虚数，则有a=0且b≠0，这时有ab=0.综上，可 知选B.] 答案 2.A[因为之=5十i,所以之=5-i,故i(之十x)=10i] 3.A[设之=a+bi(a,b∈R),则之=a-bi.故2x+3z= 2(a+bi)+3(a-bi)=5a-bi=5-3i,所以 {巴。5年号化所以=1+ b=3, 4.C ['2=cos20-sin20-2isin 0cos 0=cos 20-isin 20, :/sin20=0 cs20=10=kx(k∈z.J 5.C[由已知，得m-2m+2>0 g(m2+3m-3)=01 即m2-2m+2>0 '{m2+3m-3=1解得m=1或-4.们 6.A[因为3-i=·(-2i),所以之=3- -2√3i 侣，凰-日+得头对应的点的 (-2√i)(23i) 12 生样为（合号）在第一泉联 7.B[,1十√②i是关于x的实系数方程x2十b.x十c=0 的一个根，∴.(1十√②i)2+b(1+√2i)十c=0,整理得(b +c-1)+(2√2+√2b)i=0, 。2 b+c-1=0, 8.B[之十2-2i=1表示圆心为点(-2,2)，半径为1 的圆，而之一2-2i表示圆上的点到点(2,2)的距离， 其最小值为3，∴之-2一2i-3的最小值为0.] 9.ABD[对于A,若之∈C,设之=a十bi(a,b∈R),则之 ·之=a2十b2∈R,所以A是真命题；对于B,若虚数a +bi(a,b∈R)是方程的根，则a一bi也一定是方程的 一个根，所以B是真命题；对于C,例如之=i,则之= 一i,此时之·之=1，所以C是假命题：对于D,若之1> 2,则1,2必为实数，所以D是真命题.] 10.BD[A中之1十22=0只能说明之1=一之2；B中|之1 十之2|=0，说明1=之2=0，即=2=0；C中 1x1=|21,说明1OZ11=10Z21,但OZ1与0Z2方向 不一定相同；D中之1一之2=0，则21=之2，故之1=之2： 故正确的为BD项.] 11.ABD[对选项A:OZ1∥OZ2,则1×y-(-1)×x 0,即x十y=0,故A正确； 对选项B:OZ1⊥OZ2,则OZ1·OZ2=(1,-1)·(x, y)=x-y=0,即x=y, 1之1+21=W(1十x)2+(x-1)2,|1-2|= √(x-1)2+(1十x)2,故B正确： 对选项C:OZ1⊥OZ2,则x=y,z12=(1-i)(x+xi) =2x,当x≠0时，之12≠0，故C错误；对选项D:之号十 x号=-2i+x2-y2+2.xyi=0,则x2-y2=0且xy= 1好名-02.2-=0t OZ1⊥OZ2,故D正确.]