1.4.3 诱导公式与对称 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

学习目标 情境引入 探求新知 典例铺路 随堂演练 课堂小结 当堂检测 第一章 三角函数 互动设计 1.4.3 诱导公式与对称 互动设计课程 1 学 习 目 标 掌握诱导公式（二）—（五）。。。 返回主页 1 理解单位圆的对称性（关于原点、x轴、y轴、直线y=x对称）与诱导公式的关系 掌握诱导公式（二）—（五），能正确运用公式进行化简、求值和证明理解”奇变偶不变，符号看象限”的记忆规律，并能灵活运用能够利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数 2 通过单位圆的对称性探究诱导公式，体会数形结合思想经历从特殊到一般、从直观到抽象的公式推导过程培养观察、归纳、类比、推理的数学思维能力 情 境 引 入 【情境一】“对称”的数学美 返回主页 【情境二】计算困境 【情境三】单位圆上的对称点 【情境一】“对称”的数学美 🎨 欣赏：展示四幅图片——蝴蝶、雪花、故宫建筑、太极图。 问题：这些图案有什么共同特征？ 数学中哪些对象具有对称性？ 过渡：单位圆也具有丰富的对称性，这些对称性隐藏着三角函数的重要规律！ 【情境二】计算困境 任务：计算 、、 学生困惑：这些不是特殊角，怎么求？ 教师点拨：能否转化为已学的特殊角（30°、45°、60°）？ 启发：210° = 180° + 30°，300° = 360° - 60°，150° = 180° - 30° 追问：sin(180°+30°) 与 sin30° 有什么关系？ 【情境三】单位圆上的对称点 🔍 操作：在草稿纸上画单位圆，标出角α的终边与单位圆交点P(x,y)。 小组任务：分别画出与点P关于： x轴对称的点P₁ y轴对称的点P₂ 原点对称的点P₃ P P1 P3 P P2 思考：这些对称点对应的角与α有什么关系？坐标有什么关系？ 互 动 设 计 【探究活动1】公式二（关于原点对称）—— π+α 返回主页 【探究活动2】公式三（关于x轴对称）—— -α 【探究活动3】公式四（关于y轴对称）—— π-α 【探究活动1】公式二（关于原点对称）—— π+α 画图探究： - 角α终边过P(x, y) , 角π+α终边过P’(-x, -y)（与P关于原点对称） 推导过程： 公式二： 函数 公式 正弦 sin(π+α)=-sinα 余弦 cos(π+α)=-cosα 记忆口诀：“π加α，正弦余弦都变号 【探究活动2】公式三（关于x轴对称）—— -α 自主推导： - 角-α与角α关于x轴对称 - P(x, y) 对称点为 P’(x, -y) 学生板演： sin(-α)=-y=-sinα cos(-α)=x=cosα 发现：这与上节课学的奇偶性一致！（公式三的特例） 函数 公式 正弦 sin(-α)=-sinα 余弦 cos(-α)=cosα 公式三 【探究活动3】公式四（关于y轴对称）—— π-α 合作探究： - 角π-α与角α关于y轴对称 - P(x, y) 对称点为 P’(-x, y) 快速推导： sin(π-α)=y=sinα cos(π-α)=-x=-cosα 函数 公式 正弦 sin(𝛑-α)=sinα 余弦 cos(𝛑-α)=-cosα 公式四 记忆口诀：“π减α，正弦不变余弦变” 探 求 新 知 1. 五组诱导公式汇总 返回主页 2. 万能口诀：“偶不变，符号看象限” 3. 公式的作用 1. 五组诱导公式汇总 公式 角的形式 正弦 余弦 对称关系 一 终边重合 二 关于原点 三 关于x轴 四 关于y轴 2. 万能口诀：“偶名称不变，符号看象限” 要点 解释 偶不变 的偶数倍（）→ 函数名不变 符号看象限 把α看成锐角，看原函数在对应象限的符号 应用步骤： 1. 化：将角化为 k⋅π/2±α 的形式（k∈Z） 2. 判：判断k的奇偶，确定”变”或”不变” 3. 定：把α看成锐角，确定原函数值的符号 4. 写：写出结果 3. 公式的作用 3. 公式的作用——“负化正，大化小，化到锐角再查表” 任意负角 → 公式三（负角公式）→ 正角 ↓ 任意正角 → 公式一（周期）→ [0, 2π) ↓ [0, 2π) → 公式二、四 → [0, π/2] ↓ 钝角、平角、优角 → 锐角 典 例 铺 路 【例1】负角化正角（公式三） 【例2】周期化简（公式一） 【例3】π±α型（公式二、四） 【例4】综合化简（多步偶变） 【例5】给值求值（偶变类） 【例1】负角化正角（公式三） 求下列三角函数值： (1) (2) 【例2】周期化简（公式一） 求下列三角函数值： (1) (2) 【例3】π±α型（公式二、四） 求下列三角函数值： (1) (2) (3) (4) 【例4】综合化简（多步偶变） 求值： (1) (2) 【例5】给值求值（偶变类） 已知，且α是第四象限角，求： 随 堂 演 练 返回主页 【基础训练】 1. 的值等于（　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 【基础训练】 【基础训练】 【基础训练】 【能力提升】 随 堂 检 测 返回主页 【选择题】 【填空题】（每题5分） 【解答题】（10分） 课 堂 小 结 1. 知识小结 返回主页 2. 方法小结 3. 易错警示 1 2 3 4 认真领会 1. 知识小结 单位圆对称性 ↓ ┌──────┼──────┬ ↓ ↓ ↓ 关于原点 关于x轴 关于y轴 π+α -α π-α ↓ ↓ ↓ 公式二 公式三 公式四 ↓ ↓ ↓ sin→- sin→- sin→+ cos→- cos→+ cos→- 45 2. 方法小结 口诀 含义 “奇变偶不变” 偶数倍→不变 “符号看象限” 把α看成锐角，看原函数在对应象限的符号 “负化正” 用公式三将负角化为正角 “大化小” 用公式一将大角化到[0,2π) “化到锐角” 用公式二、四、五化到锐角 方法 体现 数形结合 用单位圆对称性推导公式 转化与化归 任意角→锐角三角函数 分类讨论 k的奇偶性讨论 整体代换 把复杂角看作整体 3. 易错警示 常见错误： 1. 符号错误：“符号看象限”看的是原函数的符号，不是新函数 2. 函数名错误：π的倍数不变 3. 忽略隐含条件：如三角形内角和为π，可推出 4. 公式混淆 $