6.1正弦、余弦、正切、余切（题型专练）高一数学沪教版必修第二册

高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6.1正弦、余弦、正切、余切 题型一找出终边相同的角 题型二弧度制与角度值的换算 基础达标题 题型三扇形中的弧长与面积 题型四由终边的点求三角函数值 题型五同角的正余弦正切求值 题型一确定倍角或半角的象限 题型二角的关系 正弦、余弦、正切、余切 题型三扇形面积最值 能力提升题 题型四扇形弧长面积公式应用 题型五三角函数值的符号判定 题型六诱导公式的应用 题型一正余弦平方公式的应用 拓展培优题 题型二齐次式求正切（一次分式型） 题型三齐次式求正切（多次型） 基础达标题 题型一 找出终边相同的角 1.(25-26高一上·上海期末)与45°角的终边在一条直线上的角的集合为 2.(25-26高一上·全国·课后作业)终边与坐标轴重合的所有角的集合是() A.{c4a=k-180°，keZ} B.{c4a=k90°，keZ} C.{4a=k360°，k∈Z} D.{da=k45°，keZ} 3.(25-26高一上·全国课后作业)若角o,B的终边相同，则-B的终边在() A.x轴的非负半轴上 B.x轴的非正半轴上 C.y轴的非负半轴上 D.y轴的非正半轴上 4.(25-26高一上上海期末)已知au=2026°，若B与α的终边相同，且0<B<360°，则B=一 1/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.(25-26高一上广东期末)与的终边关于原点对称的角的集合为 6 题型二 弧度制与角度值的换算 1.(25-26高一上.甘肃兰州期末)把120°从度化为弧度制为() A.π B.2π C.π D.π 3 3 6 2 2.(25-26高一下.全国课后作业)若角0=150°，则角对应的弧度数是() A.2π 8.3元 4 C.7 D.5π 3 12 6 3.(25-26高一上.四川遂宁期末)将”弧度化为角度为() 3 A.160 B.200 C.300 D.600 4（25-26商-上：重庆，月考)已知a=65°，B=3弧度，7-，则a,B,7间的大小关系为 (用<”符号连接) 题型三 扇形中的弧长与面积 1.(25-26高一上.上海期末)已知扇形的弧所对的圆心角为兀，半径为10，则扇形的面积为 5 2.(25-26高一上上海期末)已知扇形的圆心角为元，半径为3，则扇形的面积为」 2 3.(25-26高一上上海金山期末)已知一个扇形的圆心角为石，且所对应的弧长为，则该扇形的面积 6 为 4.(25-26高一上.上海期末)如图，从半径为r的圆中剪下圆心角为弧度，半径为r的扇形A0B，此扇 形的周长为，剩余部分扇形的周长为，若 =3+π 63+2元，则a= B 5.(25-26高一上陕西渭南·期末)甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度，扇形面积分别为S甲 S周长分别为C和℃若2，则生〔刀 2/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D. 6 5 题型四 由终边的点求三角函数值 1.(25-26高一上·上海杨浦·期末)若角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点 P1,V3,则角的正弦值为」 2.(25-26高一上·上海浦东新·期末)已知角终边过点(2,3)，则cosa= 3.(25-26高一上·上海月考)已知角的终边经过点P 2’ 则c0s0等于 2 4.(25-26高一上·甘肃平凉·月考)已知角O的始边为x轴的非负半轴，终边经过点P(1,√2)，则tan0的值 为 5.(2025·上海黄浦一模)己知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边与以坐标原点 为圆心、1为半径的圆交于点P,若点P的横坐标与纵坐标之和为；，则tana+cota的值为 题型五 同角的正余弦正切求值 1.(25-26高一上.上海杨浦期末)已知a∈R,则“ina=)"是“cosa= 2 的() 2 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 2.(25-26高一上·上海·期末)已知ca为第四象限角，且cosa= 5 ,则sina= 5 3.（235-26商-一上上海杨谴期未)若cosa-5ae0动，则角u= 4,(（25-26商一上：上海月考)已知ana=号a是第三象限的角，则sina 5.已知cosa=g,0<a<,则ana:（) A B. 3 C.- 3 4 3 D. 4 B 能力提升题 题型一 确定倍角或半角的象限 4(25-26高一上上海月考)若3<0 <12,则2a的终边在第 5π 象限 2.(25-26高一上上海杨浦期末)已知a为第一象限的角，则%所在象限为() 3/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.第一象限 B.第一、二象限 C.第一、三象限 D.第一、四象限 3.(25-26高一上河南焦作·期末)若α是第一象限角，3a是第三象限角，则α构成的集合为() A.{a2kπ<a<+2k (k∈Z) B,a+2kπ<a<+2kπ (keZ) 6 3 C.a(ke)D. 21 (keZ) 3 4.(25-26高一上天津河西月考)已知a为第三象限角，那么9不可能是（) A.第四象限角B.第三象限角 C.第二象限角 D.第一象限角 5.(25-26高一上四川月考)若g与2026的终边相同，则角α的终边所在的象限是() 2 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 题型二 角的关系 1.(2526高-上上海月考)若M-{aa=2a+还或=2版-e2,N=aa日a+还eZ, 4 则M N,(填“c"或"”或“=") 2.(25-26高一上.全国课后作业)设集合A={aa=k.360°+90°，k∈Z,集合 B={aa=k180°+90，k∈Z,集合C={aa=k.90,k∈Z,则集合A,B,C之间的关系为() A.A∈C B.B∈A C.AUB=C D.BC=A 3.(25-26高一上·天津期末)己知集合M={第一象限角，N={锐角}，P={小于90的角}，则下列关系 式中正确的是() A.M=N=P B.MN C.MnP=N D.(N∩P)gM 4.(2025高一上河南安阳·专题练习)下列命题中正确的是() A.第二象限的角都是钝角 B.小于的角是锐角 C.2023°是第三象限的角 D.若α是第一象限角，则角号是第二象限角 5.(25-26高一上·宁夏固原·期末)下列说法正确的是() A.终边相同的角一定相等 B.第一象限角一定是锐角 C.一C是第三象限角 D.角度制与弧度不能互相转换 题型三 扇形面积最值 4/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(25-26高一上云南昆明·期末)己知某扇形的周长是12，则当此扇形的面积最大时，半径为() A.3 B.6 C.9 D.12 2.(25-26高一上山东枣庄·月考)己知扇形的周长为20，则扇形面积取到最大值时圆心角的弧度数是 3.(24-25高一下上海期中)如图，AB是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB=元图 中阴影区域的面积的最大值为. 4.(25-26高一上·糊南长沙.月考)已知某扇形的周长为16，则当此扇形的面积最大时，圆心角的弧度数 为 5.己知扇形的周长为10，当扇形面积取得最大值时，圆心角的大小是 题型四 扇形弧长面积公式应用 1.(25-26高一上·广东惠州·期末)数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画 法如下：先画等边三角形ABC,再分别以点A,B,C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角 形（如图所示）若该莱洛三角形的周长为二，则其面积是() 2 B A.π-5 B.π+3 C.π-V5 D.π+5 4 8 8 4 2.(25-26高一上·广西崇左期末)如图，一个扇形纸片的圆心角为5,0M=4,将这张扇形纸片进行折叠， 使圆心O与弧AB的中点P恰好重合，折痕为MN,则图中阴影部分的面积为() 5/9 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B P N A.8π-4V2 B.8π-8 C.8π-8√2 D.8π-16 3.(25-26高一上·广东期末)广东工匠将传统工艺与西洋审美融合，制造出专供外销的折扇，扇面多采用 纸本彩绘，结合丝绸织锦等材料，工艺精巧.已知某折扇如图所示，其中扇环部分的外弧线的长为51cm, 内弧线的长为24cm连接外弧与内弧两瑞的线段长均为18cm,则该扇环的面积为 cm2,所对应的 扇形的圆心角的弧度数为 4.（25-26高一上山东青岛·月考)我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今 有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？现有一类问题：不确定大小的 圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示，用锯去锯这木材，若锯口深CD=4-2√2，锯道 AB=4√2，则图中弧ACB与弦AB围成的弓形的面积为() D A. 刀 B.8 C.4π-8 D.8π-8 题型五 三角函数值的符号判定 1.(25-26高一上·上海静安期末)“sina tana<0”是“角a为第二象限角"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(25-26高一上·上海月考)若角的终边不在坐标轴上，且满 sin(cosa<0,则角a为（） cos(sina) 6/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A,第二象限角或第三象限角 B.第二象限角或第四象限角 C.第三象限角或第四象限角 D.第二象限角、第三象限角或第四象限角 3.(25-26高一上江苏连云港月考)若sin0cos0<0,且sin0-cos0>0,则0是() A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 4.(25-26高一上四川南充期末)“角0是第四象限角”是“cos0tan0<0”的() A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5.(25-26高一上·安徽期末)若sin0cos0<0,且sin0-cos0<0,则0是() A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 题型六 诱导公式的应用 1.(25-26高一上上海普陀期末)已知角a的终边过点P(1,2)，则 sin+acot 3π 2 2 -acos3π+c (2-a cos co 3 -+acotπ-a 2 2.（25-26高一上.上海.期末)已知角的终边过点P(m,-4)(m<0),且cosu= 3 5 (1)求实数m的值； (2)求sin(π+a)-cos 2+a的值 tanπ-a 3.(25-26高一上.上海期末)化简 sin(r-a)cos-a 2 cos2π+asin-元-a 4.(25-26高一上·上海月考)在平面直角坐标系中，0为坐标原点，A为单位圆上一点，以原点O为顶点， x轴正半轴为始边，01为终边的角为6，且终边不在坐标轴上.若将01绕0点顺时针旋转至OB,则点 B的坐标为(）. A.(-cos0,sin0) B.(cos0,-sin0) C.(-sin0,cos0) D.(sin0,-cosθ) 7/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26高一上·上海月考)已知f(a= cos(π+a)tan(π-a cot(-a)sin(2π+a 拓展培优题 题型一 正余弦平方公式的应用 1.(25-26高一上·上海·月考)己知sin0+cos0= 3 (0<0<元，则sin30-cos30=— 2.(25-26高一上·云南昆明期末)已知sina+cosa= 行，ae0,列，则na的值为() tan a-1 A.2 B. 13 35 35 c D.24 35 3.(25-26高一上湖北武汉·期末)已知sinxcosx 3， 则sinx+cosx= 4.(25-26高一上贵州贵阳·期末)若cosa+sinu= 2,则sina cosa= 2 cosa +sina= 5.(25-26高三上江苏扬州月考)，1+4 sin2 x'cos2x 的最小值是 题型二 齐次式求正切（一次分式型） 1.(25-26高一上上海期末)已知an0=3,则sim6+3cos0 sin0-cos0 2.(25-26高一上天津期末)若tana=2,则sina-cos =() sina+cosa A.3 B.3 1 C.3 D.-3 3 3.(25-26高二上上海·月考)已知tana= a，则sinC一4cos的值为 5sina +2cosa 4（25:26商-上湖北期未)已知02-，则nae058= sina-2cosa 5.(25.26高-上陕西西安期末)已知P2,3)为角a终边上一点，则2s1na-cosa=（) sina +cosa A月 B吉 8 D5 题型三 齐次式求正切（多次型） 1.(25-26高一上.上海：期末)已知tan=2,cos2a+2+3 sinac0sa=一 2.(25-26高一上内蒙古鄂尔多斯期末)已知tana=4,则sina+cosa sinacos a 3.(25-26高一上上海普陀月考)(1)已知tana=2,求，sina-cosa一的值； sin-a +2sina cosa 8/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)已知角a是第二象限角，且si血a+cosa=方，若角0的终边与单位圆交于第二象限内的点P,求点P 坐标 4.(25-26高三上上海月考)若tan0=},那么1+sm9cos6 3 sin20-cos20 5.(25-26高一上广东清远·期末)已知tana=-√2，则cos2a-sin2a=_ 9/9 6.1正弦、余弦、正切、余切 题型1 找出终边相同的角 1．（25-26高一上·上海·期末）与45°角的终边在一条直线上的角的集合为 ． 【答案】 【分析】根据终边在同一直线上的角的定义，分终边相同和终边相反两种情况求解，最后合并集合. 【详解】与终边相同角的集合， 与终边相同角的集合， 所以与角的终边在一条直线上的角的集合为： . 故答案为：. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）终边与坐标轴重合的所有角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用任意角表示终边与轴重合的角，即可得. 【详解】终边与轴重合的角为，即， 终边与轴重合的角为，即，， 所以终边与坐标轴重合的所有角的集合是． 故选：B 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若角的终边相同，则的终边在（    ） A．x轴的非负半轴上 B．轴的非正半轴上 C．轴的非负半轴上 D．轴的非正半轴上 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用终边相同的角的特征求解判断. 【详解】由角的终边相同，则，即， 所以的终边在轴的非负半轴上. 故选：A 4．（25-26高一上·上海·期末）已知，若与的终边相同，且，则 . 【答案】 【分析】根据已知条件，结合终边相同的角的定义求解即得. 【详解】由题意， 又与的终边相同，且， 所以， 故答案为：. 5．（25-26高一上·广东·期末）与的终边关于原点对称的角的集合为 . 【答案】 【分析】根据对称及终边相同的角求解即可. 【详解】由题意，所求角终边与角的终边相同， 所以所求角的集合为. 故答案为： 题型2 弧度制与角度值的换算 1．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）把从度化为弧度制为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧度制与角度制的关系直接转化即可. 【详解】. 故选：B 2．（25-26高一下·全国·课后作业）若角，则角θ对应的弧度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用角度与弧度的互化关系转化即得. 【详解】依题意，. 故选：D 3．（25-26高一上·四川遂宁·期末）将弧度化为角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弧度制转化为角度制的方法来求得正确答案. 【详解】. 故选：C 4．（25-26高一上·重庆·月考）已知，弧度，，则，，间的大小关系为 .（用“<”符号连接） 【答案】 【分析】将三个角统一转换为角度进行比较即可. 【详解】由题意可得，， 所以． 故答案为：. 题型3 扇形中的弧长与面积 1．（25-26高一上·上海·期末）已知扇形的弧所对的圆心角为，半径为10，则扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】利用扇形面积公式即可求解. 【详解】因为扇形的弧所对的圆心角为，半径， 所以扇形的面积为． 故答案为：. 2．（25-26高一上·上海·期末）已知扇形的圆心角为，半径为3，则扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据扇形的面积公式直接求解. 【详解】由题意，得扇形的圆心角为，半径为， 代入公式得扇形的面积. 故答案为：. 3．（25-26高一上·上海金山·期末）已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】设扇形所在圆的半径为，根据扇形的弧长公式，求得，结合扇形的面积公式，即可求解. 【详解】设扇形所在圆的半径为， 因为扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，可得，解得， 所以扇形的面积为. 故答案为：. 4．（25-26高一上·上海·期末）如图，从半径为的圆中剪下圆心角为弧度，半径为的扇形，此扇形的周长为，剩余部分扇形的周长为，若，则 .    【答案】 【分析】根据题意，利用扇形的弧长公式得到，，列出方程，即可求解. 【详解】由题可得，，， 所以，解得. 故答案为：. 5．（25-26高一上·陕西渭南·期末）甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度，扇形面积分别为和，周长分别为和.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度，，求出圆心角，，再用半径和圆心角表示，计算即可. 【详解】甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度， 设甲、乙两个扇形的半径均为，圆心角分别为，，弧长分别为，. ， 又， 联立， 解得：，， ，， . 故选：B 题型4 由终边的点求三角函数值 1．（25-26高一上·上海杨浦·期末）若角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，则角的正弦值为 . 【答案】 【分析】根据三角函数的定义直接求解即可. 【详解】角的终边经过点， 由三角函数的定义可得. 故答案为：. 2．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知角终边过点，则 . 【答案】 【分析】根据三角函数的定义求解. 【详解】因为角终边过点， 所以. 故答案为： 3．（25-26高一上·上海·月考）已知角θ的终边经过点，则等于 【答案】 【分析】在单位圆上，根据三角函数的定义即可求解. 【详解】，故在单位圆上，根据三角函数值的定义， 的横坐标的值即为，故； 故答案为： 4．（25-26高一上·甘肃平凉·月考）已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，则的值为 . 【答案】 【分析】根据题意结合任意角三角函数值的定义运算求解即可. 【详解】因为角的始边为轴的非负半轴，终边经过点， 所以. 故答案为：. 5．（2025·上海黄浦·一模）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边与以坐标原点为圆心、为半径的圆交于点，若点的横坐标与纵坐标之和为，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】设，根据条件求解出的值，再根据，代入数值可求结果. 【详解】设，由题意可知，所以， 所以， 故答案为：. 题型5 同角的正余弦正切求值 1．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知 则是 的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】D 【分析】根据同角的平方关系计算，结合充分条件、必要条件的概念即可下结论. 【详解】由，得， 所以“”是“”的不充分条件； 由，得， 所以“”是“”的不必要条件， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 2．（25-26高一上·上海·期末）已知为第四象限角，且，则 ． 【答案】/ 【分析】根据角所在象限，结合同角三角函数关系式求解即可. 【详解】因为为第四象限角，所以， 由，所以， 故答案为：. 3．（25-26高一上·上海杨浦·期末）若，则角 . 【答案】 【分析】根据三角函数的特殊值与特殊角的关系，结合角的范围即可求得. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 4．（25-26高一上·上海·月考）已知是第三象限的角，则 ． 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系建立方程组，进而求解即可. 【详解】因为是第三象限的角，所以， 因为，所以， 联立方程组，解得（正根舍去）， 故答案为： 5．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数关系求解即可. 【详解】因为，， 所以， 所以 故选：A 题型1 确定倍角或半角的象限 1．（25-26高一上·上海·月考）若，则的终边在第 象限． 【答案】二 【分析】直接计算的范围即可得终边所在象限. 【详解】由，所以，所以的终边在第二象限. 故答案为：二. 2．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知为第一象限的角，则所在象限为（   ） A．第一象限 B．第一、二象限 C．第一、三象限 D．第一、四象限 【答案】C 【分析】根据是第一象限的角，求出的范围判断即可得解. 【详解】因为是第一象限的角， 所以，， 所以， 当时，，为第一象限角； 当时，，为第三象限角. 故选：C 3．（25-26高一上·河南焦作·期末）若是第一象限角，是第三象限角，则构成的集合为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】C 【分析】利用象限角的概念和运算法则求构成的集合． 【详解】记，由是第一象限角，则， ， 又是第三象限角，的终边必须落在上述区间内第三象限部分， 即，解得， 构成的集合为（）． 故选：C． 4．（25-26高一上·天津河西·月考）已知为第三象限角，那么不可能是（   ） A．第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一象限角 【答案】C 【分析】由题意可得，可得，讨论的取值，即可确定答案. 【详解】由题意是第三象限角，即， 故， 当时，，是第一象限角； 当时，，是第三象限角； 当时，，是第四象限角； 故不可能是第二象限角. 故选：C 5．（25-26高一上·四川·月考）若与的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先得到与 终边相同，都位于第三象限；则，整理得到，因此与终边相同都在第二象限. 【详解】因为，所以因此与终边相同，都位于第三象限； 由题意得，因此， 即，因此与终边相同都在第二象限. 故选：B 题型2 角的关系 1．（25-26高一上·上海·月考）若，，则 ．（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】先对集合进行分类讨论化简，再判断两个集合之间的关系即可. 【详解】对于， 当时，， 当时，， 化简得， 令，则， 与集合形式相同，故. 故答案为： 2．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，集合，集合，则集合，之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法一：根据角的集合确定集合所表示的角的终边位置，由此判断三个集合的关系； 方法二：对集合中的关系式变形，化为结构相似的形式，由此判断结论， 【详解】方法一：集合表示终边在轴非负半轴上角的集合； 集合表示终边在轴上的角的集合； 集合表示终边在坐标轴上的角的集合． 故，，． 方法二：因为集合， 集合， 集合，所以，，． 故选：A. 3．（25-26高一上·天津·期末）已知集合第一象限角锐角小于90°的角，则下列关系式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出三个集合的范围，进而结合特殊角度判断ABC，根据判断D. 【详解】由题知第一象限角， 锐角，小于90°的角 对于A，三个集合的范围完全不同，故错误； 对于B，，故错误； 对于C，，，但，故错误； 对于D，，故正确. 故选：D 4．（2025高一上·河南安阳·专题练习）下列命题中正确的是（   ） A．第二象限的角都是钝角 B．小于的角是锐角 C．是第三象限的角 D．若是第一象限角，则角是第二象限角 【答案】C 【分析】根据任意角的定义判断A、B，确定的最小正角所在象限判断C，根据已知得到即可判断D. 【详解】A：由在第二象限，但不是钝角，错， B：由满足小于，但不是锐角，错， C：由，而在第三象限，对， D：若是第一象限角，则，可得， 当时，此时是第一象限角，错. 故选：C 5．（25-26高一上·宁夏固原·期末）下列说法正确的是（    ） A．终边相同的角一定相等 B．第一象限角一定是锐角 C．是第三象限角 D．角度制与弧度制不能互相转换 【答案】C 【分析】根据象限角的定义及终边相同的角，弧度制的概念判断可得. 【详解】对A：如与终边相同，但角不相等，故A错误； 对B：如，所以是第一象限角但不是锐角，故B错误； 对C：因为，所以是第三象限角，故C正确； 对D：角度制与弧度制能互相转换，故D错误. 故选：C. 题型3 扇形面积最值 1．（25-26高一上·云南昆明·期末）已知某扇形的周长是12，则当此扇形的面积最大时，半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设出扇形的半径和弧长，根据周长得到弧长与半径的关系，再表示出扇形面积，最后利用二次函数性质求面积最大时的半径. 【详解】设扇形的半径为，弧长为， 扇形的周长为弧长与两个半径之和，即，因此， 扇形的面积公式为，将代入得： ， 这是一个关于的二次函数，二次项系数为，函数图象开口向下，当时，取得最大值. 故选：A. 2．（25-26高一上·山东枣庄·月考）已知扇形的周长为，则扇形面积取到最大值时圆心角的弧度数是 ． 【答案】 【分析】根据扇形周长公式得出弧长与半径的关系，再结合扇形面积公式，利用二次函数的性质求出面积最大时半径的值，进而求出圆心角的弧度数. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，圆心角为， 已知扇形的周长，由扇形周长公式， 可得，移项可得， 又扇形面积， 将代入面积公式可得， 根据二次函数的图像性质，可得当时，面积取得最大值， 当时，可得， 所以圆心角. 故答案为： 3．（24-25高一下·上海·期中）如图，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点，.图中阴影区域的面积的最大值为 . 【答案】 【分析】先求出扇形和其中弓形的面积，则阴影部分面积由和弓形面积组成，面积最大即点到的距离最大， 此时高最大为半径加上等腰直角底边上的高，由此可求得阴影区域的面积的最大值. 【详解】 ， 所以在扇形中，弓形面积为， 在等腰直角中，，到最大距离为半径加上等腰直角底边上的高，即为， 所以 所以阴影面积. 故答案为：. 4．（25-26高一上·湖南长沙·月考）已知某扇形的周长为16，则当此扇形的面积最大时，圆心角的弧度数为 ． 【答案】2 【分析】设扇形所在圆的半径为，弧长为，可得，结合扇形面积公式和二次函数求最值，即可求解. 【详解】设扇形所在圆的半径为，弧长为，可得， 所以扇形的面积为， 于是，当时，扇形的面积最大，此时，角度 故答案为：2 5．已知扇形的周长为10，当扇形面积取得最大值时，圆心角的大小是 . 【答案】弧度 【分析】设扇形的半径为，则弧长为，结合面积公式计算面积取得最大值时的取值，再用圆心角公式即可得弧度数. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，圆心角的弧度数为，则，即， 所以扇形面积， 所以当时，取得最大值为，此时， 所以圆心角为（弧度）. 故答案为：弧度 题型4 扇形弧长面积公式应用 1．（25-26高一上·广东惠州·期末）数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形，再分别以点A，B，C为圆心，线段长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若该莱洛三角形的周长为，则其面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据莱洛三角形的周长求出构成它的等边三角形的边长，再通过三个扇形面积减去两个等边三角形面积得到其面积. 【详解】莱洛三角形的周长为，可得弧长， 则等边三角形的边长，分别以点A、B、C为圆心， 圆弧AB、BC、AC所对的扇形面积均为，等边的面积， 所以莱洛三角形的面积是. 故选：C 2．（25-26高一上·广西崇左·期末）如图，一个扇形纸片的圆心角为，，将这张扇形纸片进行折叠，使圆心与弧的中点恰好重合，折痕为，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知为半径，求解扇形面积再减去的面积即可. 【详解】由题意知圆心与弧的中点恰好重合，则和互相垂直平分， 由，且 即知为等腰直角三角形，故四边形是正方形， 因为半径，， 所以. 阴影部分的面积为扇形面积减去的面积， 即， 故选：B. 3．（25-26高一上·广东·期末）广东工匠将传统工艺与西洋审美融合，制造出专供外销的折扇，扇面多采用纸本彩绘，结合丝绸织锦等材料，工艺精巧.已知某折扇如图所示，其中扇环部分的外弧线的长为51 cm，内弧线的长为24 cm连接外弧与内弧两端的线段长均为18 cm，则该扇环的面积为 ，所对应的扇形的圆心角的弧度数为    【答案】 【分析】根据扇形弧长与扇形的中心角的弧度数为的关系，可求得，进而可得该扇形的中心角的弧度数.根据大扇形的面积减去小扇形的面积，得到扇环的面积， 【详解】    依题意可得弧的长为，弧的长为， 设扇形的中心角的弧度数为则，则， ,因为，所以， 所以该扇形的中心角的弧度数，， 利用平方差公式得， ，两式相加， 代入， 所以 故答案为：， 4．（25-26高一上·山东青岛·月考）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示，用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中弧与弦AB围成的弓形的面积为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【分析】根据弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积，结合扇形的面积公式即可得解. 【详解】由题意， 在中，， 即，解得， 故，所以， 因此. 故选：C. 题型5 三角函数值的符号判定 1．（25-26高一上·上海静安·期末）“”是“角为第二象限角”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据三角函数的性质，以及必要不充分条件的概念，判断结果即可. 【详解】当时，或， 则为第二象限角或为第三象限角， 当角为第二象限角时，，则； 所以“”是“角为第二象限角”的必要不充分条件； 故选：B． 2．（25-26高一上·上海·月考）若角的终边不在坐标轴上，且满足，则角为（   ） A．第二象限角或第三象限角 B．第二象限角或第四象限角 C．第三象限角或第四象限角 D．第二象限角、第三象限角或第四象限角 【答案】A 【分析】根据题意，分别讨论四个象限时的符号进行判断即可． 【详解】当角的终边在第一象限时，， 又， ，故，不符合题意； 当角的终边在第二象限时，， 又， ，故，符合题意； 当角的终边在第三象限时，， 又， ，故，符合题意； 当角的终边在第四象限时，， 又， ，故，不符合题意； 综上，角的终边在第二象限或第三象限． 故选：A． 3．（25-26高一上·江苏连云港·月考）若，且，则是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 【答案】B 【分析】判断出角的正余弦的正负，进而可得答案. 【详解】由，得， 所以角位于第二象限的角. 故选：B 4．（25-26高一上·四川南充·期末）“角θ是第四象限角”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由可得且，是第三、四象限角，再结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】由可得：且， 所以是第三或第四象限角， 所以“角θ是第四象限角”能推出“”， “”不能推出“角θ是第四象限角”， 所以“角θ是第四象限角”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 5．（25-26高一上·安徽·期末）若，且，则是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 【答案】D 【分析】先判断三角函数值的符号，即可得到是第四象限的角 【详解】由，得或，又， 所以，即角是第四象限的角. 故选:D. 题型6 诱导公式的应用 1．（25-26高一上·上海普陀·期末）已知角的终边过点，则 ． 【答案】 【分析】利用诱导公式及同角三角函数的关系将原式化简为，再根据三角函数的定义求出的值即可得解. 【详解】因为， ， ， ，，. 所以 . 因为角的终边过点，所以， 所以. 所以原式. 故答案为： 2．（25-26高一上·上海·期末）已知角的终边过点，且 (1)求实数m的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）根据三角函数的定义， 以及点所在的象限进行计算， （2）根据三角函数的诱导公式进行计算， 【详解】（1）因为在第三象限， ，或， （2）由（1）可知，，故， ， 故原式分母不为，故原式结果为， 3．（25-26高一上·上海·期末）化简 . 【答案】 【分析】根据诱导公式化简即可. 【详解】 . 故答案为：. 4．（25-26高一上·上海·月考）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A为单位圆上一点，以原点O为顶点，轴正半轴为始边，为终边的角为，且终边不在坐标轴上.若将绕点顺时针旋转至，则点的坐标为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题意得为终边的角为，再由角的定义以及诱导公式即可求解点B. 【详解】由题可得为终边的角为， 又， 所以. 故选：C 5．（25-26高一上·上海·月考）已知，则 . 【答案】 【分析】由诱导公式化简即可计算求解. 【详解】 所以. 故答案为： 题型1 正余弦平方公式的应用 1．（25-26高一上·上海·月考）已知，则 . 【答案】 【分析】运用与的关系，结合角的范围以及立方差公式，即可得解. 【详解】由，得， 得， 故， 因为，所以， 又因为，所以， 所以， ， 故 . 故答案为：. 2．（25-26高一上·云南昆明·期末）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知，利用平方关系分析可知，利用平方关系可求出的值，再利用切化弦可求得所求代数式的值. 【详解】因为，则， 因为，等式两边平方可得， 所以，故，所以， 所以，故， 因此， 故选：A. 3．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知，则 . 【答案】 【分析】求的平方，利用计算求解. 【详解】， . 故答案为：. 4．（25-26高一上·贵州贵阳·期末）若，则 ， . 【答案】 / / 【分析】应用平方关系及的关系求目标函数值. 【详解】由题设， 所以，则， 由. 故答案为：， 5．（25-26高三上·江苏扬州·月考）的最小值是 . 【答案】9 【分析】由并根据基本不等式中“1”的应用计算即可. 【详解】依题意易知，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立； 此时的最小值为9. 故答案为：9 题型2 齐次式求正切（一次分式型） 1．（25-26高一上·上海·期末）已知，则 . 【答案】 【分析】根据齐次式求解即可. 【详解】因为，所以 故答案为： 2．（25-26高一上·天津·期末）若，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用同角的三角函数关系式可得答案. 【详解】将表达式分子分母同除以 ： 得：， 因为， 所以. 故选：A 3．（25-26高二上·上海·月考）已知，则的值为 . 【答案】 【分析】利用同角三角函数关系，把原式转化为含的表达式，再代入已知的值计算求解． 【详解】， ， ， 故答案为：． 4．（25-26高一上·湖北·期末）已知，则 . 【答案】 【分析】解法一：由题意可得，根据同角三角函数平方关系可得，进而计算即可求解；解法二：根据商数关系化简可得，由计算即可求解. 【详解】解法一：， ，， ， ，. 解法二： ， ，解得， . 故答案为：. 5．（25-26高一上·陕西西安·期末）已知为角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正切函数的定义求出，再利用齐次法求解. 【详解】由为角终边上一点，得， 所以. 故选：C 题型3 齐次式求正切（多次型） 1．（25-26高一上·上海·期末）已知， . 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系将代数式转化为正切的表达式，再带入计算即可. 【详解】由题意得， 又因为，所以， 分子分母同时除以得，原式. 故答案为： 2．（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知，则 . 【答案】/ 【分析】由，得，代入，结合同角三角函数的平方关系，化简可得. 【详解】由，得. 由，得 所以. 故答案为：. 3．（25-26高一上·上海普陀·月考）（1）已知，求的值； （2）已知角是第二象限角，且，若角的终边与单位圆交于第二象限内的点P，求点P坐标． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用齐次式弦化切即可求解 （2）利用同角三角函数的关系解方程组可得和 , 然后利用正弦函数和余弦函数的定义即可得出点的坐标. 【详解】（1）. （2）因为是第二象限角，所以，，由，解得，所以点的坐标为. 4．（25-26高三上·上海·月考）若，那么= ． 【答案】 【分析】先利用平方关系化简，再进行弦化切. 【详解】根据题意，， . 故答案为： 5．（25-26高一上·广东清远·期末）已知，则 . 【答案】 【分析】将转化为仅含的表达式，代入已知值计算. 【详解】因为，所以，则 故答案为： 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $