专题1-2任意角的正弦、余弦、正切、余切（考点清单，7种题型典例剖析+考点练兵）-2023-2024学年高一数学下学期期中考点大串讲（沪教版2020必修第二册）

专题1-2任意角的正弦、余弦、正切、余切（考点清单，7种题型典例剖析+考点练兵） 知识点1、任意角的正弦、余弦、正切、余切的定义 在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＝＞0)． 三角比值 定义 定义域 正弦 sinα＝ R 余弦 cosα＝ R 正切 tanα＝ 余切 cot= 知识点2、任意角的正弦、余弦、正切、余切的符号 　 任意角正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 1、图示： 2、口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”； 知识点3、单位圆与初步应用 1、单位圆：在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆； 2、单位圆中任意角的三角比值的定义 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)， 点P的纵坐标y叫做α的正弦比值，记作sin α，即sin α＝y； 点P的横坐标x叫做α的余弦比值，记作cos α，即cos α＝x； 把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0)． 知识点4、同角三角比值间关系 1、平方关系： sin2α＋cos2α＝1. 2、商数关系： tan α＝； 3、倒数关系：tan αcot α=1 【说明】1、注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立； 2、sin2α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写． 3、注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立． 4、同角三角比的变形公式 sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；sinα＝cosα·tanα；cosα＝. sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin2α＝＝；cos2α＝＝. 题型一：定义法求三角比 1．（2024下·上海·高一假期作业）求的正弦、余弦和正切值． 2．（2020下·高一课时练习）（1）已知角的终边经过点，求的值； （2）已知角的终边经过点，求的值. 题型二：判断三角比的符号 1．根据下列条件确定角的终边所在象限. （1）且； （2）. 2．若角的终边上有一点，且. （1）判断实数符号，并说明理由； （2）求的值. 3．已知，且，判断点在第几象限． 4．如果，确定角的取值范围． 5．求的取值集合. 题型三：由角的某一三角比求其余三角比值 1．（2021下·高一课时练习）已知角的终边经过点，且，请确定角所在的象限，并求、的值. 2．（2021下·上海普陀·高一校考期中）已知，求，的值. 3．（2021·上海·高一专题练习）已知，，求、的值． 4．已知，求，，. 5．（2021下·上海徐汇·高一校考阶段练习）已知，且是第四象限的角，求，，的值． 6．已知，求的值. 题型四：同角三角比的化简问题 1．（2020下·高一课时练习）化简：. 2．（2021下·高一课时练习）化简：（1）； （2）. 3．（2020下·高一课时练习）化简下列各式： （1）； （2）. 4．（2021下·高一课时练习）已知，化简． 题型五：正余弦化正切问题 5．（2023·上海·高一专题练习）已知，求以下各式的值． (1) (2) 6．（2020下·上海黄浦·高一上海市向明中学校考期中）已知，求值： （1）； （2）. 7．（2022下·上海虹口·高一上海财经大学附属北郊高级中学校考阶段练习）已知．求 (1)的值； (2)的值． 8．（2023下·上海浦东新·高一校考阶段练习）已知．求值： (1)； (2)． 9．（2020下·高一课时练习）若，求下列各式的值： （1）；       （2）． 10．（2020下·高一课时练习）已知，求： （1）； （2）. 题型六：sinα±cosα和sinα·cosα的关系 1．（2021上·上海普陀·高一曹杨二中校考期末）已知，. （1）求的值； （2）求的值. 2．（2021下·高一课时练习）已知，且． （1）求的值． （2）求的值． 3．（2022下·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考阶段练习）已知，，求． 4．（2022下·上海青浦·高一上海市朱家角中学校考期中）已知是