第2章 7.1 实际问题中导数的意义&7.2 实际问题中的最值问题（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

第二章导数及其应用 五维课堂兰 [素养培优练] 当1十lna=0,即a= 1时，f(x)有且只有一个零 13.(多选)已知函数f(x)=ax一lnx(a∈R),则下列 说法正确的是 ( ) 点；当1+1na<0,即0<a<是时，f()有且仅有 A.若a≤0，则函数f(x)没有极值 两个零点，综上可知ABD正确，C错误.] B.若a>0,则函数f(x)有极值 122,x≤0 C.若函数f(x)有且只有两个零点，则实数a的取 14.已知函数f(x)= 若方程[f(x)]=a e,x>0 值范围是(-0，) 恰有两个不同的实数根m,n,则m十n的最大值 D.若函数f(x)有且只有一个零点，则实数a的取 是 2z2,x≤0 值范围是(-0,0U{} 解析：作出函数f(x) 的图像，如图所 (e,x>0 解析：ABD[由题意得，函数f(x)的定义域为 示，由[f(x)]=a可得f(x)=√a,所以Wa>1,即 0,+∞)，且f(x)=a1-21,当a≤0时， x a>1,不妨设m<n,则2m=e”=√a,令√a=t(t> f(x)<0恒成立，此时f(x)单调递减，没有极值， 1),则m= t 又，当x→0时，f(x)→十∞，当x→+∞时， √货，=n,所以m+n=n√层， f(x)→-∞， 令8)=n1则ge)-,所以当1 4t f(x)有且只有一个零点，当a>0时，在 t<8时，g'(t)>0;当t>8时，g'(t)<0,当t= (0,)上了(x)<0,f(z)单调递减，在 8时，g(t)取得最大值g(t)=ln8-2=3ln2-2. （日+上f)>0,fx)单稠递增，当 =时，f(x)取得极小值，同时也是最小值， fm=f(日) 1+lna,当x→0时，lnx→ ∞，f(x)>十∞，当x>十∞时，f(x)十∞， 答案：3ln2-2 §7导数的应用 7.1 实际问题中导数的意义 7.2 实际问题中的最值问题 课程标准 素养解读 1.通过利用导数解决实际问题，培养学生的数学建模的 1.了解实际问题中导数的意义。 核心素养 2.理解实际生活中的最优化问题。 2.在利用导数解决生活中优化问题的过程中提升数学建 3.会利用导数解决实际生活中的最优化问题 模、逻辑推理、数学运算的核心素养 课堂。互动学亲 对应学生用书P67 -0 [情境引入] 经营成本最小？等等.这些问题都需要寻求相应的最 生活中，人们经常会遇到最优化的问题.例如，在 佳方案或最佳策略.因此数学上都成为最优化问题. 铺设管道或者公路时，怎样使得花费最少？在制作容 因为利用导数可以求得最值.所以可以利用导数来求 器时，怎样使得用料最少？在经济活动中，怎样使得 解最优化问题， ·125· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 [知识梳理] [预习自测] [知识点一]导数的实际意义 1.判断下列说法是否正确（正确的里打“√”，错误的 1.在日常生活和科学领域中，有许多需要用导数概念 打“×”) 来理解的量.以中学物理为例，速度是路程关于时 (1)一质点从固定点A开始运动，位移s(单位：m) 间的导数，线密度是质量关于长度的导数，功率是 关于时间t(单位：s)的函数为y=s(t)=2t+4.当 功关于时间的导数等。 2.在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数 t=3时，物体的加速度a(3)=36m/s2. () y=f(x)的导函数称为边际成本.边际成本f(x。) (2)球的半径从1增加到2时，球的体积的平均膨 指的是当产量为时，生产成本的增加速度，也就 胀率为9π ( 是当产量为x。时，每增加一个单位的产量，需要增 (3)函数的最值有可能在极值点处取得. ( 加f(x。)个单位的成本. (4)若f(x)在区间(a,b)上的图像是连续不断的曲 [知识点二]最优化问题， 线，那么f(x)在(a,b)上存在最值. 在实际问题中，经常会遇到解决一些如面积最小、 (5)如果函数f(x)在(a,6)上只有一个极值，那么 体积最大、成本最低、时间最少等问题，这些问题通 这个极值就是相应的最值. ) 称为最优化问题， 答案：(1)√(2)×(3)×(2)√(4)×(5)/ [知识点三]导数在实际问题中的应用 1.应用导数知识解决实际问题时，首先要明确题目的 2.一次降雨过程中，降雨量y是时间t的函数，用y= 已知条件和所要求解的问题，然后根据题意建立适 f(t)表示，则f'(10)表示 当的函数关系，将所求问题转化为求函数的限制条 A.t=10时的降雨强度 件下的最大（小）值问题.此过程用框图表示如下： B.t=10时的降雨量 实际问题 用函数表示的数学问题 C.t=10时的时间 D.t=10时的温度 实际问题的答案 用导数解决数学问题 解析：A[f(t)表示t时刻的降雨强度.] 说明：(1)常将问题中能取得最大值或最小值的那 3.若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函 个变量设为y,而将另一个与y有关的变量设为x, 数关系为y=一x3+27x+123(x>0),则获得最大 然后利用导数求出所列函数的极值点，再进一步分 年利润时的年产量为 析可得出函数的最值 A.1百万件 B.2百万件 (2)实际问题中，一般通过函数的单调性和问题的 C.3百万件 D.4百万件 实际意义确定最值 解析：C[y=-3x2+27=-3(x十3)(x-3),当 2.实际问题中常用的导数意义 0<x<3时，y'>0;当x>3时，y<0.故当x=3 自变量x 原函数f(x) 导函数f(x) 时，该商品的年利润最大.] 时间 路程 速度 4.电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y 长度 质量 线密度 x-39x2 32 -2x 一40x(x>0),为使耗电量最小，则 时间 功 功率 其速度应定为 时间 降雨量 降雨强度 解析：由题设知y=x2一39x一40，令y>0,解得x 产量 生产成本 边际成本 >40或x<-1, 2思考解决生活中优化问题应注意什么？ 故函数y= 1 。2339x240x(x≥0)在[40，十O∞) [提示](1)在建立函数模型时，应根据实际问题 上递增，在(0,40]上递减..当x=40时，y取得最 确定出函数的定义域.(2)求实际问题的最大（小） 小值.由此得为使耗电量最小，则其速度应定 值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实 为40. 际意义的应舍去，如：长度、宽度应大于0，销售价 答案：40 为正数等， ·126· 第二章导数及其应用 五维课堂兰 课堂。互动学案 对应学生用书P68 题型一 导数在物理学中的应用 题型三 导数在实际问题中的意义 [例1]设一质点做直线运动，已知路程s(单位：m) [例2]某食品厂生产某种食品的总成本C(单位： 是时间t(单位：s)的函数：s=3t2+2t+1.求： 元)和总收人R(单位：元)都是日产量x(单位：kg) (1)从t=2变到t=3时，s关于t的平均变化率，并 的函数，分别为C(x)=100+2x+0.02x2,R(x)= 解释它的实际意义； 7x十0.01x2,试求边际利润函数以及当日产量分别 (2)当t=2时的瞬时速度； 为200kg,250kg,300kg时的边际利润，并说明其 (3)当t=2时的加速度. [解](1)△s=s(3)-s(2)=(3X32+2×3+1) 经济意义 （8x2+2×2+10=17,签-32=17。 [解](1)根据定义知，总利润函数为L(x)= R(x)-C(x)=5.x-100-0.01x2, ∴.从t=2变到t=3时，s关于t的平均变化率为 所以边际利润函数为L'(x)=5一0.02x 17,即此段时间质点的平均速度为17m/s. (2)当日产量分别为200kg,250kg,300kg时的边 (2)x(t)=6t+2,.s'(2)=6×2+2=14(m/s).即 际利润分别为 当t=2时的瞬时速度为14m/s. (3)设该质点的速度为vm/s,则v(t)=s'(t)=6t十2. L'(200)=1(元)，L'(250)=0(元)，L'(300)=-1(元). ∴.w'(t)=6..0(2)=6.即当t=2时的加速度 其经济意义是：当日产量为200kg时，再增加 为6m/s2. 1kg,则总利润可增加1元；当日产量为250kg时， 规律方法 再增加1kg,则总利润无增加；当日产量为300kg 在日常生活和科学领域中，有许多需要用导 时，再增加1kg,则总利涧反而减少1元. 数概念来理解的量.例如中学物理中，速度是路程 由此可得到：当企业的某一产品的生产量超越了边 关于时间的导数，线密度是质量关于长度的导数， 际利润的零点时，反而会使企业“无利可图” 功率是功关于时间的导数等， 规律方法 ◇[变式训练] 在生活和生产及科研中经常遇到的成本问 1.如图所示，某人拉动一个物体前进，他所做的功W (单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可 题、用料问题、效率问题和利润等问题，在讨论其 以表示为W(t)=t3-6t+16t. 改变量时常用导数解决。 ⊙[变式训练] 2.某考生在参加2022年高考数学科考试时，其解答 的题目数量y(单位：道)与所用时间x(单位：分钟) (1)求t从1s变到3s时，功W关于时间t的平均 近似地满足函数关系y=2√元. 变化率，并解释它的实际意义； (1)求x从0分钟变化到36分钟时，y关于x的平 (2)求W'(1),W'(2),并解释它们的实际意义. 均变化率； 解：(1)当t从1s变到3s时，功W从W(1)=11J (2)求f'(64),f(100),并解释它的实际意义. 变到W(3)=21J,此时功W关于时间t的平均变 解：(1)x从0分钟变化到36分钟，y关于x的平均 化率为W(3)-W(1)=21-11 31 3-1 =5(J/s). 变化率为f(36)二f(0)=12=1 36-0 363· 它表示从t=1s到t=3s这段时间，这个人平均每 秒做功5J. 它表示孩考生前36分钟平均每分钟解答号道题。 (2)根据导数公式和求导法则可得W'(t)=3t 12t+16, 2/'=左f'60=号fa0)=0 于是，W'(1)=7J/s,W'(2)=4J/s. 它们分别表示该考生在第64分钟和第100分钟时 W'(1)和W'(2)分别表示t=1s和t=2s时，这个 人每秒做的功分别为7J和4J 每分钟解答日道题和。道题， ·127· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 题型】 几何中的最值问题 1s] ] [例3]已知一圆柱形金属饮料罐，当圆柱形金属饮 料罐的容积为定值V时，它的高与底面半径应怎样 c[】 D.[18,27] 选取，才能使所用的材料最省？ 解析：C[:球的体积为36π，所以球的半径R =3, 设正四棱锥的底面边长为2a,高为h, 则12=2a2+h2,32=2a2+(3-h)2, 所以6h=l2,2a2=2-h [解]设圆柱的高为h,底面半径为R,则表面积S 所以正四棱维的体积V=号S跳=合X4松Xa =2rRh+2πR2. xe-)x台--) 由V=πRh,得h= R,则S(R)=2xR 所以v=-)(。) 2mR-+2ak. 当3≤1≤2√6时，V>0,当2√6<l≤3√3 令S(R)=-Y+4xR=0,解得R 时，V'<0, √②元’此时 所以当=2√6时，正四棱锥的体积V取最大值，最 S(R)取得最小值 V 大位为 从而h= ,即h 又1=3时.V-翠1=3时.V- 4 =2R. 所以正四棱锥的体积V的最小值为 4 所以当罐的高与底面直径相等时，所用材料最省。 [母题探究] 所以孩运回楼维体的取位花调是[厚门门 若把本例中的条件改为圆柱形金属饮料罐的表面 题型四 生活中的优化问题 积为定值S,要使它的容积最大，它的高与底面半 [例4幻某商场销售某种商品的经验表明，该商品每 径的比为 日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/ 解析：因为S=2πRh十2πR2,所以h= S-2πR2 所 2πR 千克)满足关系式y2十10(x-6,其中3< 以V(R)=S-2xR 2πR rR-z(S-2rR')R- SR 2<6,a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每 一R.◆V(R)=2s-3R=0,得5=6xR 日可售出该商品11千克. (1)求a的值： S=6πR2时，容积最大，此时6πR2=2xRh+2πR, (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格 即h:R=2：1. x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润 答案：2：1 最大 规律方法 [思路点拨](1)根据x=5时，y=11求a的值. 关于几何中的最值问题 (2)把每日的利润表示为销售价格x的函数，用 几何中的最值问题往往涉及平面图形的面积 导数求最大值. 和空间图形的表面积、体积，解决此类问题一般 [解] 将面积或体积用变量表示出来后求导数，求极值， (1)因为x=5时，y=11,所以号+10=11,0 从而求最值。 =2. ⊙[变式训练] （2)由(1)知，孩商品每日的箱售量y一2写十10x 3.(2022·新高考I卷)已知正四棱锥的侧棱长为1， -6)2, 其各顶点都在同一球面上，若该球的体积为36π， 所以商场每日销售该商品所获得的利润 且3≤≤3√，则该正四棱锥体积的取值范围是 f(x)=(x-3) [2+10x-6y]=2+10(x ·128 第二章导数及其应用 五维课堂型 3)(x-6)2,3<x<6,从而，f(x)=10[(x-6)2+ .当x=4时有最大值，f(4)=1800 2(x-3)(x-6)]=30(x-4)·(x-6),令(x)=0, 当4<x≤12时，f(x) (2800-100(x-1) x=4或x=6.于是，当x变化时，f(x),f(x)的变 化情况如下表： =2900-100x 2800≤2900-4007≈1840， x 2 (3,4) 4 (4,6) 6 当且仅当100x= 2800 即x=2√7≈5.3时取 (x) 0 0 x 等号， f(x) 极大值42 极小值 .x=5.3时有最大值1840,1800<1840， 由上表可得，x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的 .当x=5.3时，f(.x)有最大值1840，即当销售价 极大值点，也是最大值点， 格为5.3元/千克时，店铺所获利润最大. 所以，当x=4时，函数f(x)取得最大值，且最大值 规律方法 等于42. 利用导数的方法解决实际问题，当在定义区 故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商 间内只有一个点使f'(x)=0时，如果函数在这点 品所获得的利润最大， 有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道 [母题探究] (变条件)本例条件换为：该商品每日的销售量y 在这个点取得最大（小）值. (单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克，1<x≤ ⊙[变式训练] 12)满足：当1K≤4时，y-a(-3)产+合a, 4.一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成 正比，已知速度为每小时10千米时的燃料费是每 b为常数)：当4<≤12时，y=2800 100.已知 小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96 元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每千米 当销售价格为2元/千克时，每日可销售出该特产 的费用总和最小？ 800千克：当销售价格为3元/千克时，每日可售出 解：设轮船速度为x(x>0)千米/时的燃料费用为 150千克. (1)求a,b的值，并确定y关于x的函数解析式； Q元，则Q-x,由6=kX10,可得=高所以 (2)若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售 3 价格x的值，使店铺每日销售该特产所获利润 Q=5002 f(x)最大.（√7≈2.65） 所以总费用y [解](1)由题意可知x=2时，y=800,∴.a十b (品+9)小-品+9 =800, 6x 96 y=品0空，令y=0,得x=20. 又.x=3时，y=150,.b=300,可得a=500. 506x-3)+091x≤4. 所以当x∈(0,20)时，y<0,此时函数单调递减， 当x∈(20，十∞)时，y'>0,此时函数单调递增.所 ..y 2800 -100,4<x≤12. 以当x=20时，y取得最小值. x 所以此轮船以20千米/时的速度行驶时每千米的 (2)由题意： 费用总和最小 500(x-3)(x-1)+300,1<x≤4 [当堂达标] f(x)=y(z- 280-100(-1D,4<≤12 1.已知某个车轮旋转的角度a(弧度)与时间t(秒)的 当1<x≤4时，f(x)=500(x-3)(x-1)十300= 函数关系是a=00(≥0).则车轮启动后1.6 500.x3-3500x2+7500x-4200,f(x)=500(3x -5)(x-3), 秒时的瞬时速度为 A.20π弧度/秒 B.10π弧度/秒 由fx)0,得号<<3， C.8π弧度/秒 D.5π弧度/秒 f在(1，号)34上遥增，在（号3上递减， 解祈：B。=车轮启动1.6秒时的醉时 f()800+450<f4)=180. 9 速度为06×1.6=10x] ·129· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 2.用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架， 解析：y'=-3x2+27=-3(x十3)(x-3), 如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3： 当0<x<3时，y>0;当x>3时，y'<0. 4,那么容器容积最大时，高为 故当x=3时，该商品的年利润最大 A.0.5m B.1m 答案：3 C.0.8m D.1.5m 4.日常生活中的饮用水通常是通过净化的，随着水纯 解析：A[设容器底面相邻两边长分别为3xm、 净度的增加，所需净化费用不断增加，已知将1吨 4红m,则高为=1216区-（各-7m,客积 水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为c v=3x·4红·（-7=18 (x) 5284 84 (80<x<100),求净化到纯净度为 100-2x 90%和98%时，所需费用的瞬时变化率， 0<x<)V=36x-252x。 5284 5284 解：c'(x) 由=0:得=7或=0（含去.当∈(0，号 100-x (100-x)2 ∴.c(90)= 5284 时v>0:当xe(7) 时，V'<0.所以在x (100-90) =52.84, c'(98)= 5284 7处，V有最大值，此时高为0.5m] (100-98) =1321. ,∴.纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率为 3.若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函 52.84元/吨；纯净度为98%时，净化费用的瞬时变 数关系式为y=-x3+27x+123(x>0),则获得最 化率为1321元/吨. 大利润时的年产量为 百万件. 课时。素养提升 对应学生用书P37 [基础达标练] 3.将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和 1,设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设速度 最小，则应分为 () (单位：m/s)与时间t(单位：s)的函数关系为v= A.2和6 B.4和4 o(t)=t3+3t,则t=t。s时轿车的加速度为( C.3和5 D.以上都不对 A.(t+3t,)m/s2 B.(3t+3)m/s 解析：B[设一个数为x,则另一个数为8一x,则 C.(3t+3t)m/s2 D.(t8+3)m/s 其立方和y=x3十(8-x)3=83-192x十24.x2(0≤ 解析：B[因为v'(t)=3t十3，所以当t=t。s时的 x≤8)，y'=48.x-192.令y'=0,即48.x-192=0, 解得x=4.当0≤x<4时，y'<0;当4<x≤8时，y 速度变化率为v'(t。)=3t十3(m/s2).即t=t。s时 >0.所以当x=4时，y最小.] 轿车的加速度为(3t6+3)m/s2.] 4.某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生 2.设球的半径为时间t的函数R(t),若球的体积以均 产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收人 匀的速度C增长，则球的表面积的增长速度与球的 半径 R与年产量x的关系是R(x)= (400x 2x,0≤x≤400， A.成正比，比例系数为C 80000, x>400, B.成正比，比例系数为2C 则总利润最大时，每年生产的产品是 C.成反比，比例系数为C A.100 B.150 D.成反比，比例系数为2C C.200 D.300 解析：D[根据题意，V=亭xR(),S=4R(), 解析：D[由题意，得总成本函数为C(x)=20000 +100x,总利润P(x)=R(x)一C(x) 所以球的体积增长速度为V=4πR(t)R'(t),球的 x 表面积的增长速度为S'=2X4πR(t)R'(t). (300x 2 -20000,0≤x≤400， 又因为球的体积以均匀的速率C增长，所以球的表 60000-100x,.x>400. 面积的增长速度与球的半径成反比，比例系数 (300-x,0≤x≤400， 所以P'(x) 为2C.] -100,x>400. ·130 第二章导数及其应用 五维课堂乡 令P(x)=0,得x=300,易知x=300时，总利润 P(x)最大.] 解析：设销售利润为g(),得g(x)=一日x2十 5.(多选)如图所示，外层是类似于“甜筒冰淇淋”的图 2+1g+0-1,当 9 1 9 形，上部分是体积为10√5π的半球，下面大圆刚 好与高度为6的圆锥的底面圆重合，在该封闭的几 2时，g(2)=- ×2+9。 1 +6a×22-1=2.5,解得a 何体内倒放一个小圆锥，小圆锥底面平行于外层圆 锥的底面，且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合，则 =2g)=+r-1g0= 该小圆锥体积可以为 9 8x(x-6),函数g()在(0,6)上单调递 增，在(6,8)上单调递减..x=6时，函数g(x)取 得极大值即最大值， 答案：6 8.现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船 的最大航行速度为35 nmile,/h,A地至B地之间的 A.10元 B.18π 航行距离约为500 nmile,每小时的运输成本由燃 C.30π D.40元 料费用和其余费用组成，轮船每小时的燃料费用与 解析：ABC[令上部分的半球半径为R,可得 轮船速度的平方成正比（比例系数为0.6），其余费 号R-10V,解得R-,设小圆维的底面半 用为每小时960元. (1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(nmile/h) 径为r,小圆锥底面中心到球心距离为，可知r,h 的函数y=f(x); 和R可构成直角三角形，即r2十h2=15,小圆锥体 (2)求x从10变到20的平均运输成本； 款V=号2h+6=日15-)+60<<. (3)求f(10)并解释它的实际意义. 解：(1)依题意得y=500(960+0.6x')=480000 令f(h)=(15-h2)(h+6)(0<h<√15)，则f'(h) x =-3(h+5)·(h-1),可知f(h)在(0,1)上单调 十300x,函数的定义域为{x0<x≤35}，.y= 递增，在(1，√15)上单调递减，所以当h=1时， 48000 2+300x(0<x≤35). f)最大，f(h)m=f(1)=98,即Vm=8x 3元，即 (2)△y=f(20)-f(10)=480,000+300×20 20 ABC三个选项都满足题意，故选ABC.] 480000 6.假设某国家在21年期间的平均通货膨胀率为5%， +300×10 -21000, 10 物价（单位：元）与时间t(单位：年)的函数关系为 △y -21000 =-2100. (t)=p(1+5%)',其中p。为t=0时的物价.假 △.z 20-10 定某商品的。=1，那么在第10个年头，这种商品 即x以10变到20的平均运输成本为一2100元. 的价格上涨的速度是 .(其中1.05"= (3)f'(x)= 480000+300, 1.63,ln1.05=0.05,结果精确到0.01) 解析：当。=1时，p(t)=1.05',p'(t)=1.05×1n .f(10)=- 48000 10 +300=-4500. 1.05,所以p(10)=1.051"×1n1.05=1.63×0.05 f(10)表示当速度x=10 nmile/h时，速度每增加 ≈0.08.所以此时商品的价格上涨的速度是0.08 1 nmile/h,每小时的运输成本就要减少4500元. 元/年. [能力提升练] 答案：0.08 9.如图，设有定圆C和定点O,当1从1。开始在平面 7.某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大 上绕O匀速旋转（旋转角度不超过90°）时，它扫过 规模的种植是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5 的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，则它的 元，如果销售领函数是)=官+ad十宁 大致图像是 (x是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万 元，a是常数)，若种植2万斤，利润是2.5万元，则 要使利润最大，每年种植莲藕 万斤. ·131· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 11.要设计一个容积为π的下端为圆柱形、上端为半 球形的密闭储油罐，已知圆柱侧面的单位面积造 价是下底面积的单位面积造价的一半，而顶部半 球面的单位面积造价又是圆柱侧面的单位面积造 价的一半，储油罐的下部圆柱的底面半径R= 时，造价最低， 解析：设圆柱的高为h,圆柱底面单位面积造价为 1,总造价为y,因为储油罐容积为π，所以πRh+ 解析：D[因为是匀速旋转，所以阴影部分的面积 在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速 寺R·2=,整理得h=一R一>0， 较快.选项A表示面积的增速是常数，与实际不 符；选项B表示最后时段面积的增速较快，也与实 所以y=R+2R·名+号·4领R· 4 际不符；选项C表示开始时段和最后时段面积的增 速比中间时段快，与实际不符；选项D表示开始和 最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快，符 当>0得停>R>酒，<0得0<R 合实际.] 10.(多选)北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球 75 5 卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供 全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务， 所以当尺=西时，取最小值，即y取得最小值， 5 2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系 统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键 答案 是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数 12.某商店经销一种商品，每件产品的成本为30元， fx)=cosx+cos52+cos92近似模拟其信号， 5 9 并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元(a 则下列结论中正确的是 为常数，2≤a≤5)的税收.设每件产品的售价为x A.函数f(x)的最小正周期为π 元(35≤x≤41)，根据市场调查，日销售量与e(e B.函数f()的图像关于点（受0对称 为自然对数的底数)成反比例.已知每件产品的日 售价为40元时，日销售量为10件. C.对任意x∈R,都有f'(π一x)=f(x) (1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售 D.函数f(x)的最小值为-3 价x元的函数关系式 解析：BCD[A.因为y=cos,y=cos52,y= 5 (2)当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日 09的月期分别是2x晋号共最小公倍数为 利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值。 9 解：1)设日销修量为会，则 =10,∴.k=10e", 2π，所以函数f(x)的最小正周期为2π，故A错 政日方个到m(到+（到 则日售量为0e二件 则日利润1(x)=(x-30-4)10e=10e =0,故B正确；C.f(x)=-sinx X2-30-a e sin5a-in9r=f(-x),故C正确：D.f(受) 所以该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售 一in号-sn受-sm=一3，故D，故 价x元的函数关系式为L(x)=10e0一30-4 e 选BCD.] (35≤x≤41). ·132· 第二章导数及其应用 五维课堂乡 (2)L'(x)=10e031+a-z 当0<0<时，司 1 <c0s0<1,S'>0,S为增 ①当2≤a≤4时，33≤a十31≤35， 函数； 当35<x<41时，L'(x)<0..当x=35时，L(x) 当晋<9<元时，-1K0s2,S<0,S为减函 取最大值为10(5-a)e3; ②当4<a≤5时，35≤a十31≤36， 数 令L'(x)=0,得x=a十31，易知当x=a十31时， 故当日=于时，S取得极大值，也是最大值，最大 3 L(x)取最大值为10e-a 10(5-a)e,(2≤a≤4) 值为3750√5，此时AB=150. 综上可得L(x)nax= 10e9-“,(4<a≤5) 即当，点A距路边的距离为150m时，绿化面积最 所以当2≤a≤4时，当每件产品的日售价为35元 大，最大面积为3750√5m2. 时，L(x)取最大值为10(5-a)e;当4<a≤5时， 14.某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子 每件产品的日售价为a十31元时，该商品的日利 的制造成本是0.8πr2分，其r(单位：cm)中是瓶 润L(x)最大，最大值为10e3-a. 子的半径，已知每出售1mL的饮料制造商可获得 [素养培优练] 0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径 13.如图是某市在城市改造中的沿市内主干道城站路 是6cm. 修建的圆形休闲广场，圆心为O,半径为100m,其 (1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ 与城站路一边所在直线L相切于点M,MO的延 长线交圆O于点N,A为上半圆弧上一点，过点A (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 作I的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM 解：由题意可知，每瓶饮料的利润是y=f(r) 内进行绿化，设△ABM的面积为S(单位：m). 0.2xr-0.8mr2=0.8x(-)0r6 所以f(r)=0.8π(r2-2r) 站 令f(r)=0,解得r=2. 路 当x∈(0,2)时，f(r)<0;当x∈(2,6)时，f'(r) (1)以∠AON=(rad)为自变量，将S表示成0的 >0. 函数； 因此，当半径r>2时，f(r)>0,f(r)单调递增， (2)求使绿化面积最大时点A的位置及最大绿化 即半径越大，利润越高；当半径r<2时，f(r)< 面积 0,f(r)单调递减，即半径越大，利润越低. 解：(1)由题意知，BM=100sin0,AB=100+ (1)半径为6cm时，利润最大 10c0s0.故S=3AB·BM=2·10sin0.100 (2)半径2cm时，利润最小，这时f(2)<0,表示此 +100cos)=5000sin0(1+cos0)(00<π). 种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润 (2)因为S=5000sin0(1+cos0)(0<0<x), 为负值 所以S'=5000(cos0+cos20-sin0) =5000(2c0s20+cos9-1)=5000(cos0+1)(2cos0-1). f)=0.8m(5-r) 令S'=0,得c0s0=号或c0s0=-1(含去)，又0 ∈(0,0，故0=晋， ·133·