第2章 6.1 第1课时 函数的单调性与导数（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

§6用导数研究函数的性质 6.1函数的单调性 第1课时函数的单调性与导数 课前预习学案 知识梳理 [思考] [提示]f(x)是常数函数。 预习自测 1.(1)/(2)×(3)/(4)/ 2.B[由题中图像可知，函数f(x)在(2,5)上单调递减，故 在(2,5)上有f(x)<0.故f(3)<0.] 3.A[f(x)的定义域为(0，十o∞)，因为f(x)=2-一<0， 解得r<号，所以画数f(r)=2r-1nr的单调逅减区间 为，2）门 4.增[f(x)=1+x-sinx,.f(x)=1-cosx.:x∈ (0,2π)， .cosx∈-1,1)..f(x)=1-cosx>0.∴.函数f(x) 在(0,2x)上单调递增.] 课堂互动学案 [例1]D[由函数的图像知：当x<0时，函数单调递增， 导数应始终为正：当x>0时，函数先增后减再增，导数应 先正后负再正，对照选项，只有D正确.] 变式训练 1.D[A,B,C均有可能；对于D,若C为导函数，则y=f (x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y=f(x)应 为减函数，也不符合.] [例2](1)[解析]，f(x)=2x-sinx,.f'(x)=2 cosx>0在(-o,十∞)上恒成立，∴.f(x)在 (一o0,十∞)上是增函数. [答案]A (2[证明]“f)=e+f（x)=e-e1=e (e2x-1),当x∈(0，十o∞)时，由指数函数的性质知ex> 0,e2>1f)>0,因此画数f)=e+己在(0，十 ©∞)上是增函数. 变式训练 2.(1)解：①因为f(x)=x3+3.x,所以f(x)=3.x2+3= 3(x2+1)>0, 所以f(x)=x3十3.x在R上单调递增. ②因为f(.x)=sinx-x,x∈(0，π)，所以f'(x)=cosx 10, 所以f(.x)=sinx一x在(0，π)上单调递减. ③因为f(x)=1-1, ,x∈(-∞，0)U(0,+0),所以 f-0 所以画数f(x)=1-1在(-0,0)和(0，十0)上单调 递增. ·9 参考答案 ·x-lnx (2)证明：因为fr)=n工，所以f(x)=立 x =1-Inz 因为0<x<2,所以lnx<ln2<1. 所以f(x)=1-1n工>0，即函数在区间(0,2)上单调 22 递增， [例3][解] （1)函数的定义域为(0，十∞).，f(x) 6x- 2,令f(x)=0,得x1 32= (合去)，当x变 3 化时，f(x),fx)变化如下表： 3 3,+ f(x) 0 f(x) 函数f(x)的单调递减区间为 0,3 ,单调递增区间 3 为(9+) (2)函数的定义域为(-∞，十o∞).，f(x)=(x2)'ex十 x2(e )'=2xe z-x2e-x =ex(2x-x2),令f'(x)=0,由于ex>0,∴.x1=0,x2 =2, 当x变化时，f'(x),f(x)变化如下表： (-∞，0) (0,2) (2,+∞) f'(x) 0 0 f'(x) ∴.f(x)的单调递减区间为（一∞，0）和(2，十∞)，单调递 增区间为(0,2). (3)函数的定义域为（一0,0）U(0,+∞) :f()=1-京，令f(x)=0,得m=-1x2=1,当t 变化时，f'(x),f(x)变化如下表： (-o0,-1) 1(-1,0)(0,1) 1 (1,+∞) f(x) 0 f(x) ,".函数f(x)的单调说减区间为（一1,0）和(0,1)，单调递 增区间为(-00，-1)和(1，十00). 变式训练 3.解：函数f(x)的定义域为(-o∞，0)U(0,十∞)，f'(x)= (e+)=1 令f'()>0,则之(x+6)x-万)>0>万或x< -B ∴.函数的单调递增区间为（一∞，一√B)和(Wb,十∞）. 数学(BS)·选择性必修第二册 令f'(x<0,则(x+万)(x-万)<0， -√B<x<b,且x≠0. .函数的单调递减区间为（一√b,0)和(0，Wb). 综上所述，函数的单调递增区间为（一∞，一√万）和(W万，十∞)， 单调递减区间为（一√万，0）和(0W万). 当堂达标 1.C[f(x)在(-o∞，1)，(4，十∞)上是减函数，在(1,4) 上为增函数，∴.当x<1或x>4时，f'(x)<0;当1<x<4 时，f(x)>0.故选C.] 2.C[对于A选项，函数y=x4为偶函数，在(0，十o∞)上递 增，在（一∞，0）上递减；对于B选项，函数y=2r在R上 递减；对于C选项，y'=1一sinx≥0在R上恒成立，则函 效y=x十cosx在其定义域R上递增；对于D选项，函数 y=一x立在(0，十∞)上递减，故选：C.] 3D[f)=osx-日，由了)>0得cos>日在区 间(0，)上，当0<<号时，满足0s1>2] 1 4.解：f(x)=(x-k+1)e.令f(x)=0,得x=k-1. 当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如表： x (-o∞，k-1) k-1 (k-1,十o∞) f(a) 0 f(z) -e4-1 所以f(x)的单调递减区间是（一∞，k一1），单调递增区间 是(k-1,十∞). 第2课时函数单调性的综合问题 课堂互动学案 [例1][解]函数f(x)的定义域为(0，十o∞)，f(x)=ax +1-a十1_ax2+x-(a+1) ①)当a=0时，f()=,由f(x)>0,得>1，由 f(x)<0,得0x<1..f(x)在(0,1)内为减函数，在 (1,十∞)内为增函数. +安)水- (2)当a>0时，f(x)= x :a>0,-+1<0.由f(x)>0,得r>1,由f(x)< a 0,得0<x<1. .f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，十∞)内为增函数， 综上所述，当a≥0时，f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，十o∞) 内为增函数. 变式训练 1.解：f(x)=3x2-k. 当k=0时，f(x)=x3,故f(x)在（一∞，十∞)上单调 说增. 当k<0时，f(x)=3.x2-k>0,故f(x)在(-o∞，十∞)上 单调递增， ·10 当>0时，令f(x)=0,得x=士3颜 当x∈ √3k 时，f'(x)>0； 3 当x∈ √3 ,3k]时，f(x)<0: 3 故f(x)在-，- (+)上单调运增， 在(，)上单调运 综上，当k≤0时，f(x)在（一∞，十∞）上单调递增；当k> 0时，f(x)在 -60,- 3k) 3/ (+)小上单 [例2][解析]设g(x)=f）,因为f(x)·r<fx), 所以g'(x)=·f)-f）<0>g(x)是(0，+oo)上 的减函数，因为f(3)=0,所以g(3)=0, 因此f>0→g(x)>0=g(3)→x<3,“x>0,0<x <3. 所以f>0的解集为(0,3). [答案](0,3) 变式训练 2.B[:f(r)对于任意的x∈[0，受)满足f(x)osx+ f(x)sinx<0,令g(x)= f(z) 则g'(x)= f)cosf)nE<0.∴g)在[0，受)上单调通 *}<自包 cos cos >f()] [例3][解]由已知得f(x)=3x2-a,因为f(x)在 (一o∞，十)上是单调增函数，所以f(x)=3x2一a≥0 在(-o0,十o∞)上恒成立，即a≤3.x2对x∈R恒成立，因 为3.x2≥0，所以只需a≤0.又因为a=0时，f(x)=3x2≥ 0,f(x)=x3一1在R上是增函数，所以a≤0. 母题变式 1.[解]由f(x)=3x2-a,①当a≤0时，f(x)≥0， f(x)在(-o∞，十o∞)上为增函数. @当>0时，令32-a=0,得x=士，当-< 3 <3时，f(x)<0. 3第二章导数及其应用 五维课堂兰 §6用导数研究函数的性质 6.1 函数的单调性 第1课时 函数的单调性与导数 课程标准 素养解读 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与 1.在学习函数单调性与导数的关系中提升直观想象、数 导数的关系 学抽象的核心素养。 2.能利用导数研究函数的单调性 2.在研究多项式函数的单调性与单调区间的基础上达成 3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函 逻辑推理、数学运算的核心素养 数的单调区间， 课前。预习学案 [情境引入] [预习自测] 竖直向下抛一乒兵球，乒乓球的高度h是时间t 1.判断下列说法是否正确（正确的打“/”，错误的打 的函数，横轴表示时间t,纵轴表示乒乓球的高度h, “X”) 观察乒乓球竖直向上的瞬时速度（只考虑其正负）和 球的高度变化趋势（上升/下降），你能得到什么规律？ (1)函数f(x)在区间(a,b)上都有f'(x)<0,则函 数f(a)在这个区间上单调递减， () (2)若函数f(x)是定义在R上的增函数，那么一定 Oa b c 有f'(x)>0. () 提示：下降瞬时速度为负，上升瞬时速度为正。 (3)在某个区间内，f(x)>0(f(x)<0)是函数 [知识梳理] f(x)在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件. [知识点]导数的符号与函数的单调性之间具有如 ) 下性质 (4)判断函数单调性时，在区间内的个别点f‘(x) (1)若在某个区间内，函数y=f(x)的导数f'(x)> =0,不影响函数在此区间的单调性. 0,则在这个区间内，函数y=f(x)单调递增； (2)若在某个区间内，函数y=f(x)的导数(x)< 2.函数y=f(x)的图像如图所示，则 0,则在这个区间内，函数y=f(x)单调递减； (3)若在某个区间内，f'(x)≥0且只在有限个点为 0,则在这个区间内，函数y=f(x)单调递增： (4)若在某个区间内，f'(x)≤0且只在有限个点为 0,则在这个区间内，函数y=f(x)单调递减. A.f(3)>0 B.f'(3)<0 ?思考如果在某个区间内恒有f'(x)=0,那么函 C.f(3)=0 D.f'(3)的正负不确定 数f(x)有什么特性？ 3.函数f(x)=2x一lnx的单调递减区间为( A(,2) B(合+ c(合 D.(-∞，2) 4.函数f(x)=1+x-sinx在(0,2x)上单调递 55· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 课堂。互动学案 题型 导数与函数图像的关系 (2)求证：f)=e+在0，+∞)上是增函数 [例1]设函数f(.x)在定义域内可导，y=f(x)的图 像如图所示，则导函数y=f'(x)可能为 () y=f(x) 规律方法 利用导数证明或判断函数单调性的思路 若f(x)>0,则y=f(x) 在(a,b)上单调递增 求函数f(x)的 若f(x)<0,则y=f() 规律方法 导数f(x) 在(a,b)上单调递减 1.利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性 若恒有f(x)=0,则y=f() 的定义简单的多，只需判断导数在该区间内的 在(a,b)上是常数函数，不具 正负即可. 有单调性 2.通过图像研究函数单调性的方法 ◇[变式训练] (1)观察原函数的图像重在找出“上升”“下降”产 2.(1)利用导数判断下列函数的单调性： 生变化的点，分析函数值的变化趋势； ①f(x)=x3+3x;②f(x)=sinx-x,x∈(0，x): (2)观察导函数的图像重在找出导函数图像与x ③f(x)=x-1 轴的交点，分析导数的正负. ◇[变式训练] 1.设f'(x)是函数f(x)的导函数，将y=f(x)和y= (x)的图像画在同一个直角坐标系中，不正确 的是 (2)证明函数f(x)=ln2在区间(0,2)上单调 x 递增. 题型二 判断或证明函数的单调性 [例2](1)函数f(x)=2x-sinx在(-∞，+o∞) 上是 ( A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.不确定 ·56· 第二章导数及其应用 五维课堂乡 题型 求函数的单调区间 [当堂达标] [例3]求下列函数的单调区间. 1.设函数f(x)的图像如图所示，则导函数f'(x)的图 (1)f(x)=3.x2-2lnx;(2)f(x)=x2·e; 像可能为 (3)f(x)=x十 1 y=f(x) 014 y=f'(x) 01 4 0X1 y=f(x) f 14 014x 0 2.下列函数中，在其定义域上为增函数的是( A.y=x B.y=2 规律方法 C.y=x+cos x D.y=-x 利用导数求函数单调区间的步骤 3.若函数f(x)=sinx- 之2，则函数f(x)在区间(0， 1 (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求导数f'(x). π)上的单调增区间为 (3)由f'(x)>0(或f(x)<0),解出相应的x的 A. 范围.当f'(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增 函数；当f(x)<0时，f(x)在相应区间上是减 c.(o.) 函数 4.求函数f(x)=(x一k)e的单调区间. (4)结合定义域写出单调区间. ◇[变式训练] 3求函数)=+兰(6>0)的单调区间。 ·57·