第2章 6.1 第1课时 函数的单调性与导数（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

第二章导数及其应用 五维课堂兰 §6用导数研究函数的性质 6.1 函数的单调性 第1课时 函数的单调性与导数 课程标准 素养解读 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与 1.在学习函数单调性与导数的关系中提升直观想象、数 导数的关系 学抽象的核心素养。 2.能利用导数研究函数的单调性 2.在研究多项式函数的单调性与单调区间的基础上达成 3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函 逻辑推理、数学运算的核心素养 数的单调区间。 课前。预习学案 对应学生用书P55 [情境引入] (3)在某个区间内，f'(x)>0(f(x)<0)是函数 竖直向下抛一乒乓球，乒乓球的高度h是时间t f(x)在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件. 的函数，横轴表示时间t,纵轴表示乒乓球的高度h, () 观察乒兵球竖直向上的瞬时速度（只考虑其正负）和 (4)判断函数单调性时，在区间内的个别点f'(x) 球的高度变化趋势（上升/下降），你能得到什么规律？ =0,不影响函数在此区间的单调性. 答案：(1)/(2)×(3)√(4) 2.函数y=f(x)的图像如图所示，则 a b c 提示：下降瞬时速度为负，上升瞬时速度为正。 [知识梳理] [知识点]导数的符号与函数的单调性之间具有如 A.f(3)>0 B.f'(3)<0 下性质 C.f(3)=0 D.f(3)的正负不确定 (1)若在某个区间内，函数y=f(x)的导数f'(x)> 解析：B[由题中图像可知，函数f(2x)在(2,5)上 0,则在这个区间内，函数y=f(x)单调递增； 单调递减，故在(2,5)上有f'(x)<0.故f(3)》 (2)若在某个区间内，函数y=f(x)的导数f(x)< <0.] 0,则在这个区间内，函数y=f(x)单调递减； 3.函数f(x)=2x一lnx的单调递减区间为( (3)若在某个区间内，f'(x)≥0且只在有限个点为 0,则在这个区间内，函数y=f(x)单调递增； B(2,+∞） (4)若在某个区间内，f(x)≤0且只在有限个点为 D.(-∞，2) 0,则在这个区间内，函数y=f(x)单调递减。 c(合2 ?思考如果在某个区间内恒有f'(x)=0,那么函 解析：A[f(x)的定义域为(0，十∞)，因为f(x) 数f(x)有什么特性？ =2-士<0，解得x<7,所以函数f)=2x- 2 [提示]f(x)是常数函数 [预习自测] 血的单调造减区间为（0，号)门 1.判断下列说法是否正确（正确的打“√”，错误的打 4.函数f(x)=1十x-sinx在(0,2x)上单调递 “X”) (1)函数f(x)在区间(a,b)上都有f'(x)<0,则函 解析：增[：f(x)=1十x-sinx,.f'(x)=1 数f(x)在这个区间上单调递减. c0sx.x∈(0,2x), (2)若函数f(x)是定义在R上的增函数，那么一定 .cosx∈[-1,1)..f(x)=1-cosx>0..函数 有f(x)>0. ( f(x)在(0,2π)上单调递增.] ·101· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 课堂。互动学案 对应学生用书P56 题型一 寻数与函数图像的关系 [解析]，f(x)=2x-sinx,.f'(x)=2 [例1]设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图 cosx>0在(-∞，十∞)上恒成立，.f(x)在 像如图所示，则导函数y=f(x)可能为 ) (一∞，十∞)上是增函数. [答案]A f(x) (2求证：f)=6+在0，十)止是增函数 [证明] fx)=e+合f)=e-e e(e2x一1)，当x∈(0，十∞)时，由指数函数的性 质知ex>0,e2x>1,.f(x)>0,因此函数f(x) =er十 在0，十四)上是增函数 规律方法… 利用导数证明或判断函数单调性的思路 解析：D[由函数的图像知：当x<0时，函数单调 递增，导数应始终为正；当x>0时，函数先增后减 若f(x)>0,则y=f(x) 再增，导数应先正后负再正，对照选项，只有D 在(a,b)上单调递增 正确.门 求函数f(x)的 若f(x)<0,则y=f(x) 规律方法 导数f() 在(a,b)上单调递减 1.利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性 若恒有f(x)=0,则y=f(x) 的定义简单的多，只需判断导数在该区间内的 在(a,b)上是常数函数，不具 正负即可 有单调性 2.通过图像研究函数单调性的方法 (1)观察原函数的图像重在找出“上升”“下降”产 ◇[变式训练] 生变化的点，分析函数值的变化趋势： 2.(1)利用导数判断下列函数的单调性： (2)观察导函数的图像重在找出导函数图像与x ①f(x)=x3+3;②f(x)=sinx-x,x∈(0，π)； 轴的交点，分析导数的正负 ③f(x)=x-1 ◇[变式训练] 解：①因为f(x)=x3+3x,所以f(x)=3x2+3= 1.设f'(x)是函数f(x)的导函数，将y=f(x)和y= 3(22+1)>0, f(x)的图像画在同一个直角坐标系中，不正确 所以函数f(x)=x3+3x在R上单调递增， 的是 ②因为f(x)=sinx-x,x∈(0，π)，所以f(x)= cos z-1<0, 所以f(x)=sinx一x在(0，π)上单调递减 B ③因为f0)=1-子xe(-∞，0U0,+∞，所 解析：D[A,B,C均有可能；对于D,若C1为导函 数，则y=f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函 以f)>0. 数，则y=f(x)应为减函数，也不符合.] 题型二】 判断或证明函数的单调性 所以函数f(x)=1-1在(-0,0)和(0，十o∞)上 [例2](1)函数f(x)=2x-sinx在(-o∞，十o∞) 单调递增 上是 (2)证明函数f(x)=n2在区间(0,2)上单调 A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.不确定 递增。 ·102· 第二章导数及其应用 五维课堂乡 1 ·x一lnx 规律方法 证明：因为f(x）=h工，所以f(x)=工 利用导数求函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域. =1-ln2 22 (2)求导数f'(x). 因为0<x<2,所以lnx<ln2<1. (3)由f(x)>0(或f(x)<0),解出相应的x的 所以f(x)=1一1n2>0,即函数在区间(0,2)上单 范围.当f'(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增 x 函数；当f'(x)<0时，f(x)在相应区间上是减 调递增 函数 题型 求函数的单调区间 (4)结合定义域写出单调区间. [例3]求下列函数的单调区间. ⊙[变式训练] (1)f(x)=3x2-2lnx;(2)f(x)=x2·e; 3.求函数fx)-x+么>0)的单调区间。 (3)f(x)=x+ 解：函数f(x)的定义域为（一∞，0）U(0,十∞)， [解](1)函数的定义域为(0，十∞).：f(x)= f'(x)=（ 6.x 3 令f'(x)>0,则(x+6)(-万)>0，x>万 当x变化时，f(x),f(x)变化如下表： 或x<-√b .9 3 ,+o .函数的单调递增区间为(-∞，一√b)和(Wb,十∞). f'(x) 0 + 令f'(x)<0,则(x十万)(x-万)<0， f(z) .一√b<x<6,且x≠0. 函数的单调递减区间为（一√b,0)和(0W万） 函数f(x)的单调递减区间为0， ,单调递增 综上所述，函数的单调递增区间为（一∞，一√b)和 区间为 + (b,十∞)，单调递减区间为（一√b,0)和(0，Wb). 当堂达标] (2)函数的定义域为（一∞，十∞）.f(x) L.设函数f(x)的图像如图所示，则导函数f'(x)的图 (z2)'e :+x2(e:)'=2xe :-z2e 像可能为 =ex(2x-x2),令f'(x)=0,由于ex>0,x1 0,x2=2, y=f(x) 当x变化时，f(x),f(x)变化如下表： 014 -∞，0) 0 (0,2) 2 (2,+∞) (x) 0 + 0 y=fx y=f'(x f'(x) 习 ∴.f(x)的单调递减区间为（一∞，0）和(2，十∞)， B 单调递增区间为(0,2). y (3)函数的定义域为(-∞，0)U(0,+∞). :f(x)=1- 京，令f()=0,得=-1，=1， y=f(a) y=f(a) 14x 014 当x变化时，f'(x),f(x)变化如下表： D 00,- 1)》 -1,0)(0,1) 1 (1,+o∞ 解析：C[:f(x)在（一∞，1)，(4，十∞)上是减函 f'(z) 数，在(1,4)上为增函数，.当x<1或x>4时， 0 0 X f'(x)<0;当1<x<4时，f(x)>0.故选C.] f(z) 2.下列函数中，在其定义域上为增函数的是( ∴.函数f(x)的单调递减区间为（一1,0）和(0,1)， A.y=x B.y=2 单调递增区间为(-∞，一1)和(1，+∞). C.y=z+cos x D.y=-xt ·103· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 解析：C[对于A选项，函数y=x为偶函数，在 解析：D[f(x)=cosx-,由f(x)>0得 (0,十∞)上递增，在（一∞，0）上递减；对于B选项， 函数y=2"在R上递减；对于C选项，y=1 c0s>在区间(0，)上，当0<<晋时，满足 sin≥0在R上恒成立，则函数y=x十cosx在其 co 定义域R上递增；对于D选项，函数y=一x在 4.求函数f(x)=(x一k)e的单调区间. (0,+∞)上递减.故选：C.] 解：f(x)=(x-k+1)e.令f(x)=0,得 =k-1. 3.若函数f()=sin2一x,则函数f()在区间(0， 1 当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如表： π)上的单调增区间为 2 (-∞，k-1) k一1 (k-1,+∞) A( B(昏 (x) 0 f(z) y e 才 c(o, n.(,晋) 所以f(x)的单调递减区间是（一∞，k一1），单调递 增区间是(k一1，十∞). 课时。素养提升 对应学生用书P31 [基础达标练] 3.已知函数f(x)=1 一x,则f(x)在(0，十∞)上的 1.函数f(x)的导函数f(x)的图像如图所示，函数y =f(x)的一个单调递减区间是 单调性为 A.f(x)在(0，+o∞)上是增函数 B.f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，+∞)上是减 函数 C.f(x)在(0，十∞)上是减函数 A.(x1,23） B.(x2,x4） D.f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，十o∞)上是增 C.（x4,x6) D.(x5,x6) 函数 解析：B[由题图可知，当x∈(x1,x2),(x4,5), 解析：C[因为f(x)=一二-1<0，所以f(x)在 (x,x6)时，f(x)>0,当x∈(x2,x)时，f(x)< 0,.函数f(x)在(2，)上单调递减，在(1，x2), (0,十∞)上是减函数.] (x4x),(xx6)上单调递增，.函数y=f(x)的 4.下列函数中，在(0，十∞)内为增函数的是() A.y=sin x 一个单调递减区间是(x2,x4).故选B.] B.y=ze C.y=z-x D.y=In z-x 2.函数f)=3+2的单调递增区间是 ( x 解析：B[对于A,显然y=sinx在(0，十∞)上既 有增又有减，故排除A;对于B,对于函数y=xe, 因e2为大于零的常数，不用求导就知y=xe在 B.(In 2,+o) (0,十∞)内为增函数，B合题意；对于C,y=3z2 c(0小o.+oy 1=〔一)t数在〔0，号》 +小上为塔，在()上为成函 解析：A[函数f(x)= 3十2，得f(x)= x 数，排除C;对于D,y=1-1(x>0),故函数在 ln2-1)2,令f()=212>0,解得> (1,+∞)上为减函数，在(0,1)上为增函数，排除 x D,故选B.] 2函数f(x)=32的单调递增区间 5.(多选)已知函数f(x)的定义域为R,其导函数 f'(x)的图像如图所示，则对于任意x1,x2∈R(x 是(2+)门 ≠x2),下列结论正确的是 ·104· 第二章导数及其应用 五维课堂色 解：当1<x<4时，f(x)>0,可知f(x)在此区间 内单调递增；当x>4或x<1时，f'(x)<0,可知 f()在这两个区间内单调递减；当x=4或x=1 时，f()=0,这两点比较特殊，我们称它们为“临 A.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 界，点”.综上，函数f(x)图像的大致形状如图所示 B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 =fx) C.+) 2 2 [能力提升练] 解析：AD[由题中图像可知，导函数f'(x)的图 9.定义在R上的可导函数f(x),已知y=e)的图 像在x轴下方，即∫(x)<0,且其绝对值越来越 像如图所示，则y=f(x)的增区间是 ( 小，因此过函数f(x)图像上任一点的切线的斜率 为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝 角，由此可得f(x)的大致图像如图所示. A.(-∞，1) B.(-∞，2) C.(0,1) D.(1,2) 解析：B[由题图可知，f'(x)≥0的区间是 A选项表示x1一x2与f(x)一f(x2)异号，即f(x) (一∞，2)，故函数y=f(x)的增区间为（一∞，2）.] 图像的制线斜率f)-f)为负，故A正确；B 10.(多选)下列函数在其定义域上既是奇函数又是减 21一x2 函数的是 () 选项表示x1一x2与f(x1)一f(x2)同号，即f(x) A.f(x)=2 B.f(z)=sin x- 图像的制线斜奉f)二f()为正，故B不正确； C.f(z)=e *-e D.f(x)=-xlx 21一22 解析：BCD[对于A,f(x)=2既不是奇函数也 〔色)表示对应的画数俊，即国中点B 2 不是偶函数，且单调递增，故A错误；对于B, 的纵坐标，f)十f表示当上=和= f(x)的定义域为R,且f(-x)=sin(-x)十x= 2 -(sinx-x)=-f(x),.f(x)是奇函数，又 时所对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐 f(x)=cosx一1≤0恒成立，故是减函数，故B正 标，显然有f西十）<f)十f( 确；对于C,f(x)的定义域为R,且f(一x)=e 2 2 ,故C不正 e=一f(x),∴.f(x)是奇函数，，f(x)=-e 确，D正确.故选：AD.门 一e<0,故f(x)是减函数，故C正确；对于D, 6.函数y=2x+sinx的单调增区间为 f(x)的定义域为R,且f(-x)=x|一x|=x|x 解析：y'=2+cosx,cosx∈[-1,1]，.y'>0在R =一f(x),∴.f(x)是奇函数，又f(x)=一xx 上恒成立，所以函数的单调增区间为（一∞，十∞）. 答案：(-∞，十∞) x,x<0 是减函数，故D正确，故选：BCD.] 7.若函数f(x)的导函数为f'(x)=x2一4x十3，则函 -x2,.x≥0 数f(1十x)的单调递减区间是 11.函数y=ln(x2一x一2)的单调递减区间为 解析：令f'(x)=2-4x十3<0，得1<x<3,由1 <1十x<3,解得0<x<2,故函数f(1十x)的单调 解析：函数y=ln(x2一x一2)的定义域为(-∞， 递减区间为(0,2). -1)U(2,+∞)，令f(x)=x2-x-2,f(x)=2.x 答案：(0,2) 1 8.已知导函数f(x)的下列信息： -1<0,得x<2· 当1<x<4时，f(x)>0;当x>4或x<1时， .函数y=ln（x2一x一2)的单调递减区间为 f'(x)<0;当x=4或x=1时，f'(x)=0. （-∞，-1). 试画出函数f(x)图像的大致形状. 答案：(-∞，一1) ·105· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 12已知函数fx)=e,gu)=n受十号的图像分别 随若x的增大，xu)的值近似接近的值.从猜 与直线y=m(m>0)交于A,B两点，求|AB的最 想出发，下列推断正确的是 ( ) 小值. A.当x很大时，随着x的增大，π(x)的增长速度 解：A(lnm,m),B(2e"立，m),其中，2em立> 变慢 lnm,且m>0,所以AB|=2e立-lnm. B.当x很大时，随着x的增大，π(x)减小 C.当x很大时，在区间(x,x+n)(n是一个较大常 令y=2e-1n>0,则y=20-子令 数)内，素数的个数随x的增大而减少 y=0,得x= D.因为π(4)=2，所以x(4)>n4 所以当0<<时y<0,当>时y>0,所 解析：AC[函数fu)一以>0且x子1， 以y=2et-lh,>0在(02)上单调道减， 则f(x)=1nx-1=11 hxnx1nx>0且x≠1， 在（十∞）上单递增。 P(x)=2-In x (n>0且x≠1，当x→十0时， 所以x=2时，ABl=2+lh2. (x)<0,所以当x很大时，随着x的增大，π(x) 的增长速度变慢，故A正确； [素养培优练] 函数f()=心的图像如图所示： 13.函数f(x)的定义域为R,f(一1)=2，对任意x∈ In x R,f'(x)>2.则f(x)>2x十4的解集为（ A.(-1,1) B.(-1,+o∞) C.(-∞，-1) D.（-∞，十∞) 解析：B[构造函数g(x)=f(x)一(2x十4)，则 g(-1)=2-（-2+4)=0,又f(x)>2,.g(x) =f(x)-2>0,.g(x)是R上的增函数.f(x) 由图像可得随着x的增大，π(x)并不减小，故B >2x+4台g(x)>0台g(x)>g(-1),∴.x>-1.] 错误；当x很大时，在区间(x,x十n)(n是一个较 14.(多选)素数分布问题是研究素数性质的重要课 大常数)内，函数增长得慢，素数的个数随x的增 题，德国数学家高斯提出了一个猜想：π(x)≈ ，其中π(x)表示不大于x的素数的个数，即 大而减少，敢C正确：青≈2.89>2，故D错误] In x 第2课时 函数单调性的综合问题 课堂。互动学亲 对应学生用书P58 题型二 讨论函数的单调性 (1)当a=0时，()=1，由f()>0,得x> [例1] 讨论函数f()=2a+x-（a+1)lnx(a 1 1,由f(x)<0,得0<x<1..f()在(0,1)内为 ≥0)的单调性， 减函数，在(1，十∞)内为增函数， - [思路点拨] 求函数的定义域→求f(x) +)- 分a>0,a=0 解不等式f(x)>0或f(x)<0 (2)当a>0时，f(x)= x 表述f(x)的单调性 a>0,.- [解]函数f(x)的定义域为(0，十o∞)，f(x)=ax 十1<0.由f(x)>0,得x>1,由 a +1-a+1=az2+x-(a+1) f'(x)<0,得0<x<1. x ·106·