第2章 6.1 第2课时 函数单调性的综合问题-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂课时作业（北师大版）

第二章导数及其应用 课时作业乡 数课时 §5简单复合函数的求导法则 学作业 纠错空间 [基础达标练] 8已知函数f)=h告 1.下列函数不是复合函数的是 (1)求函数y=f(x)的定义域： A.y=-x3-1+1 x By=co+) (2)求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线 方程. C.y-In z D.y=(2x+3) 2.已知函数f(x)=sin2x+cos2x,那么f () A.-2 B.2 c D.-t 3.设曲线y=a.x-ln(x十1)在点(0,0)处的切线 方程为y=2x,则a= () A.0 B.1 C.2 D.3 方法总结 4.函数y=cos2x十sin√元的导数为() A.-2sin2.x+cos√☑ 2 +++1+++++0+++ B.2sin 2cos 2匠 C.-2sin 2+sin 2√x D.2sin 2x- c0s√⑦ 2√元 5.(多选)下列结论中不正确的是 A.若y=eas上，则y/=-上sin} B.若y=sinx2,则y'=2 x cos C.若y=cos5.x,则y=-sin5.x D.若y=2xsin2,则y=xsim2a 6.若f(.x)=√ax2-1且f'(1)=2,则a的值为 e 7.函数y=1n十。在x=0处的导数为 ·29· 旦五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 [能力提升练] (2在角线)一中7上求一点，使过该点的 9.(多选)以下函数求导正确的是 切线平行于x轴，并求切线方程. A,若f)= +则f() 2-1 Ax (.x2+1)3 B.若f(x)=e2,则f'(x)=e2 c.若fx)=2x,则fx)2与 D若f(x)=os（2x-)则了(x) sim（2x-g) 10.设函数f(x)=cos(W3x十9)(0<g<π)，若 f(x)十f(x)是奇函数，则9= 1.已知函数f(z)=f(等)sin cos2z(其中 f(x)为f(x)的导函数)，则() 12.(1)已知f(x)=e“sin元x,求f'(x)及 r() [素养培优练] 13.随着科学技术的发展，放射性同位素技术已 经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得 了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰 变过程中，其含量P(单位：贝克)与时间t(单 位：天)满足函数关系P(t)=2P。,其中P。 为该时刻放射性同位素的含量.已知t=15 时，该放射性同位素的瞬时变化率为 3②1n2,则该放射性同位素含量为4.5贝克 10 时衰变所需时间为 () A.20天 B.30天 C.45天 D.60天 14已知函数)=1n(ax十1)十年≥0. 其中a>0,若f(1)=0,则a= ·30·世五维课堂 12.解：A(1n,m),B(2em立，m),其中，2em专>lnm,且m >0,所以AB=2em-立-lnm. 令y=2e专-n,>0,则y=2e片-是令y=0, 得x= 所以当0<分时y<0,当>2时y>0,所以y =2c士-1n,x>0在(0，受)上单调递减，在 (合十)上单调道培。 所以x=合时，ABm=2+1n2。 13.B[构造函数g(x)=f(x)-(2x十4)，则g(-1)=2 (-2十4)=0，又f(x)>2,∴.g'(x)=f(x)-2>0, g(x)是R上的增函数.f(x)>2x十4曰g(x)>0曰 g(x)>g(-1),∴.x>-1.] 14.AC[设画数x)=x>0且x≠1，则广()= 是品>0且1 )=器>0且1当时时f <0,所以当x很大时，随着x的增大，π(x)的增长速度 变慢，故A正确； 函数f代x)-的图像如图所示： 由图像可得随着x的增大，π(x)并不减小，故B错误； 当x很大时，在区间(x,x十n)(n是一个较大常数)内， 函数增长得慢，素数的个数随x的增大而减少，故C正 确：≈29>2，故D错误] 第2课时函数单调性的综合问题 1.D[f)=x+>0…f)=1-÷◆f( x =1-兰<0，解得-6<<0或0<<6，fx)的单 调减区间为(-√6,0)，(0，Wb).] 2.D[:a>0,f(x)为增函数，∴f(zx)=3ax十2bx十c≥ 0恒成立，△=(2b)2-4X3aXc=4b-12ac≤0，b2 -3ac0.] 品A/)的定义线是0.+)了()=-是，由 了(x)≤0，解得0<≤3.由题意知8-10解得1<a 1a+1≤3， ≤2.] ·6 数学(BS)·选择性必修第二册 4.B[根据题意，由f(x)<g'(x),得f(x)-g'(x)<0. 令F(x)=f(x)-g(x),则F(x)在[a,b]上递减，由单调 性知，当x∈[a,b]时，必有F(x)≥F(b),即f(x)-g(x) ≥f(b)-g(b),移项整理，得f(x)-f(b)≥g(x)-g (b).] 5.AC[由f(x)=xln(1十x)知函数的定义域为(-1，十o∞)， f(x)=ln1+x)+千x,当x∈(0，+∞)时，ln1+x) >01千 >0,∴f(x)>0,故f(x)在(0，十∞)上单调 递增，A正确；由f(0)=0,当-1<x<0时，ln(1十x)<0, f(x)=xln(1十x)>0,当ln(1十x)>0,f(x)>0,所以 )只有一个零点，B错误：令E=-子，(） 1n之-1=-n2-1,故由线y=f(x)在点 (合（专）月处切线的鲜率为-1h2,C正扇： 由函数的定义域为（一1，十∞），不关于原点对称知， f(x)不是偶函数，D错误.] 1 6.解析：由f(x)=sinx十2x+lnx,得f'(x)=cosx十 +1(x>0 x x :当>0时+士≥2.co6[-1.n, .当x>0时，f'(x)>0,f(x)在(0，十∞)上单调递 1-a>0, 增，∴.由f(1-a)<f(2a),得 2a>0, 1-a<2a :.3 <a<1实数a的取值范国是（行，1 答案（行） 7.解析：因为f(x)=x-sinx,所以f(一x)=一x十sinx =一f(x),即函数f(x)为奇函数，函数的导数∫'(x) 1-cosx≥0，则函数f(x)是增函数，则不等式f(x十1) 十f(2-2x)>0等价于f(x十1)>-f(2-2x)=f(2x 一2)，即x十1>2x-2,解得x<3,故不等式的解集为 (-0∞，3). 答案：(-∞，3) 8.解：f(x)的定义战为(0，十o).了(x)=a+1+2a =2a.x2十a+1 当a≥0时，f(x)>0,故f(x)在(0，十∞)上单调递增. 当a≤-1时，f(x)<0,故f(x)在(0，十∞)上单调 递减 当-1<a<0时，令f(x)=0,解得x=入 a十1 2a 则当x∈ a十1 2a 时，f'(x)>0;x∈ 22 参考答案 故f(x)在 √厂 上单调递增，在 _a十 2a ,十∞上单调递减 9.D[关于x的不等式x2十m.x-2>0在区间[1,2]上有 解，所以mx>2-x2在x∈[1,2]上有解，即m>2-工 x 在x∈[1,2]上成立，设函教f()=2-,x∈[1,2]，所 以了)=是-1<0恒成主，所以在[1,2] 上是单调减画数，且(x)值城为[-1,1]，要使m>2 x x在x∈[1,2]上有解，则>-1，即实数m的取值范围 是(-1，十∞).] 10.C[设f(x)=ln(1十x)-x(x>-1),因为f(x)= x 当x∈(-1,0)时，f(x)>0,当x∈(0，十∞)时f(x) <0, 所以函数f(x)=ln(1十x)-x在(0，十∞)上单调递 减，在(-1,0)上单调递增， 所以日)<f0)=0,所以n吕-专<0，故号> n号=-h0.9,即6>c 所以-f0)=0,所以1n0+<0,故0< 1 e，所以c<日 故a<b, 设g(x)=xe十ln(1-x)(0<x<1),则g'(x)=(x十 1De+1=x2-1De+1 x-1 x-1 令h(x)=e(x2-1)十1，h'(x)=e(x2十2x-1), 当0x√2-1时，h'(x)<0,函数h(x)=e(x2一1) 十1单调递减， 当√2-1<x<1时，h'(x)>0,函数h(x)=e(x2-1)十 1单调递增， 又h(0)=0, 所以当0<x<√2-1时，h(x)<0, 所以当0<x<√2-1时，g'(x)>0,函数g(x)=xe十 ln(1-x)单调递增， 所以g(0.1)>g(0)=0,即0.1e1>-ln0.9,所以a >c.] 11.解析：由题图可知，不等式f'(x)-f(x)<0的解集为 (0,1)U(4,+o∞)， ·g(x)=x) e g(x)=')e-f(e)='x)-fx (e) e 由g'(x)<0,可得f'(x)-f(x)<0,解得x∈(0,1)U (4,十0o). ·63 课时作业兰 因此，函数g(x)=卫的单调递减区间为(0,1，(4， e 十0∞). 答案：(0,1)，(4，十∞) 12.解：(1)由函数的解析式可得：f(x)=3x2-2x十a,导 函数的判别式△=4-12a, 当△=4-12a≤0，即a≥号财f()≥0f()在R 上单调递增， 当△=4-12a>0,即a<号时，∫()=0的解为 -3和，x,=1+ 3 3 当(-，1)时f)>0f)单明 递增； 当x∈ 1面，+)时，f)<0 f(x)单调递减； 当x∈(1士亚，+时，f()>0,f(x)单调 递增； 综上可得：当a>子时，f(x)在R上单调递增， 当。<号时，f()在〔，1=)月 (十30，十上单调递增， 3 在（仁亚，1上四)上单适该 3 13.ACD[由fx)=合x2-f0)x+f1De,得f0) =f(1)e1, f(x)=x-f(0)十f(1)e-1, ∴.f(1)=1-f(1)e1+f'(1),.f'(1)=e,则f(0)= ee1=1,则f)=合d-x+e,g)=f) 合2十x=e,方程gx)-ar=0,即e=a,=0时 方程显然无解；x0时，对于任意a0, 函数y=e与y=ax有一个交点，满足题意； ≥0时，则a=兰令4()=兰，到)=e 2? =e(x-1) x 当x∈(0,1)时，h'(x)<0,当x∈(1，十o)时，h'(x) >0, ,h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十o)上单调递增， 又当x→0时，h(x)→十∞，当x→十∞时，h(x)→ ∴h(x)在(0，十∞)上的图像如图： -y=e 巴五维课堂 由因可知，当a=c时，方程a=号有一根，综上a的取 值范围为(-∞，0)U{e},故选ACD.] 14.解析：当k≤0时，任一正整数都满足不等式x>ke(x 十1)，故k>0. 当k>0,x≥1时，不等式x>ke(x十1)等价于 Dg<0, x 令f()=e(x十1)1 x x≥1， 8当≥1时f)=号x+红-1>0饭成立， .f(x)在[1，十∞)上单调递增， [1)=2e-<0 ,解得2 忌<<品 答案：[品品) 6.2函数的极值 1.AD[结合y=f(x)的图像，可知，对A,由于x=一3 的两侧导数符号不同，故一3是极值点；对B,由于一1两 侧导数符号相同，因而不是极值，点；对C,x=0处的导数 大于零，故在x=0处的切线斜率大于零；对D,当x∈ (一3，一1)时导数大于零，因而为递增区间.综上可知 AD正确.] 2.B[根据极值的概念，左侧f(x)>0,单调递增；右侧 f(x)<0,单调递减，f(x)为极大值.] aD1+y-经-2 ≥0，.函数y=x-ln(1十x)无极值.] 4.B[由y=e-2mx,得y'=e-2m.因为函数y=e 2mx有小于零的极值点，所以e-2m=0有小于零的实 根，即m=之e有小于索的实根，：<00<号e< 0m<.] 1 5.ABD[由题图可知，当x∈(-o∞，c)时，f(x)>0,当x∈ (c,e)时，f'(x)<0,当x∈(e,十oo)时，f(x)>0,所以f(x) 在(-o∞，c)上递增，在(c,e)上递减，在(e,十∞)上递增， 对A,f(d)>f(e),故A错误；对B,函数f(x)在[a,b们上 递增，在[b,c]上递增，在[c,d]上递减，故B错误；对C, 函数f(x)的极值点为c,e,故C正确；对D,函数f(x)的 极大值为f(c),故D错误.] 6.解析：由题意，函数f(x)=-x3十ax2-4,可得f(x)= -3x2十2ax,因为x=2是函数f(x)的极值点，可得 (2)=0,所以-3×4+2a×2=0,解得a=3. 答案：3 7.解析：由已知f)=msx-6snx十2-号n2 :函数f(x)在x=x。处取得极值， ÷f'(x,)=c0sw-6simx+2-是sin2,=0, ·6 数学(BS)·选择性必修第二册 ∴.cos zo-6 sin zo十2-3 sin ocos zo=0, (1-3sin zo)(2+cos zo)=0, cos Zo≤1，.2+cos o≠0，.1-3sinz0=0,即sin 1 0=3’ cos2z,=1-2sin2x,=1-2×(号）2=号. 7 答案：9 8.解：(1)因为f(x)=ax2+blnx,所以f(x)=2ax+ 又画数f)在x=1处有极值宁 f(1)=0, ,2a+b=0, 1 a=1解得= (b=-1. (2)由(1)可知f)=号-1n,其定义域为(0，十∞). 且f(x)=x- 1=(x+1)(x-1) x x 令f(x)=0,则x=-1(舍去)或x=1. 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表： x (0,1) 1 (1,十0∞) f'(x) 0 f(x) 单调递减 极小值 单调递增 所以函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间 是1，中0)，且通教在定义上只有板小值)=子 而无极大值 9.A[f(x)=2z-2(-1) ,x∈(0，十∞)， x 令f(x)=0,得x2=(-1),(*) 要使f(x)存在极值，则方程()在(0，十o)上有解， .(-1)>0.又k∈N,k=2,4,6,8,….k的取值 集合是{2,4,6,8，…}.] 10.AC[由题意得，f(x)的定义域为(0，十o∞)，且f(x)= c-子，设A(x)=(x,则()=6+子>0. x M(x)在(0，+∞)上单调递增，又h(合）=e-2=后 -2<0,h(1)=e-1>0,h(xo)存在唯一零点，设为 x0,当0<x<xo时，f(x)<0,f(x)单调递减，当x>x0 时，f(x)>0,f(x)单调递增，∴.f(x)有唯一极小值，点 ,故选项A正确.令()=-1=0，得e 去，两边同时取对数可得西=n去=-hfx) =-n5-2=去+x-2≥22·-2=0（当 且仅当x=1时等号成主)，又合<<1f,)> 0,即[f(x]m>0,∴.f(x)无零点，故选项B错误.由f )=大中x-2,2<<1,可设g)=x-2 则g)=是+1