第2章 5 简单复合函数的求导法则（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 §5简单复合函数的求导法则 课程标准 素养解读 1.在运用复合函数求导公式解题过程中提升数 1.能求简单的复合函数（限于形如f(a.x十b))的导数， 学抽象和数学运算的核心素养， 2.能利用复合函数的求导公式解决简单的实际问题. 2.在解决实际问题的过程中培养数学建模的核 心素养 课前。预习学案 [情境引入] [知识点二]复合函数的求导法则 如何求函数y=1n(2x一1)的导数？ y',=[f(g(x)]'=f'()o'(x).其中u=g(x) 现有方法无法求出它的导数。 [预习自测] (1)用定义不能求出极限： 1.判断下列说法是否正确（正确的打“√”，错误的打 (2)不是基本初等函数，没有求导公式； “X”) (3)不是基本初等函数的和、差、积、商，不能用导数的 (1)函数y=sin(πx)的复合过程是y=sinu,u= 四则运算法则解决这个问题. 元x. 这节课我们就来研究这类函数的求导问题。 6 [知识梳理] (2)函数y8x一1的导数是y'=3”1D [知识点一]复合函数的概念 般地，对于两个函数y=f(u)和u=(x)=ax (3))=la(8x-10.则f')=3 +b,如果给定x的一个值，就得到了的值，进而确 (4)f(x)=zcos2,则f'(x)=2c0s2x十2a2sin2. 定了y的值，那么y可以表示成 ,称这个函 () 数为函数y=f(u)和u=p(x)的 ,记作 ,其中u为中间变量. 2.函数y=(x2一1)”的复合过程正确的是() A.y=,u=x2-1 B.y=(u-1)”,u=x ?思考1.函数y=log2(x十1)是由哪些函数复合 C.y=t,t=(x2-1)” D.y=(t-1)”,t=x2-1 而成的？ 3.已知f(x)=x3+sin3x,则其导函数f'(x)= ( A.3x2+3cos a B.x+3cos x C.x3+3cos 32 D.3x2+3c0s3.x 4.函数y=cos 元 4 一3x的导数为 课堂。互动学案 复合函数的亭数 规律方法 题型一 1.解答此类问题常犯两个错误 [例1]求下列函数的导数 (1)不能正确区分所给函数是否为复合函数. 1 (1Dy=e+1;(2)y=(2x-1D (2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本 初等函数复合而成 (3)y=5log2(1-x);(4)y=sin(xx十9). 2.复合函数求导的步骤 分解 选定中间变量，正确分解复合关系，即 说明函数关系y=u),4=c 分步求导（弄清每一步求导是哪个变量， 求导 对哪个变量求导)，要特别注意中间变量 对自变量求导，即先求y,再求u 回代 计算y。·,并把中间变量转化为自变 量的函数 52 第二章导数及其应用 五维课堂兰 ⊙[变式训练] ⊙[变式训练] 1.求下列函数的导数. 2.求下列函数的导数 (1)y=10x-2;(2)y=ln(e+x2): （1Dy=sin号：(2)y=simx+sinx (3)y=xln(1+x). 题型复合函数导数法则的综合应用 [例3](1)曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y 十3=0的最短距离是 A.5 B.2√5 C.3√5 D.0 (2)设曲线y=e“在点(0,1)处的切线与直线x+ 2y十1=0垂直，则a= 题型二复合函数与导数的运算法则的综合应用] [思路点拨] [例2]求下列函数的导数， (1)设P(xw)→由y1x=5=2求P(20%) 1)y=ln3,(2)y=x√1+， →点到直线的距离求最小值 (3y=o(2+)m(2x+) (2)求y=D→由y==2求a的值 [母题探究] 1.(变条件)本例(1)的条件变为“曲线y=ln(2x一1) 上的点到直线2x-y十m=0的最小距离为2√5”， 求m的值. 2.(变结论)求(2)中曲线的切线与坐标轴围成的三角 形的面积. 规律方法 1.在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结 构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式， 对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行 规律方法 等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的 本题正确的求出复合函数的导数是前提，审 2.对于复合函数的求导，在熟练后，中间步骤可以 题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件， 省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用 求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求 公式，从外层开始由外及内逐层求导， 切点是解决问题的关键. 。 53· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 ◇[变式训练] [当堂达标] 3.(1)设f(x)=ln(x+1)+√+I+ax+b(a,b∈R, 1.函数y=(2023-8x)8的导数为 a,6为常数)，曲线y=f(x)与直线y=号x在(0. A.y=8(2023-8.x)7 B.y=-64x C.y=64(8.x-2023)7D.y=64(2023-8.x) 0)点相切.求a,b的值. 2.函数y=x2c0s2x的导数为 A.y'=2xcos 2x-x'sin 2x B.y'=2xcos 2x-2x'sin 2x C.y'=x2cos 2x-2xsin 2x D.y'=2xcos 2x+2xsin 2x 3.函数y=ln(2x+5)的导数为 A.ln(2x+5) x 2.x+5 B.1n(2x十5)+2+5 2x C.2xln(2.x+5) D.2x+ 4.求下列函数的导数. (1)y=ln(2x2+x);(2)y=x·√2x-I. (2)曲线y=f(x)=emx在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与L的距离为√2，求直线1的方程. C温馨提 学习至此，请完成配套训练 ·54·变式训练 2.解：(1)由题可知，当x=一1时，y=一3，故点在曲线上.求 导得： y=2x+2)-(2x=1D= 5 (x十2)2 (x十22，所以当x=-1时得 切线斜率k=5.故切线方程为5x一y十2=0. 答案：5x-y+2=0 (2)解：设P(x0,y%)为切点，则切线斜率为k=f(x)= 3x8-2, 故切线方程为y-%=(3.x-2)(x一x0).① (x0yo)在曲线上，∴y0=x8-2x0.② 又，(1，一1)在切线上， ∴.将②式和(1，-1)代入①式得-1-(x-2x0)=(3.x -2)(1-x0). 督得0=1或w=一子6=1或=一号 故所求的切线方程为y十1=x一1或y十1 =-号(-1D,即xy-2=0或5x+4y-1=0. [例3][解析]因为点P是曲线y=x2-lnx一1上任意 一点，所以当点P处的切线和直线y=x一3平行时，点P 到直线y=x一3的距离最小，因为直线y=x一3的斜率 等于1，肉线y=2-nx一1的学数y=2x-子令y 1,可得x=1或=2（舍去），所以在商线y=2-hx 一1与直线y=x一3平行的切线经过的切，点坐标为(1， 0),所以点P到直线y=x-3的最小距离为d=1一3 √2 =√2. [答案]C 变式训练 3.解析：.y=(x十a)e,∴y=(x十1十a)e, 设切点为(x0yo),则y%=(.x0十a)e。,切线斜率k=(x0 +1+a)ex。, 切线方程为：y-(xo十a)e'o=(xo十1十a)e(x-xo), 切线过原点，∴.-(x0十a)e。=(x0十1十a)e。(-x0), 整理得：x号十ax0一a=0, 切线有两条，.△=a2十4a>0,解得a<-4或a>0, .a取值范围是（一∞，一4）U(0,十o). 答案：(-o∞，-4)U(0,十∞) 当堂达标 1.B[点(1，一1)在曲线y=x3-3.x2十1上，该点处切线 的斜率为k=y'1x=1=(3.x2-6.x)x=1=3-6=-3,.切 线方程为y十1=-3(x-1),即y=-3x十2.] 2.C[.f(x)=2x+2f'(1),∴.f'(1)=2+2f(1),解得 f(1)=-2. ∴.f(x)=2x-4..f(0)=-4.] 3.解析：因为y=a·x“1,所以在点(1,2)处的切线斜率k =a,切线方程为y一2=a(x一1).又切线过原点，故0一2 =a(0-1),解得a=2. 答案：2 ·9 参考答案 4.解：(1)y=(.x3e2)'=(.x3)'e+x3(e2)'=3.x2e+x3e. (2)y= (2sin2sinr2sin( (x2)2 2x2 cos x-4x sin x 2xcos x-4 sin x x §5简单复合函数的求导法则 课前预习学案 知识梳理 知识点一x的函数复合函数y=f((x) [思考] 1.[提示]函数y=log2(x十1)是由y=log2u及u=x十1两个 函数复合而成的. 预习自测 1.(1)/(2)/(3)×(4)X 2.A 3.D[f'(x)=3x2+cos3x·(3x)/=3x2+3cos3x.] 4解析：=[os(至-3x)门=-n(至-3x）(-3) 3sim(径-3x） 答案：3sin(-3x) 课堂互动学案 [例1][解](1)函数y=e2x+1可看作函数y=e“和u= 2x十1的复合函数， ∴.yz'=yw'·uz'=(e“)'(2x+1)'=2e“=2e2x+1 (2)函数y= (2x-1)可看作函数y=u3和u=2x-1的 1 复合函数， yz'=yw′·uz=(u3)'(2.x-1)/=-6u-4= -6(2.x-1)-4=-6 (2x-1)4 (3)函数y=5log2(1-x)可看作函数y=5log2u和u=1 一x的复合函数， .yz'=yw'·Wx=(5log2u)'·(1-x)'= -5 uln 2 5 =x-1)1n2 (4)函数y=sin(元x十g)可以看成函数y=sinu,u=元x 十口的复合函数 ∴yz'=yw'·u′=(sinu)′·（πx+9)'=cosu·π= πcos(πx十9). 变式训练 1.解：(1)令u=3x-2,则y=10“, 所以yx=y'u·ux'=10ln10·(3.x-2)'=3×103x-2 ln10. (2)令u=ex+x2,则y=lnu, 所以，=.山=子(e+2)y e2+.x2 ·(e+ 2x)=e+2x e2+x2 （3)授y=2sinu,u=3x-吾， 则y,=y。·d,=2cosu×3=6cos(3x-吾） 数学(BS)·选择性必修第二册 (4)设y=u亨，u=1-2.x, 则yx=y·dx=(w)',1-2x)'=-2u×( 2)=(1-2.x)- [斜2】[解]1：h3a)/=×3xy=子· 1-In 3x .y= (In 3x)'ez-(In 3x)(ex)' (ex)2 =I-cln 3x (2)y'=(x√+x2)'=x'√+x2+x(W1+x2)1 =1+x+x2=1+22+2 W1+x2 1+x2 (3)y-rcos)sin() =x(-sin 2z)cos 2--2sin 4t, y=(sin4z）=-sin4-受cos4r…4= 2 sin 4x-2.xcos 4x. 变式训练 1-cos3 2解y=y=(m号) (2)y=(sinr+sin 3)'=(sin3z)'+(sin 3)' =3sin2.xcos x+cos x3.3x2=3sin2.xcos x+3.x2cos x3. (y-/In(++l(+]-(++ [例3][解析](1)设曲线y=ln(2x-1)在点(xoyo)处 的切线与直线2x-y十3=0平行.“y=2x气 2 2 六y1=%20=2 解得0=1，.%=ln(2-1)=0,即切点坐标为(1,0). ∴.切点(1,0)到直线2x-y十3=0的距离为d= 2-0+3=5,即曲线y=n(2x-1)上的点到直线2x w√4+I 一y十3=0的最短距离是√5. (2)令y=f(x),则曲线y=er在点(0,1)处的切线的斜 率为f(0),又切线与直线x十2y十1=0垂直，所以f'(0) =2.因为f(x)=er,所以f(x)=(er)'=er·(a.x)'= aer,所以f(0)=ae°=a,故a=2. [答案](1)A(2)2 母题探究 1.[解]由题意可知，设切点P(x0y0),则y'z== 20-=2…20=1,即切点P(1,0), 2 :12=0十m=25,解得m=8或-12. 5 ·9 当m=一12时，直线2.x一y一12=0与y=1g(2x一1)相 交，故舍去.故实数m的值为8. 2.[解]由题意可知，切线方程为y-1=2.x,即2x-y十1 =0. 令x-0得y-1:令y-0得x合58-×号×1 变式训练 3.(1)解：由曲线y=f(x)过(0,0)点，可得1n1+1十b=0, 故b=-1. 由f(x)=ln(x+1)+V++ax+b,得f(x)=1 x+1十 1 十a,剥f(0)=1+了十a=号十a,此即为南线 2√x+I y=f(r)在点(0,0)处的切线的斜率.由题意，得号十a= 2 含，故a=0. 3 (2)解：设u=sinx,则f(x)=(einr)'=(e“)'(sinx)/ cos xesinx,f(0)=l,切线方程为y-1=x-0,即x-y十 1=0. 因为直线1与切线平行，所以可设直线1的方程为x一y +c=0. 两平行线间的距离d=c一1=2，解得c=3或c √2 一1. 故直线1的方程为x-y十3=0或x-y-1=0. 当堂达标 1.C[y=8(2023-8.x)7(2023-8.x)′=-64(2023- 8x)7=64(8.x-2023)7.] 2.B [y'=(x2)'cos 2x+x2 (cos 2x)'= 2.xcos2x+x2（-sin2.x）·(2.x)′=2.xcos2.x- 2x2sin 2x.] 3.B[y'=[xln(2.x+5)]'=x'1n(2x+5)+x[ln(2.x+ 1 5]'=n(2x+5)+x·2x+5·(2x+5)y=lh(2x+5) 4.解：(1)设u=2.x2+x,则yz'=yw'ux'=(ln)'(2x2+x) =+10=+ 2.x2+x (2)y'=x'√2x-I+x(√2x-I). 先求t=√2x-1的导数.设u=2x-1,则t=u, =,=2-1=合× 1 √/2x-I √2.x-I y'=√2x-I+x 3.x-1 √/2x-1/2.x-1