第2章 5 简单复合函数的求导法则（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 §5简单复合函数的求导法则 课程标准 素养解读 1.在运用复合函数求导公式解题过程中提升数 1.能求简单的复合函数（限于形如f(ax十b)的导数， 学抽象和数学运算的核心素养， 2.能利用复合函数的求导公式解决简单的实际问题. 2.在解决实际问题的过程中培养数学建模的核 心素养 课前。预习学案 对应学生用书P52 [情境引入] 6 如何求函数y=ln(2x一1)的导数？ (2)函数y一8x—1D的导数是y= (3-1)3: 现有方法无法求出它的导数 (1)用定义不能求出极限； （8f)=1a(3x-1D.则f)=3z (2)不是基本初等函数，没有求导公式； (3)不是基本初等函数的和、差、积、商，不能用导数的 (4)f(x)=xcos2,则f'(x)=2ac0s2x十2zsin2. 四则运算法则解决这个问题. 这节课我们就来研究这类函数的求导问题。 答案：(1)/(2)√(3)×(4)× [知识梳理] 2.函数y=(x2一1)”的复合过程正确的是( [知识点一]复合函数的概念 A.y=0°，u=z2-1 B.y=(u-1)”,u=x2 般地，对于两个函数y=f(u)和u=p(x)=ax C.y=t”,t=(x2-1)" D.y=(t-1)",t=x2-1 十b,如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确 答案：A 定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函 3.已知f(x)=x3十sin3x,则其导函数f(x)= 数为函数y=f(u)和u=p(x)的复合函数，记作y= ( f((x),其中u为中间变量. A.322+3cos a B.23+3cos z 2思考1.函数y=1og(x十1)是由哪些函数复合 C.x3+3cos 3z D.3.x2+3c0s3.x 而成的？ 解析：D[f'(x)=3x2+c0s3.x·(3.x)'=3x2+ [提示]函数y=log2(x+1)是由y=1og2u及u=x 3c0s3x.] 十1两个函数复合而成的. 4.函数y=co至-3的导数为 [知识点二]复合函数的求导法则 y'.=[f(p(x)]'=f'(u)p'(x).其中u=g(x) 解标：-（昏-a]n(至-（一3） [预习自测] 1.判断下列说法是否正确（正确的打“/”，错误的打 =3sin(年-3) “X”) (I)函数y=sin(πx)的复合过程是y=sinu,u= 答案：3sin(年-3 xx. ( 课堂。互动学案 对应学生用书P52 题型一 复合函数的导数 [解](1)函数y=e2x+1可看作函数y=e”和u= [例1]求下列函数的导数. 2x+1的复合函数， 1 ∴y'=y.'·u'=(e")'(2.x十1)/=2e"=2e2x+1. (1Dy=e21,2)y=2x-1D9 1 (2)函数y=(2-1D可看作函数)=M和4=2x (3)y=5log2(1-x);(4)y=sin(xx十9). 一1的复合函数， ·96· 第二章导数及其应用 五维课堂兰 .y2'=y'·u,'=(u3)'(2-1)'=-6u4= 题型二复合函数与亭数的运算法则的综合应用 -6(2x-104=2x-1) 6 [例2]求下列函数的导数， (3)函数y=5log2(1一x)可看作函数y=5log2u和 (1)y= n3,(2)y=x1+x, u=1一x的复合函数， (3)y=xcos .y'=yw'·tx=(5log2u)'·(1-x)'= -5 〔2x+小n(2x+) uln 2 [解] 5 (x-1)ln2 (In 3x)'e'-(In 32)(e")' --In 3x (4)函数y=sin(πx十p)可以看成函数y=sinu,u .y= =元x十9的复合函数 (e) yz'=y.′·uz'=(sinu)y'·(πx十p)y=cosu·元 -1-xIn 3x ae =πc0s(πx十9). (2)y=(xW1+x)'-x'1+x+x(W1+x)/ 规律方法 1.解答此类问题常犯两个错误 =√1+x+ (1+2.x2)W1+x 1+x (1)不能正确区分所给函数是否为复合函数. √1+x (2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本 (3y=xm(2a+n(2z+ 初等函数复合而成 2.复合函数求导的步骤 =x(-sin 2x)cos 2x=- 2xsin 4x, 分解 选定中间变量，正确分解复合关系，即 说明函数关系y=u,u=gx), y=(sin4)=sn4cos4…4 分步求导（弄清每一步求导是哪个变量， 求导 对哪个变量求导)，要特别注意中间变量 sin 4-2.rcos. 对自变量求导，即先求y,再求 规律方法 <回代 计算y。·,并把中间变量转化为自变 量的函数. 1.在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结 ⊙[变式训练] 构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式， 对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行 1.求下列函数的导数. (1)y=10x-2:(2)y=ln(e+x2): 等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的. 2.对于复合函数的求导，在熟练后，中间步骤可以 3y-2 2sin一看)：4y广2a 1 省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用 解：(1)令u=3.x一2，则y=10“, 公式，从外层开始由外及内逐层求导。… 所以y'=y。·4,'=101n10·(3x-2)'=3× ◇[变式训练] 103x-21n10. 2.求下列函数的导数 (2)令u=e十x2,则y=lnu, （1y=sin号：(2)y=simx+snx； 所以=yn·=1(e十xy= (3)y=xln(1+x). u e+2·(e +2x)=e+2.x 2 1-cos 32 e+2 解：(1)y= 2 (3)设y=2sin4,u=3江-吾， 则yx=y.·d,=2osuX3=6co(3x-君)月 (2)y=(sin'z+sin )'(sinz)+(sin ) =3sinxcos x+cos 3x2=3sin2xcos x+ (4)设y=u壹，u=1-2x, 32cos 则y'=y'm·u,=(u)/·(1-2x)/= u (3)y'=x'ln(1+x)+x[ln(1+x)]'=ln(1+x) ×(-2)=(1-2.x)是 十1十x ·97· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 题型复合函数亭数法厕的综合应用 规律方法 [例3](1)曲线y=ln(2x一1)上的点到直线2x-y 本题正确的求出复合函数的导数是前提，审 十3=0的最短距离是 题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件， A.√5 B.25 求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求 C.35 D.0 切点是解决问题的关键. (2)设曲线y=e“在点(0,1)处的切线与直线x十 ⊙[变式训练] 2y十1=0垂直，则a= 。 3.(1)设f(x)=ln(x+1)+√x+1+ax+b(a,b∈R, [思路点拨 (1)设P(2%)由y1==2求P(%) a,b为常数)，线y=f()与直线y=多x在(0， 0)点相切.求a,b的值. 点到直线的距离求最小值 解：由曲线y=f(x)过(0,0)点，可得ln1十1十b= (2)求yx=D→由y==2求a的值 0,故b=-1. [解析](1)设曲线y=ln(2x一1)在，点(x。,y)处 由f(x)=ln(x十1)十√x十I+ax十b,得f'(x)= 的切线与直线2x-y十3=0平行.：y 2 2-1 有十2京a,则f0)=1+号+a=号十a, 1 2 y1w2x2-2, 此即为曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线的斜率. 解得x=1,…=ln(2-1)=0,即切，点坐标为(1,0). 由题高，释号+a=是：故a=0 .切点(1,0)到直线2x-y十3=0的距离为d 2-0+3=5,即曲线y=ln(2x-1)上的点到直 (2)曲线y=f(x)=emx在(0,1)处的切线与直线l √4+1 平行，且与l的距离为√2，求直线1的方程. 线2x-y十3=0的最短距离是√5. 解：设u=sinx,则f(x)=(emx)'=(e")'(sinx) (2)令y=f(x),则曲线y=e“在，点(0,1)处的切线 =cos cein,f(0)=1,切线方程为y-1=x-0,即 的斜率为f(0),又切线与直线x十2y十1=0垂 x-y+1=0. 直，所以f(0)=2.因为f(x)=e“,所以f'(x)= 因为直线（与切线平行，所以可设直线1的方程为 (e)'=e·(a.x)'=ae“,所以f(0)=ae”=a,故 x-y十c=0. a=2. [答案](1)A(2)2 两平行线间的距离d=C1=2,解得c=3或 √2 [母题探究] c=-1. 1.(变条件)本例(1)的条件变为“曲线y=ln(2x-1) 故直线l的方程为x一y十3=0或x一y一1=0. 上的点到直线2x一y十m=0的最小距离为2√5”， [当堂达标] 求m的值， [解]由题意可知，设切点P(x0y),则yx=, 1.函数y=(2023-8x)8的导数为 ( 2 A.y=8(2023-8.x)7 B.y=-64x 2,-7=2,2=1,即切点P(1,0), C.y=64(8x-2023)7 D.y=64(2023-8x) :.12-0十ml=25,解得m=8或-12. 解析：C[y=8(2023-8x)2(2023-8x)′= 5 -64(2023-8x)7=64(8.x-2023)7. 即实数m的值为8或一12. 2.函数y=x2c0s2x的导数为 2.(变结论)求(2)中曲线的切线与坐标轴围成的三角 A.y'=2xcos 2x-x'sin 2x 形的面积. [解]由题意可知，切线方程为y一1=2x,即2x B.y'=2xcos 2x-2x'sin 2x y+1=0. C.y'=x'cos 2x-2xsin 2x 令x=0得y=1:令y=0得x=一“5。=号× D.y'=2xcos 2x+2x'sin 2 解析：B[y'=(x2)'cos2x十x2(cos2x)'= 2×1= 2xcos2x+x2(-sin2x)·(2x)′=2xcos2x 22 sin 22. ·98· 第二章导数及其应用 五维课堂y 3.函数y=xln(2x十5)的导数为 4.求下列函数的导数. A.1n(2x+5)-2+5 (1)y=ln(2x2+x);(2)y=x·√2x-1. 解：(1)设u=2x2+x,则y'=y'u′=(n)(2x2 B.1n(2x+5)+2x+5 2x +x)/=2(4x+1)=24+1 2x2+x C.2xIn (22+5) (2)y'=x'/2.x-I+x(W2x-I)' D.2x+5 先求t=√2x-1的导数.设u=2x-1,则t=w, 解析：B[y'=[xln(2x+5)]'=x'1n(2x+5)+ 1 z[n(2x+5]'=ln(2x+5)+x·2z十5·(2x+ 1 √2x-1 5=1m2z+5+祭6 ∴y'=√W2z-I十 3x-1 √/2x-1√2x-1 课时。素养提升 对应学生用书P29 [基础达标练] 解析：A[y'=-sin2x(2x)'+cos√E(√)'= 1.下列函数不是复合函数的是 -2sin 2x+ 号×1 cos√E=-2sin2x+ A.y=-x3-1+1 By=(+) cos . 1 C.y-In z D.y=(2x+3) 2√E 5.(多选)下列结论中不正确的是 解析：A[A不是复合函数，B、C、D均是复合函 鼓，其中B是由y=c0su,u=x十平复合而成；C是 A.若yas2则=子n B.若y=sinx2,则y'=2 c cos a 由y=u=nx复合而成：D是由y=du=2z C.若y=cos5a,则y'=-sin5x 十3复合而成.] n若=7sm2红，则'=xsin2z 2.已知函数f(x)=sin2x十cos2x,那么f 解标：AcD[对于Ay=c0s之则y-in 1 故错误；对于B,y=sinx2,则y=2 xcos 22,故正 A.-2 B.2 确；对于C,y=cos5.x,则y'=-5sin5x,故错误； c n-名 对于Dy-号xn2红，则y号n2z十zw2a, 解析：A[由题意，f'(x)=2cos2x-2sin2.x,所 故错误.] 以f(受)-2osx-2sinx=-2] 6.若f(x)=√a.x-1且f(1)=2,则a的值为 解析：因为f(x)=(ax2一1)，所以f(x) 3.设曲线y=a.x一ln(x十1)在点(0,0)处的切线方程 为y=2x,则a= ( ) 2ar-10ur-1r=6又ra)=2, √a.x-1 A.0 B.1 C.2 D.3 所以0 =2,所以a=2. va-1 解析：D[令f(x)=ax-ln(x十1)，∴.f(x)=a 答案：2 1 +f0)=0,且f(0)=2.联立解得a=3.] 又函数y=加千。在x=0处的学数为 4.函数y=cos2.x十sin√E的导数为 ( 解折：=l加千e=he-n1+e)=-lha1+e, A.-2sin2x+cos√互 B.2sin 2x+cos 2√ 2√ 别=1年。当=0时y=1中 C.-2sin 2x+sin D.2sin 22- cos v 2√元 2√ 答案： ·99· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 8.已知函数)=h}岂 解析：f)= [(sin Y sin( (1)求函数y=f(x)的定义域； (2)求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程. =f(2-2 sin sin2f() 解：(1)向题知：>0，所以(1+x)Q)>0 解得-1<x<1. 所以函数y=f(x)的定义域为（一1,1）. (1-x)-(1+x)·(-1) f() =0. (2)因为f(x)= (1-x)2 1+x 答案：0 1-x 12尼知fx)=e“n,求f)及了（日）月 2 -0·1+0,所以f(0)=0-0·q+0 =2 2在曲线y中立上求一点，使过该点的切线 又因为f0)=h甘8-h1=0, 平行于x轴，并求切线方程。 解：(1)，f(x)=esin元x, 所以曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 .f(x)=re“sin xx十re“COS T=xe(sin元x y-0=2(x-0),即y=2.x. +Cos元x). [能力提升练] f'()=e(m受+eos)=e 9.(多选)以下函数求导正确的是 (2)设切点的坐标为P(xo,y),由题意可知 A若-号则了= 4x y1x=,=0. -2x -2x B.若f(x)=e2x,则f(x)=e2r 又ya十y1=a+十)0. C.若f(x)=√2x-1,则f(x)= 1 解得x,=0,此时y。=1.即该点的坐标为(0,1)， √2x-1 切线方程为y一1=0. D.若f(x)=cos 2-)则f(x) [素养培优练] 13.随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广 -sin) 泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经 济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含 解析：AC [对于A,子 (x) 量P(单位：贝克)与时间t(单位：天)满足函数关 2z(x2+1)-(2-1)·22=4 (于1)，故A正确，对于 系P(t)=2希P。,其中P。为该时刻放射性同位 (x2+1)2 素的含量.已知t=15时，该放射性同位素的瞬时 B,f(x)=e2·2=2e,故B错；对于C,f(x)= [2x-1D]=2(2x-1).2=(2z-1)= 变化率为-32，则该放射性同位素含量为 10 4.5贝克时衰变所需时间为 气所以C正确：对于D,f() A.20天 B.30天 C.45天 D.60天 [-im2x-)]·2=-2sn（2r-)故D错：故 解析：D[由P()=P,2得P'()=一30· 1 选：AC] P,2而ln2,因为t=15时，该放射性同位素的瞬 10.设函数f(x)=cos(W3x十)(0<<π)，若f(x) 十f(x)是奇函数，则9= 时变化奉为-32n2,即p'（15)=- 2ln2p。 10 60 解析：f'(x)=-√3sin(√3x+p),f(x)+f'(x) =cos(3x+9)-3sin(3x+9)= 3②n2,解得P,=18,则P(t)=18·2亦， 10 2in(x十9+)若f)+f)为寺函数， 当该放射性同位素含量为4.5贝克时，即P(t)= 4.5,所以18·2布=45，即2=子所以一品 则f(0)+f(0)=0,即2sin + =0.9十 =-2,解得t=60.故选D.] 5x=kx(k∈Z). 14.已知函数f(x)=ln(ax十1)+二2 1+2x ,x≥0，其中 a>0,若f(1)=0,则a= 又"9e(0,x)g=晋. 解标：f)=[nax+1了+ '-o1 答案：君 -2 (1+x)2 山.已知函数f(x)=f( sin x cos2x(其中f(x) 所以f(1)=0-1 a+72=0.所以a=1. 为f)的导函数)，则f】 答案：1 ·100·