2.5 简单复合函数的求导法则-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂课时作业word（北师大版）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．下列函数不是复合函数的是(　　) A. y＝－x3－＋1　　 B．y＝cos C．y＝ D．y＝(2x＋3)4 解析：A　[A不是复合函数，B、C、D均是复合函数，其中B是由y＝cos u，u＝x＋复合而成；C是由y＝，u＝ln x复合而成；D是由y＝u4，u＝2x＋3复合而成．] 2．已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x，那么f′＝(　　) A．－2 B．2 C. D．－ 解析：A　[由题意，f′(x)＝2 cos 2x－2 sin 2x，所以f′＝2 cos π－2 sin π＝－2.] 3．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：D　[令f(x)＝ax－ln(x＋1)，∴f′(x)＝a－.∴f(0)＝0，且f′(0)＝2.联立解得a＝3.] 4．函数y＝cos 2x＋sin 的导数为(　　) A．－2sin 2x＋ B．2sin 2x＋ C．－2sin 2x＋ D．2sin 2x－ 解析：A　[y′＝－sin 2x(2x)′＋cos ( )′＝－2sin 2x＋ × cos ＝－2sin 2x＋ .] 5．(多选)下列结论中不正确的是(　　) A．若y＝cos ，则y′＝－sin B．若y＝sin x2，则y′＝2x cos x2 C．若y＝cos 5x，则y′＝－sin 5x D．若y＝x sin 2x，则y′＝x sin 2x 解析：ACD　[对于A，y＝cos，则y′＝sin，故错误；对于B，y＝sin x2，则y′＝2 xcos x2，故正确；对于C，y＝cos 5x，则y′＝－5sin 5 x，故错误；对于D，y＝ x sin 2x，则y′＝sin 2x＋x cos 2x，故错误．] 6．若f(x)＝且f′(1)＝2，则a的值为　________　. 解析：因为f(x)＝(ax2－1)，所以f′(x)＝(ax2－1)－(ax2－1)′＝.又f′(1)＝2，所以＝2，所以a＝2. 答案：2 7．函数y＝ln 在x＝0处的导数为　________　. 解析：y＝ln ＝ln ex－ln(1＋ex)＝x－ln(1＋ex)，则y′＝1－.当x＝0时，y′＝1－＝. 答案： 8．已知函数f(x)＝ln . (1)求函数y＝f(x)的定义域； (2)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程． 解：(1)由题知：＞0，所以(1＋x)(1－x)＞0，解得－1＜x＜1. 所以函数y＝f(x)的定义域为(－1,1)． (2)因为f′(x)＝＝，所以f′(0)＝＝2， 又因为f(0)＝ln ＝ln 1＝0， 所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x. [能力提升练] 9．(多选)以下函数求导正确的是(　　) A．若f(x)＝，则f′(x)＝ B．若f(x)＝e2x，则f′(x)＝e2x C．若f(x)＝，则f′(x)＝ D．若f(x)＝cos，则f′(x)＝－sin 解析：AC　[对于A，f′(x)＝＝，故A正确，对于B，f′(x)＝e2x·2＝2e2x，故B错；对于C，f′(x)＝′＝·(2x－1)－·2＝(2x－1)－＝，所以C正确；对于D，f′(x)＝·2＝－2sin，故D错；故选：AC.] 10．设函数f(x)＝cos ( x＋φ)(0<φ<π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝　________　. 解析：f′(x)＝－ sin ( x＋φ)，f(x)＋f′(x)＝cos ( x＋φ)－ sin ( x＋φ)＝2sin .若f(x)＋f′(x)为奇函数， 则f(0)＋f′(0)＝0，即2sin ＝0.∴φ＋ ＝kπ(k∈Z)． 又∵φ∈(0，π)，∴φ＝ . 答案： 11．已知函数f(x)＝f′sin x cos 2x(其中f′(x)为f(x)的导函数)，则f　________　. 解析：∵f′(x)＝f′ ＝f′(cos x cos 2x－2 sin x sin 2x)，∴f′＝f′＝ －f′，∴f′＝0，∴f(x)＝0， ∴f＝0. 答案：0 12．(1)已知f(x)＝eπxsin πx，求f′(x)及f′； (2)在曲线y＝上求一点，使过该点的切线平行于x轴，并求切线方程． 解：(1)∵f(x)＝eπxsin πx， ∴f′(x)＝πeπxsin πx＋πeπxcos πx＝πeπx(sin πx＋cos πx)． ∴f ′＝πe＝πe (2)设切点的坐标为P(x0，y0)，由题意可知y′|x＝x0＝0. 又y′＝，∴y′|x＝x0＝＝0. 解得x0＝0，此时y0＝1.即该点的坐标为(0,1)，切线方程为y－1＝0. [素养培优练] 13．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量P(单位：贝克)与时间t(单位：天)满足函数关系P(t)＝2－P0，其中P0为该时刻放射性同位素的含量．已知t＝15时，该放射性同位素的瞬时变化率为－，则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为(　　) A．20天 B．30天 C．45天 D．60天 解析：D　[由P(t)＝P02－得P′(t)＝－·P02－ln 2，因为t＝15时，该放射性同位素的瞬时变化率为－，即P′(15)＝－P0＝－，解得P0＝18，则P(t)＝18·2－，当该放射性同位素含量为4.5贝克时，即P(t)＝4.5，所以18·2－＝4.5，即2－＝，所以－＝－2，解得t＝60.故选D.] 14．已知函数f(x)＝ln (ax＋1)＋ ，x≥0，其中a>0，若f′(1)＝0，则a＝　________　. 解析：f′(x)＝[ln (ax＋1)]′＋ ′＝＋ ， 所以f′(1)＝－ ＝0.所以a＝1. 答案：1 1 学科网（北京）股份有限公司 $