第2章 3 导数的计算-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂课时作业（北师大版）

世五维课堂 §3导数的计算 1.A[因为)=os,所以f)=-snx所以f(） 十f()=-sim子+os晋=0.] 2.A[f'(x)=a.x-1,f(-1)=a(-1)“-l=-4,a=4.] 8C[因为y=加上的导数y=士所以令子-名得 =2,所以切点为(2n2.代入直线y=x十b,得b ln2-1.] 4.c[由（仔广-一子可知A福送：由/=2店 2 可知B正确；由(x)'=a.x“-1,可知C正确；由(logx)'= tna,可知D错误；故选：BC.] 1 6.D[因为y=2sin壹cos受=sinx,所以y=cos.设 x P(xy),由题意知切线的斜率存在，则曲线在点P处 的切线的斜率k=tana=cos Jo.所以-1≤tana≤l,因 为0≤<x,所以ae[0,季]U[x)门 6.解析：因为f(x)=2,所以f(x)=2ln2,所以 (2)-(log:e)-2In 2-eIn 2. 答案：eln2 7.解析：因为y=,所以切线方程为y一后=上（红 2√x 2Ja a),令=0，得y=号，令y=0,得=-a,由题意知 1.5:a=2,所以a=4 2·2 答案：4 8.解：因为f(x)=cosx,g(x)=x,所以f(x)=(cosx)/ =-sin x, g'(x)=x'=1.由f(x)十g'(x)≤0，得-sinx十1≤0， 即sinx≥1，但sinx∈[一1,1]，所以sinx=1. 所以=2x十受 ,k∈Z 所以x的取位为{2+受∈· 9.B[①若g(x)=sinx,则g'(x)=cosx,由sinx= c0sx,解得x=子，即a=子<1.@若h(x)=lnx,则M a)=子由hx=士令r)=nx子可知1<0 r(2)>0,故1<b<2.③若9(x)=x2,则9(x)=2x,由 x2=2x,x>0,得x=2,故c=2.综上，c>b>a.] 10.C[对于A,(x)=1,f(x)=0≠f(x);对于B, f(x)=cosx,f2(x)=-sinx≠f(x);对于C,f(x) =e,f(x)=e=fx):对于D,f(x)=是，fe(x) ≠f),途上可知，R有C满足()=0， 故选C.] ·5 数学(BS)·选择性必修第二册 11.解析：因为y=lnx, 当x>0时y=lnx,设切点为(xo,lnxo),由y'=1,所 以=，所以切线方程为y一nx三（x xo xo）, 又切线过坐标原点，所以-1n。=工（一)，解得工。 c,所以切线方程为y一1=女-e),即y=。: 当x<0时y=ln(一x),设切，点为(x1,ln(一x1)),由y 一子所以了与子所以切线方程为y一（一） =1(x-x), 又切线过坐标原点，所以-1n(-)=工(-)，解得 无1 1=一c,所以切线方程为y一1=x十)，即y= 1 答案y=6x=名 12.解：(1)由f(x)=x3-3x,得f(x)=3x2-3,过点P且 以P(1,一2)为切点的直线的斜率f(1)=0, .所求的直线方程为y=一2. (2)设过P(1,-2)的直线1与y=f(x)切于另一点 (x0,y%), 则f(x)=3后-3.又直线过(x0y),P(1,-2), 故其斜率可表示为山-（-2)_。一3十2 x0-1 x0-1 又-3+2=3x-3, xo-1 即x8-3z。十2=3(x6-1)(x。-1), 郎得=1K合去)成工=一子， 故所求直线的斜率为=3×（什-）一号， “y-（-2)=-号(x-10,即9x+4y-1=0. 13.AC[若f(x)=x,则f(x)=2x,令x2=2x,得x=0 或x=2,方程显然有解，故A符合要求；若f(x)=e; 则f(x)=一e,令er=一e不，此方程无解，故B不 符合要求：若f)=lnx,则f()=,令nx= x 在同一直角坐标系内作出函数y=nx与y=上的图 像（作图略），可得两函数的图像有一个交点，所以方程 f(x)=(x)存在实数解，故C符合要求；若f(x)= tanx,则f(x)= (德=◆m。 1 cos'z' 化简得sin xcos z=1,变形可得sin2x=2,无解，故D 不符合要求.故选AC.] 参考答案 14.解析：f(x)=x22,f(x)=2023.z22, f'[(a2)]=2o23×[()产】= 2023×2023=1. 答案：1 §4导数的四则运算法则 4.1导数的加法与减法法则 4.2导数的乘法与除法法则 1.D[f(x)=(x十1)2=x2十2x十1， .f(x)=2x十2，故选：D.] 2.C[依题意得f'(x)=2x(x-t)十(x2-4)=3x2-2tx -4,所以f(-10=3+2-4=0,即1=子] 3.D[因为f)=lnx-3x+f1)2,则f)=上-3 十2f(1)x,所以f(1)=1-3十2f(1),则f'(1)=2,所 以f(x)=lnx-3.x十2x2,所以f(1)=ln1-3十2= -1.] AC[造项A中，若y=in吾-9，则y=0,故A正 确；选项B中，若f(x)=3x-f(1)·x,则f(x)= 6.x-f'(1),令x=1,则f(1)=6-f(1),解得f(1)= 3,故B正确；选项C中，若y=-十x,则y=-1 2√x 十1，故C正确；选项D中，若y=sinx十cosx,则y'= cosx-sinx,故D错误.] 5.C[:fx)=x-2x-4nx,f()=2z-2- >0. 整理得+1D(t一2>0，解得-1<1<0或>2. x 又：f(x)的定义域为(0，十∞)，x>2.∴.(x)>0的 解集为(2，十∞).] 6.解析：因为f(lnx)=2x-lnx,令t=lnx,则x=e,所以 f(t)=2e-t,即f(x)=2e-x,所以f(x)=2e-1,因 此f(1)=2e-1. 答案：2e-1 7.解析：因为函数f(x),g(x)满足f(x)十xg(x)=x-1, 且f(1)=1, 所以f(1)十g(1)=1-1=0,则g(1)=-1,对f(x)十 xg(x)=x2-1两边求导， 可得f(x)十g(x)十xg'(x)=2x,所以f(1)十g(1)十 g'(1)=2,因此f(1)十g'(1)=3. 答案：3 8解：D0y=(2)’=(y=是1=号x号 3 5 ·5 课时作业乡 (2)'y=log2z2-logex logzx,y'=(log2x ) 1 zIn 2' 8w-(左-()os 方as=() 1 2 cos x 1 √x sin s工一上sinx=一。2 2√ 2xvG后sinx cosx十2 xsin z 2x√元 (4:y=-2sin专(1-2co7)月 2sin(2co-1）-2sin受cos乞-inx .y'=(sin z)'=cos z. 9.c[fx)=e+f(-0=0 -3e -3e 3-)=C手十3，所以了（)为偶画数，所以 f(2023)-f(-2023)=0, 因为+水-=十。= 3 3e 0*+73, 所以f(2022)十f(-2022)=3, 所以f(2022)+f(-2022)+f(2023)-f(-2023) =3.] 10.ABD[f(x)=6x-sinx,f(x)=0,此时切线的斜率 为0，故在，点x=0处有切线；g'(x)=sinx十x cos,g (0)=0,此时切线的斜率为0，故在，点x=0处有切线； ()=一子十2，在=0地不可号，别在=0处爱有 切线：w(x)=si二，w'(O)=0,此时切线的斜率为0， cos'x 故在点x=0处有切线.] 11.解析：，f(x)=e-m.x十1，∴.f'(x)=e-m. :南线C存在与直线y=古x多直的切线， ∴.(x)=e-m=-2有解. ∴.m=2十e>2.∴.实数m的取值范围是(2，十oo). 答案：(2，十∞) 12.解：(1)因为f(x)=2,g(x)=2x-2,设x0为函数 f(x)与g(x)的一个“Q”点 由f(x)=g（x。)且f(xo)=g'(x),得 2x。=z6-2x。十4 02=2x。-2 ,解得x。=2. 所以函数f(x)与g(x)的“Q”点是2. 2)周为了)=2a)= 设x。为函数f(x)与g(x)的一个“Q”点。 由f(xo)=g(x)且f(x)=g'(x),得 [az6+2=lh0 2a-1@第二章导数及其应用 课时作业乡 [能力提升练] [素养培优练] 9.在x=1附近，取△x=0.3,在四个函数①y= 13.(多选)为了评估某种治疗肺炎药物的疗效， 间 x②y=x2.③y=x3,④y=1 中，平均变化率 现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓 纠错空间 最大的是 度进行测量.设该药物在人体血管中药物浓 A.④ B.③ 度c与时间t的关系为c=f(t),甲、乙两人 C.② D.① 10.如图所示，函数y=f(x)在[x,x2],[2x2 服用该药物后，血管中药物浓度c随时间t变 x3],[x3,x]这几个区间内，平均变化率最大 化的关系如图所示。 的一个区间是 Ac(mg/mL) 甲 X10 x2 0 11.函数f(x)=x2与g(x)=1nx在区间(1， t t(h) +∞)上增长较快的是 给出下列四个结论正确的是 ( 12.求函数y=x2在x=1,2,3附近的平均变化 A.在t1时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度 率，取△虹都为行，哪一点附近的平均变化率 相同 最大？ B.在t2时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的 方法总结 瞬时变化率相同 C.在[t2,t]这个时间段内，甲、乙两人血管 中药物浓度的平均变化率相同 D.在[t1,t2],[t2,t]两个时间段内，甲血管 中药物浓度的平均变化率不相同 14.已知a>1,函数f(x)=1nx,则下面结论中 正确的有 (填上所有正确结论的 序号) ①函数f(x)在区间[a,a十1]上的平均变化 率总是大于1； ②函数f(x)在区间[a,a十1]上的平均变化 率总是小于1； ③函数f(x)在区间[a,a+1]上的平均变化 率随着a的增大而增大； ④函数f(x)在区间[a,a+1]上的平均变化 率随着a的增大而减小. ·23· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 数 课时 §2导数的概念及其儿何意义 间 2.1导数的概念 学 纠错空间 作业 2.2导数的几何意义 1.假设某国家在20年间的平均通货膨胀率为 6.如图，函数f(x)的图像是折线段ABC,其中 5%,物价（单位：元）与时间t(单位：年)有如 A,B,C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则 下函数关系：p(t)=1.05,并求得p'(10)= lim f(1+△x)-f(1) 0.08(元/年)，则p(10)的实际意义是() △z0 △x A.第10个年头物价以0.08元/年的速度 上涨. B.第10个年头物价以0.08元/年的速度 下降. 0123456 C.第10个年头物价以0.05元/年的速度 7.函数y=√在x=x0(x≠0)处的导数为 上涨. D.第10个年头物价平均通货膨胀率为5%. ,在点 处的导数为 8.服药后，人体血液中药物的质量浓度y(单位： 2.若lim f(x。十m△x)-f(xo) △x =1(m为常数)， △x*0 g/mL)是时间t(单位：min)的函数y=f(t), 则f()等于 ( 假设函数y=f(t)在t=10和t=100处的导 A.-m B.1 数分别为f(10)=1.5和f(100)=-0.6,试 方法总结 C.m n品 解释它们的实际意义 3.若曲线f(x)=x2的一条切线l与直线x+4y 一8=0垂直，则1的方程为 ( A.4.x-y-4=0 B.x十4y-5=0 C.4x-y十3=0 D.x+4y+3=0 4.设f(x)为可导函数，且满足 lim f1)一f1一△2=一1，则过曲线y=f △x→0 2△x (x)上点(1，f(1)处的切线的斜率为() A.2 B.-1 C.1 D.-2 5.(多选)下列命题正确的是 ) A.若f(xn)=0,则函数f(x)在xn处无切线 B.函数y=f(x)的切线与函数的图像可以有 两个公共点 C.曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为2x y=0,则当△→0时，f1)-f1+△x) 2△.z =1 D.若函数f(x)的导数f(x)=x2-2,且f(1) =2,则f(x)的图像在x=1处的切线方程 为x+y-3=0 ·24· 第二章导数及其应用 课时作业乡 [能力提升练] [素养培优练] 9.函数f(x)的图像如图所示，则下列数值排序 13.已知直线x-y-1=0与抛物线y=ax2相 空 正确的是 ( 切，则a的值为 间 y 14.设函数f(x)=x3十ax2一9.x一1(a<0),若曲纠错空间 线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x十 3 y=6平行，求a的值. 1 012345x A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2) #44号年#44月年144月年卡44号年 B.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f(2) C.0<f(3)<f(2)<f(3)-f(2) D.0<f(3)-f(2)<f(2)<f(3) 10.已知函数f(x)在R上可导，其部分图像如图 所示，设4)2-4，则下列不等式正确 4-2 的是 ( 0 方法总结 A.a<f(2)<f(4)B.f(2)<a<f(4) C.f(4)<f(2)<a D.f(2)<f(4)<a ++++++++0+++ 11.若抛物线y=2x2+1与直线4x-y十m=0 相切，则m= 12.利用导数的定义，求f(x)=√x2+1在x=1 处的导数f'(1). ·25· 巴五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 数课时 §3导数的计算 学作业 [基础达标练] [能力提升练] 1.若函数f()=cosx,则f()十f()的 9.定义方程f(x)=f(x)的实数根x叫做函数 的“新驻点”，若函数g(x)=sinx(0<x<π)， 值为 h(x)=lnx(x>0),(x)=x2(x>0)的“新驻 A.0 B.-1 点”分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系为 C.1 D.2 2.已知f(x)=x“,若f(一1)=-4，则a的值等 A.c-ab B.c>ba 于 ( ) C.bca D.b>a>c A.4 B.-4 10.记函数y=f2(x)表示对函数y=f(x)连续 C.5 D.-5 两次求导，即先对y=f(x)求导得y= 3.直线y= 2x十b是曲线y=lnx(x>0)的一条 f(x),再对y=f(x)求导得y=f2(x),下 列函数中满足f2(x)=f(x)的是() 切线，则实数b的值为 ( A.f(z)=x B.f(z)=sin a A.2 B.In 2+1 C.f(x)=e D.f(x)=In a C.In 2-1 D.In 2 11.(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y=1nx过坐标原点 4.(多选)下列求导过程正确的选项是 ( 的两条切线的方程为 B.(E=1 12.已知函数f(x)=x3-3及y=f(x)上一点P(1, 一2)，过点P作直线. C.(.x)'=a.zx-1 D.(log z)'=In a (1)求使直线I和y=f(x)相切且以P为切 5.已知点P在曲线y=2sin受cos号上a为曲 点的直线方程； (2)求使直线l和y=f(x)相切且切点异于 线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围 P的直线方程. 是 A可 B[-] c[] D.[. 6已知f)=2,则f（2)= 7.若曲线y=√在点P(a,√a)处的切线与两坐 标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值 [素养培优练] 是 13.(多选)已知函数f(x)及其导函数f(x),若 8.已知f(x)=cosx,g(x)=x,求适合f(x)+ 存在x。使得f(,)=f(x),则称x是 g'(x)≤0的x的取值. f(x)的一个“巧值点”.下列选项中有“巧值 点”的函数是 () A.f(z)=22 B.f(z)=e C.f(z)=In D.f(x)=tan x 14已知函数f)=m,则f'[(2)产] ·26· 第二章导数及其应用 课时作业乡 数课时 §4导数的四则运算法则 4.1导数的如法与减法法则 学作业 4.2导数的乘法与除法法则 纠错空间 [基础达标练] 8.求下列函数的导数： 1.函数f(x)=(x十1)2的导函数为 (1)y=/x;(2)y=l0g2x2-log2x;(3)y= A.f'(x)=x+1 B.f(x)=2x+1 :y-2n〔0-2m) C.f(x)=x+2 D.f(x)=2x+2 114号年#1号9#44月开144号年1 2.已知t为实数，f(x)=(x2一4)(x一t)且 f(一1)=0，则t等于 A.0 B.-1 c D.2 3.已知函数f(x)=lnx一3x+f(1)x2,则f(1) = A.2 B.1 方法总结 C.0 D.-1 4.(多选)下列结论中正确的有 +++1+++++0+++ A若y=sin5,则y=0 B.若f(x)=3x2-f(1)x,则f(1)=3 C.若y=一+x,则y=一1十1 2√ D.若y=sinx十cosx,则y'=cosx十sinx 5.若f(x)=x2-2x-41nx,则f(x)>0的解 集为 () A.(0,+∞) B.(-1,0)U(2,+∞) C.(2,十∞) D.(-1,0) 6.设函数f(x)在(0，十∞)内可导，其导函数为 f(x),且f(1nx)=2x一lnx,则f(1)= 7.若函数f(x),g(x)满足f(x)十xg(x)=x2 1,且f(1)=1,则f(1)+g'(1)= ·27· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 [能力提升练] [素养培优练] 9.已知函数f(x)=e 3 十x,其导函数为 13.(多选)给出定义：若函数f(x)在D上可导， 即f(x)存在，且导函数f'(x)在D上也可 f(x),则f(2022)+f(-2022)+f(2023) 导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记 -f(-2023)的值为 ( f(x)=(f'(x)'.若f"(x)<0在D上恒成 A.1 B.2 立，则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函 C.3 D.4 数在(0，受)上是凸函数的是 () 10.(多选)下列函数在点x=0处有切线的是 A.f(z)=sin x+cos A.f(z)=3x2+cos x B.g(x)=2.sin 2 B.f(x)=In x-2x C.h(x)=1+2x D.w(x)=1 C.f(x)=-x3十2.x-1 COS D.f(x)=xe 11.已知函数f(x)=e一m,x+1的图像为曲线 14.设fn（x)=x十x2+…十x”-1x≥0，n∈N, C,若曲线C存在与直线y=2x垂直的切 n≥2，求fn'(2). 线，则实数m的取值范围是 12.记f'(x)、g(x)分别为函数f(x)、g(x)的导 函数.把同时满足f(x。)=g(x),f(x。)= g'(2)的x叫做f(x)与g(x)的“Q点”. (1)求f(x)=2x与g(x)=x2-2x+4的“Q 点”； (2)若f(x)=ar2+号与g()=lnx存在“Q 点”，求实数a的值. ·28· 第二章导数及其应用 课时作业乡 数课时 §5简单复合函数的求导法则 学作业 纠错空间 [基础达标练] 8已知函数f)=h告 1.下列函数不是复合函数的是 (1)求函数y=f(x)的定义域： A.y=-x3-1+1 x By=co+) (2)求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线 方程. C.y-In z D.y=(2x+3) 2.已知函数f(x)=sin2x+cos2x,那么f () A.-2 B.2 c D.-t 3.设曲线y=a.x-ln(x十1)在点(0,0)处的切线 方程为y=2x,则a= () A.0 B.1 C.2 D.3 方法总结 4.函数y=cos2x十sin√元的导数为() A.-2sin2.x+cos√☑ 2 +++1+++++0+++ B.2sin 2cos 2匠 C.-2sin 2+sin 2√x D.2sin 2x- c0s√⑦ 2√元 5.(多选)下列结论中不正确的是 A.若y=eas上，则y/=-上sin} B.若y=sinx2,则y'=2 x cos C.若y=cos5.x,则y=-sin5.x D.若y=2xsin2,则y=xsim2a 6.若f(.x)=√ax2-1且f'(1)=2,则a的值为 e 7.函数y=1n十。在x=0处的导数为 ·29· 旦五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 [能力提升练] (2在角线)一中7上求一点，使过该点的 9.(多选)以下函数求导正确的是 切线平行于x轴，并求切线方程. A,若f)= +则f() 2-1 Ax (.x2+1)3 B.若f(x)=e2,则f'(x)=e2 c.若fx)=2x,则fx)2与 D若f(x)=os（2x-)则了(x) sim（2x-g) 10.设函数f(x)=cos(W3x十9)(0<g<π)，若 f(x)十f(x)是奇函数，则9= 1.已知函数f(z)=f(等)sin cos2z(其中 f(x)为f(x)的导函数)，则() 12.(1)已知f(x)=e“sin元x,求f'(x)及 r() [素养培优练] 13.随着科学技术的发展，放射性同位素技术已 经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得 了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰 变过程中，其含量P(单位：贝克)与时间t(单 位：天)满足函数关系P(t)=2P。,其中P。 为该时刻放射性同位素的含量.已知t=15 时，该放射性同位素的瞬时变化率为 3②1n2,则该放射性同位素含量为4.5贝克 10 时衰变所需时间为 () A.20天 B.30天 C.45天 D.60天 14已知函数)=1n(ax十1)十年≥0. 其中a>0,若f(1)=0,则a= ·30· 第二章导数及其应用 课时作业乡 数课时 §6用导数研究函数的性质 6.1 函数的单调性 间 学作业 第1课时 函数的单调性与导数 纠错空间 [基础达标练] 4.下列函数中，在(0，十∞)内为增函数的是 1.函数f(x)的导函数f'(x)的图像如图所示，函 数y=f(x)的一个单调递减区间是( A.y=sin x B.y=ze2 y=f'(x) C.y=x3-x D.y=In x-x 5.(多选)已知函数f(x)的定义域为R,其导函 A.（x1,x3) B.(x2x4) 数f(x)的图像如图所示，则对于任意x1,x2 C.(x4,z6) D.(5,x6) 2.函数fx)=3江+2的单调递增区间是( ∈R(x≠x2),下列结论正确的是 x 方法总结 B.(ln2,+∞) c(n20小0，+m) A.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 B.（x1-x2)[f(x1)-f(22)]>0 3.已知函数f()=一x,则f(x)在(0，十) c. f(x1)+f(2) 2 2 上的单调性为 ( A.f(x)在(0，十∞)上是增函数 B.f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，十∞)上是 6.函数y=2.x十sinx的单调增区间为 减函数 C.f(x)在(0，+o∞)上是减函数 7.若函数f(x)的导函数为f'(x)=x2一4x十3， D.f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，十∞)上是 增函数 则函数f(1+x)的单调递减区间是 ·31 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 8.已知导函数f(x)的下列信息： 11.函数y=1n(x2一x一2)的单调递减区间为 当1<x<4时，f(x)>0;当x>4或x<1时， f(x)<0;当x=4或x=1时，f'(x)=0. 12.已知函数f)=e,g()=ln号十2的图像 试画出函数f(x)图像的大致形状. 分别与直线y=m(m>0)交于A,B两点，求 |AB的最小值. [素养培优练] 13.函数f(x)的定义域为R,f(一1)=2，对任意 x∈R,f(x)>2.则f(x)>2x+4的解集为 () A.(-1,1) B.(-1,+∞) [能力提升练] C.(-∞，-1) D.(-∞，十∞) 9.定义在R上的可导函数f(x),已知y=e 14.(多选)素数分布问题是研究素数性质的重要 课题，德国数学家高斯提出了一个猜想：π(x) 的图像如图所示，则y=f(x)的增区间是 ≈，其中x()表示不大于x的素数的个 数，即随若x的增大，x()的值近似接近一 的值.从猜想出发，下列推断正确的是() A.当x很大时，随着x的增大，π(x)的增长 A.(-∞，1) B.（-∞，2) 速度变慢 C.(0,1) D.(1,2) B.当x很大时，随着x的增大，π(x)减小 10.(多选)下列函数在其定义域上既是奇函数又 C.当x很大时，在区间(x,x十n)(n是一个 是减函数的是 () 较大常数)内，素数的个数随x的增大而 A.f(x)=2 B.f(x)=sin x-x 减少 C.f(x)=e*-e D.f(x)=-xx D因为x4)=2,所以(4> ·32·