第2章 1.1 平均变化率&1.2 瞬时变化率-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂课时作业（北师大版）

巴五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 空 数课时 间 §5数学归纳法 纠错空间 学作业 [基础达标练] 8.用数学归纳法证明： 1.用数学归纳法证明等式，1+2十3十…+2n=n 12-22+32-42+…十(-1)"-1n2=(-1)”- (2n十1)时，由n=k到n=k+1时，等式左边 .n(n十1D(meN+). () 2 应添加的项是 A.2k+1 B.2k+2 C.(2k+1)+(2k+2) D.(k+1)+(k+2)+…+2k 2.用数学归纳法证明3"≥n3(n≥3，n∈N+),第 一步验证 ( ) A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4 3.设S= 有十中2十十十…十员则 1 1 S+1为 .1 1 方法总结 A.S十2k+2 B.S+2k+1+2k+2 1 C.S:十2k+1 1 1 1 2k+2 D.S十2k+22k+1 4.平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两 点，且每三个圆都无公共点，用f(n)表示这n 个圆把平面分割的区域数，那么f(n十1)与 f(n)之间的关系为 () A.f(n+1)=f(n)+n B.f(n+1)=f(n)+2n C.f(n+1)=f(n)+n+1 D.f(n+1)=f(n)+n-1 5(多选)用数学归纳法证明一对任意 n≥k(n,k∈N)的自然数都成立，则以下满足 条件的飞的值为 () A.1 B.2 C.3 D.4 6.用数学归纳法证明(1+1)(2+2)(3十3)…(n 十n)=2"1·(n2十n)时，从n=k到n=k十1 左边需要添加的因式是 an 7.数列a,中，已知a=2,a,+1-3a行(n∈ N+),依次计算出a2,a3,a:后，归纳、猜测得出 a.的表达式为 ·20· 第一章数列 课时作业乡 [能力提升练] [素养培优练] 9用数学归纳法证明：fw)=1+2+号十…十 13.(多选)数列{an}满足a+1= a+an(n∈ (N的过程中，从W=到n=6十1时. Na(0,) ,则以下说法正确的为 纠错空间 f(k+1)比f(k)共增加了 ( A.0<a+1<a。 A.1项 B.2-1项 B.a十a十a+…十a<a C.2+1项 D.2项 10,利用数学归结法证明】十，十，2 … C对任意正致D,都存在正整数加使得己。 1 一>b成立 十<1n∈N,且n≥2)时，第二步由k到 k十1时不等式左端的变化是 D.a.1 1 A.增加了2十1这一项 14.用数学归纳法证明对一切n∈N+,1 22 A增加了2和十2两项 1 C.增加了26十和2欢于2两项，同时减少了大 1 这一项 D.以上都不对 11.用数学归纳法证明n3+5n能被6整除的过 程中，当n=k十1时，式子(k+1)3+5(k+1) 方法总结 应变形为 12.设数列{an}的前n项和为Sn,且对任意的正 整数n都满足(S。-1)2=anSn· (1)求S1,S2,S3的值，猜想Sn的表达式； (2)用数学归纳法证明(1)中猜想的S。的表 达式的正确性. ·21·参考答案 11.解析：(k十1)3+5(k+1)=k3十1十3k2十3k十5k+5 =(k3+5k)十3k+3k+6 =(k8十5k)十3k(k+1)+6. :k(k十1)为偶数，3k(k十1)能被6整除， .(k十1)3+5(k十1)应变形为(k3+5k)+3k(k十1) +6. 答案：(k3十5k)十3k(k+1)十6 12.解：1)当n=1时，(S,-1)=,S=号，当m≥2 时，(S-1)2=(S,-S1)SS,=2-S 8=号5= 精想S一nEN: (2)下面用数学归纳法证明： ①当=1时，S=宁片一合猪起正确： ②假设1=人时，猜想正确，即S=片 那么当n=k十1时， 可得812方2高 1 1 k+1 (k+1)+1' 即n=k十1时，猜想也成立， 综上可知，对任意的正整数m,S=都成主 1BABD[a1=-a+a,=-(a,-合)广+若a,∈ (0,）则a1∈(0，）a1-a.=-a<0. .0<an+1<an,A正确；由已知a=an-an+i, ∴ai十a+…十a=(a1-a2)+(a2-ag)+…+(an a,+1)=a1-a1<a1,B正确：由a∈(0，分)及选项A 得<1-a,<1,1<22, 6存在正整数m,使得m>6,此时。十 1一十 …叶。>b成立C正确： 1 已知a<号成立，()级设a<则a1= a=-）)+<-()+又 1 (m十1)+市n+2=一m+2(m+D<0,即 1 思想得D正确.] 3×1 14证明：0当n=1时，左边=1，右边=2-=1，不等 式成立 ②假设当m=k时，不等式成主，即1+号十子 十…十 3k ·5 课时作业兰 剥=十1时，要运1空十十…十是 3(k十1) +1)≥2+1)五， 只需证21十6十1)≥6大1) 1 2k+3 因为3(k士1) 3k 11 3 2k+3 [2k市++1)] =4k+1)-1 1-(k+1)2 k+1)=(k+1)'[4(k+1)'-万 -k(k十2) （k+1)严(4k+8k+3)≤0， 2中7+D≥36 所以。3k 1 2k+3 3(k+1) ++h+D≥2+D片 所以当n=k十1时不等式成立. 由①②知，不等式对一切n∈N+都成立. 第二章导数及其应用 §1平均变化率与瞬时变化率 1.1平均变化率 1.2瞬时变化率 1.D[0=L5-31+△)21-(5-3X12=-6-34.] △t 2.A[ay=3)-1=3-8=24,尉是告=12 故选：A.] 3.B[由已知得m-1--D=3,m+1=3, m-1 ∴.m=2.] 4.B[Ay=f(2+Ax)-f(2)=4(2+Ax)+1-(4×2+1) =4a,则会-袋-4，当4x趋于0时，会趋于3. △x△x 故选B.] 5.BD[设产量与时间的关系为y=f(x),由题图可知 f(3)-f(2)<f(2)-f(1),则前三年该产品产量增长速 度越来越慢，故A错误，B正确，由题图可知从第四年开 始产品产量不发生变化，且f(4)≠0，故C错误，D正确， 故说法正确的有BD.] 6.解析：如图，设S为路灯，人的 高度AB,则AB=1.6m,84 8 、B min=子n/ls时人的彩 1.6 子长AC=h,由直角三角形相0 84t A 似得发-卢乞=品m则人影长度的变化建率为 7 7 出_2047 答案：20 巴五维课堂 7.解析：，△s=s(2十△t)-s(2)=a(2+x)+1-a·2-1= 4a△t+a(△t)2, 小是=a十a,当出越于0时言越于4a,即a=8 解得a=2. 答案：2 8.解：从出生到第3个月，该婴儿体重的平均变化率为 6585=号=1千克/月. 3-0 从第6个月到第12个月，该婴儿体重的平均变化率为 1-8.6=24=0.4(千克/月).因为1>0.4，所以该婴 12-6 6 儿在从出生到第3个月这段时间内体重的平均变化 较快. 9.B[当△x=0.3时，①y=x在x=1附近的平均变化率 k1=1;②y=x2在x=1附近的平均变化率2=2十△x =2.3;③y=x3在x=1附近的平均变化率k=3十3△x 十(Ar)=39:0y=子在x=1附近的平均支化率k =中a=一铝>>6>6单均支化年 1 最大的是③.故选B.门 10.解析：由平均变化率的定义可知，函数y=f(x)在区间 [,x2],[2,x],[,x1]上的平均变化率分别为 )-f)f)一f)fx)-),结合图像可 xg一x1 x1一x3 以发现函数y=f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x, x1]. 答案：[x,x1门 11.解析：在(1，十∞)上取(a,a十1)，2 Ay=f(a+1)-f(a) a+1-a =2a-1,器=a》@=n(-召）周为a a+1-a ≥1，所以2a+1≥3.ln(1+a)≤n(+十）=lh2< 1,所以义>器，所以画数gx)=nx在区间(1，中 o)上的增长速度慢于函数f(x)=x2的增长速度，故 增长较快的为f(x)=x. 答案：f(x)=x 12,解：在x=1附近的平均变化率为k,=①十A)-」 △x 2十△x,在x=2附近的平均变化率为k2= 2十△)-一2=4十△，在x=3附近的平均变化率为 △x k,=3+△-3=6十4.若Ax=号，则1=2+ △x =子6=4号6=6+=号由于 <k,<ka,所以在x=3附近的平均变化率最大. 13.ACD[A.在t时刻，为两图像的交点，即此时甲、乙 两人血管中的药物浓度相同，故A正确；B.甲、乙两人 在时刻的切线的斜率不相等，即两人的瞬时变化率 不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率 不相同，故B不正确；C.根据平均变换率公式可知，甲、 ·5 数学(BS)·选择性必修第二册 乙两人的平均变化率都是)-f),故C正确：D ta-t2 在]时间段，甲的平均变化率是)二，在[6， t2一t1 ]时间段，甲的平均变化率是，)-)，显然不相 t3-t2 等，故D正确.] 14.解析：会2=a。}@=ln(a+1)-na=h a+1-a =lh(1+日)因为a>1,所以1n(1+）<ln1+1D =n2K1,所以①错误，@正确，又当a>1时，1十随 着a的增大而减小，n(（1十)随着1十的减小而减 小， 所以会随着a的增大而减小，所以③错误.④正确 答案：②④ §2导数的概念及其几何意义 2.1导数的概念 2.2导数的几何意义 1.A[因为p(10)=0.08(元/年)，由导数的实际意义可 知在第10个年头，物价以0.08元/年的速度上涨.] 2.D[由题意，根据导数的概念可得， fw十m△)-f）=m·im (xo十m△x)-f(x) lim △x mAx mfx)=1,所以fx,)=六] 8A[设切点为)，签=么中-立=2， △x 十△x) 当4x趋于0时会地于2红 由题意可知，切线斜率k=4,即f(x0)=2x。=4,∴.x0 =2, .切点坐标为(2,4)，.切线方程为y一4=4(x一2)，即 4x-y-4=0,故选：A.] 4 D lim)-f1-A2）=号imf1-A）-f △x→0 2△x -△x =-1, ·1imf1-)fD=-2,即f(1)=-2. △x→0 -△x 由导数的几何意义知，曲线在点(1，f(1)处的切线斜率 k=f'(1)=-2.] 5.BD[若f(xo)=0,则函数f(x)在x。处的切线斜率为 0,故选项A错误；函数y=f(x)的切线与函数的图像可 以有两个公共点，例如函数f(x)=x3一3.x,在x=1处的 切线为y=一2，与函数的图像还有一个公共点（一2，一2） ,点，故选项B正确；因为曲线y=f(x)在x=1处的切线方程