2.1.2 瞬时变化率-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评word（北师大版）

数学　选择性必修　第二册　作业与测评（北师） 1．2　瞬时变化率 知识点一　瞬时速度 1．已知物体做自由落体运动的位移函数为s(t)＝gt2，g＝9．8 m/s2，若v＝，当Δt趋于0时，v趋于9．8 m/s，则9．8 m/s是(　　) A．物体从0 s到1 s这段时间的平均速度 B．物体从1 s到(1＋Δt) s这段时间的平均速度 C．物体在t＝1 s这一时刻的瞬时速度 D．物体在t＝Δt s这一时刻的瞬时速度 答案：C 解析：根据瞬时速度的概念可知C正确． 2．一木块沿一光滑斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s(t)＝t2，当t＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为(　　) A．2 B．1 C． D． 答案：C 解析：当t＝2时，此木块在t＝2附近水平距离的平均变化率为＝Δt＋．当Δt趋于0时，Δt＋趋于．所以当t＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为．故选C． 3．[多选]某物体的运动位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，则(　　) A．物体在t＝1 s时的瞬时速度为0 m/s B．物体在t＝0 s时的瞬时速度为1 m/s C．瞬时速度为9 m/s的时刻是在t＝4 s时 D．物体从0到1的平均速度为2 m/s 答案：BCD 解析：对于A，＝＝3＋Δt，则当Δt趋于0时，3＋Δt趋于3，即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s，A错误；对于B，＝＝1＋Δt，则当Δt趋于0时，1＋Δt趋于1，即物体在t＝0 s时的瞬时速度为1 m/s，B正确；对于C，设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s，又＝2t0＋1＋Δt，则当Δt趋于0时，2t0＋1＋Δt趋于2t0＋1，令2t0＋1＝9，所以t0＝4，物体在t＝4 s时的瞬时速度为9 m/s，C正确；对于D，＝＝2(m/s)，D正确．故选BCD． 4．某物体运动位移函数为s(t)＝，则其在t＝1时的瞬时速度为________． 答案：－ 解析：s(1＋Δt)－s(1)＝－1＝＝，故＝．当Δt趋于0时，趋于－，即物体在t＝1时的瞬时速度为－． 知识点二　函数的瞬时变化率 5．函数f(x)＝x2－3在x＝1处的瞬时变化率为(　　) A．(Δx)2＋2Δx B．Δx＋2 C．2 D．4 答案：C 解析：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[(1＋Δx)2－3]－(12－3)＝(Δx)2＋2Δx，∴＝＝Δx＋2，当Δx趋于0时，趋于2，∴函数f(x)＝x2－3在x＝1处的瞬时变化率为2． 6．函数f(x)＝x2的自变量x从0变为2的平均变化率等于在x＝m时的瞬时变化率，则m＝(　　) A． B．1 C．2 D． 答案：B 解析：函数f(x)＝x2的自变量x从0变为2的平均变化率为＝＝2，因为＝Δx＋2m，所以当Δx趋于0时，Δx＋2m趋于2m，即f(x)＝x2在x＝m时的瞬时变化率为2m，所以2＝2m，解得m＝1．故选B． 7．已知函数y＝h(x)＝－4．9x2＋6．5x＋10． (1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0．1；④0．01； (2)根据(1)中的计算，当Δx越来越小时，函数h(x)的自变量x从1变为1＋Δx的平均变化率有怎样的变化趋势？ (3)求该函数在x＝1处的瞬时变化率． 解：(1)∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－4．9(Δx)2－3．3Δx， ∴＝－4．9Δx－3．3． ①当Δx＝2时，＝－4．9Δx－3．3＝－13．1； ②当Δx＝1时，＝－4．9Δx－3．3＝－8．2； ③当Δx＝0．1时，＝－4．9Δx－3．3＝－3．79； ④当Δx＝0．01时，＝－4．9Δx－3．3＝－3．349． (2)当Δx越来越小时，函数h(x)的自变量x从1变为1＋Δx的平均变化率逐渐变大，并接近于－3．3． (3)∵＝－4．9Δx－3．3， ∴当Δx趋于0时，－4．9Δx－3．3趋于－3．3，即该函数在x＝1处的瞬时变化率为－3．3． 知识点三　瞬时变化率的实际应用 8．已知某产品的总成本C与产量Q的函数关系为C＝Q2＋2Q，总成本函数在Q0处的瞬时变化率称为在Q0处的边际成本，用MC(Q0)表示．求边际成本MC(500)，并说明它的实际意义． 解：设Q＝500时，产量的改变量为ΔQ，＝ ＝ΔQ＋1002，则当ΔQ趋于0时，ΔQ＋1002趋于1002，即边际成本MC(500)＝1002，其实际意义是：此时多生产1单位的产品，需要增加1002单位的成本． 一、选择题 1．如果质点A运动的位移s(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的函数关系为s(t)＝，那么该质点在t＝3秒时的瞬时速度为(单位：米/秒)(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：D 解析：因为＝＝＝－，所以当Δt趋于0时，－趋于－，即该质点在t＝3秒时的瞬时速度为－米/秒．故选D． 2．函数y＝f(x)＝在x＝2处的瞬时变化率为(　　) A．2 B． C． D．－ 答案：D 解析：＝＝＝－·，当Δx趋于0时，－·趋于－，所以函数y＝f(x)＝在x＝2处的瞬时变化率为－．故选D． 3．物体的位移s与时间t之间的关系是s＝－4t2＋16t，在某一时刻的速度为零，则相应时刻为(　　) A．t＝1 B．t＝2 C．t＝3 D．t＝4 答案：B 解析：设物体在t时刻的速度为零，则物体在t时刻附近位移的平均变化率为 ＝＝－8t－4Δt＋16．当Δt趋于0时，－8t－4Δt＋16趋于－8t＋16，由题意可知，－8t＋16＝0，所以t＝2．故选B． 4．现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V(单位：L)与直径d(单位：dm)的关系式为V＝d3，估计当d＝1 dm时，气球体积的瞬时变化率为(　　) A．2π B．π C． D． 答案：C 解析：＝＝[3d2＋3dΔd＋(Δd)2]，当Δd趋于0时，[3d2＋3dΔd＋(Δd)2]趋于d2，即当d＝1 dm时，气球体积的瞬时变化率为．故选C． 5．[多选]航天飞机发射后的一段时间内，第t s时的高度h(t)＝5t3＋30t2＋45t＋4，其中h的单位为m，t的单位为s，则下列说法正确的是(　　) A．h(0)表示航天飞机未发射时的高度 B．h(1)表示航天飞机发射1 s时的高度 C．当t＝1时，航天飞机的高度对时间的瞬时变化率为45 D．当t＝1时，时间的改变量Δt很小时，航天飞机高度的改变量的近似值为120Δt m 答案：ABD 解析：h(0)表示航天飞机未发射时的高度，h(1)表示航天飞机发射1 s时的高度．因为当t＝1时，＝＝5(Δt)2＋45Δt＋120，所以当Δt趋于0时，5(Δt)2＋45Δt＋120趋于120，所以当t＝1时，航天飞机的高度对时间的瞬时变化率为120；当t＝1时，时间的改变量Δt很小时，航天飞机高度的改变量的近似值为120Δt m．故选ABD． 二、填空题 6．一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1(位移s的单位：m，时间t的单位：s)做直线运动，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a的值为________． 答案：2 解析：因为＝＝a(2t＋Δt)，当Δt趋于0时，a(2t＋Δt)趋于2at，则4a＝8，所以a＝2． 7．已知函数y＝f(x)＝2x2＋3，则f(x)的自变量x从2变为2．1的平均变化率为________，f(x)在x＝2处的瞬时变化率为________． 答案：8．2　8 解析：Δy＝f(2．1)－f(2)＝(2×2．12＋3)－(2×22＋3)＝0．82，Δx＝0．1，所以＝8．2，即f(x)的自变量x从2变为2．1的平均变化率为8．2．＝＝＝2(2x＋Δx)，当Δx趋于0时，2(2x＋Δx)趋于4x，则当x＝2时，4x＝8，即f(x)在x＝2处的瞬时变化率为8． 8．若一个物体的运动规律如下：s(t)＝(位移s的单位：m，时间t的单位：s)，则此物体在t＝1和t＝3时的瞬时速度分别为________． 答案：6 m/s，0 m/s 解析：∵物体在t＝1附近的平均速度为＝＝＝6＋3Δt，∴当Δt趋于0时，趋于6，∴物体在t＝1时的瞬时速度为6 m/s．∵物体在t＝3附近的平均速度为＝＝3Δt，∴当Δt趋于0时，趋于0，∴物体在t＝3时的瞬时速度为0 m/s． 三、解答题 9．某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4(s的单位：m)的规律做直线运动，求自运动开始到4 s时物体运动的平均速度和4 s时的瞬时速度． 解：自运动开始到4 s时，物体运动的平均速度 ＝＝＝14(m/s)． 由于Δs＝3(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)＋4－(3t2＋2t＋4)＝(2＋6t)Δt＋3(Δt)2， ＝2＋6t＋3Δt， 当Δt趋于0时，趋于2＋6t， 当t＝4时，2＋6t＝2＋6×4＝26， 所以4 s时物体的瞬时速度为26 m/s． 10．已知一个圆柱形空杯，其底面直径为8 cm，高为20 cm，现向杯中注入溶液，已知注入溶液的体积V(单位：mL)关于时间t(单位：s)的函数为V(t)＝πt3＋2πt2(t≥0)，不考虑注液过程中溶液的流失，求当t＝4 s时杯中溶液上升高度的瞬时变化率，并解释其实际意义． 解：由题意知杯子的底面面积S＝16π，则杯中溶液上升高度h＝＝＝t3＋t2(t≥0)， 则＝＝[3t2＋3tΔt＋(Δt)2]＋(2t＋Δt)，当Δt趋于0时，[3t2＋3tΔt＋(Δt)2]＋(2t＋Δt)趋于t2＋t，当t＝4时，t2＋t＝×16＋×4＝4，即当t＝4 s时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为4 cm/s．它表示的实际意义是：如果杯中溶液保持在t＝4 s这一时刻的上升速度，则每秒钟杯中溶液的上升高度为4 cm． 7 学科网（北京）股份有限公司 $