第2章 2.1 导数的概念&2.2 导数的几何意义（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 §2导数的概念及其几何意义 2.1导数的概念 2.2导数的几何意义 课程标准 素养解读 1.理解导数的概念及导数的几何意义 1.通过对导数概念学习，达成数学抽象的核心素养， 2.会求导数及理解导数的实际意义. 2.通过对导数几何意义的理解，提升直观想象的核心 3.掌握利用导数求切线方程的方法。 素养 课前。预习学案 对应学生用书P44 [情境引入] 2.切线的定义 前面我们研究了两类变化率问题：平均变化率和瞬时 当△x趋于0时，点B将沿着曲线y=f(x)趋于点 变化率.在解决问题时，采用了由“平均变化率”逼近 A,割线AB将绕点A转动趋于直线L.称直线1为 “瞬时变化率”的思想方法.下面我们用上述思想方法 曲线y=f(x)在点A处的切线，或称直线1和曲线 y=f(x)在点A处相切. 研究更一般的问题. 3.导数的几何意义 [知识梳理] 函数y=f(x)在处的导数f(xo),是曲线y= [知识点一]函数f(x)在x=x,处的导数 f(x)在点(xo,f(x,)处的切线的斜率. 1.函数f(2)在x=x,处的导数 ?思考 曲线的切线与曲线一定只有一个公共 设函数y=f(x),当自变量x从x,变到x1时，函数 点吗？ 值y从f(x)变到f(x,),函数值y关于x的平均 [提示]曲线的切线并不一定与曲线只有一个交 变化率为公1)f 点，可以有多个，甚至可以无穷多.与曲线只有一 x1一x0 个公共点的直线也不一定是曲线的切线： =f(x,+△)-f(z) 预习自测] △x 1.判断下列说法是否正确（正确的打“√”，错误的打 当x1趋于x。,即△x趋于0时，如果平均变化率趋 “X”) 于一个固定的值，那么这个值就是函数y=f(x)在 (1)函数y=f(x)在x=x,处的导数值与△x值的 点x。的瞬时变化率.在数学中，称瞬时变化率为函 正、负无关. 数y=f(x)在点x。处的导数.通常用符号f(x,) (2)函数在x。处的导数f(x)与x。和△x都有 f(x1)-f(x) 关. () 表示，记作f(x)=lim x1-x0 (3)f(x)是函数y=f(x)在x=x。附近的平均变 ( ,f(xo十△x)-f(x) 化率. △x (4)函数f(x)=0没有导函数. ( [知识点二]导数的几何意义 (5)f(x)与[f(x。)]表示的意义相同.( (6)若f(x)=0,则曲线y=f(x)在点(x。,f(x) 1.割线的定义 处的切线不存在. 设函数y=f(x)的图像是一条光滑的曲线，且函数 答案：(1)/(2)×(3)×(4)×(5)× y)在区间xx十A]的平均变化率为会之 (6)× 2.已知y=f(x)的图像如图所示，则f(xA)与f(xB) 如图，它是经过A(x,f(xn)和B(xo十△x,f(x 的大小关系是 ) 十△x)两点的直线的斜率，这条直线称为曲线y f(x)在点A处的一条割线， v卡f(x) 0 x0+△ A.f(A)>f'(aB) B.f'()<f(aB) C.f'(zA)=f(2B) D.不能确定 ·80· 第二章导数及其应用 五维课堂 解析：B[由导数的几何意义，f(xA),f(xB)分 4.由导数的定义可求得，函数f(x)=x2一2x在x=1 别是切线在点A、B处切线的斜率，由图像可知 处的导数f'(1)= f'(za)<f(zB).] 3.若曲线y=f(x)在点(x。,f(x,)处的切线方程为 解析：·Ay= f(1+△x)-f(1) △.x △x 2x-y+1=0,则 A.f(x)>0 B.f(x.)<0 (1+△x)2-2(1+△x)+1 △2x C.f(zo)=0 D.f'(x,)不存在 解析：A[由切线方程可以看出其斜率是2，又曲 当△x趋于0时，趋于0，f'(1)=x=0. △x 线在该，点处的切线的斜率就是函数在该点处的导 数，所以f(x)>0.] 答案：0 课堂 。互动学案 对应学生用书P45 题型一 求函数在一点处的导数] ⊙[变式训练] f(1-2△x)-f(1) [例1] (1)若1im (x。十△x)一f(x) △x 二k, 1.已知f(1)=-2,则1im A-0 △.x 则lim f(,十2△x)-f(xn) 等于 f1-2△x)-f1) △x+0 △x 解析：，f(1)=-2,.lim △x A.2k B.k c.方 lim f(1-2△x)-f1) f(1-2△x)-f(1) D.以上都不是 )×-2 =-21im △x- -2△ [解析] lim f(x,+2△x)-fx) =2 lim -2f(1)=-2×(-2)=4. △-0 △x A-0 答案：4 f(x+2△x)-fx) fx,+△x)-f(x) 2△x 2 lim z- △z 2.求函数f(x)=二在r=1处的导数」 =2k. [答案]A 解：：△y=f(1+△x)-f(1)= 1 √I十△x (2)函数y=√元在x=1处的导数是 1-√/1十△.z -△x [解析] av什a-1- △2 W1十△z √1+△z(1+√I+△x) 1 2 √1十△z+1 √1+△2(1+√1+△x) 当△x趋于0时，m会=号 当△x无限趋近于0时，1十△x无限趋近于1， 小器无限地近于分， “函数y=厅在x=1处的导教为号 f1)=-2 [答案] 1 题型二 亭数的实际意艾 (3)求函数f(x)=2x2+4x在x=3处的导数. [例2]将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同 [解]：f(x)=2x2+4.x, 产品，需要对原油进行冷却和加热.如果在第xh .△y=f(3+△.x)-f(3) 时，原油的温度（单位：℃）为y=f(x)=x2一7x十 =2(3+△x)2+4(3+△x)-(2X32+4X3) 15(0≤x≤8).计算第2h和第6h时，原油温度的 =12△x+2(△x)2+4△x=2(△x)2+16Ax. 瞬时变化率，并说明它们的意义 会y=2△x16△=2Ar+16. [解]在第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率 △.x △x 当Ar趋于0时，m会=16(3》=16， 就是了(2)和了(6以报搭导数的定义，是 规律方法 f(2+△x)-f(2) △x 利用导数定义求导数的三步曲 (1)求函数的增量△y=f(x。十△x)-f(x。) =2+△)2-7(2+△)+15-(2-7×2+15) △x (2)求平均变化率Ay=fx十△)-f(x) △2 △x =4△+(A)-7△x=△x-3, △x ③)取灰展，得导数fx)一一 当a趋于0时越于-3f(2)=-3 简记为：一差，二比，三趋近。 同理可得f(6)=5. 81· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 所以在第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率 联立①和②得x一6x。+5=0,x,=1或，=5. 分别为一3和5，它说明在第2h附近，原油温度大 从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25). 约以3℃h的速度下降；在第6h附近，原油温度 当切点为(1,1)时，切线的斜率为1=2x0=2,此时 大约以5℃/h的速度上升，f(x。)反映了原油温 切线方程为y-1=2(2x一1)，即2x一y一1=0， 度在时刻x。附近的变化情况 当切，点为(5,25)时，切线的斜率为k2=2x=10,此 规律方法 时切线方程为y-25=10(x-5),即10.x-y-25 要弄清在实际问题中导数的意义，一定要正 =0. 确计算△y和△x,并知道它们的实际意义，再看 综上，过点P(3,5)的切线方程为2x一y一1=0或 念之，当4一0时是趋于定位的实际意义， 10x-y-25=0. △x 规律方法 ◇[变式训练] 3.蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)= 利用导数的几何意义求切线方程的方法 号+15，其中T)为体温（单位：℃）1为太阳落 (1)若已知点(x,,y)在已知曲线上，求在点(x, y)处的切线方程，先求出函数y=f(x)在点 山后的时间（单位：min) x处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得 (1)从t=0min到t=10min,蜥蜴的体温下降 切线方程y一y。=f(xo)(x-xo). 了多少？ (2)若点(，y)不在曲线上，求过点(x,y)的切 (2)从t=0min到t=10min,蜥蜴的体温的平均变 线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数 化率是多少？它表示什么意义？ 的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求 (3)求T'(5),并说明它的实际意义 出切线方程. 解：(1)在t=0min和t=l0min时，蜥蜴的体温分 到为T0)-+15=30,T10)-20+15 ◇[变式训练] 23,故从t=0min到t=10min,蜥蜴的体温下降了 4.求过点（一1,0）与曲线y=x2十x十1相切的直线 39-23=16℃. 方程. (2)平均变化率为T10)-T(0) 16_ 10 10 -1.6, 解：设切点为(x,后十。十1)，： △x 它表示从t=0min到t=10min,蜥蜴的体温平均 (2十△x)2+(x+△x)+1-(x号+x+1) 每分钟下降1.6℃. △x =△x十 (3)T'(5)= 2x+1. 120 lim 5+△2)+5+15- 120 5+5 -15 -12 当△→0时，Ay趋于2，十1，则切线的斜率为2 △x △t lim10+△2 +1. =-1.2 它表示t=5min时蜥蜴体温下降的速度为1.2℃/min. 又6=8+，+1)-028++1 xw-(-1) x0十1， 题型三利用导数的几何意义求曲线的切线方程] [例3]已知曲线f(x)=x2, 22+1=2+2十1 x。+1 (1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程； 解得x。=0或。=-2. (2)求曲线过点P(3,5)的切线方程. 当xo=0时，切线斜率k=1,过（一1,0）的切线方程 [解] (1)设切点为(x,y), 为y-0=x十1，即2一y+1=0. △x 当x。=一2时，切线斜率k=一3，过(-一1,0)的切线 (z,+△x)-2_Z号+2x△x+(Ax)2-x号 方程为y-0=-3(x+1),即3x+y+3=0. △x △.x 故所求切线方程为x一y十1=0或3.x十y十3=0. =2x十△x, [当堂达标] 当业0时趋于2afx,)=2x 1.若f(x)=x3,f'()=3,则x的值为 f'(1)=2..曲线在，点P(1,1)处的切线方程为 A.3 B.±1 y-1=2(x-1),即2x-y-1=0. C.土3 D.3√ (2)点P(3,5)不在曲线f(x)=x2上，设切点为 （x0y0） 解析：B ["=+a-u) △x 由(1)知，f(x)=2x0, .切线方程为y-y。=2x（x一xo). (+△)3-=（△r)2+3x△x+32, △x 由点P(3,5)在所求直线上，得5-=2x(3 x0),① 当ax趋于0时是地于3f'x)=3=3 再由A(xo,y。)在曲线y=x2上，得yo=z品，② x。=士1.] ·82· 第二章导数及其应用 五维课堂乡 2.若曲线y=f(x)上在点(1,3)处的切线过点(0,2)， 4.设函数f(x)在x=1处存在导数，其值为2， 则有 ( 则1imf1+△)-f1) 3△x A.f'(1)>0 B.f(1)=0 解析：由极限的运算法则结合导函数的定义可得 C.f'(1)<0 D.f(1)不存在 解析：A[由题意知切线过，点(1,3)，(0,2)，所以k lim f0+A)=f=号imf0+△)-f① Az-0 3△2 △x =f'1)=号=1>0.] 3.(多选)若f(x)=x3十x-1,f(xn)=4,则x的 答案，号 值为 ( 5.一杯80℃的热红茶置于20℃的房间里，它的温度 A.1 B.-1 会逐渐下降.温度T(单位：℃)与时间t(单位：min) C.35 D.-35 间的关系，由函数T=f(t)给出.请问： 解析：AB [:Ay=fx+△z)-fx) (1)f(t)的符号是什么？为什么？ △.x △x (2)(3)=-4的实际意义是什么？ (xn+△x)3+(x。+△x)-1-(28+x-1) 解析：(1)f(t)是负数.因为f(t)表示温度随时间 △x =3x 的变化率，而温度是逐渐下降的，所以()为 十1十3x·△x十(Ax),当△r趋于0时，Ay趋 负数 △.x (2)f(3)=一4表明在3min附近时，温度约以 于3x+1,f'(x)=3.x+1=4.解得x。=土1.] 4℃/min的速度下降. 课时。素养提升 对应学生用书P24 [基础达标练] 3.若曲线f(x)=x2的一条切线1与直线x+4y一8 1.假设某国家在20年间的平均通货膨胀率为5%，物 =0垂直，则1的方程为 价（单位：元）与时间t(单位：年)有如下函数关 A.4x-y-4=0 B.x+4y-5=0 系：(t)=1.05,并求得'(10)=0.08（元/年），则 C.42x-y+3=0 D.x+4y+3=0 p'(10)的实际意义是 ( A.第10个年头物价以0.08元/年的速度上涨. 解析：A [设切点为(o,y),:y △x B.第10个年头物价以0.08元/年的速度下降 C.第10个年头物价以0.05元/年的速度上涨， (x十△x)2- △x 2=(2xo十△.x) D.第10个年头物价平均通货膨胀率为5%. 解析：A[因为p'(10)=0.08(元/年)，由导数的 当△趋于0时影地于2 实际意义可知在第10个年头，物价以0.08元/年 由题意可知，切线斜率k=4,即f(x。)=2x。=4, 的速度上涨.门 2.若1im △0 f(,十m△)一f）=1(m为常数)，则 xn=2, △x .切，点坐标为(2,4)，.切线方程为y一4=4(x f'(x)等于 ( 2),即4x-y-4=0,故选：A.] A.-m B.1 C.m D.1 4.设fx)为可导函数，且满足1imf)-f-△) m △x→0 2△x 解析：D[由题意，根据导数的概念可得，lim 一1，则过曲线y=f(x)上点(1，f(1))处的切线的 f+mA)-fa2=m·im (2十m△x)-f(x,) 斜率为 △x △xU m△x A.2 B.-1 =mf,)=1,所以fc,)= C.1 D.-2 ·83· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 解析：D[,lim f1)-f1-△2 7.函数y=√在x=x,(x,≠0)处的导数为 ,在 △2→0 2△.x =-1, 点 21im二a)-fD 处的导数为 -△2 1imf1-x)f=-2,即f1)=-2. 解标：4y十a-区会义-+区 △.x △.x→0 -△x 由导数的几何意义知，曲线在点(1，f(1))处的切线 V么++后当△超于0时，是港于 1 斜率k=f(1)=一2.] 1 5.(多选)下列命题正确的是 2得=1此时V 2√'2√ A.若f(x)=0,则函数f(x)在x,处无切线 B.函数y=f(x)的切线与函数的图像可以有两个 1,即函数y=匠在点1,1处的导数为 公共点 C.曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为2x一y= 答案：2国 1 (1,1) 0,则当△0时，)二f0+△2=1 8.服药后，人体血液中药物的质量浓度y(单位： 2△.x 4g/mL)是时间t(单位：min)的函数y=f(t),假设 D.若函数f(x)的导数f(x)=x2一2，且f(1)=2, 函数y=f(t)在t=10和t=100处的导数分别为 则f(x)的图像在x=1处的切线方程为x十y一 f(10)=1.5和f(100)=-0.6,试解释它们的实 3=0 际意义 解析：BD[若f(x)=0,则函数f(x)在x。处的 解：f(10)=1.5表示服药后10min时，血液中药 切线斜率为0，故选项A错误；函数y=f(x)的切 物的质量浓度上升的速度为1.5ug/(mL·min). 线与函数的图像可以有两个公共点，例如函数 也就是说，如果保持这一速度，每经过1min,血液 f(x)=x3一3x,在x=1处的切线为y=一2，与函 中药物的质量浓度将上升1.5g/mL. 数的图像还有一个公共点（一2，一2）点，故选项B f(100)=一0.6表示服药后100min时，血液中药 正确；因为曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为 物的质量浓度下降的速度为0.6μg/(mL·min). 21y=0,所以广1)=2，又m)-+△ 也就是说，如果保持这一速度，每经过1min,血液 2△x 中药物的质量浓度将下降0.6g/mL 2+2四-r0=-1≠ △x [能力提升练] 1,故选项C错误； 9.函数f(x)的图像如图所示，则下列数值排序正确 因为函数f(x)的导数f'(x)=x2一2，所以f(1) 的是 () =12-2=一1，又f(1)=2,所以切点坐标为(1， 2),斜率为一1，所以切线方程为y-2=一(x一1)， 5 化简得十y一3=0，故选项D正确.] 2 6.如图，函数f(x)的图像是折线段ABC,其中A,B, 1 C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则 012345x lim f(1+△x)-f(1) A.0<f'(2)<f(3)<f(3)-f(2) △x B.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2) C.0<f(3)<f(2)<f(3)-f(2) D.0<f(3)-f(2)<f(2)<f(3) 2 解析：B[如图所示，f(2)是函数f(x)的图像在 0123456元 x=2(即，点A)处切线的斜率1，f(3)是函数f(x) 解析：由导数的概念和几何意义知 的图像在x=3(即点B)处切线的斜率2， m+a0-f0=。9青=-2 △x f3)-f(2)=f(3)-f(2)=ka是割线AB的 3-2 答案：一2 斜率. ·84· 第二章导数及其应用 五维课堂兰 △x+2 √（△x)+2△x+2+√2 4 3 2 当Ax龙于0时地于号'a=号 △x 012345元 [素养培优练] 13.已知直线x-y一1=0与抛物线y=ax2相切，则 由图像知，0<k2<kAB<k1,即0<f(3)<f(3) a的值为 f(2)<f(2).] 解析：设切点为P(x。yo), 10.已知函数f(x)在R上可导，其部分图像如图所 则 △y=f(x,+△)-f(x) 示，设f4)二2)=a,则下列不等式正确的是 △x △.x 4-2 a(2,+△)2-a.z △x =2a.xo十a△x 当△r无限趋近于零时，无限趋近于2a :直线x一y一1=0与抛物线y=a.x2相切， .2axo=1. A.a<f'(2)<f'(4)B.f'(2)<a<f(4) 又y=a2后，x0-y。-1=0, C.f(4)<f(2)<aD.f(2)<f(4)<a 2ax=1, 解析：B[由题图可知，函数的增长越来越快，故 联立以上三式，得y=a.x品， 得a= 函数在该点的斜率越来越大，所以(2，f(2),(4, x。-y。-1=0, f4)两点连线的斜率4)2)的大小在点 4-2 答案： (2,f(2))处的切线斜率f'(2)与在点(4，f(4)处 14.设函数f(x)=x3+a.x2-9x一1(a<0),若曲线y 的切线斜率f(4)之间，所以f'(2)<a<f'(4).] =f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平 11.若抛物线y=2x2+1与直线4x一y+m=0相切， 行，求a的值. 则m= 解：：△y=f(xn十△x)-f(xo) 解析：设切点为P(x。,y),则△y=2(x,十△x)2+ =(x,十△x)3+a(x。十△x)2-9(x。+△)-1 1-28-1=4,·△x+2(△)2，所以A义=4z,十 (xd十ax6-9x。-1) △x =(3a8+2a.x,-9)△x+(3.x,+a)(△x)2+(△x)3, 2a,当A0时是4即f(x,)=4,所 :.Ay=3x+2a,-9+(3,十a)△+（△）. △x 以4x。=4,所以x=1,y=3,将(1,3)代入直线 4x-y十m=0,得m=-1. 当无限趋近于零时，会无限趋近于十 答案：一1 2ax。-9, 12.利用导数的定义，求f(x)=√x十1在x=1处的 即f(x。)=3a8+2ax-9, 导数f'(1). 解：Ay=f(1+△.x)-f(1)=√(1十△x)2+1-√2 f)=(+)-9- =√（△x)+2△x+2-√2， 当=一 时，f(,)取最小值-9一号 :Ay-A)+2Ax+2-2 :斜率最小的切线与12x十y=6平行， △x △x (△x)2+2△x 该切线斜率为-12，-9-g=-12, 3 △x[W(△x)+2△x+2+√2] 解得a=土3.又a<0,∴.a=-3. ·85·