第1章 3.1 第2课时 等比数列的性质-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂课时作业（北师大版）

第一章数列 课时作业乡 数课时 §3等此数列 间 3.1等比数列的概念及其通项公式 学作业 第1课时 等比数列的概念及其通项公式 纠错空间 [基础达标练] 7.在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的 1.以下数列中，是等比数列的有 意思.今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙 ①数列1,2,6,18，…；②数列{an}中，已知 分得28石，则衰分比例为 8.已知数列{an}的前n项和Sn=2an十1，求证： =2,=2:③常数列a,a,…,a,…;④数列 {a}是等比数列，并求出通项公式 az {a,}中，±=q(g≠0)，其中n∈N. a A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.在首项a=1,公比q=2的等比数列{an}中， 当a,=64时，项数n等于 ( A.4 B.5 C.6 D.7 3.光圈是一个用来控制光线透过镜头，进人机身 内感光面的光量的装置.表达光圈的大小我们 方法总结 可以用光圈的F值表示，光圈的F值系列如 下：F1,F1.4,F2,F2.8,F4,F5.6,F8, …,F64.光圈的F值越小，表示在同一单位时 间内进光量越多，而且上一级的进光量是下一 级的2倍，如光圈从F8调整到F5.6,进光量 是原来的2倍.若光圈从F4调整到F1.4,则 单位时间内的进光量为原来的 A.2倍 B.4倍 C.8倍 D.16倍 4.设等比数列的前三项依次为2,2,2，则它 的第四项是 ( A.1 B.2 C.2 D.2 5.(多选)下列选项中，不是{an}成等比数列的充 要条件是( ) A.an+1=an·g(g为常数) B.a。=a1g1(g为常数) C.ai+1=an·an+2≠0 D.ant1=√/a,·am+2 6.若数列{an}为等差数列，数列2为 数 列；若数列{an}为等比数列，且an>0,则数列 {lgan}为 数列. ·11· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 [能力提升练] [素养培优练] 9.设a1=2,数列{1十2an}是公比为3的等比数 13.(多选)在数列(a,}中，若+一”中=kk为 列，则a。等于 ( an+1一an 纠错空间 A.607.5 B.608 常数)，则称{an}为“等差比数列”，下列对“等 C.607 D.159 差比数列”的判断错误的是 () 10.（多选)已知数列{an},下列选项不正确的是 A.k不可能为0 ( B.“等差比数列”中的项不可能为0 A.若a=4”,n∈N+,则{an}为等比数列 C.等差数列一定是“等差比数列” B.若aan+2=a+1,n∈N+,则{a}为等比 D.等比数列一定是“等差比数列” 数列 14.“绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书 C.若aman=2m+",m,n∈N+,则{an}为等比 记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖 数列 州安吉考察时提出的科学论断，2017年10 D.若a,a+3=a+1a+2,n∈N+,则{a,}为等 月18日，该理论写人中共19大报告，为响应 比数列 总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理， 11.若数列a.满足1一2=0，则称a.}为 该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙 an+l 漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把 “梦想数列”，已知正项数列 “梦想数 原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲 的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年 列”，且b1+b2+b3=1,则b+b,十bg= 起第n年绿洲面积为a.万平方公里。 (1)求第n年绿洲面积a,与上一年绿洲面积 方法总结 12.在各项均为负数的数列{an}中，已知2an= am-1(n≥2)的关系； 3am+1,且a2a5= 27 (2)判断{口，一}是否为等比数列，并说明 (1)求证：{a,}是等比数列，并求出其通项 理由； 公式； (3)至少经过几年，绿洲面积可超过60%？ (2)试问一 是这个等比数列中的项吗？如 (1g2=0.3010) 果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由. 4年4年4年 ·12·巴五维课堂 6.解析：①若数列{口，}为等差数列，设公差为d,则 2n+1n=24 .数列{2“是首项是21、公比是2的等比数列. ②若数列{an}为等比数列，设公比为q,则lgan+1一lgan =1g02出=lgg an ∴{lgan}为首项是lga1、公差是lgq的等差数列. 答案：等比等差 7.解析：设衰分比例为q,则甲、乙、丙各分得28石，28石， 28g石. :28+28+28g=98.÷g=2或9=.又0<9<1， 1 .q=2 答案：之 8.证明Sn=2an十1，∴.Sn+1=2am+1十1. .an+1=Sn+1-S,=(2an+1十1)-(2an十1)=2an+1 -2an· an+1=2a 又S1=2a1十1=a1,.a1=-1≠0， 又由an+1=2a,知an≠0，a出=2， an ∴{an}是首项为一1，公比为2的等比数列. .通项公式an=-1×2”-1=-2”-1. 9.C[:1+2an=(1+2a1)×3"-1=5×3m-1,∴.1+2a6= 5X35,a,=5X243-1=607.] 2 10.ABD[对于A选项，由a=4”知an=2”,则数列 {a,}未必是等比数列；对于B,D选项，满足条件的数列 中可以存在零项，同样，数列{a}不一定是等比数列；对 于C选项，由anan=2m+”知，anan+1=2m+n+1,两式相除 得a中=2(n∈N),故数列{an}是等比数列.故 an 选ABD.] 1山.解析：由题意可知，若数列{口，}为“梦想数列”，则1 an+1 =0,可得。=合，所以“梦想数列”(a,}是公比为 1 an an 号的等比数列，若正项数列{份}为“梦超数列，则 站所以会=2，项到是公比为2 的等比数列，因为b十b2十b:=1,因此b十b,十bs= 25(b1十b2十b3)=32. 答案：32 12,解：(1)证明2a.=3a,+1a2=号 a3 又：数列{an}的各项均为负数，∴.a1<0, 教列口，是以号为公比的等比教列. a=a·g1=a·()a=a·(号) 数学(BS)·选择性必修第二册 号aa,=a·(号)=a又a·a,=号a a=d=又a<0a=号 a,=()×(号)=-（号）】 (n∈N+). (2)令a,=-（ 号)则24m6N 号是这个等比载列中的项，且是第6项。 13.BCD[:当k=0时，根据“等差比数列”的定义，有 0:0,出=0，即有a,+2一a+1=0,这与分母不为0 an+1-an 矛盾，.k卡0，故选项A正确；当an=n一1时， a+一0，山=n十1一0=1为常数，.数列{a,}为“等差 am+1-a,n-n十1 比数列”，且a1=0,故选项B错误；又当数列{an}为非 零常数列时，数列{an}既是等差数列又是等比数列，但 a+1一an=0,此时数列{an}不是“等差比数列”，故选项 C、D错误，故选BCD.] 14.解：(1)由题意得a,=(1-4%)an-1十(1-a,-1)X16% =0.96a-1十0.16-0.16an-1=0.8an-1+0.16= 4 4 0-1+25 4 4 所以a,=5a1十25 2)由(1)得a,=号a1十，a,- 4 (a1-） 所以{a,一吉}是等北数列。 3)由2)有a,-手-号(a1-）又a=品 21 a.手=（告）即a,=-(侍)+ =-(告)+>即（告）<号两边取 常用对数得： 1g5 (n-1D1g号<1g号，所以m-1)> Ig 2-1g 5 42lg2-1g5 1g6 1g2-1-1g2)=2g2-1=2×0.301-1= =2162-1=g2=3g2 3×0.301-1 0:398≈4.1，n>51.至少经过6年，绿洲面积可 0.097 超过60%. 第2课时等比数列的性质 1.B[a,=a,9,脚=-4，解得g=-故选B] 2.C[由题意得，2a5a6=18,asa6=9,∴a1am=a5a6=9, .1十m=5十6，∴.m=10.] 3.C[logb1十logb2十…十logb1=log(bb2…b11)= 参考答案 log(b,b)7=71og3=7.] 4.AB[由于数列{a,}是公比为2的等比数列，则对任意 1 的n∈N,a,≠0，且公比为g=a=2.对于A, n+l an 1 a =即教列{}是公比为的比列，正 an+l q 确；对于B,a2+2=g2=4,即数列{a2n}是公比为4的等 a2n 比数列，正确：对于Ca=g=2,即数列2a,是公比 为2的等比教列，错误：对于D,0102=0兰=g=4, anan+l a 即数列{a,a+1)是公比为4的等比数列，错误.故 选：AB.] 5.C[当a1>a>a3时，设公比为q,由a1>a1q>a19得 若a1>0,则1>q>g,即0<g<1,此时，显然数列{an} 是递减数列， 若a1<0,则1<g<g,即q>1,此时，数列{an}也是递减 数列， 反之，当数列{an}是递减数列时，显然a1>a2>a 故“a1>a2>a”是“等比数列{an}递减”的充要条件.故 选：C.] 6.A[设等比数列{an}的公比为q(q>0).因为a6=3,所 以a,= ,ag=a6923g.所以a1十ag= gg 3+30≥ 2侵·3对-6当且仅海g=1时上式￥号成点.] (12y)2=9xX15x, 7.解析：由题意可得 211 所以y=2之 x十之 x 所以( ）=135x之.化简得15x2十15z2=34x2,两边 同时除以15数可得兰一是-碧 答案：5 34 8.解：(1)a2a,十2aas十a1a6=a十2aas十a=(a1十a5) =25, an>0,∴.a4十a5>0..ag十a5=5. (2)根据等比数列的性质a5a6=a1a1o=a2ag=a3ag= a1a7=9, a1a2…aga1o=(a5a6)5=95. .loga1十loga2十…十l0ga1o=l0g3(a1a2…aa1o）= 1og39=10. 9.C[由题意，设等比数列{an}的公比为g,则a2十a1= 1 (a1十a)q,g=21 代入a1十a=10,可得a1十号=10，a1=8,故a, a91=8×(合) =2”, 课时作业兰 则a1a2…an=23X22X…X21-"=23+2++4-》= 2业=2 由于y=2为增画数，=7二，)”为开口向下的二次函 2 数，对称轴为n=3.5, 又n∈N+,故当n=3或4时，a1a2…an取得最大值.故 选：C.] 10.ABD[b=amm-+1·(1十q十g十…十g1),由9≠ ,b=amL=g,故数列{b,}为等 -1易知b.≠0，b=a-H 比数列，公比为g”,A,B均错误；cn=ama-1+1· g+2+w+m-0,过=a1=[0L =(g”)" aa(n-1+1 Lam(m-10+1] =gm,故数列{cn}为等比数列，公比为g,D错误.] 1l.B[因为数列{an}中，a1=2,a+m=a,·am（n,m∈ N+),所以取m=1,则an+1=an·a1=2an,所以数列 {an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an=2”, 又a4+1十a+2十a+8十as+4=480,即2+1十2+2+2+3 十2+1=480，即30×2=480，解得k=4.] 12.解：(1)设数列{an}的公差为d,所以， (a1十d-2b=a1+2d-4h1 (a1十d-2b=8b-(a1+3d ,即可解得b1=a1= 号，所以原命题得证 (2)由1)知，6=a1=号，所以6：=a十a196i×2 =a1十(m-1)d十a1,即2-1=2m,即m=2-2∈[1， 500],解得2k10,所以满足等式的解k=2,3,4, …,10,故集合{kb=am十a1,1≤m≤500}中的元素个 数为10-2十1=9. 13.ACD[设数列{an}的公比为q1,数列{bn}的公比为q2, 所以an=a1g11,bn=bg21. 对于A,a,bn=a1b1g1qg1=a1b1(g1g2)”-1,从而数列 {abn}的公比为q1q2,故A正确.对于B,an十bn= a1q1十b9g1,g1与g2不一定相等，所以数列{an十 么不泛学比数列，做B辑送，对于Cg会 合签-会十a-1号从后发列 {会}更公老为会的导差数列.故C正确 对于D,lg(a2b)=2 lg a,b,=2lga1b1十2(n-1)lg q1h,从而数列{lg(ab)》是公差为2lgqq2的等差数 列，D正确.] 14.解析：由a1=2a,a∈N,)可得，载列a,是首项和 公比均为号的等比数列，所以a=,则么=”。2 (n-2入)2”，又因为{bn}是递增数列，所以bn+1一bn=(n 十1-2λ)2m+1-(2-2A)2”=(n十2-2λ)2">0恒成立， 即n十2-2A>0恒成立，所以2入<(n十2)m=3,所以入 答案A<是