第1章 3.1 第1课时 等比数列的概念及其通项公式-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂课时作业（北师大版）

c 一章数列 数课时 第2课时 等 学作业 [基础达标练] 1.为了参加学校的长跑比赛，某中学高二年级小 李同学制定了一个为期15天的训练计划.已 知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上 增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3 600米，最后三天共跑了10800米，则这15天 小李同学总共跑的路程为 ( A.34000米 B.36000米 C.38000米 D.40000米 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,7a+5ag =0,且a>a,则Sn取得最小值时n的值为 A.5 B.6 C.7 D.8 3.《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日 起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、 谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长 依次成等差数列，若冬至、大寒、雨水的日影长 的和为36.3尺，小寒、惊蛰、立夏的日影长的 和为18.3尺，则冬至的日影长为 ( ) A.4尺 B.8.5尺 C.16.1尺 D.18.1尺 4.(多选)首项为正数的等差数列的前n项和为 Sn,且S=S8,当S,取到最大值时，n的取 值是 A.4 B.5 C.6 D.7 5.已知数列{an}的通项公式为an 9 ) ,则数列{an} A.有最大项，没有最小项 B.有最小项，没有最大项 C.既有最大项又有最小项 D.既没有最大项也没有最小项 6.等差数列{an}中，已知a>0,a4十a,<0,则 {an}的前n项和S,的最大值为 7.某渔业公司年初购进一艘渔船用于捕捞，第一 年需要维修费12万元，从第二年起维修费比 上一年增加4万元，则第5年的维修费是 万元，前10年维修费总和为 万元 课时作业色 差数列前n项和的应用 间 纠错空间 8.(2021·新高考Ⅱ卷，2)记S。是公差不为0的 等差数列{an}的前n项和，若a3=S,a2a, =S4. (1)求数列{an}的通项公式an: (2)求使Sn>am成立的n的最小值. [能力提升练] 9.(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且 方法总结 a1>0,a3=3a5,则下列说法正确的是() A.数列{an}单调递减 B.当n=5,n=6时，Sn同时达到最大值 c D.满足不等式Sn≥0的n的最大值为10 10.一百零八塔位于宁夏青铜峡市，是喇嘛式实 心塔群（如图）.该塔群随山势凿石分阶而建， 依山势自上而下，第一阶1座，第二阶3座， 第三阶3座，第四阶5座，第五阶5座，从第 五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差 为2的等差数列，总计108座，故名一百零八 塔.则该塔群最下面三阶的塔数之和为 ( 年年年4g4 A.39 B.45 C.48 D.51 11.已知数列{an}为等差数列，a1十a3十a5=1, S,表示数列{an}的前n项和，若当且仅当n= 20时，Sn取到最大值，则a2十a十a,的取值范 围是 足五维课堂 12.在等差数列{an}中，a1m=23,a25=-22. 空 (1)数列{an}前多少项和最大？ 间 (2)求{an}的前n项和Sn 纠错空间 下年年年手年年年里手年年年年手年年年年手年年 方法总结 [素养培优练] 13.风雨桥是侗族最具特色的建筑之一.风雨桥 由桥、塔、亭组成.其亭、塔平面图通常是正方 形、正六边形和正八边形.如图是风雨桥亭、 塔正六边形的正射影.其正六边形的边长计 算方法如下：A1B1=A,B。一B。B1,A2B2= AB-BB2,A3 B3=A2 B2-B2 B,.AB =Am1B。-1-Bn-1Bn,其中Bn-1Bn=…= B2B,=B,B2=B,B1,n∈N+.根据每层边长 间的规律.建筑师通过推算，可初步估计需要 多少材料.所用材料中，横向梁所用木料与正 六边形的周长有关.某一风雨桥亭、塔共5 层，若AB。=6,B,B1=1.则这五层正六边形 的周长总和为 A.100 B.110 C.120 D.130 ·10 数学(BS)·选择性必修第二册 14.新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放， 既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业 发展的方向.工业部表示，到2025年中国的 汽车总销量将达到3500万辆，并希望新能 源汽车至少占总销量的五分之一.福建某新 能源公司年初购人一批新能源汽车充电桩， 每台12800元，第一年每台设备的维修保养 费用为1000元，以后每年增加400元，每台 充电桩每年可给公司收益6400元. (1)每台充电桩第几年开始获利？（参考数 据W33≈5.7) (2)每台充电桩前几年的年平均利润最大（前 ”年的年平均利润=前n年的利润总和). 年数n参考答案 令an=a1十(n-1)d=(n-6)d≥0，∴.n≤6，所以a1a2, …,a5>0,a6=0,a7,a8,…,an<0,所以当n=5,n=6时 S。同时达到最大值，所以选项B正确； -器 股牛端=，所以选项C正确：S,=m十 nn,1Dd=-5nd+nn,1D4≥0，m≤11，所以不等式 2 2 Sn≥0的n的最大值为11.所以选项D错误.] 10.D[设该塔群共有n阶，自上而下每一阶的塔数所构 成的数列为{an},依题意可知a,a6,…,an成等差数 列，且公差为2，a5=5,则1十3十3十5十5(n-4)+ (n-4)(n-5)×2=108,解得n=12. 故最下面三阶的塔数之和为a10十a1十a12=3a11=3(5 十2×6)=51.] 11.解析：由a十a十a=1,得3a,=1,即a=3,a,十a 十a6=3a1=3a3十3d,当且仅当n=20时，S,取到最大 值，则∫a0>0 (a1<0 则ao=a,十17d>0 [a=号+17d>0 ，即 (a21=a十18dK0 ,得到d () a2十a1十a6=3a1=3a3十3d=1十3d, 由de(品司）可得号<1+3d<是故答案 为(9) 答案：（侣） 12.解：(1)由 a1+9d=23, a1+24d=-22 得150， d=-3, .an=a十(n -1)d=-3n+53. 令a>0,得n<53,六当n≤17，n∈N+时，an>0:当n ≥18，n∈N时，an<0,∴.{an}的前17项和最大. (2)当n≤17，n∈N+时，a1|+a2+…十an=a1十 a2十…十an =m=+g 当n≥18，n∈N4时，a1+a2+…+an=a1十a,十 …十a17一a18-a1w-…一an =2(a1十a2十…十a1m)-(a1十a2十…十an） =2(×1+×1）(+2) -193+84 ∴.Sn= 是r2-1g+84,n≥18，neN 课时作业乡 13.C[由已知得：AnBn=An-1Bn-1-Bn-1Bn,Bn-1Bn=… =B2B=B1B2=BB1=1,因此数列{AnBn}(n∈N,1 ≤nm≤5)是以a1=A。B。=6为首项，公差为d=一1的 等差数列，设数列{A,B,(n∈N,,1≤n5)的前5项 和为S,周北有，S=5a十合×5X4:d=5×6 合×5×4X1=20,所以这五层正六边彩的网长感和为 6S5=6×20=120.故选C.] 14.解：(1)每台充电桩第n年总利润为 6400n [100m+2a(m-1)40] -12800, .6400n [100m+7(m-1D40] -12800>0, 化简得-200(n°-28n十64)>0，即n2-28n十64<0. 解得14-2√33<n<14十2√/33， .2.6<n<25.4. n∈N+,.3≤n≤25. ∴每台充电桩第3年开始获利 (2)每台充电桩前n年的年平均利润 6400n- [1000n+号n(n-1)400]-12800 200[2s-（e+4)月≤20[8-2a]- = 2400,当且仅当n=号即n=8时取学号，每台充电 桩前8年的年平均利润最大。 §3等比数列 3.1等比数列的概念及其通项公式 第1课时等比数列的概念及其通项公式 1.A[①中，数列不符合等比数列的定义，故不是等比数 列；②中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故 不能判定是等比数列；③中，当a=0时，不是等比数列； ④中，数列符合等比数列的定义，是等比数列.故选：A] 2.D[因为an=a1g-1,所以1×2”-1=64，即2-1=2，得 n-1=6,解得n=7.] 3.C[由题可得单位时间内的进光量形成公比为号的等 比数列{an},则F4对应单位时间内的进光量为a5,F 1.4对应单位时间内的进光量为Q2,从F4调整到F1. 4,则单位时间内的进光量为原来的2=8倍.故选：C.] 4.A Tia=a.-ag-x 2=1.] 2√ 5.ABD[对于A,a+1=a,·g,当q=0,an=0时，等式成 立，此时不是等比数列，故错误；对于B,an=a1g”-,当q =0,Q1=0时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；对 于C,根据等比数列等比中项定义可以判定此数列为等 比数列，故正确；对于D.a+1=√an·an+2,当an=0, a+1=0,a+2=0时，等式成立，此时不是等比数列，故 错误.门 巴五维课堂 6.解析：①若数列{口，}为等差数列，设公差为d,则 2n+1n=24 .数列{2“是首项是21、公比是2的等比数列. ②若数列{an}为等比数列，设公比为q,则lgan+1一lgan =1g02出=lgg an ∴{lgan}为首项是lga1、公差是lgq的等差数列. 答案：等比等差 7.解析：设衰分比例为q,则甲、乙、丙各分得28石，28石， 28g石. :28+28+28g=98.÷g=2或9=.又0<9<1， 1 .q=2 答案：之 8.证明Sn=2an十1，∴.Sn+1=2am+1十1. .an+1=Sn+1-S,=(2an+1十1)-(2an十1)=2an+1 -2an· an+1=2a 又S1=2a1十1=a1,.a1=-1≠0， 又由an+1=2a,知an≠0，a出=2， an ∴{an}是首项为一1，公比为2的等比数列. .通项公式an=-1×2”-1=-2”-1. 9.C[:1+2an=(1+2a1)×3"-1=5×3m-1,∴.1+2a6= 5X35,a,=5X243-1=607.] 2 10.ABD[对于A选项，由a=4”知an=2”,则数列 {a,}未必是等比数列；对于B,D选项，满足条件的数列 中可以存在零项，同样，数列{a}不一定是等比数列；对 于C选项，由anan=2m+”知，anan+1=2m+n+1,两式相除 得a中=2(n∈N),故数列{an}是等比数列.故 an 选ABD.] 1山.解析：由题意可知，若数列{口，}为“梦想数列”，则1 an+1 =0,可得。=合，所以“梦想数列”(a,}是公比为 1 an an 号的等比数列，若正项数列{份}为“梦超数列，则 站所以会=2，项到是公比为2 的等比数列，因为b十b2十b:=1,因此b十b,十bs= 25(b1十b2十b3)=32. 答案：32 12,解：(1)证明2a.=3a,+1a2=号 a3 又：数列{an}的各项均为负数，∴.a1<0, 教列口，是以号为公比的等比教列. a=a·g1=a·()a=a·(号) 数学(BS)·选择性必修第二册 号aa,=a·(号)=a又a·a,=号a a=d=又a<0a=号 a,=()×(号)=-（号）】 (n∈N+). (2)令a,=-（ 号)则24m6N 号是这个等比载列中的项，且是第6项。 13.BCD[:当k=0时，根据“等差比数列”的定义，有 0:0,出=0，即有a,+2一a+1=0,这与分母不为0 an+1-an 矛盾，.k卡0，故选项A正确；当an=n一1时， a+一0，山=n十1一0=1为常数，.数列{a,}为“等差 am+1-a,n-n十1 比数列”，且a1=0,故选项B错误；又当数列{an}为非 零常数列时，数列{an}既是等差数列又是等比数列，但 a+1一an=0,此时数列{an}不是“等差比数列”，故选项 C、D错误，故选BCD.] 14.解：(1)由题意得a,=(1-4%)an-1十(1-a,-1)X16% =0.96a-1十0.16-0.16an-1=0.8an-1+0.16= 4 4 0-1+25 4 4 所以a,=5a1十25 2)由(1)得a,=号a1十，a,- 4 (a1-） 所以{a,一吉}是等北数列。 3)由2)有a,-手-号(a1-）又a=品 21 a.手=（告）即a,=-(侍)+ =-(告)+>即（告）<号两边取 常用对数得： 1g5 (n-1D1g号<1g号，所以m-1)> Ig 2-1g 5 42lg2-1g5 1g6 1g2-1-1g2)=2g2-1=2×0.301-1= =2162-1=g2=3g2 3×0.301-1 0:398≈4.1，n>51.至少经过6年，绿洲面积可 0.097 超过60%. 第2课时等比数列的性质 1.B[a,=a,9,脚=-4，解得g=-故选B] 2.C[由题意得，2a5a6=18,asa6=9,∴a1am=a5a6=9, .1十m=5十6，∴.m=10.] 3.C[logb1十logb2十…十logb1=log(bb2…b11)=