第1章 2.1 第2课时 等差数列的性质-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂课时作业（北师大版）

第一章数列 课时作业乡 数课时 §2等差数列 2.1等差数列的概念及其通项公式 间 学作业 第1课时等差数列的概念及其通项公式 纠错空间 [基础达标练] 7.在数列{an}中，a1=2,2an+1-2an=1,则a1i 1.(多选题)下列数列中，是等差数列的是( 的值为 A.2,5,8,11 8.某公司经销一种数码产品，第一年可获利200 B.Ig 3,Ig 9,1g 27,1g 81 万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因， C.45,4,43,4 其利润每年比上一年减少20万元，按照这一 D.11,9,7,5,3 规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营 2.在等差数列{an}中，已知a1= 3,a十a6=4, 策略，从哪一年起，该公司经销这种数码产品 将亏损？ an=35,则n= A.50 B.51 C.52 D.53 3已知数列{a.中a=2a,=1,若{十}为 等差数列，则a1g 方法总结 A.0 c号 D.2 4.目前农村电子商务发展取得了良好的进展，若 某家农村网店从第二个月起利润就成递增等 差数列，且第2个月利润为2500元，第5个月 利润为4000元，第m个月后该网店的利润超 过5000元，则m= ( A.6 B.7 C.8 D.10 5.(多选)下列命题中，正确的是 A.数列6,4,2,0是公差为2的等差数列 B.数列a,a-1,a-2,a-3是公差为-1的等 差数列 C.等差数列的通项公式一定能写成a,=kn 十b的形式(k,b为常数) D.数列{2n十1}(n∈N+)是等差数列 6.已知fn+1)=f)-是(n∈N4),且f(2) =2,则f(2023)= ·5… 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 [能力提升练] [素养培优练] 9.(多选)下列命题中为真命题的是 13.我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所 A.若a,b,c成等差数列，则a2,b2,c2一定成等 测量影子的长度.《周髀算经》中记载：一年有二 纠错空间 差数列 十四个节气，每个节气晷长损益相同.二十四个 B.若a,b,c成等差数列，则2,2,2可能成等 节气及晷长变化如图所示.相邻两个节气晷长 差数列 的变化量相同，周而复始.从冬至日起，依次小 C.若a,b,c成等差数列，则ka十2，b十2，kc+ 寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立 2(k为常数)一定成等差数列 夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成 D.若a,bc成等差数列，则，，1可能成等 a’bc 等差数列，若测得冬至、立春、春分日影长之和 差数列 为31.5尺，大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为25.5 10.(多选)设d为正项等差数列{an}的公差，若 尺，则冬至日影的长为 d>0,a3=2,则 ( A.a2·a4<4 Ba+a,≥5 c.1+1>1 D.a1·a5>a2·a4 a as 山.已知fa+1D=f)-子(a∈N)f2)=2, 晷长逐渐变小 春分 方法总结 则f(2017)= 用水惊蛰0清明谷雨 立春330· ·30立夏 大案300” 60小满 12.设数列{a,}满足当n>1时，a。=1千4a。一 am-1一，且 小寒， 芒种 冬至270 90夏至 大雪· ·小暑引 小雪24 立冬0. 。120大餐 :150立秋 霜降寨露180白露处暑 （)求证：数列{}为等差数列： 秋分 晷长逐渐变大 (2)a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，求 A.11.5 B.12.5 出是第几项；如果不是，请说明理由。 C.13.5 D.14.5 14.单分数（分子为1，分母为正整数的分数）的 广泛使用成为埃及数学重要而有趣的特色， 埃及人将所有的真分数都表示为一些单分数 的和例如号-+品=++ 高十2…，现已知忌可以表示成4个 单分数的阳：记后6+上+日其 中x,y,之是以101为首项的等差数列，则y 十x的值为 ·6巴五维课堂 11.解析：由f(n十1)=f(n)- 子，得f(n十1D-f(m)=- 子(nEN {f(m)》是一个以-为公差的等差数列.：f(2) =2, .f(2017)=f(2)+(2017-2)d=2+2015× （）-2 答案：-2007 4 12.解：1)证明：报扬题意a=号及递推关系a,≠0.国为 .取倒数得上=1十4，即1一1=4 an=1十4am-l an an-I an an-1 (>D.所以数列{仔}是首项为5，公基为4的等差 数列， (2)由(1)，得=5十4(n-1)=4n+1,a,=4m中 an 又a=甘×日-品解得=山 所以a1a2是数列{an}中的项，是第11项. 13.C[由题意，从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、 惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节 气，其日影长依次成等差数列，设冬至的日影长为1，公 差为d,则a1十a1十a,=31.5,a,十a十a=25.5,两式相减 得-6d=6,解得d=-1,所以a1十a1十a,=3a1十9d= 31.5,解得a1=13.5,故选：C.] 14.解析：依题意，拆分后的分数，分子都是1，分母依次变 大，又品赢十士十中含赢故可分解如下 21 111 111 3 101=101+101=101202202-101十202十606 11 2 101202606+606-107+202+303+606,又x,y, 之是以101为首项的等差数列，故x=101,y=202,之= 303.故y十之=202+303=505. 答案：505 第2课时等差数列的性质 1.C[设等差数列的性质可知：a2十ag=2a5=18,所以a5 =9.故选：C.] 2.B[由等差数列的性质，得a3十a十a1o十a1=(a十 a13)十(a6十a10）=2ag十2ag=4as=32,∴.ag=8,又d≠ 0,..m=8.] 3.D[由等差数列的性质得a1十a,十a1a=3a?=4π，∴a -经an(a,十ea)=ian(2a)=an暂=iam经 -.] 4.B[因为A,B,C成等差数列，所以B是A,C的等差中 项，则有A十C=2B,又因为A十B十C=180°，所以3B= 180°，从而B=60°.] 5.AD[设等差数列的首项为a1,d>0,则an=a1十(n 1)d=dn十(a1-d)..数列{an}递增，A正确.nan=dn 十a一d,当<4分时，不道啦，B能号=d十 ad,当a1一d>0时，不递增，C错误；a,+1十3(n十1) 数学(BS)·选择性必修第二册 d]-(an十3nd)=an+1-an十3d=4d>0,{an十3nd}递 增，D正确.] 6.解析：因为数列{an}为等差数列，且a1十a=4,根据等差 数列的性质，可得a1十a=2a;=4,解答a;=2,又由a2 十a十…十a=7a5=7X2=14. 答案：14 7.解析：因为数列{an}为等差数列，所以am-1十am+1= 2am.所以am-1十am+1一a-1=0可化为2am-a-1= 0,解得an=1.所以a1十a2m-1=2am=2. 答案：2 8.解：(1)根据题意，设等差数列{an}的公差为d,由a3十ag 十a13=12,则3ag=12,则ag=4,又由a3aga13=28,则有 aas=(4-5d4+5d)=7,解可得：d=±号，当d=号 时a,=a:十(n-8)d=30写，当d=-号时a,=a:十 (n-8)d=44-3m 5 (2由(1)的结论，当d=是时，=0号，此时a4 8X-4=13,当d=-号时6，=4与3弘，则au 5 44-3×23=-5,则aa=13或-5. 5 9.ABD[由题意得，插入k(k∈N+)个数，则a1=b1,a2= b+2,a3=bk+8,a1=bk+1… 所以等差数列{α，冫中的项在新的等差数列{bn冫中间隔排 列，且角标是以1为首项，k十1为公差的等差数列，所以 a,=b+a-1+D,因为b,是数列{an}的项，所以令1十(n -1)(k+1)=9,n∈N+,k∈N+, 当n=2时，解得k=7,当n=3时，解得k=3,当n=5 时，解得k=1, 故k的值可能为1,3,7，故选：ABD.] 10.解析：a1=5,a2=3×5十32-1=23，a3=3×23十3-1 =95, 依题意得5士m,23十m,95十m成等差数列， 3 32 33 2.23m-50+95”.∴m=-之 32 3 33 答案：-日 11.解析：由题意知函数y=f(x-2)的图像关于x=1对 称，则函数f(x)的图像关于x=一1对称，且在(-1，十 o∞)上单调，因为f(ao)=f(a1),所以ao十a1=一2， 因为数列{an}是公差不为0的等差数列，所以a1十a1o0 =a5o十a51=-2. 答案：一2 12.解：(1)a2十a10=a5十a?=7,又：aa,=12, 小数-子号 当∫a=4, 不恒为正，舍去 11 (a?=4, 参考答案 (2b,=a,+i=n+计之h=u++合 “n4=m2+1. =一子6=包m6。=包n=仙， 1 .恒有bn=kbn, 13.BD[设等差数列{an}的公差为d,易知d>0, :等差数列{an}满足a1十a2十a十..十a1o1=0, 且a1十a1o1=a2十a1w=..=a50十a52=2a1, …a1十a2十a3十..十a101=(a1十a1o1)(a2十a1w) 十..十(a0十a52)十a1=101a51=0, ∴.a1=0,a1十a1o1=a2十a1o0=2a1=0,故B,D正确，A 错误. 又：a51=a1十50d=0,∴.a1=-50d,a3十a1w=(a1 +2d)+(a1+99d), =2a1+101d=2×(-50d)+101d=d>0,故C错误. 故选：BD.] 14.D[设OD1=DC1=CB1=BA1=1,则CC1=k1,BB =k2,AA1=k,依题意，有一0.2=k1,k一0.1=k2, DD,+CC+BB十AA=0.725,所以 且O那干D光+CB+所 0.5+3k,-0.3=0.725,故k=0.9.] 4 2.2等差数列的前n项和 第1课时等差数列的前n项和公式 1B[d=号-15=4，又a+d=70=3 2 s。=10a+10X91-=10x8+45X4-210.] 2.B[设等差数列{an}的公差为d,由a1十ag十ag=a1十 a1十7d十a十8d=3(a,十5d0=3a:=号(a,中a)为- 确定的常数，从而S:=号(a十a1)X11=1a:为确定 的常数.门 3.B[,a?十ag十ag=S,一S,而由等差数列的性质可知， S,S。一S,S,一S构成等差数列，所以S十(S,一S) =2(S6-S,),即a,十a8十a=Sg-S6=2S6-3S3=2X 36-3×9=45.] 4.C[由等差数列的性质及求和公式得S=13(a,a) 2 =13a,>0,S16=15a,+as2=15a.<0.] 2 5.BCD[设等差数列{an}的公差为d.由2a1十2a=S5, 有2a+2a,+2=ia+id.即a+6d=0,所以 a,=0,故D正确.S,=7a1+7X6d=7(a1十3d)= 2 21d.S,≠0，故A错误.S:=0×13=13a,=0, 2 故B正确.S。-S1=a十a十a?十a6十a5=5a7=0,所以 S1=S,故C正确.] ·4 课时作业乡 6.解析：由等差数列的前n项和公式可得：S 11(a1十a11)11×2ag 2 2 5(a1+a,)=5X2a 号×-号×=1 2 2 答案：1 7.解析：S,S:一S,S-S成等差数列，而S=9,S- S=a1十a5十a6=7,∴.S。-S6=5. 答案：5 8.解：(1)方法一a=10,S=5, ÷+5d=10:解得0=-5 5a1+10d=5,d=3. ∴.as=a6十2d=16. 方法二：S。=S,+a,=15,15=6a+a),即3a 2 +10)=15」 a1=-5,d=0s74=3.as=4,+2d=16. 5 (2)方法-“a十a1=a十d十a十3d=号a十2d 24 S,=5a1+10d=5(a,+2d0=5×24=24. 方法二a:十a,=a1十a,a十a=智，S 5a2-号×号-24. 2 5 9.C[:{a,是等差数列S.=m(a,十a=0>a,= 2 an=-(Sn-Sn-1)=-2,又am+1=Sn+1-Sm=3,∴d =am+1一am=1,3=am+1=a1十m=-2十m→1=5，故 选C.] l0.CD[因为等差数列{an}的前n项和Sn,所以可设Sn =An2+Bn(A,B∈R), 因为Sn=”,Sn=m(m,n∈N,m≠n),所 ∫S=Ai+m=品， 以 S.=Am+Bm= n An十B=1， mn'所以Sn+n=A（m十 (Am+B=1, n (B=0, n)'=m++2m=m+元+2≥2mm+2=4,当且仅 n mn n 当m=n时等号成立，又m≠n,所以等号不能取得，因 此Sn+m>4,故CD正确，AB错误.] 11.解析：设等差数列{an的项数为2n十1，S=a1十a3十 …十a1=+1》@十a-(m+1D·a.154 2 a+a十a,十…+a,=n(a十a）_ 2 na+1,所以