第1章 3.2 第1课时 等比数列的前n项和（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 3.2等比数列的前n项和 第1课时 等比数列的前n项和 课程标准 素养解读 1.在推导等比数列前n项和公式的过程中达成逻辑推理 1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用. 数学抽象的核心素养」 2.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简 2.在运用等比数列前n项和公式的过程中提升逻辑推理和 单的实际问题， 数学运算的核心素养， 课前。预习学案 对应学生用书P26 [情境引入] 国际象棋起源于古代印 当9≠1时，S.=011-9) 1一q 度.相传国王要奖赏国际象棋 又因为an=ag”1,所以上式还可以写成S。= 的发明者，问他想要什么.发 a-a.q 明者说：“请在棋盘的第1个 1-q 格子里放上1颗麦粒，第2个 当q=1时，Sn=na1: 格子里放上2颗麦粒，第3个 ?思考2.等比数列的前n项和公式的推导还有其 格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦 他的方法吗？ 粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64 [提示]根据等比数列的定义，有：==a4 个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉 得这个要求不高，就欣然同意了.假定千粒麦粒的质 an =q,再由合比定理， 量为40克，据查，2016—2017年度世界年度小麦 an-1 产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能 则得十a士a十…十a,=g, S.-a a1十a2十a3十…十am-1 Sn-an =q,进 实现他的诺言. 而可求Sn [知识梳理] 知识点一] 等比数列的前n项和公式 [预习自测] 1.判断下列说法是否正确（正确的打“/”，错误的打 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 “X”) (1)求等比数列{an}的前n项和时，可直接套用公 na,q=1 求和 S,= na,q=1, a(1-q) 式S=g2来求 ) 公式 1-q ai-a,q 1-q 1-9 ,g≠1且q≠0 (2)首项为a的数列既是等差数列又是等比数列， 9≠1且q≠0 则其前n项和为S,=a. () (3)若某数列的前n项和公式为S,=一ag”+a(a≠ ?思考1.类比等差数列前n项和是关于n的二次 0,q≠0且q≠1，n∈N+),则此数列一定是等比数 型函数，如何从函数的角度理解等比数列前n项 列. () 和Sn? (4)若S,为等比数列的前n项和，则S,S。,S,成 [提示]可把等比数列前n项和S。理解为关于n 等比数列. ) 的指数型函数 答案：(1)×(2)/(3)√(4)× [知识点二]错位相减法 2.等比数列{an}中，公比q=一2，S=44,则a1的值 对首项为a1,公比为q(g≠0)的等比数列{an}, 为 A.4 设Sn=a1十a1g十a1g2+…十a1q”①， B.-4 C. D.-2 则qSn=a19十a192+…+a1g1+a1g②， ①-②得(1-q)Sn=a1-a19". 解析A[由5，[《二2门=44，得a,=4. 1-(-2) ·46· 第一章数列 五维课堂 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远 S,=a1-9)=41-2) 望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一， 1-q 1-2 =381,解得a1=3. 请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381 所以塔的顶层共有灯3盏.] 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 4.已知数列{an}为等比数列，且前n项和为Sn,S= 2倍，则塔的顶层共有灯 ( A.1盏 B.3盏 3,S。=27,则公比q= C.5盏 D.9盏 解析：g=S、S=273=8,所以g=2. 解析：B[设塔的顶层的灯数为a1,七层塔的总灯 S 3 数为S,公比为q,则由题意知S,=381,q=2, 答案：2 课堂0 互动学案 对应学生用书P27 题型一利用等比数列前项和公式计算基本量！ 规律方法 1.在等比数列{an}的五个量a1,q,ann,S,中，已 [例1] 在等比数列{an}中， 知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外 (1)S2=30,S3=155,求Sm; 两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的 (2)a1十a,=10,a+a=,求S,: 具体应用 2.在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公 (3)a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求g. 比q=1或q≠1进行判断，若两种情况都有可 1a1(1+q)=30, 能，则要分类讨论 [解] (1)由题意知 (a1(1+q+q)=155, ⊙[变式训练] 1.在等比数列{an}中. a1=180, 解得 a1=5, (1)若a1=√2，am=16√2，Sn=11√2，求n和q; 或 (g=5 5 q=-6 (2)已知S4=1,Sg=17,求a 1080× -(] 潮：1D白5-g81-色g 1-q 4 11 =一2， [a1+a192=10, 又由an=a1g-1,得16√2=√2(-2)”-1，∴.n=5. (2）法一：由题意知 解得 (2)若q=1,则S8=2S4,不合题意，.q≠1， a1q+a19=4 s,=a0）=1sa092-=17, 1- 1-g 1从而S,=a1-g2)-31 a1=8, q=2 1-q 2 两式相除得音-17=1+gg=2或9=-2 法二：由(a十a)g=a,十a,得g=日，从而 a=a,= 5 a,=×2或a.=-号(-2 q2 题型二 等比数列前n项和的性质 又a1十a3=a1(1十g2)=10,所以a1=8,从而S5= [例2](1)等比数列{an}的前n项和为Sn,S2=7, a(1-9）_31 S。=91,则S4为 ( 1一9 2 A.28 B.32 (3)因为a2an-1=a1an=128,所以a1,a,是方程x2 C.21 D.28或-21 66.x十128=0的两根. [解析]：{an}为等比数列，∴.S2,S4-S2,S6-S 也为等比数列，即7，S4一7,91-S成等比数列， 从=2或0.=2 (an=64,(a1=64. 5=12=126，所 (S4-7)2=7(91-S4),解得S,=28或S4=-21. ,S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1g+a2q2=(a 以g为2盛 +a2)(1+q2)=S2(1+q2)>S2,∴.S4=28. 答案：A ·47· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 (2)等比数列{an}中，公比g=3,S0=32,则a2+a 解析：B[由等比数列的性质：S,S。一S3,S。一S。 十a6十…十a80 仍成等比数列，于是，由S。=3S,可推出S。一S。 [解析]设S1=a2十a4十a6十…十asn,S2=a1十a3 488=s爱-] 十a5+…+a0.则3=g=3,即S1=3S2 (3)一个项数为偶数的等比数列{an},全部各项之 又5十8=5=32，号5，=32，解得5=24，即 和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求数列 的通项公式 a2十a4十a6十…十a0=24. 解：设数列{an》的首项为a1,公比为q,所有奇数 [答案]24 项、偶数项之和分别记作S寺，S%,由题意可知，S寺 规律方法 +S隔=4S%,即S寺=3S偶.因为数列{an}的项数为 1.等比数列前n项和的性质 偶数，所以有q一543 =S%=1 (1)等比数列{a,}中，若项数为2m,则=q:若项 S 又因为a1·a1q·a1q2=64,所以a·g3=64,即a1 数为2m十1，则5。a1= =12,故所求通项公式为an=12× 1)”-1 S 3· (2)若等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2。 题型等比数列前项和公式的实际应用 一Sn,Sm一Sn…成等比数列（其中Sn,Sm [例3]某商场2022年销售计算机5000台，如果平 Sn,Sn-Sn…均不为0). 均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那 (3)若一个非常数列{an}的前n项和Sn=Aq”一A 么从2022年起，大约几年可使总销售量达到 30000台？(1g1.6≈0.2，lg1.1≈0.04) (A≠0，g≠0，n∈N+),则数列{an}为等比数 [思路点拨]将问题转化为首项为5000、公比为 列，即Sn=Aq”-A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈ 1.1的等比数列前n项和问题： N+)台数列{an}为等比数列. [解]根据题意，每年比上一年销售量增加10%， 2.结合等比数列前n项和的性质解题 所以，从2022年起，每年销售量组成一个等比数列 (1)牢记并熟练运用等比数列及其前n项和性质 {an},其中a1=5000,q=1+10%=1.1,Sn= 是基础 30000. (2)运用方程思想、整体化思想是解题的关键， ◇[变式训练] 由等比数列前n项和公式得5000(1-1.1) 1-1.1 2.(1)已知等比数列{an}的公比g=一 3则 30000, 整理得1.1”=1.6，两边取对数，得nlg1.1= a1十a3十a,十a:等于 lg1.6, a2十a4十a6十a8 所以n= 1g1.6≈0.2=5（年）.故大约5年可使总 A.-3 B.- 1g1.10.04 销售量达到30000台. C.3 n号 规律方法 解析：A[:a2+a4十a6十ag=a19十a39十as9十 解答数列应用题的步骤 a,g=q(a,+a,+a,十a,),a+a+a十a=1 对于一个实际问题，首先要弄清题目中所含 a2十a4十a6十ag 的数量关系，考察是否可通过建立数列模型来解 =-3.] 决，是否可以转化为等比数列的问题，基本思路理 (2公设等比数列a的前u项和为5若管-8，则 清晰后再着手解题，要注意： (1)认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当 的数学模型 (2)合理设元，建立等比数列模型，依据其性质及 A.2 7 B.3 方程思想求出未知元素，并依据结论作出合理 解释 c号 D.3 (3)实际问题解答完成后一定要有结论， ·48· 第一章数列 五维课堂兰 ◇[变式训练] 3.衡量病毒传播能力的一个重要指标叫做传播指数 A.a= 〔) B.an=2+1 R。.它指的是，在自然情况下（没有外力介入，同时 C.S=32- D.Sn=2+4-16 所有人都没有免疫)，一个感染某种传染病的人，会 2司 把疾病传染给多少人的平均数.它的简单计算公式 解析：AC 3 [由a,2a4,2a,成等差数列，得3a4= 是：R。=1十确诊病例增长率×系列间隔，其中系列 a3+2a5.设{an}的公比为q,则2g-3g+1=0,解 间隔是指在一个传播链中两例连续病例的间隔时 间（单位：天）.根据统计，某种传染病确诊病例的平 得9=或g=1(含去)， 均增长率为25%，两例连续病例的间隔时间的平 均数为4天，根据以上数据计算，若甲得这种传染 病，则经过6轮传播后由甲引起的得病的总人数约 所以S= 31,解得a1=16.所以数列 为 ( ) 12 A.30 B.62 {an}的通项公式为a,=16× C.64 D.126 解析：D[由题意得：R。=1十25%×4=2，所以经 过6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为：2十 32— ,故选AC 2+23+2+2+2°=2(1-2) 1-2 =126.] 1一2 3.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植树 [当堂达标] 2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需 1.等比数列1，x,x2,x3,…的前n项和Sn等于 要的最少天数n(n∈N+)等于 解析：设每天植树的棵数组成的数列为{an},由题 1-x 意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，所以 A.1-x B.12”- 由题店可行2922≥10，中2≥51，而2”-2， 1-x 2=64,n∈N+,所以n≥6. C.1-元x≠1且x≠0 ,1-x 答案：6 4.设等比数列{an}前n项和为Sn,已知a2=6,6a1+ (n,x=1 a3=30,求an,Sn 1-x”=1 D.1-xx≠1且x≠0 解：设等比数列{an}的公比为q,由题意得 (n,x=1 a19=6, 解得3或=2 解析：C[当x=1时，Sn=n;当x≠1且a≠0时， 6a,+ag2=80. 1q=2,1q=3. 当a1=3,q=2时，an=3X2-1, S,=3(1-2") =3(2"-1)； 2.(多选)已知各项均为正数且单调递减的等比数列 1-2 3 当a1=2,g=3时，an=2×3”1, a}满足a3a,2a成等差数列，其前n项和为 s.21-30=3-1. Sm,且S=31,则 ( 1-3 课时。素养提升 对应学生用书P14 ----● [基础达标练] 2.已知等比数列{an}的前n项和为Sm,且S3=2,S 1.已知数列{an}满足a+1=3a,(n∈N+),且a1=2, S3=4,则Sg-S6= () 则a1十a2十a3+…十an= A.8 B.4 A.3”-1 B.3" C.2 D.1 C.30-1-1 D.3"-1 解析：A[(S6-S3)2=S3(S-S6),∴.Sg-Sg 解析：A[由an+1=3an(n∈N+),可得数列{an}为 =8.] 3.设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2十as=0,则 等比数列，所以a十a十a十…十a, 2(1-3") 1-3 民等于 3”-1,故选A.] ·49· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 A.11 B.5 6.已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么 C.-8 D.-11 解析：D[由8a2十a5=0,得8a1q十a1q=0,,a 解析：根据等比数列性质得S、S=q,“S1 a1(1-(-2)5) S 1 ≠0,9≠0，g=-2,则三= S2a1(1-(-2)) =25,.S1w=33. -11.] 答案：33 4.(2022·全国乙卷·（理8）)已知等比数列{an}的前 7.把一个边长为1的正方形等分成九个全等的小正 3项和为168，a2一a,=42,则a6= ( ) 方形，将中间的一个正方形挖掉（如图①）；再将剩 A.14 B.12 余的每个正方形都分成九个全等的小正方形，并将 C.6 D.3 中间的一个正方形挖掉（如图②）；如此继续下 解析：D[设等比数列{an}的公比为q,q≠0， 去，则 若q=1,则a2一a=0,与题意矛盾， 所以q≠1， 则a1十a2十a,= a1(1-g3) 1-9 =168 「a1=96 解得 1 出出出 a2-a5=a19-a1q=42 q2 ⊙ ② ③ 所以a6=a1q=3.] (1)图③中共挖掉了 个正方形： 5.(多选)在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三 (2)第n个图形共挖掉了 个正方形，这些 百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半， 正方形的面积和是 如此六日过其关”.则下列说法正确的是() 解析：设第n个图形共挖掉am个正方形，则1，a2 A.此人第六天只走了5里路 a1=8,ag-a2=82,…,an-an-1=8"1,所以a,=1 B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里 十8+8+…十8=8→.1)故国@中共龙摔了 C.此人第二天走的路程比全程的子还多1.5里 8_1=73个正方形：(2)第”个图形共挖掉了 7 D.此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的 8倍 8个正方形，由于原正方影的边长为1，则这些 解析：BCD[根据题意此人每天行走的路程成等 比数列，设此人第n天走an里路， 被龙掉的正方形的面积和为1X(合)+8×()》 则口}是首项为4，公比为g=的等比数列。 +82 所以S,=0(1-g) -2 1-8 378,解得 1-g -1-() a1=192. 答案：(1)73 28,1-() 选项A:a=a,g=192×( =6,故A错误， 8.在等比数列{an}中，a2一a1=2,且2a2为3a1和a3 选项B:由a1=192,则S。一a1=378-192=186, 的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和. 又192-186=6，故B正确.选项C:a2=a1q=192 解：设数列{an}的公比为q(g≠0. ×号=96 由已知可得4g4=2, 即/4g-1)=2,① (4a1q=3a1+a1q,(g-4q十3=0，② 而号5，=94.5,96-94.5=1.5故C正确. 解②得q=3或q=1. 由于a1(g一1)=2，因此q=1不合题意，应舍去 选项D:a1+a2十a=a1(1十q+q2)=192× 故公比q=3,首项a1=1. 0+安+) =336, 所以数列{a,}的前n项和S。=a-g2 1-q 则后3天走的路程为378-336=42，而且336÷42 1×(1-3")=3”-1 =8,D正确.] 1-3 2 ·50· 第一章数列 五维课堂乡 [能力提升练] 12.已知{an}是首项为a、公比为g的等比数列，S,为 9.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子 它的前n项和. 善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是： (1)当S,S,S成等差数列时，求q的值； “一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍， (2)当Snm,Sn,S,成等差数列时，求证：对任意自然 已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多 数k,am十，aa十，a+也成等差数列. 少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不 解：(1)由已知，得an=ag-1,因此S1=a,S3= 少于30，该女子所需的天数至少为 a(1+q+q),S4=a(1+q+q+q). A.10 B.9 当S1,S,S4成等差数列时，S4-S3=S3-S1,可 C.8 D.7 得aq3=aq十+aq,化简得q2一q-1=0.解得q= 解析：C[设该女子第一天织布x尺，则1一2) 1±5 1-2 2 5 5 =5,解得，=引，所以前n天织布的尺数为(2 (2)证明：若q=1,则{an}的各项均为a.此时 Qm+k0m+女，a1十k显然成等差数列. -10,由员2-1≥30，得2≥187，解得n的最小 若q≠1，则由Sm,Sn,S,成等差数列可得Sm十S 值为8.] 2S·即a1D1C9—1D=2agD·整理 10.(多选)已知等比数列{an}公比为q,前n项和为 q一1 9-1 Sn,且满足a6=8ag,则下列说法正确的是( 得g"+q=2g. A.{an}为单调递增数列 因此a+k十a+k=ag1(g”十g)=2ag+1= 56一9 2a+,所以an+,a+,a1+成等差数列. [素养培优练] C.S3,S6,Sg成等比数列 13.如图给出的是一道典型的数学无字证明问题：各 D.S,=2a,-a 矩形块中填写的数字构成一个无穷数列，所有数 解析：BD[由a6=8a3,可得qa3=8a3,则q=2, 字之和等于1.按照图示规律，有同学提出了以下 当首项a1<0时，可得{am}为单调递减数列，故A 结论，其中正确的是 错误：尚受-}号-8故B正确：机旋53S 1 64 成等比数列，可得S=S,×S,即(1-2)2=(1 1 16 1 4 2)(1一2)不成立，显然S,S,S,不成等比数 列，故C错误；由{an}公比为q的等比数列，可得 8 510,9=a.0=2a,=@$2a 2-1 a1,故D正确；故选：BD.] A.由大到小的第八个矩形块中应填写的数字 11.以a1为首项、以q为公比的等比数列{an}满足a =受9=号设数列a,的前n项和为S+若 3 为品 ≤S,≤3t恒成立，则实数t的取值范围是 B前七个矩形扶中所填写的数字之和等于器 C矩形块中所填数字构成的是以1为首项，2为 解析：由题意得S。= 1+2 公比的等比数列 ,可得3≤S<,所以是<S,≤号，所 D.按照这个规律继续下去，第n一1个矩形块中所 填数字是 3t☑2 3 解析：B[设每个矩形块中的数字从大到小形成 以 即2 =4 数列a,,则可得(a,}是首项为2，公比为2的等 答案[2] 北数列=×() ·51· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 所以由大到小的第八个矩形块中应填写的数字为 14.对于数列{an},定义数列{an+1一an}为数列{an}的 1 “差数列”，若a1=2,{an}的“差数列”的通项公式 a,一2=256，故A错误； 为an+1一an=2",数列{an}的前n项和为Sn,则 前七个矩形块中所填写的数字之和等于 log号(S,十2)的最大值为 -(] 解析：由题意得a+1一an=2”,则a,一a。-1=2-1, 12 故B正确； a-1-a2=2"-2,an-2-ang=2-3,…,a2-a1= 1 128 2 2,将以上各式相加，得，a,-a1=21十2-2+2"3 短形块中所填数字构成的是以为首项，为公 +…十2=2X0-?=2-2,a,=2,4,也 1-2 比的等比数列，故C错误； 造合，S=2+2+22+…+2"=2×(1-2) 1-2 按照这个规律继续下去，第n一1个矩形块中所填 2+1-2,Sn十2=2+1≥4. 数字是2品，故D错误.J 则1og(Sn+2)的最大值为1og54=-2. 答案：一2 第2课时 数列求和 课程标准 素养解读 1.能用分组转化方法求数列的和. 2.掌握错位相减法求和的基本方法， 1.通过求解数列的前n项和培养数学运算的核心素养. 3.掌握裂项相消法求和的基本方法， 2.通过学习数列求和的方法提升逻辑推理的核心素养. 4.掌握等差数列与等比数列的综合应用 课堂。互动学案 对应学生用书P29 规律方法 题型一 分组求和法 [例1]已知数列{an}构成一个新数列：a1,(a2 分组转化求和法的应用条件和解题步骤 a1),…,(an一an-1),…此数列是首项为1，公比为 (1)应用条件 的等比数列。 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比 数列或可求和的数列的通项公式相加组成. (1)求数列{an}的通项公式： (2)解题步骤 (2)求数列{an}的前n项和Sn: [思路点拨]通过观察，不难发现，新数列的前 分组 分析通项公式或对通项公式适当变形， 分为可求和数列相加的形式 项和恰为an,这样即可将问题转化为首项为1，公 求和 分别对分组后的数列求前n项和 比为行的等比数列的前n项和，数列{口.)的通项 公式求出后，计算其前n项和S,就容易多了. <相加 相加得原数列的前n项和 [解](1)an=a1十(a2-a1)十(a3-a2)+…十(a ◇[变式训练] 1+子+()++（合）厂=引-(3)] 1.求数列2子4名6…，2十2…的前n项 和Sn (2)Sn=a1十a2十a3+…+a -多)+号-()门 解：8=2}+4+6+…叶(2m+) 引1-()]号引-()]2m-) =(2+4+6+…+2m)+(+8++) +(). n(2n+2) -(] 2 1-2 ·52·