第1章 3.1 第2课时 等比数列的性质（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

数学(BS)·选择性必修第二册 当n=1时，a1+1=2_2 an ar 2+a 故当a=一1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2： 当a≠一1时，数列{a}不是等比数列. 母题变式 1.[证明]Sn=2-4,.S4+1=2-an+1, ∴.an+1=S+1-Sw=(2-au+1)-(2-an）=aw-an+1, 小a+1=24又S=2-41y 1 a1=1≠0.又由au+1=2am知a,≠0， 品2=日a足等比纸到 an 2.[解]因为aw+1=2an十1，所以an+1十1=2(a,十1). 由a1=1,知a1十1≠0，从而aw十1≠0. 所以01±11=2(m∈N),所以数列{an+1)是等比 a,+1 数列 所以{a,十1}是以a1十1=2为首项，2为公比的等比 数列， 所以an十1=2·2”-1=2"，即an=2"-1. 变式训练 3.证明：aw>0,.an十3>0. 又am+1=2aw+3,0+1+3_2am十3+3 an十3 a+3 =2(au十3) =2. aw十3 .数列{a,十3}是首项为a1十3，公比为2的等比数列， [例4][解](1)从第一年起，每年这辆车的价值（万元） 依次设为：a1a2a3,an 由题意，得a1=10,a2=10×(1-10%), a3=10(1-10%)2,…. 由等比数列定义，知数列{au}是等比数列，首项a1=10, 公比g=1-10%=0.9, 所以a,=a1g”-1=l0X0.9”-1.所以第n年这辆车的价 值为an=10×0.9”-1万元. (2)当他用满3年时，这辆车的价值为a4=10×0.9-1= 7.29(万元). 当用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到7.29万元. 变式训练 4.C[设对折n次时，纸的厚度为an,每次对折厚度变为原 来的2倍， 由题意知{an}是以a1=0.1X2为首项，公比为2的等比 数列， 所以an=0.1×2×2-1=0.1×2”,令an=0.1×2"≥38 ×104×106, ·8 即2"≥3.8×1012，所以1g2"≥1g3.8+12,即n1g2≥0.6 +12, 解得n≥129=42，所以至少对折的次数1是42，故 0.3 选：C.] 当堂达标 1.B[因为8×（学）1=子，所以（学）1=员 (径)3，所以n=4.] 2.B[由a1≠0，g≠0，得，1一a≠0，所以a≠0且a≠1.] 3.解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，√2为公比的 等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N+),则第10个正方形的面 积S=a=22×29=211=2048. 答案：2048 4.解：依题意an=2十(n-1)×(-1)=3-1,于是b= () =2 b1-1 又=（合）= 数列{b}是首项为一，公比为2的等比数列，通项公式 4 为bn=2”3 第2课时等比数列的性质 课前预习学案 知识梳理 知识点一、递减数列递增数列递增数列递减 数列 [思考] 1.[提示]递减数列. [思考] 2.[提示]数列{a,}不具有单调性，是摆动数列. 知识点二ab [思考] 3.[提示](1)不是，两个同号的实数必有等比中项，它们互为 相反数，两个异号的实数无等比中项.(2)不唯一，如2和8 的等比中项是4或一4. [思考] 4.[提示]由定义可判断出(1)(3)(4)正确. 预习自测 1.(1)/(2)×(3)/(4) 2.C[.'a2a6=a=a3a5,且a2a6十a=x,∴.2aga5=元，.∴a3a5 =] 3.C[因为a1=2>0,要使{an}是递增数列，则需公比g>l.] 4.解析：由题意知7十3√5与7一3√5的等比中项为 土√/(7-3√5)(7+3√5)=士√49-45=±2. 答案：2或-2 课堂互动学案 [例1](1)[解析]当a1<a2<a3时，设公比为q,由a<a1q <ag得若a1>0,则1<q<g,即g>1,此时，显然数列{an》 是递增数列，若a1<0,则1>q>g,即0<q<1,此时，数列 {an}也是递增数列，反之，当数列{an}是递增数列时，显然 <a2<ag,故“a1<a2<a3”是“等比数列{an}递增”的充要条 件.故选：C [答案]C (2)[解析]由题意，设数列{an}的公比为g,因为an= a1g-1,得a+1-a=a1g-1(q-1)>0,当a>0时，q>1, 此时0<01<1，当a1<0时，0<g<1,1>1,故不正确 的是ABC. [答案]D 变式训练 1解桥]在等比教列a,中，a=2所以a1=动“>1g >32,g>2, 当1≥11时，a+1-a,=a(g-1)>0,数列递增，所以当n≥ 11时，aw>1恒成立.故答案为：g>√2. [答案]q>√2 [例2][解析](1)由题意得(2x+2)2=x(3.x+3), 即x2+5x+4=0,解得x=-1或x=-4. 当x=一1时，2x十2=0，不符合题意，舍去，所以x=一4. @由a6c成等比数列，口方之成等丛数到 b=ac, 得{2-+1，即是-（日+）厂故a-=0即a ba c G.所以￡+a=1+1=2. a C 「答案](1)-4(2)2 变式训练 2.解析：(1)由题意得a2=(b)2=1,1十人=2，所以 {公+662因此拾的位为1或. (ab=1, a2+b2 (2)由已知可得(a+1)2=(a-1)(a十4)，解得a=5, 所以4==8所以g-品=骨=号，所以0，=4X () 答案：(1)D 24x(受) [例3][解]设前三项的公比为g,后三项的公差为d,则数 列的各项依次为80,80 ,80,80+d,80+2d,于是得 [80+(80+d)=136, 解方程组，得9=2，或 q3 +(80+2d)=132, d=16, g2 （d=-64, 所以这个数列是20,40,80,96,112，或180,120,80,16，一48. ·8 参考答案 变式训练 3解：方法一：设这四个教候次为a一d,a,a十d,a十d2 fa-d+(atd)2 =16, 于是得 解方程组，得 a+a+d=12, 或∫a=9, ∫a=4 d=4,d=-6. 所以当a=4,d=4时，所求的四个数为0,4,8,16： 当a=9,d=-6时，所求的四个数为15,9,3,1. 故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 方法二：设这四个数依次为2-a,品，a,ag,于是得 g g 2a-a十ag=16 a=3, 解方程组，得=8，或 或 1 a+a=12, q=2,9=3 L 所以当a=8,q=2时，所求的四个数为0,4,8,16： 当a=3g=了时，所求的回个数为15,03,1. 故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. [例4](1)[解析]a3a5=a=4,又a>0,所以a4=2, a1a23a4a5a6a7=(a1·a7）·(a2·a6）·(ag·a5)·a4=a· a号·a7·a4=a7=27=128. [答案]128 (2)[解析]在等比数列{a}中，由a4ag=-512,得a3ag= 512,又a3十ag=124,解得a3=-4,a8=128或a3=-128,ag =4.因为公比q为整数，所以q=。 故an=-4X(-2)”-3=-(-2)”-1. [答案]一(-2)"-1 母题变式 1.[解]因为{an}是等比数列，所以a5a6=a4a7=-8,又a4十 a7=2,解得a4=4,a7=-2或a4=-2,a7=4. 当a4=4ag=-2时，g2=一号a十aw=g+ag2=-7； 1 当a4=-2,a7=4时，g2=-2,a1十a10=十a7g2=-7.故 a1十a10=-7. 2.[解]因为a4a7=-512,所以a2ag=a3ag=-512, 故log1a2+log1a3+-log las+-log las=log4(a2ag·| a3ag)=log45122=log229=9. 变式训练 4.（1)解析：B[由等比数列的性质可知，a12,a18,a24,a30,a36成 等比数列，且18=2=q5,故a36=a18·g8=8X23=64.] a12 (2)解析：D[{an}为等比数列，∴a1a2a3a4a5a6,a7a8ag 也成等比数列，.(a4a5a6)2=(a1a2a3)·(a7agg)=5X10, 又{an}各项均为正数，a4a5a6=52.] 数学(BS)·选择性必修第二册 当堂达标 1.AC[当数列{au}为1，l,l,l,…时，数列{aw-an+1}不是等 比数列；当k=0时，数列{kan}不是等比数列，而{|an}和 {}一定是等比数列.] tans 2.D[因为a1=2>0,公比g=- 1 <0,所以数列{an}是摆 动数列.] 3.解析：由题意知(m十1)2=(m-1)(2m十2)，解得m=3. 答案：3 4.解：(1)a1a2a3=a2=216,∴.a2=6,.a1a3=36. 又.∵a1十ag=21-a2=15, 1,a3是方程x2-15.x十36=0的两根 解之得x1=3,x2=12, 当a1=3时，g-2=2,4,=3X201: a 当a=12时分4，=12x(侵）》 (2)'a4g=a3q·a5q3=a3a5g=18q=72, .g=4,.q=±2. 3.2等比数列的前n项和 第1课时等比数列的前n项和 课前预习学案 知识梳理 [思考] 1.[提示]可把等比数列前n项和Sn理解为关于的指数型 函数 [思考] 2.[提示]根据等比数列的定义，有：2==4=…= an al a2 a3 an-1 =q,再由合比定理， 则得十aa4十a=g:啷4=g,进而可求S a1十a2+ag十…十an-1 Sn-an 预习自测 1.(1)×(2)√(3)/(4)× 2A[由S=1-（-25] 1-(-2) =44,得a1=4.] 3.B[设塔的顶层的灯数为a1,七层塔的总灯数为S,公比为 9,则由题意知S,=381,9=2S,41-g2)-411-2 1-q 1-2 =381,解得a1=3.所以塔的顶层共有灯3盏.] 4解析：g-S9_27气3=8，所以g=2 3 答案：2 课堂互动学案 [例1】[解]（①由题意知1+g)=30, (a1(1+q+g2)=155, 解得∫a1=5, 1a1=180, 或 5 （g=5 q=-6 从而S=×51-战S 41 11 8 /a1+a1g2=10, 1a1=8, (2)法一：由题意知 193+a1g5= 5解得 1从而 41 19=2 S,=41-9)-31 1-g 2 法二：由a1十agg=a:十a4俗g2=日从两g=分 又a1+a3=a1(1十g2)=10,所以a1=8,从而S5= a1(1-g3)_31 1-9 21 (3)因为a2au-1=a1an=128,所以a1,an是方程x2-66.x +128=0的两根 从而1=2,或0，=2又5，=1a4=126,所以g a,=64,{a1=64. 1-9 为2或 变式训练 1.解：1)由S,=1a4,得12=2-1624，g=-2, 1-g 1-9 又由an=a1g”-1,得16√2=√2(-2)"-1，n=5. (2)若q=1,则Sg=2S4,不合题意，∴q≠1， S,=a10g2=1S。=101g2=17, 1-q 1-q 两式相除得}9-=17=1十，∴g=2或g=-2,∴a1= 1-g4 a,=品×21浅a,=-号X(-2) [例2](1)[解析]{an}为等比数列，.S2,S4-S2,S6 一S4也为等比数列，即7，S4一7,91一S4成等比数列， ∴.(S4-7)2=7(91-S4),解得S4=28或S4=-21. ,S4=a1+a2+ag十a4=a1十a2+a1q2+a2q=(a1十 a2)(1+q)=S2(1+q2)>S2,.S4=28. [答案]A (2)[解析]设S1=a2十a4十a6+…十a80,S2=a1十a3十 a5十+a0.则=g=3,即S13S2 又S+S,=S0=32,号S1=32,解得51=24，即a+ a4十a6十…+a80=24. [答案]24 变式训练 2.(1)A ['.'a2+as+a6+as=a1q+a39+asq+aiq=q(a 十ag十a,十a7)1士ata5a1=1=-3.] a2十a4十a6+a89 (2)B[由等比数列的性质：S3,S6-S3,Sg-S6仍成等 比数列，于是，由S6=3S3,可推出Sg-S6=4S3,Sg= (3)解：设数列{an}的首项为a1,公比为q,所有奇数项、偶 数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，S奇十S锅= 4S偏，即S香=3S偏.因为数列{an}的项数为偶数，所以有q S=1 S3第一章数列 五维课堂乡 第2课时 等比数列的性质 课程标准 素养解读 1.在运用等比数列性质解题过程中提升数学运 1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质和由来 算的核心素养」 2.理解等比数列的性质及应用。 2.通过等比数列与等差数列的综合应用提升逻 3.掌握等比数列与等差数列的综合应用 辑推理和数学运算的学科素养 课前。预习学案 [知识梳理] [知识点二]等比中项 [知识点一] 等比数列的增减性 如果在a与b之间插人一个数G,使得a,G,b成 对于等比数列{a},通项公式a.=a1g1= ·q 等比数列，那么G= ,即G=士√ab.我们 称G为a,b的等比中项. 根据指数函数的增减性，可分析当g>0时等比数列 {an}的增减性如下表. ?思考3.(1)任意两个数都有等差中项，任意两个 数都有等比中项吗？ a a1>0 a1<0 (2)两个数的等差中项是唯一的，若两个数a,b存在 q的范围0<g<1 9=1 9>1 0<q<1 q= 4> 等比中项，唯一吗？ 数列{an} 常 常数列 的增减性 数列 思考1.若等比数列(a,}中，a1=2,g=2,则数 列{an}的单调性如何？ [知识点三]等比数列的性质 L.通项公式的推广 an=am·q-"(m,n∈N+). 2.等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若m十n=p十l(m,n,p,l∈ N+),则am·an=ap·a ①特别地，当m十n=2k(m,n,k∈N+)时，am·an =a. ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之 积等于首末两项的积，即a1·an=a2·am-1=…= 2.等比数列{an}中，若公比q<0,则数列{an}的单调 a5·an-k+1=…. 性如何？ 3.两等比数列合成数列的性质 若数列{an},{bn}均为等比数列，c为不等于0的常 数，则数列{can},{a},{an·bn}, 径} 也为等比 数列. 4.等比、等差数列的两个性质 ①已知b>0,且b≠1，如果数列{a,}是等差数列， 那么数列{b}是等比数列. ②如果数列{an}是各项均为正的等比数列，那么数 列{loga}是等差数列. 23· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 曰思考4.等比数列(a}的前4项为1,2,4,8，下列 (3)当g=1时，{an}为常数列. 判断正确的是 (4)若G是a,b的等比中项，则G=ab.反之也成立， (1)(3an}是等比数列；(2)(3十an}是等比数列： ( ) 2.等比数列{an}中，若a2a十a=元，则aa等于 (3){}是等比数列：4)aa)是等比数列. A B号 c D.(-∞，0) 3.等比数列{an}中，若a1=2,且{an}是递增数列，则 数列{an}的公比q的取值范围是 [预习自测] 1.判断下列说法是否正确（正确的打“/”，错误的打 A.(0,+∞) B.(0,1) “X”) C.(1,+o∞) D.(-∞，0) (1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项 4.7+3√5与7-3√5的等比中项是 之积等于首末两项的积. ) (2)当q>1时，{an}为递增数列. ( 课堂。互动学案 题型一 等比数列的单调性 题型三 等比中项及其应用 [例1] (1)在等比数列{an}中，“a1<a2<a3”是“数 [例2](1)设x,2x+2,3x+3成等比数列，则x 列{an}递增”的 A.充分不必要条件 (2)设a,b,c是实数，若a,b,c成等比数列，且 B.必要不充分条件 C.充要条件 名，成等差数列，则台十只的值为 D.既不充分也不必要条件 规律方法 (2)关于递增等比数列{a,〉，下列说法正确的是 应用等比中项解题的两个注意点 ( (1)要证三数a,G,b成等比数列，只需证明G A.a1>0 B.q>1 ab,其中a,b,G均不为零. C.a<1 D.当a1>0时，q>1 (2)已知等比数列中的相邻三项an-1,an,am+1,则 a,是a,-1与an+1的等比中项，即a=a,-1· 规律方法 am+1,运用等比中项解决问题，会简化运算过程. 等比数列单调性的判定方法： a1>0, 或 ⊙[变式训练] (g>1 a1<0, (a10, 2.(1)已知1既是4与6的等比中项，又是与方 台{an}递增； 或/4,0， (0<g<1 0<g<1度{g>1 台{an} 的等差中项，则a十b 的值是 ( ) 递减；q=1台{an}为常数列；q<0台{an}为摆动 a2+b2 数列。 A1或号 &1或-号 ◇[变式训练] C1或日 D.1或-名 1.在等比数列{an}中，a1= 2当≥1时a,>1恒 (2)已知等比数列{an}的前三项依次为a一1，a十1， 成立，则公比g的取值范围是 a十4，则an= ·24· 第一章数列 五维课堂乡 题型等比、等差数列的简单综合 2.将本例(2)中的条件不变，求log:a2|+loga3+ [例3]数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三 log,las +loglas1. 项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的 和等于136，第1项与第5项的和等于132，求这个 数列. 规律方法 等比数列的运算常用两条思路 (1)根据已知条件，寻找、列出两个方程，确定a1, q,然后求其他 (2)利用性质巧解，其中m十n=k十l=2x(m、n、k、 l、x∈N+)台am·an=ak·a=a. 规律方法 ⊙[变式训练] 等比数列中的设项方法与技巧 4.(1)等比数列{an}中，若a12=4,a18=8,则a36为 (1)若三个数成等比数列，可设三个数为a,aq, ( og或号aag A.32 B.64 C.128 D.256 (2)若四个数成等比数列，可设为a,aq,ag,ag3; (2)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3= 若四个数均为正（负）数，可设为只，日 aq, 5,a,agag=10,则a1a5a6等于 q°g A.4√2 B.6 ag. C.7 D.5√2 ◇[变式训练] 3.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成 [当堂达标] 等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第 1.(多选)已知数列{a,}是等比数列，则下列数列中一 二个数与第三个数的和是12，求这四个数， 定是等比数列的是 A.a B.an-an+1 c侣} D.(ka 2.等比数列a,的公比g=一子a=巨，则数列 {an}是 A.递增数列 B.递减数列 题型四 等比数列的性质及应用 C.常数列 D.摆动数列 [例4幻 (1)在等比数列{an}中，an>0,若a3·a;= 3.数列{an}为等比数列，它的前三项为m一1，m十1， 4,则a1a2a3a4a5a6a,= 2m十2，则m= (2)在等比数列{an}中，已知a4a7=一512，a3十a8 4.已知数列{an}为等比数列， =124,且公比q为整数，则an= (1)若a1十a2十a3=21,a1a2a3=216,求an [母题变式] (2)若a3a,=18,a4ag=72,求公比q. L.将本例(2)中等比数列满足的条件改为“a十a, 2,a5a6=一8”，求a1十a10 C温馨提污 学习至此，请完成配套训练 ·25·