第1章 3.1 第2课时 等比数列的性质（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

世五维课堂 第2课时 等 课程标准 1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质和由来. 2.理解等比数列的性质及应用。 3.掌握等比数列与等差数列的综合应用. 课前。 [知识梳理] [知识点一]等比数列的增减性 对于等比数列{an},通项公式a。=a1g1=4 ·q 根据指数函数的增减性，可分析当q>0时等比数列 {an}的增减性如下表. a a1>0 a1<0 q的范围0<q<1 9=1 9>1 0<q<1 q=1 q>1 数列{an} 递减 常 递增 递增 递减 常数列 的增减性 数列 数列 数列 数列 数列 2思考1.若等比数列{a,}中，a,=5,g=7,则数 列{an}的单调性如何？ [提示]递减数列. 2.等比数列{an}中，若公比q<0,则数列{an}的单调 性如何？ [提示]数列{an}不具有单调性，是摆动数列. [知识点二]等比中项 如果在a与b之间插入一个数G,使得a,G,b成 等比数列，那么G=ab,即G=士√ab.我们称G为 a,b的等比中项. 2思考3.(1)任意两个数都有等差中项，任意两个 数都有等比中项吗？ (2)两个数的等差中项是唯一的，若两个数a,b存在 等比中项，唯一吗？ [提示](1)不是，两个同号的实数必有等比中项， 它们互为相反数，两个异号的实数无等比中项， (2)不唯一，如2和8的等比中项是4或一4. [知识点三]等比数列的性质 1.通项公式的推广 an=am·g”m(m,n∈N+). 2.等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若m十n=p十q(m,n,p,q∈ N+),则am·an=ap·ag 4( 数学(BS)·选择性必修第二册 比数列的性质 素养解读 1.在运用等比数列性质解题过程中提升数学运 算的核心素养 2.通过等比数列与等差数列的综合应用提升逻 辑推理和数学运算的学科素养. 预习学案 对应学生用书P23 ①特别地，当m+n=2k(m,n,k∈N+)时，am·an =a. ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之 积等于首末两项的积，即a1·an=a2·an-1=…= Q5·Qn-+1=…. 3.两等比数列合成数列的性质 若数列{an},{bn}均为等比数列，c为不等于0的常 数，则数列{ca,,{a},{a,·b, b. 也为等比 数列。 4.等比、等差数列的两个性质 ①已知b>0,且b≠1，如果数列{an}是等差数列， 那么数列{b是等比数列 ②如果数列{an}是各项均为正的等比数列，那么数 列{loga}是等差数列， 2思考4.等比数列{an}的前4项为1,2,4,8，下列 判断正确的是 (1){3an}是等比数列；(2){3十an}是等比数列： （8)侣}是等比数列：④a是等比数列. 汇提示]由定义可判断出(1)(3)(4)正确： [预习自测] 1.判断下列说法是否正确（正确的打“√”，错误的打 “X”) (1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项 之积等于首末两项的积. ( (2)当g>1时，{a,}为递增数列， (3)当q=1时，{an}为常数列. ( (4)若G是a,b的等比中项，则G=ab.反之也成立. 答案(1)/(2)×(3)/(4)× 2.等比数列{an}中，若a2a6十a=元，则a3a5等于 () A. B.3 C. D.(-∞，0) 第一章数列 解析：C[,a2as=a=a3a5,且a2a6十a=元， 2a,a,=aa=受] 3.等比数列{an}中，若a1=2,且{an}是递增数列，则 数列{an}的公比q的取值范围是 ( ) A.(0,十∞) B.(0,1) C.(1,+∞) D.(-∞，0) 课堂。 题型一 等比数列的单调性 [例1](1)在等比数列{an}中，“a1<a2<a3”是“数 列{an}递增”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析]当a1<a2<a3时，设公比为q,由a1<a19 <a1q得若a1>0,则1<q<g,即q>1,此时，显 然数列{an}是递增数列，若a1<0,则1>q>q,即 0<q<1,此时，数列{an}也是递增数列，反之，当数 列{an}是递增数列时，显然a1<a2<a3.故“a1<a2 <a”是“等比数列{an}递增”的充要条件.故选：C [答案]C (2)关于递增等比数列{an},下列说法正确的是 A.a1>0 B.q>1 C.a<1 D.当a1>0时，q>1 am十1 [解析]由题意，设数列{an}的公比为q,因为am =a1g”1,得an+1-an=a1g-1(q-1)>0,当a1>0 时，g>1,此时0<0<1，当41<0时，0<g<1, an+l a。>1,故不正确的是ABC. an+l [答案]D 规律方法 等比数列单调性的判定方法： ∫01>0， 或 q>1, a1<0, 台{an}递增； 01>0, 或∫a,<0, 0<g<1, 0<g<1, q>1, {an}递减；q=1台{an}为常数列；g<0台{an}为摆 动数列. ◇[变式训练] 1L.在等比数列{a.}中a=2当n≥11时a,>1恒 1 成立，则公比g的取值范围是 4 五维课堂 解析：C[因为a1=2>0,要使{an}是递增数列，则 需公比q>1.] 4.7+3√5与7-3√5的等比中项是 解析：由题意知7+3√5与7一3√5的等比中项为 土√/(7-3√5)(7+3√5)=±√49-45=±2. 答案：2或-2 互动学案 对应学生用书P24 [解析]在等比最列a中，a,一立所以a, 09>1w>32g>E。 当n≥11时，an+1一an=an(g-1)>0,数列递增，所 以当n≥11时，an>1恒成立.故答案为：g>√2. [答案]g>√2 题型三 等比中项及其应用 [例2](1)设x,2x十2,3x十3成等比数列，则x= (2)设a6c是实数，若ab,c成等比数列，且日 分，二成等差数列则台十只的值为 解析：(1)由题意得(2x十2)2=x(3x十3)， 即x2+5.x十4=0，解得x=-1或x=-4. 当x=一1时，2x十2=0，不符合题意，舍去，所以x =一4. (2)由a,6c成等比数列，方成等差数列。 b=ac, 得{2=1+1.即-（日+）故a-c=0 ac 即a=c.所以￡十a=1十1=2. a c 答案：(1)-4(2)2 规律方法 应用等比中项解题的两个注意点 (1)要证三数a,G,b成等比数列，只需证明G2= ab,其中a,b,G均不为零. (2)已知等比数列中的相邻三项am-1,an,an+1,则 an是an-1与an+1的等比中项，即a员=a。-1· an+1,运用等比中项解决问题，会简化运算过 程 ◇[变式训练] 2.1D已知1既是a与6的等比中项，又是与行 的等差中项，则牛会的值是 世五维课堂 A.1或号 R1或-司 C1或号 n1或号 (2)已知等比数列{an}的前三项依次为a-1,a十1， a十4，则an= 解析：1)由题得6=(a6=1,十名-2，所 、(ab=1:成∫b二二1”因此号干62的值为1或 a+b=2a+b=-2. 一 (2)由已知可得(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a =5, 所以a,=4@=6所以g-受-号=号，所以a =4× 】 答案：(1)D(2)4× (】 题型】 等比、等差数列的简单综合 [例3]数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三 项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的 和等于136，第1项与第5项的和等于132，求这个 数列. [解]设前三项的公比为q,后三项的公差为d, 则教列的各项依次为89,80,80,80十d,80+2d, d'q 80+(80+d)=136, 于是得 解方程组，得 80 +(80+2d)=132, 2 d=16, (d=-64, 所以这个数列是20,40,80,96,112，或180,120， 80,16,-48. 规律方法 等比数列中的设项方法与技巧 (1)若三个数成等比数列，可设三个数为a,aq, ag或g,a,ag. 9 (2)若四个数成等比数列，可设为a,aq,aq,ag; 若四个数均为正（负）数，可设为只，g,aq, q 'q aq. ◇[变式训练] 3.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成 等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第 二个数与第三个数的和是12，求这四个数. 数学(BS)·选择性必修第二册 解：方法一：设这四个数依次为a一d,a,a十 ,a+d2 0 于是得 （a一d+一=16·解方程组，得 a (a+a+d=12, 0=4或a=9, (d=4,d=-6. 所以当a=4,d=4时，所求的四个数为0,4,8,16； 当a=9,d=一6时，所求的四个数为15,9,3,1. 故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 方法二：设这四个数依次为2四一a,只，a,g,于 是得 2a -a十aq=16, 1a=3, 号+a=12, 解方程组，得口=8·或 {g=2,q=3 1 所以当a=8,q=2时，所求的四个数为0,4,8,16； 当a=39=号时，所求的四个数为15,93,1. 故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 题型四】 等比数列的性质及应用 [例4](1)在等比数列{an}中，an>0,若a3·a= 4,则a1a2a3a4a5a6a,= [解析]a3a5=a号=4，又am>0,所以a4=2, a1a2a3a4a5a6a,=(a1·a,）·(a2·a6）·(a3·a5) ·a4=a·a·a·a4=a=22=128. [答案]128 (2)在等比数列{an}中，已知a4a,=-512,a3十a8 =124,且公比g为整数，则an= [解析]在等比数列{an}中，由a4a,=一512，得 a3ag=-512,又a3十a8=124,解得a3=-4,ag= 128或a3=-128,ag=4.因为公比g为整数，所以 =-2, 故an=-4X(-2)"-3=-(-2)"-1. [答案]-(-2)”-1 [母题变式] 1.将本例(2)中等比数列满足的条件改为“a4十a,= 2,a5a6=-8”,求a1十a1w. [解]因为{an}是等比数列，所以aa6=aa,= -8,又a4十a,=2,解得a4=4,a,=-2或a,= 2,a2=4. 当a,=4a,=-2时，g=一号a,十a。%十 q aq3=-7; 当a,-2a,=4时，g-2a,+an-号+a,f =-7.综上a1十a10=-7. 第一章数列 2.将本例(2)中的条件不变，求loga2+log4a3|+ log,las 1+10g,l as. [解]因为a4a,=-512,所以a2ag=a3a8= -512, log I a21+l0g,l a3+log,I as log,I as =log4(a2ag·a3ag)=log45122=log22°=9. 规律方法 等比数列的运算常用两条思路 (1)根据已知条件，寻找、列出两个方程，确定a1, q,然后求其他， (2)利用性质巧解，其中m十n=k十l=2s(m、n、k、 lw∈N+)a·a,=as:a=a. ⊙[变式训练] 4.(1)等比数列{an}中，若a12=4,a18=8,则a36为 ( ) A.32 B.64 C.128 D.256 解析：B[由等比数列的性质可知，a12,a18,a24, 4n,a6成等比数列，且28=2=g,故a6=a18·g 012 =8×23=64.] (2)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3= 5,a7a8ag=10,则a4a5a6等于 () A.4√2 B.6 C.7 D.5√2 解析：D{an}为等比数列，∴.a1a2a3,a4a5a6, a dgay也成等比数列，.(a4a5a6)2=(a1a2a3)· (a,agag)=5X10,又{an}各项均为正数，.a4a5a6 =5√2.] [当堂达标] 1.(多选)已知数列{an}是等比数列，则下列数列中一 定是等比数列的是 ( 课时。 [基础达标练] 1.已知等比数列{an}中，a2=-4,a5= 则公比g= A.-2 1 B.一2 c号 D.2 解析：B [:a,=a9,即号=-4g,解得g 故选B] ·43 五维课堂兰 A.a B.(an-an+1 c侣} D.ka 解析：AC[当数列{an}为1,1,1,1，…时，数列{an 一an+1}不是等比数列；当k=0时，数列{kan}不是 等比数列，而{a,}和%}-定是等比数列.] a。J 2.等比数列{a,}的公比g=一a1=E,则数列 {an}是 ( ) A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 解析：D[因为a,=2>0,公比g=一子 <0,所 以数列{an}是摆动数列.] 3.数列{an}为等比数列，它的前三项为m一1，m十1， 2m十2，则m= 解析：由题意知(m十1)2=(m一1)(2m+2),解得m =3. 答案：3 4.已知数列{a,}为等比数列. (1)若a1+a2十a3=21,a1a2a3=216,求an; (2)若a3a5=18,a4a8=72,求公比q. 解：（1)，a1a2a3=a=216,.a2=6,.a1a3 =36. 又.a1十a3=21-a2=15, ∴.a1a3是方程x2-15.x十36=0的两根. 解之得x1=3,x2=12, 当a1=3时，g=42=2,a,=3×2月 当a,=12时g=2a,=12x(2) (2)a4ag=a3g·a5q=a3a5q=18g=72, .q=4,.q=±√2. 素养提升 对应学生用书P13 2.公比不为1的等比数列{an}满足a5a6十a4a,=18, 若a1an=9,则m的值为 () A.8B.9C.10D.11 解析：C[由题意得，2a5ag=18,a5a6=9,…a1am =a5a6=9,∴.1十m=5+6,.m=10.] 3.在各项均为正数的等比数列{b,}中，若b·b=3, 则logb1+logb2十…+logb14等于 A.5B.6C.7 D.8 解析：C[logb1十logb2十…+log3b14=log3(bb …b14)=log3(b,bg)7=71og33=7.] 世五维课堂 4.(多选)设{a,}是公比为2的等比数列，下列四个选 项中是正确命题的有 A份}是公比为号的等比数列 B.{a2n}是公比为4的等比数列 C.{2an}是公比为4的等比数列 D.{anan+1}是公比为2的等比数列 解析：AB[由于数列{an}是公比为2的等比数 列，则对任意的n∈N+,a,≠0，且公比为g=a+1= a. 1 2对于A宁一=日名即数列侣}是公 比为的等比数列，正确：对于B,2=g=4,即 数列{a2m}是公比为4的等比数列，正确；对于C, 201=g=2,即数列(2，}是公比为2的等比数列， 2an 错误；对于D,0+10+=0+=g=4,即数列 anan+1 an {ana+1}是公比为4的等比数列，错误.故选：AB.] 5.在等比数列{an}中，“a1>a2>a”是“数列{an}递 减”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：C[当a1>a2>a3时，设公比为q,由a1> a19>a1g2得 若a1>0,则1>q>g,即0<q<1,此时，显然数列 {an}是递减数列， 若a1<0,则1<q<g,即q>1,此时，数列{an}也 是递减数列， 反之，当数列{an}是递减数列时，显然a1>a2>a3· 故“a1>a2>a3”是“等比数列{an}递减”的充要条 件.故选：C.门 6.在各项均为正数的等比数列{an}中，a6=3,则a4十 a8= A.有最小值6 B.有最大值6 C.有最大值9 D.有最小值3 解析：A[设等比数列{an}的公比为q(g>0).因 为a=3.所以a,号=是4，-ag=3g.所以4 十4，号+0≥2√/侵·时=6当里收当g=1时 上式等号成立.] 数学(BS)·选择性必修第二册 7.设x,y,之是实数，9x,12y,15之成等比数列，且1 ,1成等差数列，则之十三的值是 y 2 (12y)2=9x×15z, 解析：由题意可得 2=1+1 所以y yx之 2x之 x十x 所以2422 xFz =135.x2.化简得15x2+15z2=34x2, 两边同时除以15x可得子+产-普 x15 答案 8.已知{an}为等比数列. (1)若an>0,a2a4十2a3a5十a4a6=25,求a3十a5； (2)若an>0,a5a6=9,求log3a1十log3a2十…十 log3a1o的值. 解：(1)a2a4+2a3a5十a4a6=a+2a3a5十a=(a3+ a5)2=25, am>0,∴.a3十a5>0..a3十a=5. (2)根据等比数列的性质a5a6=a1a1w=a2ag=a3as =a4a2=9, ∴.a1a2…aga10=(a5a6)5=9°. .l0g3a1+l0ga2+…+loga1w=log3(a1a2… aga10）=l0g395=10. [能力提升练] 9.等比数列{an}满足a1十a3=10,a2十a4=5,则使 a1a2…an最大的n为 () A号 B.3 C.3或4 D.4 解析：C[由题意，设等比数列{an}的公比为q,则 1 a2十a4=(a1十a3)qg=2, 代入a,十a,=10,可得a,+=10a,=8,故a =24-”, 则a1a2…an=23X22X…X2-"=23+2++(4m)= 24=2， 由于y=2为增函数，t=7,m”为开口向下的二 2 次函数，对称轴为n=3.5, 又n∈N+,故当n=3或4时，a1a2…an取得最大 值.故选：C.] 第一章数列 10.(多选)已知等比数列{an}的公比为q(q≠一1)，记 b。=amm-1+1十am(m-1)+2十…十am(a-1)+m,Cn= am(a-1+1·am(m-1)+2·…·am(n-1)+m（m,n∈N+), 则以下结论中错误的是 A.数列{bn}为等差数列，公差为g B.数列{bn}为等比数列，公比为g2m C.数列{cn}为等比数列，公比为g2m D.数列{cn}为等比数列，公比为gm” 解析：ABD[b,=amm-n+1·(1十9十g十…十 qm-1),由q≠一1易知bn≠0， +1=am+1= Bn am(n-1)+1 g",故数列{bn}为等比数列，公比为g",A,B均错 误；G.=a。1)+1·g+2++m-D,C1=am1 Cn am(n-1)+1 「amt1 =(g)m=g,故数列{cn}为等比数 Lamen-1+1J 列，公比为gm,D错误.] 11.已知数列{a,}中，a1=2,a+m=an·an(n,m∈ N+),若a+1十a+2十a+3十a+4=480,则k= A.3 B.4 C.5 D.6 解析：B[因为数列{an}中，a1=2,an+m=an·am (n,m∈N+),所以取m=1,则a+1=an·a1= 2am,所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比 数列，所以an=2”,又as+1十a5+2十ak+3十a+4= 480,即2+1+2+2+2+3+2+4=480，即30×2 =480,解得k=4.] 12.(2022·新高考Ⅱ卷)已知{an}是等差数列，{bn} 是公比为2的等比数列，且a2-b2=a3一b3=b (1)证明：a1=b1; (2)求集合{kb=am十a1,1≤m≤500}中元素的 个数. 解：（1)设数列{a。}的公差为d,所以， (a1十d-2b,=a1+2d-4b ,即可解得b1=a1 (a1+d-2b1=8b-(a1+3d) =号，所以原命题得证 （2)由(1)知，4=a=号，所以6，=a.十a=6X 2-1=a1+(m-1)d十a1,即2-1=2m,即m= ·4 五维课堂型 22∈[1,500]，解得2≤k≤10，所以满足等式的 解k=2,3,4,…,10,故集合{k|bs=am十a1,1≤m ≤500}中的元素个数为10-2+1=9. [素养培优练] 13.已知数列{an},{bn}均为等比数列，则下列结论中 一定正确的有 A.数列{abn}是等比数列 B.数列{an十bn}是等比数列 C数列s}是等差数列 D.数列{lg(ab)}是等差数列 解析：ACD[设数列{an}的公比为q1,数列{bn} 的公比为q2,所以an=a19i1,b,=b1q21。 对于A,anbn=a1b1g'g21=a1b1(q192)”,从而 数列{anbn}的公比为g1g2,故A正确.对于B,an十 bn=a1g1十b1g21,q1与g2不一定相等，所以数 列{an十bn}不是等比数列，故B错误.对于C,lg 数列{会}的公为 故C正确」 对于D,lg(ab)=2lga,bn|=2lga1b|+2(n 1)lgq192,从而数列{lg(ab)}的公差为2lgg2, D正确.] 1 1 14已知数列{a,}满足a=2a+1=2a,(n∈N+). 设，=”一2A,(m∈N+),且数列是递增数列，则实 an 数入的取值范围是 .1 解析：由a+1=2a,(n∈N+)可得，数列{a,}是首 项和公比均为号的等北数列，所以0，=是，则6， n一2入=(n一2x)2”,又因为《b,}是递增数列，所以 an bn+1-bn=(n+1-2入)2+1-(2-2λ)2"=(n+2 2入)2”>0恒成立， 即n十2-2入>0恒成立，所以2入<(n十2)mm=3, 所以A<受 答案以<号