第1章 3.1 第1课时 等比数列的概念及其通项公式（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

第一章数列 五维课堂兰 §3等比数列 3.1 等比数列的概念及其通项公式 第1课时 等比数列的概念及其通项公式 课程标准 素养解读 1.理解等比数列的定义 在学习等比数列的定义和通项公式的过程中， 2.掌握等比数列的通项公式及其应用. 提升数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心 3.熟练掌握等比数列的判定方法。 素养 课前。预习学案 [情境引入] [知识点二]等比数列的通项公式 1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥板上记录了下 1.等比数列的通项公式 面的数列： 若首项是a1,公比是g,则等比数列{an}的通项公 9,92,93,…,910 ① 式为an= (a1≠0，q≠0). 100,1002,1003,…,10010 ② 2.用函数的观点看等比数列的通项 5,52,53,…,510 ③ 2.《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世 等比数列{a.}的图像是函数y=a·g的图像上 不竭.”如果把“一尺之锤”的长度看成单位“1”，那 的一群 么从第1天开始，每天得到的“锤”的长度依次是 ?思考2.若数列{an}的通项公式为an=2”,那么 11111 24‘81632,… ④ {an}是等比数列吗？ 3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每 20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从 第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是 2,4,8,16,32,64,… ⑤ 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算 发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？ [知识梳理] [知识点一]等比数列的概念 如果一个数列从第 项起，每一项与它的 一项的 都是 常数，那么称 这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的 ,通常用字母q表示(q≠0). ?思考1.能将定义中的“每一项与前一项的比”理 [预习自测] 解为“每相邻两项的比”吗？ 1.判断下列说法是否正确（正确的打“/”，错误的打 “X”) (1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为 常数，则该数列为等比数列 (2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零. ( ·19· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 (3)常数列一定为等比数列. 3.已知数列{an}为等比数列，若a1=3,a5=12,则公 2.（多选)下列说法中，错误的是 比q= ) A.等比数列中的某一项可以为0 B.等比数列中公比的取值范围是（一∞，十∞） A号 收号 C.若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比 C.√2 D.土√2 为1 4.等比数列{an}的首项为2，公比为5，则数列{an}的 D.若数列{an}是等比数列，则{2an}也是等比数列 通项公式为 课堂。互动学案 规律方法 题型二 等比数列的概念 L.等比数列的通项公式涉及4个量a1,am,n,q,只 [例1]判断下列数列是否为等比数列. 要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这 (1)1,3,32,33,…,3-1,… 四个量中，a1和g是等比数列的基本量，只要 (2)-1,1,2,4,8,…； 求出这两个基本量，问题便迎刃而解， (3)a',a2,a3,…,a",… 2.关于a1和q的求法通常有以下两种方法： (1)根据已知条件，建立关于a1,q的方程组，求出 a1,q后再求am,这是常规方法. (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再 求a1,最后求am,这种方法带有一定的技巧 性，能简化运算。 规律方法 ⊙[变式训练] 判定等比数列，要抓住三个要点 2.在等比数列{an}中， (1)从第2项起. 1 (2)要判定每一项，不能有例外. (1)已知a,=4,a,=-2,求a,； (3)每一项与它的前一项的比值是同一个常数，目 (2泥0a,十a,=364,十a,=18a,=之，求m 不能为0. ◇[变式训练] 1.(多选)下列各组数中，成等比数列的是 ( A.1,-2,4,-8 B.-√2,2，-2√2,4 C.x,x2,x3,2 D.a1,a2,a-3,a4 题型 等比数列的通项公式及应用 [例2]在等比数列{an}中 题型 等比数列的判断与证明 (1)已知a1=4,q=-2,求a5; [例3]已知数列的前n项和为S,=2”十a,试判断 (2)已知a2=10,as=80,求a {an}是否是等比数列， 汇思路点拨]①如何由求和公式得通项公式？ ②a1是否适合an=S,-Sa-1(n>≥2)？需要检验吗？ ·20· 第一章数列 五维课堂 [母题变式] ◇[变式训练] 1.(变条件)将本例中的条件“Sn=2”+a”变为“S。=2 3.在数列{an}中，若am>0,且an+1=2am十3(n∈ 一an”.求证数列{an}是等比数列. N+). 证明：数列{a,+3}是等比数列. 2.(变条件，变结论)将本例中的条件“S,=2”十a”变 为“a1=1,an+1=2a,十1”证明数列{an十1}是等比 数列，并求出数列{an}的通项公式。 题型四 等比数列的实际应用 [例4]某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测 这种车每年按10%的速度贬值. (1)用一个式子表示第n(n∈N+)年这辆车的价值； (2)当用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到多 少元？ 规律方法 判断一个数列{an}是等比数列的方法 (1)定义法：若数列{a,}满足a士=q(g为常数且 a 不为零)或a,=q(n≥2，q为常数且不为零)，则 an-1 数列{an}是等比数列. (2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an a1g”-1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列. ·21· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 规律方法 4.已知数列{an}是首项为2，公差为一1的等差数列， 等比数列应用题的两种常见类型 令=(2 ,求证数列{b}是等比数列，并求其 (1)数学应用问题：解答数学应用题的核心是建立 通项公式. 数学模型，如有关平均增长率、利率（复利）以 及数值增减等实际问题，需利用数列知识建立 数学模型. (2)增长率问题：需要构建的是等比数列模型，利 用等比数列的通项公式解决 ◇[变式训练] 4.嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国 首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向 前又迈出了一大步.月球距离地球约38万千米，有 人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米 的纸对折n次其厚度就可以超过到达月球的距离， 那么至少对折的次数n是(1g2≈0.3，lg3.8≈0.6) ) A.40 B.41 C.42 D.43 [当堂达标] 1.若等比数列的首项为号，未项为行，公比为号，则 这个数列的项数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2.已知数列a,a(1一a),a(1-a),…是等比数列，则 实数a的取值范围是 ( A.a≠1 B.a≠0且a≠1 C.a≠0 D.a≠0或a≠1 3.画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的 对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对 角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正 方形，则第10个正方形的面积等于 平方 C温馨提 厘米. 学习至此，请完成配套训练 ·22·变式训练 3.解：a1=13,d=-4,∴.a,=17-4. 当n≤4时，Tw=a1十|a2十…十|an|=a1十a2十…十 dn=ma1+Dd=13n+nD x (-4)=15n- 2 2 22;当≥5时，Tn=a1+|a2+…+|an=(a1十a2十 a3十a4)-(a5十a6十…十an)=S4-(Su-S4)=2S4-Sn =2×13+DX4-15m-22)=56+2n2-15. 2 151-22,n≤4n∈N+, ∴.Tw={ 2n2-15n+56,n≥5，n∈N+ 当堂达标 1.CD[由an≤0，即21-48≤0，得n≤24..所有负项的和 最小，即n=23或24.] 2.A[设他们每天收到的捐款形成数列{a},则由题可得 {an}是首项为10，公差为10的等差数列，.Sn=10n十 n1。卫×10=1200，解得1=-16（舍去）或1=15，所以 2 这次募捐活动一共进行的天数为15天.故选：A.] 3.解析：由a5|=|ag且d>0,得a5<0,ag>0,且a5十ag= 0→2a1+12d=0→a1+6d=0,即a7=0,故S6=S7且 最小， 答案：6或7 4.解：(1)设{am}的公差为d,由题意得3a1十3d=-15.由 a1=一7，得d=2.所以{an}的通项公式为an=a1十(n一 1)d=2-9. （2》由(1)得S,=a1+a2=m2-8n=（m-4)2-16,所 2 以当=4时，Sn取得最小值，最小值为一16. §3等比数列 3.1等比数列的概念及其通项公式 第1课时等比数列的概念及其通项公式 课前预习学案 知识梳理 知识点一2前比值同一个公比 [思考] 1.[提示]不能 知识点二、l.a1g”-12.孤立的点 [思考] 2[提示]因为”马-2.所以纸列a是等数列 预习自测 1.(1)×(2)×(3)× 2.AB[根据等比数列的定义可知，A,B错误，C,D正确.] 3.D[由{an}为等比数列得a5=a1g=12,.3Xg=12.∴.g= ±2.] 4.解析：数列{an}的通项公式为a,=2X5-1 答案：a,=2X5”-1 ·8 参考答案 课堂互动学案 [例1][解](1)记数列为{an},显然a1=1,a2=3,…,a,= 3-1,… “a,3=3n≥2nN)该教列为等比数列，且 公比为3. (2)记数列为{an,显然1=-1，a2=1,03=2,…, :2=一1≠吗=2，.此教列不是等比数列 a (3)当a=0时，数列为0,0,0，…，是常数列，不是等比数列： 当a≠0时，数列为a,a2,a3,a4,…,d”,…,显然此数列为等 比数列，且公比为a. 变式训练 1.ABD[A,B显然是等比数列；因为x可能为0，所以C不是 等比数列：a不能为0，D符合等比数列的定义，故D是等比 数列.] [例2][解](1)由等比数列的通项公式得，a5=4×(-2)5-1 =64. (2)设等比数列的公比为g,那么19=10， 解得∫9=2， a1g=80,(a=5. 所以a,=a1g-1=5X21 变式训练 a19=4, 2.解：(1)方法一设等比数列的公比为9，则 1a1=-8, 解得 q=-2 方法二设等比数列的公比为q,则=(， a2 即g=-，g=-号a,=ag5=（号)× 1 ()=() (2)方法一设等比数列的公比为9，则 (a3(1+g3)=36, /a3=32, 解得{1 从而a1-2=128. a4(1+g3)=18, g=2 方法二设等比数列{an}的公比为g. 181 :a4十a7=a3q十a69=(a3十a6)q∴g=36=2 .a4+a7=18,∴.a4(1+q3)=18. a=16a.a4=16x(合） 由16×()”‘= ,得-4=5，∴.n=9. [例3][解]a,=Sw-Sw-1=2”十a-2"-1-a=21(n≥ 2).当n≥2时，0+1=2” 427=2: 3 数学(BS)·选择性必修第二册 当n=1时，a1+1=2_2 an ar 2+a 故当a=一1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2： 当a≠一1时，数列{a}不是等比数列. 母题变式 1.[证明]Sn=2-4,.S4+1=2-an+1, ∴.an+1=S+1-Sw=(2-au+1)-(2-an）=aw-an+1, 小a+1=24又S=2-41y 1 a1=1≠0.又由au+1=2am知a,≠0， 品2=日a足等比纸到 an 2.[解]因为aw+1=2an十1，所以an+1十1=2(a,十1). 由a1=1,知a1十1≠0，从而aw十1≠0. 所以01±11=2(m∈N),所以数列{an+1)是等比 a,+1 数列 所以{a,十1}是以a1十1=2为首项，2为公比的等比 数列， 所以an十1=2·2”-1=2"，即an=2"-1. 变式训练 3.证明：aw>0,.an十3>0. 又am+1=2aw+3,0+1+3_2am十3+3 an十3 a+3 =2(au十3) =2. aw十3 .数列{a,十3}是首项为a1十3，公比为2的等比数列， [例4][解](1)从第一年起，每年这辆车的价值（万元） 依次设为：a1a2a3,an 由题意，得a1=10,a2=10×(1-10%), a3=10(1-10%)2,…. 由等比数列定义，知数列{au}是等比数列，首项a1=10, 公比g=1-10%=0.9, 所以a,=a1g”-1=l0X0.9”-1.所以第n年这辆车的价 值为an=10×0.9”-1万元. (2)当他用满3年时，这辆车的价值为a4=10×0.9-1= 7.29(万元). 当用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到7.29万元. 变式训练 4.C[设对折n次时，纸的厚度为an,每次对折厚度变为原 来的2倍， 由题意知{an}是以a1=0.1X2为首项，公比为2的等比 数列， 所以an=0.1×2×2-1=0.1×2”,令an=0.1×2"≥38 ×104×106, ·8 即2"≥3.8×1012，所以1g2"≥1g3.8+12,即n1g2≥0.6 +12, 解得n≥129=42，所以至少对折的次数1是42，故 0.3 选：C.] 当堂达标 1.B[因为8×（学）1=子，所以（学）1=员 (径)3，所以n=4.] 2.B[由a1≠0，g≠0，得，1一a≠0，所以a≠0且a≠1.] 3.解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，√2为公比的 等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N+),则第10个正方形的面 积S=a=22×29=211=2048. 答案：2048 4.解：依题意an=2十(n-1)×(-1)=3-1,于是b= () =2 b1-1 又=（合）= 数列{b}是首项为一，公比为2的等比数列，通项公式 4 为bn=2”3 第2课时等比数列的性质 课前预习学案 知识梳理 知识点一、递减数列递增数列递增数列递减 数列 [思考] 1.[提示]递减数列. [思考] 2.[提示]数列{a,}不具有单调性，是摆动数列. 知识点二ab [思考] 3.[提示](1)不是，两个同号的实数必有等比中项，它们互为 相反数，两个异号的实数无等比中项.(2)不唯一，如2和8 的等比中项是4或一4. [思考] 4.[提示]由定义可判断出(1)(3)(4)正确. 预习自测 1.(1)/(2)×(3)/(4) 2.C[.'a2a6=a=a3a5,且a2a6十a=x,∴.2aga5=元，.∴a3a5 =] 3.C[因为a1=2>0,要使{an}是递增数列，则需公比g>l.] 4.解析：由题意知7十3√5与7一3√5的等比中项为 土√/(7-3√5)(7+3√5)=士√49-45=±2. 答案：2或-2