第1章 3.1 第1课时 等比数列的概念及其通项公式（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 §3等比数列 3.1等比数列 第1课时 等比数列的概念及其通项公式 课程标准 素养解读 1.理解等比数列的定义. 在学习等比数列的定义和通项公式的过程中， 2.掌握等比数列的通项公式及其应用. 提升数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心 3.熟练掌握等比数列的判定方法. 素养 课前。预习学案 对应学生用书P19 [情境引入] ?思考2.若数列{an}的通项公式为an=2”,那么 1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥板上记录了下 {an}是等比数列吗？ 面的数列： 9,92,93,…,910 ① [提示] 7a,2与=2，所以数列{a,}是等比 因为4。=2” 100,1002,1003,…,100°② 数列. 5,52,53,…,510 ③ 2.《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世 预习自测] 不竭.”如果把“一尺之锤”的长度看成单位“1”，那 1.判断下列说法是否正确（正确的打“√”，错误的打 么从第1天开始，每天得到的“锤”的长度依次是 “X”) 11111 (1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为 2’4’81632… ④ 常数，则该数列为等比数列. () 3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每 (2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零. 20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从 第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是 (3)常数列一定为等比数列. 2,4,8,16,32,64,… ⑤ 答案(1)×(2)×(3)× 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算 2.(多选)下列说法中，错误的是 发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？ A.等比数列中的某一项可以为0 [知识梳理] B.等比数列中公比的取值范围是（一∞，十∞） [知识点一]等比数列的概念 C.若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项 为1 的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数 D.若数列{an}是等比数列，则{2an}也是等比数列 列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q表 解析：AB[根据等比数列的定义可知，A,B错误， 示(q≠0). C,D正确.] ?思考1.能将定义中的“每一项与前一项的比”理 3.已知数列{an}为等比数列，若a1=3,a=12,则公 比q= ( 解为“每相邻两项的比”吗？ [提示]不能 A号 B号 [知识点二]等比数列的通项公式 C.√2 D.土√2 1.等比数列的通项公式 解析：D[由{an}为等比数列得a5=a1q=12,.3 若首项是a1,公比是q,则等比数列{an}的通项公 ×g=12..q=±√2.] 式为an=a1g”-1(a1≠0，q≠0). 4.等比数列{an}的首项为2，公比为5，则数列{an}的 2.用函数的观点看等比数列的通项 通项公式为 等比数列{a,}的图像是函数y=·g的图像上 解析：数列{an}的通项公式为an=2×5”-1. 的一群孤立的点， 答案：an=2×5” ·34· 第一章数列 五维课堂 课堂。互动学案 对应学生用书P20 题型 等比数列的概念 规律方法 1.等比数列的通项公式涉及4个量a1,an,n,q,只 [例1] 判断下列数列是否为等比数列. 要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这 (1)1,3,32,33,…,3”-1,… 四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要 (2)-1,1,2,4,8,…； 求出这两个基本量，问题便迎刃而解. (3)a,a2,a3,…,a",… 2.关于a1和q的求法通常有以下两种方法： [解](1)记数列为{an},显然a1=1,a2=3,…,an (1)根据已知条件，建立关于a1,9的方程组，求出 =3-1,… a1,q后再求an,这是常规方法. 4，=3” a,=3(n≥2，n∈N,)该数列为等比 (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再 求a1,最后求an,这种方法带有一定的技巧 数列，且公比为3. 性，能简化运算 (2)记数列为{an},显然a1=-1,a2=1,a3=2,… ◇[变式训练] :2=一1≠=2，此数列不是等比数列. 2.在等比数列{an}中， a a (3)当a=0时，数列为0,0,0，…，是常数列，不是等 )已知a-4,a=-号，求a； 比数列； 当a≠0时，数列为a,a2,a3,a,…,a”,…,显然此 (2)已知a,+a,=36a,+a,=18a,=号，求m 数列为等比数列，且公比为a. 解：（1)方法一设等比数列的公比为q, 规律方法 /a19=4, 1 判定等比数列，要抓住三个要点 =- 2 (1)从第2项起. a1=8， (2)要判定每一项，不能有例外. (3)每一项与它的前一项的比值是同一个常数，且 解得{g-..=a,g=(-8)×() 1 不能为0. =) ◇[变式训练] 1.（多选)下列各组数中，成等比数列的是 ( 方法二设等比数列的公比为q,则=q, a, A.1,-2,4,-8 B.-√2,2，-2√2,4 C.2 D.a1,a2,a3,a4 解析：ABD[A,B显然是等比数列；因为x可能 ()=〔) 为0，所以C不是等比数列；a不能为0，D符合等 (2)方法一设等比数列的公比为9，则 比数列的定义，故D是等比数列.] (a3(1+g3)=36, ,a3=32, 题型二 等比数列的通项公式及应用 解得 a4(1+g3)=18, 从而a=q [例2]在等比数列{an}中， (1)已知a1=4,g=-2,求a; 128.所以an=128× (2)已知a2=10,a:=80,求an [解](1)由等比数列的通项公式得，a5=4× (-2)5-1=64. 方法二设等比数列{an}的公比为q. (2)设等比数列的公比为g,那么9=10， 解 = a4+a,=a9十a9=(ag十as)q,∴….q=8 1a1g2=80, :a4十a,=18,∴.a4(1+q）=18. 得92， (a1=5. ∴a,=16a-ag--16x( 所以an=a1g”-1=5X2”-1. 由16×(2)-3，得-4=5n=9. 35· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 题型 等比数列的判断写证萌 证明：an>0,.a。十3>0. [例3]已知数列的前n项和为S,=2”十a,试判断 叉a+1=2a,+3.0+1十3_2a,+3+3 an+3 a+3 {an}是否是等比数列. 2(an+3) 汇思路点拨]①如何由求和公式得通项公式？ an+3 2 ②a1是否适合an=S,一S,-1(n≥2)？需要检验吗？ .数列{an十3}是首项为a1十3，公比为2的等比 [解]a.=S,-S。-1=2”+a-2”1-a=2-1(n≥ 数列 2).当n≥2时，0+1=2 等比数列的实际应用 a,2w7=2; 题型四 [例4幻某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测 当n=1时，0=0=2 这种车每年按10%的速度贬值. ama12十a (1)用一个式子表示第n(n∈N+)年这辆车的价值； 故当a=一1时，数列{an}成等比数列，其首项为1， (2)当用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到多 公比为2；当a≠一1时，数列{an}不是等比数列. [母题变式] 少元？ [解](1)从第一年起，每年这辆车的价值（万元） 1.(变条件)将本例中的条件“Sn=2”十a”变为“S,=2 一an”.求证数列{an}是等比数列， 依次设为：a1,02a3,…,0m 由题意，得a1=10,a2=10×(1-10%), [证明]：Sn=2-am∴.Sn+1=2-an+1, a3=10(1-10%)2,…. ∴.am+1=Sn+1-Sn=（2-an+1）-(2-an）=am 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1 一an+1, =10,公比9=1一10%=0.9， 六aat1=2a.又S1=2-a1, 所以an=a1q1=10X0.9”-1.所以第n年这辆车 a=1≠0又由a+1=0.知a,≠0， 的价值为a,=10×0.9”-1万元. (2)当他用满3年时，这辆车的价值为a4=10× .+1=1 a。 =2…(a}是等比数列. 0.94-1=7.29(万元). 当用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到7.29 2.（变条件，变结论)将本例中的条件“Sn=2”十a”变 万元 为“a1=1,an+1=2an十1”证明数列{an十1}是等比 规律方法 数列，并求出数列{an}的通项公式. 等比数列应用题的两种常见类型 [解]因为an+1=2an十1，所以an+1十1=2(an十1). (1)数学应用问题：解答数学应用题的核心是建立 由a1=1,知a1十1≠0，从而an十1≠0. 数学模型，如有关平均增长率、利率（复利）以 所以+1十1 =2(n∈N+), 及数值增减等实际问题，需利用数列知识建立 an+1 数学模型. 所以{an十1}是以a1十1=2为首项，2为公比的等 (2)增长率问题：需要构建的是等比数列模型，利 比数列， 用等比数列的通项公式解决 所以a。十1=2·2”-1=2”，即am=2”-1. ◇[变式训练] 规律方法 4.嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国 判断一个数列{an}是等比数列的方法 首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向 (1)定义法：若数列{a,}满足中=q(q为常数且 前又迈出了一大步.月球距离地球约38万千米，有 a 人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米 不为零)或0。=g(n≥2，q为常数且不为零)，则 "an- 的纸对折n次其厚度就可以超过到达月球的距离， 那么至少对折的次数n是(Ig2≈0.3，lg3.8≈0.6) 数列{an}是等比数列. () (2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an A.40 B.41 a1g(a≠0,9≠0)，则数列{a,}是等比数列. C.42 D.43 ◇[变式训练] 解析：C[设对折n次时，纸的厚度为am,每次对 3.在数列{an}中，若an>0,且an+1=2an十3(n∈ 折厚度变为原来的2倍， N+). 由题意知{an}是以a1=0.1×2为首项，公比为2 证明：数列{a,十3}是等比数列. 的等比数列， ·36· 第一章数列 五维课堂兰 所以4n=0.1×2X2-1=0.1×2”,令an=0.1×2 3.画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的 ≥38×104×10°， 对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对 即2"≥3.8×1012，所以1g2"≥1g3.8+12,即n1g2 角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正 ≥0.6+12， 方形，则第10个正方形的面积等于平方 得≥品 =42,所以至少对折的次数n是42， 厘米. 解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，√2为 故选：C.] 公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N+),则第10 [当堂达标] 个正方形的面积S=a。=22X2°=21=2048. 1.若等比数列的首项为号，未项为了，公比为号 则 答案：2048 这个数列的项数为( 4.已知数列{an}是首项为2，公差为-1的等差数列， ) A.3 B.4 令.=（2》 71 ,求证数列{bn}是等比数列，并求其 C.5 D.6 通项公式 解析：B [因为×（层）=所以（号） 解：依题意an=2十(n-1)×(一1)=3-n,于是b, =（），所以=4] =2 2.已知数列a,a(1一a),a(1-a)2,…是等比数列，则 2 实数a的取值范围是 A.a≠1 B.a≠0且a≠1 C.a≠0 D.a≠0或a≠1 解析：B[由a1≠0，q≠0，得，1一a≠0，所以a≠0 一数列6}是首项为公此为2的等比数列，通 且a≠1.] 项公式为b,=2”3」 课时。素养提升 对应学生用书P11 [基础达标练] F2,F2.8,F4,F5.6,F8,…,F64.光圈的F值 1.以下数列中，是等比数列的有 越小，表示在同一单位时间内进光量越多，而且上 ①数列1,2,6,18，…；②数列{an}中，已知4=2， 一级的进光量是下一级的2倍，如光圈从F8调整 a 到F5.6,进光量是原来的2倍.若光圈从F4调整 =2:③常数列a,a,…,a,…;④数列{a}中，2中 到F1.4,则单位时间内的进光量为原来的( a, an A.2倍 B.4倍 =q(q≠0)，其中n∈N+. C.8倍 D.16倍 A.1个 B.2个 解析：C[由题可得单位时间内的进光量形成公比 C.3个 D.4个 解析：A[①中，数列不符合等比数列的定义，故 为合的等地数列{a,则F4对应单位时间内的进 不是等比数列；②中，前3项是等比数列，多于3项 光量为a,F1.4对应单位时间内的进光量为a2, 时，无法判定，故不能判定是等比数列；③中，当a 从F4调整到F1.4,则单位时间内的进光量为原 =0时，不是等比数列；④中，数列符合等比数列的 定义，是等比数列.故选：A.] 来的2=8倍.故选：C.] as 2.在首项a1=1,公比q=2的等比数列{an}中，当an 4.设等比数列的前三项依次为√2,2，《2，则它的第 =64时，项数n等于 ( ) 四项是 () A.4 B.5 C.6 B.2 D.7 A.1 解析：D[因为an=a1g1,所以1×2"-1=64，即 c.2 D.2 2”1=2,得n-1=6,解得n=7.] .a4= 3.光圈是一个用来控制光线透过镜头，进人机身内感 解标：A[a-厄a,=泸g- √2 光面的光量的装置.表达光圈的大小我们可以用光 a,9=2X2 =1.] 圈的F值表示，光圈的F值系列如下：F1,F1.4, √2 ·37· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 5.(多选)下列选项中，不是{an}成等比数列的充要条 又.S1=2a1+1=a1,∴.a1=-1≠0， 件是( 又由a+1=2an知a,≠0，.a2=2, A.an+1=an·q(q为常数) B.an=a1g”1(g为常数) .{an}是首项为一1，公比为2的等比数列. C.a0+1=a,·a+2≠0 .通项公式an=-1×2”-1=-2"1. D.at1=√an·an+2 [能力提升练] 解析：ABD[对于A,an+1=a。·q,当q=0,am=0 9.设a1=2,数列{1+2an}是公比为3的等比数列，则 时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；对于B, a6等于 an=a1g”1,当q=0,a1=0时，等式成立，此时不是 A.607.5 B.608 等比数列，故错误；对于C,根据等比数列定义+2 C.607 D.159 an+l 解析：C[,1+2a,=(1+2a1)×3”-1=5×3”-1, =山可以判定此数列为等比数列，故正确；对于 an 1+2a,=5×3a,=5X248-1=607.] 2 D.am+1=√an·a+2,当an=0,a+1=0,am+2=0 时，等式成立，此时不是等比数列，故错误.] 10.(多选)已知数列{an},下列选项不正确的是 6.若数列{an》为等差数列，数列2为 数 ( 列；若数列{an}为等比数列，且an>0,则数列 A.若a=4”,n∈N+,则{an}为等比数列 (lgan}为 数列. B.若a,a+2=ai+1n∈N+,则{an}为等比数列 解析：①若数列{an}为等差数列，设公差为d,则 C.若aan=2m+",m,n∈N+,则{a,}为等比数列 2+1=2+1+=2. D.若a,am+3=an+1an+2,n∈N+,则{an}为等比 24n 数列{2}是首项是21，公比是2的等比数列. 数列 ②若数列{an}为等比数列，设公比为q,则lgam+1 解析：ABD[对于A选项，由a=4”知an|= 2”,则数列{an}未必是等比数列；对于B,D选项， ga,=g会-gg 满足条件的数列中可以存在零项，同样，数列{αn} ∴{lgan}为首项是lga1、公差是lgg的等差数列. 不一定是等比数列；对于C选项，由aan=2+ 答案：等比等差 7.在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思. 知，ana+1=2+a+1,两式相除得+=2(n∈ a. 今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石， N+),故数列{an}是等比数列.故选ABD.] 则衰分比例为 解析：设衰分比例为q,则甲、乙、丙各分得2石，28 11.若数列{a,}满足1一2=0，则称a,}为“梦想 an+1 an 石，28q石。 数列”，已知正项数列}为“梦想数列”，且五十 t6. ÷8+28+28q=98.∴g=2或g=3,又0<g< b2+b3=1,则b6+b,+b8= 解析：由题意可知，若数列{a。}为“梦想数列”，则 1 1,.q=2· 答案：立 1 一=0，可得=，所以“梦想数列” an+1 an a 8.已知数列{an}的前n项和Sn=2an十1，求证：{an} a,是公比为号的等比数列，若正项数列{侣}为 是等比数列，并求出通项公式 证明：Sn=2a,十1，.Sn+1=2an+1+1. 参超装到”州或所以装-2即正项致 b. .a+1=Sm+1-Sn=(2am+1+1)-（2a,十1)= 列{bn}是公比为2的等比数列，因为b1+b2十b= 2an+1-2an. 1,因此b6十b,十b3=2(b1十b2十b3)=32. .a+=2an' 答案：32 ·38· 第一章数列 五维课堂兰 12.在各项均为负数的数列{an}中，已知2a。=3an+1, 14.“绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习 且aa,= 近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考 察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论 (1)求证：{an}是等比数列，并求出其通项公式； 写人中共19大报告，为响应总书记号召，我国某 (2)试问- 是这个等比数列中的项吗？如果是， 西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方 指明是第几项；如果不是，请说明理由 公里，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿 化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同 解：1)证明2a,=3a,+12±1=号 an 3 时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设 又，数列{an}的各项均为负数，∴a1<0, 从今年起第n年绿洲面积为a。万平方公里. 三数列a,)是以号为公比的等北数列. (1)求第n年绿洲面积a,与上一年绿洲面积a.- (n≥2)的关系； ∴.am=a1·q”-1=a1 ,.∴。a2=a1 2)判断{a。一}是否为等比数列，并说明理由： 2-1 2 1 870,又a2 (3)至少经过几年，绿洲面积可超过60%？(1g2 =0.3010) 2 16 ·a5= 9 .又a1<0, 解：(1)由题意得an=(1一4%)am-1十(1一a1-1)× 16%=0.96an-1+0.16-0.16an-1=0.8an-1+ .()()=-(层) 0.16=4 (n∈N+). 0-1+25 4 4 2a=()=则-2=4w=6eN, 所以a,=501十25 4 4 “是这个学地数列中的项，且是第6项 (2)由()得a,=a1十a.- [素养培优练] ) 13.(多选)在数列{a,}中，若+一0山=k(k为常 所以{。一青}是等比数列。 an+1一am 数)，则称{an}为“等差比数列”，下列对“等差比数 列”的判断错误的是 ( A.k不可能为0 所以a1一 B.“等差比数列”中的项不可能为0 C.等差数列一定是“等差比数列” a.-专=-()，即a=-(自) D.等比数列一定是“等差比数列” + 解析：BCD[,当=0时，根据“等差比数列”的 定义，有+一0+=0，即有a,+2-a+1=0,这 4n=- ()+>即()<号两边 an+-an 取常用对数得： 与分母不为0矛盾，k≠0，故选项A正确；：当 81时么。胃1为含， 1g 5 m-1)g手<g景，所以(-1)> 4 .数列{an}为“等差比数列”，且a1=0,故选项B 1g5 错误；又当数列{an}为非零常数列时，数列{an}既 g2-lg5=g2-(1-lg2)=21g2-1 21g2-1g5-21g2-(1-1g2)-31g2-1 是等差数列又是等比数列，但am+1一am=0,此时 2×0.301-1_0.398 数列{an}不是“等差比数列”，故选项C、D错误， 3×0.301-10.097 ≈4.1，.n>5.1..至少经 故选BCD.] 过6年，绿洲面积可超过60%. ·39·