第1章 2.1 第2课时 等差数列的性质（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

第一章数列 第2课时 等 课程标准 1.掌握等差中项的概念及其应用. 2.掌握等差数列的项与序号的性质. 3.理解等差数列的项的对称性. 4.能够熟练应用等差数列的性质解决有关实际问题. 课堂。 ● [情境引入] 请同学们思考以下问题： 若等差数列{an}为1,3,5,7，…，2n一1，则数列{an十 2},{2an}是等差数列吗？ 提示：{a,十c},{can}也是等差数列，这是等差数列的 一个性质，你还知道等差数列的其他性质吗？ [知识梳理] [知识点一]等差数列的单调性与图像 从函数角度研究等差数列的性质与图像 由an=f(n)=a,+(n-1)d=dn+(a1-d),可知其 图像是直线y=dax十(a一d)上的一些 ,这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线 的 ,即自变量每增加1，函数值增加d. 当 时，{an}为 ,如图（甲）所示. 当 时，{an}为 ,如图（乙）所示 当 时，{an}为 ,如图（丙）所示. g1 an an ai-d a-d、3 a 01234n012.4n01234元 甲 乙 丙 2思考1.(1)等差数列{an}中，a3=4,a4=2,则数 列{an}是递增数列，还是递减数列？ (2)等差数列的公差与直线的斜率之间有什么关系？ 五维课堂」 差数列的性质 素养解读 1.通过对等差数列性质的研究培养逻辑推理的 核心素养 2.通过学习等差中项的概念提升数学运算的核 心素养 互动学案 [知识点二]等差中项 如果在a与b中间插人一个数A,使a,A,b成等 差数列，那么 叫作 的等差中项 如果A是a与b的等差中项，那么A-a=b-A.所 以A=Q十b 21 ?思考2.若数列{an}中，an是am-1和a+1的等差中 项，那么数列{a,}是等差数列吗？为什么？ [知识点三]等差数列的性质 若{an}是公差为d的等差数列，正整数m,n,p,q 满足m十n=p十q,则am十an=a。十a, (1)特别地，当m+n=2k(m,n,k∈N+)时，a,m+am =2ak: (2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之 和等于首末两项的和，即a1十an=a2十an-1=… =as十an-+1=…. [预习自测] 1.判断下列说法是否正确（正确的打“/”，错误的打 “X”) (1)等差数列的图像要么是上升的、要么是下降的. () (2)等差数列{an}中，a3十a4=a2十a5· ( (3)任何两个数都有等差中项. (4)已知等差数列任意两项求公差的实质是已知直 线上任意两点求斜率. () 2.已知等差数列{an}的公差为d,若{an}为递增数列， 则 ( A.d>0 B.d<0 C.a d>o D.a d<o 3.√2+1和√2一1的等差中项为 4.等差数列{an}中，a=1,则a2十a3十a4= 世五维课堂 课堂⊙ 题型一 等差数列的单调性与图像 [例1]已知(1,1)，(3,5)是等差数列{an}图像上的 两点。 (1)求这个数列的通项公式； (2)画出这个数列的图像； (3)判断这个数列的单调性， 规律方法 理解等差数列的通项与一次函数的关系，强 化数学的本质，渗透数形结合思想、转化与化归思 想及函数与方程思想，解完本例后，要让学生领悟 反思这些思想方法，充分挖掘本例的训练价值. ◇[变式训练] 1.已知数列{an}为等差数列，则下面不一定成立的是 A.若a2>a1,则a3>a1 B.若a2>a1,则a3>a2 C.若a>a1,则a2>a D.若a2>a1,则a1十a2>a1 题型二 等差中项 [例2]在一1与7之间顺次插入三个数a,b,c,使这 五个数成等差数列，求此数列 规律方法 三个数a,b,c成等差数列的条件是b=a十c 2 (或2b=a十c),可用来解决等差数列的判定或有 关等差中项的计算问题.如果要证{an}为等差数 列，可证2a+1=an十an+2(n∈N+). 1 数学(BS)·选择性必修第二册 互动学案 ◇[变式训练] 2.(1)已知数列8，a,2,b,c是等差数列，则a,b,c的值 分别为 (2②已如石成等第数列，求证，信，合。 a十b也成等差数列. 题型三 等差数列性质的应用 [例3]已知等差数列{an}中，a1十a4十a,=15, a2aa,=45,求此数列的通项公式. [母体变式] 在本例中，不难验证a1十a4十a,=a2十a4十a6,那 么，在等差数列{an}中，若m十n十p=q十r十s,m, n,p,q,r,s∈N+,是否有am十an十ap=a,十a,十a,? 第一章数列 规律方法 等差数列的性质 1.若{an}是公差为d的等差数列，正整数m,n, p,q满足m十n=p十q,则am十an=ap十ag (1)特别地，当m+n=2k(m,n,k∈N+)时，am十 a.-2ag. (2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项 之和等于首末两项的和，即a1十an=a2十a。-1 =…=a十am-+1=…. 2.由等差数列衍生的新数列 若{an},{bn}分别是公差为d,d'的等差数列，则有 数列 结论 (c+a 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) 公差为2d的等差数列(k为常数，k {an十an+k ∈N+) 公差为pd+qd'的等差数列(p,q (pa+qb 为常数) ⊙[变式训练] 3.已知等差数列{a}的公差为d. (1)若a2十a3十a23十a24=48,求a13; (2)若a2十a3十a4十a5=34,a2a5=52,求d. 五维课堂 [当堂达标] 1.已知等差数列{an}:1,0,一1，一2，…；等差数列 {bn}:0,20,40,60,…,则数列{a十bn}是() A.公差为一1的等差数列 B.公差为20的等差数列 C.公差为一20的等差数列 D.公差为19的等差数列 2.设{an}是等差数列，则“a1<a2<a3”是“数列{an}是 递增数列”的 () A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若3，a,b,c,15成等差数列，则a十b十c= 4.在等差数列{an}中，已知a1十a2十a3=21,a1a2a3 =231. (1)求该数列中a2的值； (2)求该数列的通项公式an C温馨提 学习至此，请完成配套训练 3母体变式 上解运阴政1成2之 1 a 4-21 2日载列6是资项为分公景为2的等委 又b1=1 数列. (②由(1知6，=号+(n-1Dx2-2m 11 1 =1+2=2+2. n 数列a的通项公式为a-号十2 2.编当≥2时，由2a1=2a,十3得a1-a=子包 a=1≠， 故数列{an}不是等差数列. 变式训练 3解：0证阴x,=f十m≥2且nEN) N+), “{纪}是公差为号的等差数列， @向0蜘子+a-0x号-2+”号-李， 2±5-2g2s2 3 [例4][解]根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1km,乘客需要支付1.2元. 所以，可以建立一个等差数列{a}来计算车费. 令a1=11.2,表示4km处的车费，公差d=1.2, 那么当出租车行至14km处时，1=11， 此时需要支付车费a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2(元).即 需要支付车费23.2元. 母体变式 1.[解]由题意知，当出租车行至18.5km处时，按行至19km 计费，n=16,此时需支付车费a16=11.2+(16-1)×1.2= 29.2(元).即需要支付车费29.2元. 2.[解]当n∈{1,2,3}时，an=10, 当n∈N+,且n24时，a=11.2+(n-4)×1.2=1.21十6.4. 10,m∈{1,2,3}， 所以a,-{.2+6.4n≥4且n∈N+: 变式训练 4.解：设使用n年后，这台设备的价值为a,万元，则可得数列{ ant. 由已知条件，得a,=au-1一d(n≥2). 所以数列{an}是一个公差为一d的等差数列. 因为a1=220-d,所以a=220-d+(n-1)(-d)=220 -d. 由题意，得a10≥11，a11<11. 即20-10l解得19<420.9 1220-11d<11, 所以d的取值范围为19<d≤20.9. ·7 参考答案 当堂达标 1.ABD[根据等差数列的定义，可得：A中，满足au+1一a,=3 (常数)，所以是等差数列：B中，lg4-lg2=lg8-lg4=lg16 -lg8=lg2(常数)，所以是等差数列；C中，因为24一25≠2 一2≠22一23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列：D 中，满足a+1一a,=一2（常数），所以是等差数列.] 2.B[.a1=20,d=-3,∴.an=20+(n-1)×(-3)=23-3m. a7=2>0,ag=-1<0.故数列中第一个负数项是第8项.] 3.A[设数列{an}的首项为a1,公差为d,根据题意 得+ag=a1+21+a1+7d=2, (a6=a1+5d=7, 解得a1=47,d=-8.所以5=47+(5-1)×(-8)=15.] 4.解：因为an=a1-1十2(1≥3)，所以an一a1-1=2(常数). 又≥3，所以从第3项起，每一项减去前一项的差都等于 同一个常数2，而a2一a1=0≠a3一a2,所以数列{an}不是 等差数列. 第2课时等差数列的性质 课前预习学案 知识梳理 知识点一、等间隔的点斜率d>0递增数列d<0递减 数列d=0常数列 [思考] 1.[提示](1)因为公差d=a4-a3=-2<0,所以数列{an}是 递减数列. (2)等差数列的公差相当于图像法表示数时直线的斜率， 知识点二、Aa与b [思考] 2.[提示]是.因为an是aw-1和aw+1的等差中项，所以a1, au,a+1成等差数列，故a,一a-1=a+1一a,由等差数列的 定义知数列{an}是等差数列. 预习自测 1.(1)×(2)/(3)/(4)(√/) 2.A[数列{an}是递增数列，则aw+1一au=d>0.故选：A.] 3.解析：+1D-1=2, 答案√2 4.解析：a2十a3十a4=(a2十a4)十a3=2a3十a3=3a3=3. 答案：3 课堂互动学案 [例1][解](1)由于(1,1)，(3,5)是等差数列{a}图像上的 两点，所以a1=1,a3=5. 由a3=a1+2d=1+2d=5,解得d=2,于是an=21-1. (2)图像是直线y=2x一1上一些等间隔的，点，如图所示. 5 3 2 1 012345元 (3)因为一次函数y=2.x一1是增函数，所以数列{an}是递增 数列， 数学(BS)·选择性必修第二册 变式训练 1.D[利用等差数列的单调性可得，若a2>a1,所以公差d> 0,所以等差数列{an}是递增数列，所以a3一a1=2d>0,a3 a2=d>0成立，∴.A,B正确；若a2>a1,则a1十a2>a1不一 定成立，例如a1<0时不一定成立，D不一定成立； 若3>a1,则a3-a1=2d>0,所以a2-a1=d>0成立，.C 正确.故选：D] [例2][解]，-1，a,b,c,7成等差数列， .b是一1与7的等差中项， b=1)十7=3.又4是-1与3的等差中项， 2 a=-1+3-1. 2 又6是8与7的等装中项c-告- .该数列为-1,13,5,7. 变式训练 r8+2=2a, 2.(1)解析：因为8，a,2,b,c是等差数列，所以a十b=2X2,解 2+c=2b. fa=5, 得b=-1, c=-4. 答案：5-1-4 ②证期因为方二高等道数到，所以号-+凸 b a 即2ac=b(a+c).因为+c+a+b_cb十c)+a(a+) a ac _c2+a2+b(a十c)_a2+2+2ac2(a十c)2_2(a十c) ac ac b(a-c) b 所以b十，十，a十也成等差数列. a b [例3][解]方法一因为a十a=2a4,a十a4十a?=3a4= 15,所以a4=5. 又因为a2a4a6=45,所以a2a6=9,所以(a4-2d)(a4十2d)= 9,即(5-2d)(5+2d)=9, 解得d=士2. 若d=2,a,=a4十(-4)d=21-3,n∈N+； 若d=-2,an=a4+(n-4)d=13-21,n∈N+. 方法二设等差数列的公差为d,则由a1十a4十a?=15,得 a1+a1+3d+a1+6d=15,即a1+3d=5.① 由a2a4a6=45,得(a1+d0(a1+3d)(a1+5d0=45, 将①代入上式，得(5-2d)×5×(5+2d)=45,即(5-2d)(5+ 2d0=9,② 联立①②解得a1=-1,d=2或a1=11,d=-2, 即aw=-1+2(n-1)=21-3,m∈N;或an=11-2(n-1)= 13-21,n∈N. ·8 母体变式 [解]设公差为d,则am=a1+(m-1)d, a=a1+(n-1Dd,ap=a1+(p-1)d,ag=a1+(q-1)d,a,= a1+(r-1)d,a,=a1+(s-1)d, ∴anm+an+ap=3a1+(m十n+p-3)d,ag十a,+a,=3a1+(g +r+s-3)d, m十n十p=g十r十s,.am十au十ap=ag+a,十ar 变式训练 3.解：方法一(1)化成1和d的方程如下： (a1+d)+(a1+2d)+(a1+22d)+(a1+23d0=48,即4(a1+ 12d)=48.∴.4a13=48..a13=12. (2)化成a1和d的方程组如下： a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d0+(a1+4d)=34, ((a1+d)(a1+4d)=52, 解得@11支1=16 .d=3或d=-3. d=3d=-3. 方法二(1)由等差数列的性质知a2十a24=a3十a23, 又a2十a3十a23十a24=48,∴.a3十a23=24=2a13..a13=12. (2)由等差数列的性质知，a2十a5=a3十a4,又a2十ag十a4十 a5=34, .a2十a5=17.又，a2a5=52, ∫a=4, 2=l3, 或 ”d=13-=3或d=41=-3. (a5=13(a5=4. 5-2 5-2 当堂达标 1.D[(a2+b2)-(a1+b1)=(a2-a1)+(b2-b1)=-1+20 =19.] 2.C[因{an}是等差数列，若a1<a2<a3,可得d=a2-a1=a -a2>0, 所以数列{a,)是递增数列，即充分性成立； 若数列{an}是递增数列，则必有a1<a2<ag,即必要性成立， 所以“a1<a2<a3”是“数列{an}是递增数列”的充分必要条 件.故选：C] 3.解析：由等差数列的对称性知，b是3,15的等差中项且a十c =3+15,∴a+b+c=3+15+3+15=27. 2 答案：27 4.解：(1)由等差数列的性质可知，a1十a3=2a2,所以a1十a2十 a3=3a2=21,解得a2=7. (2)侯题意得1+ag=14 解得1=11， (a1=3, 或 (a1ag=33, (a3=3(a3=11. 所以公差d==-4或d号导=4 3-1 所以an=11+(1-1)×(-4)=-4十15或an=3+(n 1)×4=4-1.