第1章 2.1 第2课时 等差数列的性质（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

世五维课堂 解析：C[由题意，从冬至日起，依次小寒、大寒、 立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒 种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，设冬 至的日影长为a1,公差为d,则a1十a4十a,=31.5, a3十a6十ag=25.5,两式相减得-6d=6,解得d= -1,所以a1十a,十a,=3a1+9d=31.5,解得a1= 13.5,故选：C.] 14.单分数（分子为1，分母为正整数的分数）的广泛 使用成为埃及数学重要而有趣的特色，埃及人将 所有的真分数都表示为一些单分数的和例如号 =1十1,7=1+1+1+1+1 35'29624十58十87+232…，现 已知品可以表示成4个单分数的和，记忌一d6 1 第2课时 等 课程标准 1.掌握等差中项的概念及其应用. 2.掌握等差数列的项与序号的性质. 3.理解等差数列的项的对称性. 4.能够熟练应用等差数列的性质解决有关实际问题. 课堂⊙ [情境引入] 请同学们思考以下问题： 若等差数列{an}为1,3,5,7，…，2n一1，则数列{an十 2},{2an}是等差数列吗？ 提示：{a,十c},{can}也是等差数列，这是等差数列的 一个性质，你还知道等差数列的其他性质吗？ [知识梳理] [知识点一]等差数列的单调性与图像 从函数角度研究等差数列的性质与图像 由an=f(n)=a1十(n-1)d=dn十(a1-d),可知其 图像是直线y=dx十(a1一d)上的一些等间隔的点， 这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的斜 率，即自变量每增加1，函数值增加d. 当d>0时，{an}为递增数列，如图（甲）所示。 当d<0时，{an}为递减数列，如图（乙）所示. 当d=0时，{a,}为常数列，如图（丙）所示. an a1-d个 /01234n012.4n01234m ·1 数学(BS)·选择性必修第二册 +1+1十，其中，y,之是以101为首项的等 差数列，则y十之的值为 解析：依题意，拆分后的分数，分子都是1，分母依 次度大，又品赢十付+申合赢故可 分解下品可+高+效+应可 11 1 11 131121 11 +202+606-101+202+606+606=101+202 1 1 十30丽十60又y之是以101为首项的等差数 列，故x=101,y=202,之=303.故y+之=202+ 303=505. 答案：505 差数列的性质 素养解读 1.通过对等差数列性质的研究培养逻辑推理的 核心素养 2.通过学习等差中项的概念提升数学运算的核 心素养 互动学案 对应学生用书P11 日思考1.(1)等差数列{an}中，a=4,a4=2,则数 列{an}是递增数列，还是递减数列？ (2)等差数列的公差与直线的斜率之间有什么关系？ [提示](1)因为公差d=a4一a=-2<0,所以数 列{an}是递减数列. (2)等差数列的公差相当于图像法表示数时直线的 斜率。 [知识点二]等差中项 如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等 差数列，那么A叫作a与b的等差中项. 如果A是a与b的等差中项，那么A一a=b一A.所 以A=a十b 2 2思考2.若数列{an}中，an是a。1和am+1的等差中 项，那么数列{an}是等差数列吗？为什么？ [提示]是.因为an是am-1和a+1的等差中项，所 以a。-1,a,a十1成等差数列，故an一an-1=an十1 an,由等差数列的定义知数列{an}是等差数列. 第一章数列 [知识点三]等差数列的性质 若{a,}是公差为d的等差数列，正整数m,n,p,q 满足m十n=p十q,则am十an=a。十ag (1)特别地，当m十n=2k(m,n,k∈N+)时，am十an =2a5· (2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之 和等于首末两项的和，即a1十an=a2十a。-1=… =a6十an-+1=…. [预习自测] 1.判断下列说法是否正确（正确的打“√”，错误的打 “X”) (1)等差数列的图像要么是上升的、要么是下降的. (2)等差数列{an}中，a3十a4=a2十a5. (3)任何两个数都有等差中项， 课堂。 题型一 等差数列的单调性与图像 [例1]已知(1,1)，(3,5)是等差数列{an图像上的 两点 (1)求这个数列的通项公式： (2)画出这个数列的图像； (3)判断这个数列的单调性. [解](1)由于(1,1)，(3,5)是等差数列{an}图像 上的两点，所以a1=1,a3=5. 由a3=a1十2d=1+2d=5,解得d=2,于是an=2n -1. (2)图像是直线y=2x一1上一些等间隔的点，如图 所示 .76 54 21 012345元 (3)因为一次函数y=2x一1是增函数，所以数列 {an}是递增数列. 规律方法 理解等差数列的通项与一次函数的关系，强 化数学的本质，渗透数形结合思想、转化与化归思 想及函数与方程思想，解完本例后，要让学生领悟 反思这些思想方法，充分挖掘本例的训练价值。 ·19 五维课堂剑 (4)已知等差数列任意两项求公差的实质是已知直 线上任意两点求斜率 () 答案(1)×(2)√(3)/(4)(/) 2.已知等差数列{an}的公差为d,若{an}为递增数列， 则 ( A.d>0 B.d<o C.a do D.a d<o 解析：A[数列{an}是递增数列，则an+1一an=d> 0.故选：A.] 3.√2+1和√2一1的等差中项为 解析：2+1十2-1 =2 答案：√2 4.等差数列{an}中，a=1,则a2十a3十a4= 解析：a2十a3十a4=(a2十a4)十a3=2a3十a3=3a3=3. 答案：3 互动学案 对应学生用书P12 ⊙[变式训练] 1.已知数列{an}为等差数列，则下面不一定成立的是 A.若a2>a1,则a3>a1 B.若a2>a1,则a3>a2 C.若a3>a1,则a2>a D.若a2>a1,则a1十a2>a 解析：D[利用等差数列的单调性可得，若a2> a1,所以公差d>0,所以等差数列{an}是递增数列， 所以a3-a1=2d>0,a3-a2=d>0成立，.A,B 正确；若a2>a1,则a1十a2>a1不一定成立，例如 a1<0时不一定成立，.D不一定成立； 若a3>a1,则a3一a1=2d>0,所以a2-a1=d>0 成立，.C正确.故选：D.] 题型二 等差中项 [例2]在一1与7之间顺次插入三个数a,b,c,使这 五个数成等差数列，求此数列. [解]-1，a,bc,7成等差数列， b是一1与7的等差中项， b=-1+7 2 =3.又a是-1与3的等差中项， a=1+3-1. 2 又c是3与7的等差中项，c=3计7=5. 2 .该数列为一1,1,3,5,7. 世五维课堂 规律方法 三个数a,b,c成等差数列的条件是b=a9 2 (或2b=a十c),可用来解决等差数列的判定或有 关等差中项的计算问题.如果要证{an}为等差数 列，可证2a+1二a.十a+(n∈N+: ⊙[变式训练] 2.(1)已知数列8，a,2,b,c是等差数列，则a,b,c的值 分别为 解析：因为8，a,2,b,c是等差数列，所以 8+2=2a, fa=5, a+b=2×2,解得{b=-1, 2+c=2b. Lc=-4. 答案：5 -1 -4 (2)已知日方上成等差数列，求证信，， a十b也成等差数列. 证明：因为日分·2成号老款列，所以后-日+日， 即2ac=b(a+c).因为+c+a+b =c(b+c)十a(a+b) ac 2+a2+b(a+c=a2+c2+2ac= 2(a+c)2 ac ac b(a+c) =2(a+c) b 所以十C,a十，a十也成等差数列. a c 题型 等差数列性质的应用 [例3]已知等差数列{an}中，a1十a4十a,=15, a2a4a6=45,求此数列的通项公式. [解]方法一因为a1十a,=2a4,a1十a4十a,= 3a,=15,所以a,=5. 又因为a2a4a6=45,所以a2a6=9,所以(a4一2d) (a4+2d)=9,即(5-2d)(5+2d)=9, 解得d=±2. 若d=2,an=a4十(n-4)d=2n-3,n∈N+； 若d=-2,an=a4+(n-4)d=13-2n,n∈N+. 所以数列{an}的通项公式为an=2n一3若an=13 -2n(n∈N+). 方法二设等差数列的公差为d,则由a1十a4十a, =15,得a1+a1+3d+a1+6d=15,即a1+3d= 5.① 由a2a:a6=45,得(a1+d)(a1+3d)(a1+5d)=45, 将①代入上式，得(5-2d)×5×(5+2d)=45,即 (5-2d)(5+2d)=9,② ·2 数学(BS)·选择性必修第二册 联立①②解得a1=-1,d=2或a1=11,d=-2, 即am=-1+2(n-1)=2n-3,n∈N+;或a,=11 2(n-1)=13-2m,n∈N+. 所以数列{an}的通项公式为an=2n-3若an=13 -2n(n∈N+）. [母体变式] 在本例中，不难验证a1十a4十a,=a2十a4十a6,那 么，在等差数列{an}中，若m十n十p=q十r十s,m, n,p,q,r,s∈N+,是否有am十an十ap=ag十a,十a,? [解]设公差为d,则am=a1十(m一1)d, an=a1+(n-1)d,a。=a1+（p-1)d,a,=a1+(g -1)d,a,=a1+(r-1)d,a,=a1+(s-1)d, ∴.am十an十a。=3a1+(m十n十p-3)d,ag十a,十a, =3a1+(q+r+s-3)d, ,m十n十p=g十r+s,.am十an十a。=ag十a,十a 规律方法 等差数列的性质 1.若{an}是公差为d的等差数列，正整数m,n, p,q满足m十n=p十q,则am十a,=ap十ag: (1)特别地，当m十n=2k(m,n,k∈N+)时，am十 a=2ag. (2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项 之和等于首末两项的和，即a1十an=a2十an-1 =…=06十0n-+1三…. 2.由等差数列衍生的新数列 若{an},{bn}分别是公差为d,d'的等差数列，则有 数列 结论 {c十an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·am} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) 公差为2d的等差数列(k为常数，k {an十am+k ∈N+) 公差为pd+qd'的等差数列(p,q pan+qb 为常数) ◇[变式训练] 3.已知等差数列{an}的公差为d. (1)若a2十a3十a23十a24=48,求a13; (2)若a2十a3十a4十a5=34,a2a=52,求d., 解：方法一(1)化成a1和d的方程如下： (a1+d)+(a1+2d)+(a1+22d)+(a1+23d)= 48,即4(a1+12d)=48.∴.4a13=48.∴.a13=12. (2)化成a1和d的方程组如下： (a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+(a1+4d)=34, (a1+d)(a1+4d)=52, 好化含d-1我=- 第一章数列 方法二（1)由等差数列的性质知a2十a24=a 十a23, 又a2+a3+a23+a24=48,∴.a3+a23=24=2a13 ∴.a13=12. (2)由等差数列的性质知，a2十a5=a3十a4,又a2十 a3十a4十a5=34, .a2十a5=17.又，a2a5=52, ÷=4:或 ,=18:d=13号=3或d= (a5=13(a5=4. 5-2 4-13 5-2 三一3. [当堂达标] 1.已知等差数列{an}:1,0,一1，一2，…；等差数列 {bn}:0,20,40,60,…,则数列{an十bn}是() A.公差为一1的等差数列 B.公差为20的等差数列 C.公差为一20的等差数列 D.公差为19的等差数列 解析：D[(a2十b2)-(a1十b1)=(a2-a1)+(b2一 b1)=-1+20=19.] 2.设{an}是等差数列，则“a1<a2<a3”是“数列{an}是 递增数列”的 () A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 课时。 [基础达标练 1.已知等差数列{an}中，a2十as=18,则a5=（） A.7 B.11 C.9 D.18 解析：C[设等差数列的性质可知：a2十ag=2a5= 18,所以a=9.故选：C.] 2.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a十a6十 a1w十a13=32,若am=8,则m的值为 () A.12 B.8 C.6 D.4 解析：B[由等差数列的性质，得a3十a,十a1w十a1a =(a3+a13)+(a6+a1w）=2a8+2a8=4ag=32, .a8=8,又d≠0，∴.m=8.] 3.已知数列{an}为等差数列且a1十a,十a13=4x,则 tan(a2十a12)的值为 A.√3 B.±√5 c-9 D.-③ ·2 五维课堂兰 解析：C[因{an}是等差数列，若a1<a2<a3,可得 d=a2-a1=a3-a2>0, 所以数列{a,}是递增数列，即充分性成立； 若数列{an}是递增数列，则必有a1<a2<a3,即必 要性成立， 所以“a1<a2<a3”是“数列{an}是递增数列”的充分 必要条件.故选：C.] 3.若3，a,b,c,15成等差数列，则a十b十c= 解析：由等差数列的对称性知，b是3,15的等差中 项且a+c=3+15,.a+b+c=3+15+3+15 2 =27. 答案：27 4.在等差数列{an}中，已知a1十a2十a3=21,a1a2a3 =231. (1)求该数列中a2的值； (2)求该数列的通项公式an· 解：(1)由等差数列的性质可知，a1十a3=2a2,所以 a1十a2十a3=3a2=21,解得a2=7. (2)依题意得十a,=14,。 a3=3,(a3=11. 所以公多d=一4或d号导=4 3-1 所以am=11+(n-1)×(-4)=-4n+15或an 3+(n-1)×4=4n-1. 素养提升 对应学生用书P7 解析：D[由等差数列的性质得a1十a十a13=3a7 =4π，.a2= 4'tan (az an)=tan (2a)= =tan tan 3 2x=-5.] 4.已知在△ABC中，三个内角A,B,C成等差数列， 则角B等于 A.30 B.60° C.90 D.120 解析：B[因为A,B,C成等差数列，所以B是A,C 的等差中项，则有A+C=2B,又因为A+B十C= 180°，所以3B=180°，从而B=60°.] 5.（多选)下面关于公差d>0的等差数列{an}的结论 中，正确的是 A.数列{an}是递增数列 B.数列{nan}是递增数列 C数列{侣}是递婚数列 D.数列{a,十3nd}是递增数列 世五维课堂 解析：AD[设等差数列的首项为a1,d>0,则an= a1十(n-1)d=dn十(a1-d).∴.数列{an}递增，A 正确.na,=dn十(a,一dn,当n<d4时，不递 2d 增，B错误号=d+,当a,一d>0时，不说 增，C错误；[am+1+3(n+1)d]-(an+3nd)=an+1 -am+3d=4d>0,{am+3nd}递增，D正确.] 6.在等差数列{an}中，a1十a=4,那么a2十a3十…十 a8等于 解析：因为数列{an}为等差数列，且a1十a=4,根 据等差数列的性质，可得a1十ag=2a,=4,解答a =2,又由a2十a3十…十a8=7a5=7X2=14. 答案：14 7.已知等差数列{an}满足am-1十am+1一a一1=0， 且m>1,则a1十a2m-1= 解析：因为数列{an}为等差数列，所以am-1十am+1 =2am.所以am-1十am+1-an-1=0可化为2am a-1=0,解得am=1.所以a1十a2m-1=2am=2. 答案：2 8.在等差数列{an}中，若a3十ag十a13=12,a3aga13 =28. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求a3的值. 解：(1)根据题意，设等差数列{an}的公差为d,由 a3十ag十a13=12,则3a8=12,则a8=4,又由 a3a8a13=28,则有a3a13=(4-5d)(4十5d)=7,解 可得：d=±号，当d=是时，，=a,十(n-8)d= n,当d=-号时a.=as十(u-8d-4.3别 5 5 (2)由1)的结论，当d=是时a,=3”4,此时a 5 =3X234=13,当d=一是时，a,=443”,则 5 5 5 a,=4-3X23_-5,则a4=13或-5. 5 [能力提升练] 9.(多选)在等差数列{an}中，每相邻两项之间都插人 (k∈N+)个数，使它们和原数列的数一起构成一 个新的等差数列{bn}.若b是数列{an}的项，则 的值可能为 ( A.1 B.3 C.5 D.7 解析：ABD[由题意得，插入k(k∈N+)个数，则 a1=b1,a2=bs+2,a3=b26+3,a4=b3s+4… 所以等差数列{an}中的项在新的等差数列{bn}中 间隔排列，且角标是以1为首项，k十1为公差的等 · 数学(BS)·选择性必修第二册 差数列，所以an=b1+(m-1D+1),因为b,是数列{an} 的项，所以令1+(n-1)(+1)=9,n∈N+,k ∈N+, 当n=2时，解得k=7,当n=3时，解得k=3,当n =5时，解得=1， 故k的值可能为1,3,7，故选：ABD.] 10.数列{an}满足递推关系a,=3a。-1十3”一1(n∈ N+,n≥2)，a,=5,则使得数列m}为等差数 列的实数m的值为 解析：a1=5,a2=3×5十32-1=23，a2=3×23+ 33-1=95, 依题意得5士m,23十加，95十m成等差数列， 3 32 3 2.23+-50+950.∴m=分 32 3 33 答案：日 11.已知函数f(x)在(-1，十∞)上单调，且函数y= f(x一2)的图像关于x=1对称，若数列{an}是公 差不为0的等差数列，且f(a5o)=f(a1),则a1十 a1o等于 解析：由题意知函数y=f(x一2)的图像关于x= 1对称，则函数f(x)的图像关于x=一1对称，且 在(-1，十o∞)上单调，因为f(a0)=f(a51),所以 a50十a1=一2，因为数列{an}是公差不为0的等 差数列，所以a1十a1w=a50十as1=一2. 答案：一2 12.在正项无穷等差数列{an}中，已知a5a,=12.a2十 01w=7. (1)求通项公式an (2)设bn=an十t,且对一切n∈N+,恒有b2n=2bn, 求t的值.对一切k,n∈N+是否恒有bm=kbn？请 说明理由. 解：(1)：a2十a1w=a5十a,=7,又a5a,=12, /3, 当4,4， 1 (a,=4,(a,=3.(a,=3. ，a.=一2n十 受不恒为正，合志 1 1 (a=4, (2b.=a.+i=n+t+2.=n十t+2 1 1 ∴n+t+2=n+21+1. 1 .恒有b=bbn 第一章数列 [素养培优练] 13.(多选)已知单调递增的等差数列{an}满足a1十a2 十a3十..十a1=0,则下列各式一定成立的有 A.a1+a1o1>0 B.a2+a1o=0 C.a3十a1w≤0 D.a51=0 解析：BD[设等差数列{an}的公差为d,易知 d>0, ,等差数列{an}满足a1十a2十a3十..十a1o1=0, 且a1十a101=a2十a1m=..=a50十a52=2a51, .a1+a2+a3十..+a11=(a1+a1o1)+(a2十 a1oo)十..+(a50+a52）十a51=101a51=0, .a51=0,a1十a1o1=a2十a10=2a51=0,故B,D正 确，A错误】 又，a51=a1十50d=0,.a1=-50d,.a3十a1m= (a1+2d)+(a1+99d), =2a1+101d=2×(-50d)+101d=d>0,故C 错误.故选：BD.] 14.(2022·新高考Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举 架结构，AA',BB,CC,DD是桁，相邻桁的水平 距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑 2.2等差数 第1课时 等差数 课程标准 1.探索并掌握等差数列前n项和公式. 2.理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系. 课前 [情境引入] 高斯(Gauss,1777 1855),德国数学家，近代数学 lH94l0=2 的奠基者之一，他在天文学、 大地测量学、磁学、光学等领 域都做出过杰出贡献 200多年前，高斯的算术老师 提出了下面的问题： 1+2+3+…+100=? 你准备怎么算呢？ 提示：高斯的算法：(1+100)+(2+99)+…+(50+ 51)=101×50=5050. ·2 五维课堂上 屋顶截面的示意图.其中DD,,CC,BB,AA1是 举，OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步，相邻桁的举 步之比分别为肥=5瓷=8-： DD AA=k,已知k1,k,k,成公差为0.1的等差数 BA 列，且直线OA的斜率为0.725，则k,=( 图1 图2 A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9 解析：D[设OD1=DC,=CB1=BA1=1,则CC =k1,BB1=k2,AA1=3,依题意，有k3一0.2= DD,+CC,+BB +AA -0.1=kOD+DC,+CB BA 0.725,所以0.5+3k,-0.3 4 =0.725,故k3=0.9.] 列的前n项和 列的前n项和公式 素养解读 1.经过等差数列前n项和公式的推导，提升数学抽 象和逻辑推理的核心素养。 2.通过等差数列前n项和公式的运用，达成逻辑推 理和数学运算的核心素养」 预习学案 对应学生用书P14 [知识梳理] [知识点一] 等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和 S n(a1十am) S,=na(n Dd 公式 2 2 ?思考 等差数列{an}中，若已知a2=7,能求出前 3项和S3吗？ [提示]S= 3(a1+a3) =3a2=21.