第1章 2.1 第1课时 等差数列的概念及其通项公式（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

数学(BS)·选择性必修第二册 方法二(1)证明假设数列{an}中存在最大项. (101”+1 因为a+1-an=(n+2)() -(m+D(侣)”- ()量 当n<9时，a+1-au>0,即a+1>an； 当1=9时，an+1一an=0,即an+1=an; 当n>9时，a+1一a1<0,即aw+1<an, 故a1<a2<a3<<ag=a10>a11>a12>…, 所以数列{a}从第1项到第9项递增，从第10项起递减， 即数列{an}先递增后递减. _1010 (2)解：由1)知a=a0=1为最大项。 变式训练 3.解：(1)由题可知，a+1-a=十 0+52-0+5 51 n+D"+5十52=m+5Dm十2'n (m+51)(+52) N+,.n+51>0,n十52>0，即aw+1-an>0. (2)由(I)可得数列{aw}是递增数列，则最小项为首项，即 4=中可记·无接大项，所以20是该数列的第10项 1 当堂达标 1.A[a+1-a,=2+1-2=2">0,.an+1>a,即{an） 是递增数列.] 2.B[a1>0au+1=2an>082=合<1， 1 an …an+1<a.] 3.解析：因为am=n2-8m十15=(1-4)2-1，所以第4项 最小 答案：4 4解：1由已知得a十a,=弓+子-音， ②证明：当≥2时.-41一号”号- >0,所以au>a-1.所以{an}是递增数列. §2等差数列 2.1等差数列的概念及其通项公式 第1课时等差数列的概念及其通项公式 课前预习学案 知识梳理 知识点一、1.2前一项同一个常数公差 [思考] 1.[提示](1)不是，该数每一项与其前一项的差都是，不是 常数，所以不是等差数列. (2)不一定，当一个数列从第二项起每一项与它前一项的差 都是同一个常数时，这个数列才是等差数列.如数列：1,2,3， 5,7,9,就不是等差数列. 知识点二a.x十(n-1)d [思考] 2.[提示]不一定，当公差为0时，等差数列的通项公式不是1 的一次函数，而是常数函数. ·7 预习自测 1.(1)/(2)×(3)×(4)× 2.C[a,=a1+(1-1)d=4+(n-1)×(-2)=4-2+2=6 -2.] 3.B[a3-a1=8-2=2d,故d=3.] 4解析：由a7=a+6d=8且d=一了，代入解得a=8-d=8 +2=10. 答案：10 课堂互动学案 [例1][解](1)：a+1-a,=[3-2(n+1)]-(3-2m)= 一2，是常数， 数列{an}是等差数列. (2):a+1-a,=[(n十1)2-(n十1)]-(2-m)=21,不是 常数， ∴数列{an}不是等差数列. 变式训练 1.解：由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4) 不是等差数列， [例2][解](1)，a4=7,a10=25, 则a十31=7：得=-2 (a1+9d=25,(d=3, .an=-2+(1-1)×3=3m-5, .通项公式为a,=31-5(n∈N). (2)法一：（方程组法）由 。=子， a1+2d=5 得 a1+6d=- 4 a6=a+5-1d=+14x(是）=- 4 法二：（利用a,=am十(n-m)d求解）由a=a3十(7-3)d, 即子-号十，解得d= a6=4+15-3d=号+12×（）- 变式训练 2.解：D设a的公差为d.因为十d15解得4=7， 1a1+16d=39,1 d=2. 所以an=7+2(n-1)=2+5. 令2m十5=91，得n=43.因为43为正整数，所以91是此数列 中的项」 (2)设a,}的公差为d,则十d1解得=12， (a+7d=5, d=-1. .a,=12+(1-1)×(-1)=13-,所以a10=13-10=3. [例3][解]（①）数列{}是等差数列，理由如下： 'a1=2,a+1= 2an 1a十2111 an+1 2a2a 11= an+1 an 2 ，即{}是首项为上= 为=2，公差为d=2 的等差数列 （2由上迷可知=+(m-1d=分a,= 2 an al 母体变式 上解运阴政1成2之 1 a 4-21 2日载列6是资项为分公景为2的等委 又b1=1 数列. (②由(1知6，=号+(n-1Dx2-2m 11 1 =1+2=2+2. n 数列a的通项公式为a-号十2 2.编当≥2时，由2a1=2a,十3得a1-a=子包 a=1≠， 故数列{an}不是等差数列. 变式训练 3解：0证阴x,=f十m≥2且nEN) N+), “{纪}是公差为号的等差数列， @向0蜘子+a-0x号-2+”号-李， 2±5-2g2s2 3 [例4][解]根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1km,乘客需要支付1.2元. 所以，可以建立一个等差数列{a}来计算车费. 令a1=11.2,表示4km处的车费，公差d=1.2, 那么当出租车行至14km处时，1=11， 此时需要支付车费a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2(元).即 需要支付车费23.2元. 母体变式 1.[解]由题意知，当出租车行至18.5km处时，按行至19km 计费，n=16,此时需支付车费a16=11.2+(16-1)×1.2= 29.2(元).即需要支付车费29.2元. 2.[解]当n∈{1,2,3}时，an=10, 当n∈N+,且n24时，a=11.2+(n-4)×1.2=1.21十6.4. 10,m∈{1,2,3}， 所以a,-{.2+6.4n≥4且n∈N+: 变式训练 4.解：设使用n年后，这台设备的价值为a,万元，则可得数列{ ant. 由已知条件，得a,=au-1一d(n≥2). 所以数列{an}是一个公差为一d的等差数列. 因为a1=220-d,所以a=220-d+(n-1)(-d)=220 -d. 由题意，得a10≥11，a11<11. 即20-10l解得19<420.9 1220-11d<11, 所以d的取值范围为19<d≤20.9. ·7 参考答案 当堂达标 1.ABD[根据等差数列的定义，可得：A中，满足au+1一a,=3 (常数)，所以是等差数列：B中，lg4-lg2=lg8-lg4=lg16 -lg8=lg2(常数)，所以是等差数列；C中，因为24一25≠2 一2≠22一23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列：D 中，满足a+1一a,=一2（常数），所以是等差数列.] 2.B[.a1=20,d=-3,∴.an=20+(n-1)×(-3)=23-3m. a7=2>0,ag=-1<0.故数列中第一个负数项是第8项.] 3.A[设数列{an}的首项为a1,公差为d,根据题意 得+ag=a1+21+a1+7d=2, (a6=a1+5d=7, 解得a1=47,d=-8.所以5=47+(5-1)×(-8)=15.] 4.解：因为an=a1-1十2(1≥3)，所以an一a1-1=2(常数). 又≥3，所以从第3项起，每一项减去前一项的差都等于 同一个常数2，而a2一a1=0≠a3一a2,所以数列{an}不是 等差数列. 第2课时等差数列的性质 课前预习学案 知识梳理 知识点一、等间隔的点斜率d>0递增数列d<0递减 数列d=0常数列 [思考] 1.[提示](1)因为公差d=a4-a3=-2<0,所以数列{an}是 递减数列. (2)等差数列的公差相当于图像法表示数时直线的斜率， 知识点二、Aa与b [思考] 2.[提示]是.因为an是aw-1和aw+1的等差中项，所以a1, au,a+1成等差数列，故a,一a-1=a+1一a,由等差数列的 定义知数列{an}是等差数列. 预习自测 1.(1)×(2)/(3)/(4)(√/) 2.A[数列{an}是递增数列，则aw+1一au=d>0.故选：A.] 3.解析：+1D-1=2, 答案√2 4.解析：a2十a3十a4=(a2十a4)十a3=2a3十a3=3a3=3. 答案：3 课堂互动学案 [例1][解](1)由于(1,1)，(3,5)是等差数列{a}图像上的 两点，所以a1=1,a3=5. 由a3=a1+2d=1+2d=5,解得d=2,于是an=21-1. (2)图像是直线y=2x一1上一些等间隔的，点，如图所示. 5 3 2 1 012345元 (3)因为一次函数y=2.x一1是增函数，所以数列{an}是递增 数列，第一章数列 五维课堂坐 §2等差数列 2.1等差数列的概念及其通项公式 第1课时 等差数列的概念及其通项公式 课程标准 素养解读 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的判定方法。 通过对等差数列概念及其通项公式的学习，达成数学抽 3.会求等差数列的通项公式及利用通项公式求特 象、逻辑推理和数学运算的核心素养 定的项 课前。预习学案 [情境引入] [知识点二]等差数列的通项公式 我们知道数列是一种特殊的函数， 1357911 若首项是a1,公差是d,则等差数列{a,}的通项 在函数的研究中，我们在理解了函数的 公式为an= 一般概念，了解了函数变化规律的研究 2思考2.等差数列的通项公式一定是n的一次函 内容（如单调性，奇偶性等）后，通过研 数吗？ 究基本初等函数，不仅加深了对函数的理解，而且掌 握了幂函数，指数函数，对数函数，三角函数等常用的 函数模型.类似地，在了解了数列的一般概念后，我们 要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的 通项公式和前项和公式，并应用它们解决实际问题 和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用. [知识梳理] [预习自测] [知识点一]等差数列的概念 1.判断下列说法是否正确，（正确的打“√”，错误的打 等差数列概念 “X”) 1.文字语言：对于一个数列，如果从第 项起， (1)常数列是等差数列. 每一项与它的 的差都是 常数，那 (2)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一 么称这样的数列为等差数列，称这个 为等 个常数，那么这个数列是等差数列， ( ) 差数列的 ,通常用字母d表示. (3)数列0,0,0,0，…不是等差数列 ( 2.符号语言：a+1一a,=d(d为常数，n∈N+) (4)若数列{an}是等差数列，则其公差d=a,一ag· 2思考1.(1)数列{an}的各项为：n,2n,3n,4m,…, () 数列{an}是等差数列吗？ 2.已知等差数列{an}的首项a1=4,公差d=一2，则 (2)若一个数列从第二项起每一项与它前一项的差 通项公式an= () 都是常数，这个数列一定是等差数列吗？ A.4-2n B.2n-4 C.6-2m D.2n-6 3.在等差数列{an}中，a1=2,a3=8,则公差d= A.4 B.3 C.-4 D.-3 4.已知在等差数列a,中，d=一日a,=8,则a, 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 课堂。互动学案 等差数列的概念 规律方法 题型 1.应用等差数列的通项公式求a1和d,运用了方 [例1]判断下列数列是否为等差数列. 程的思想.一般地，可由am=a,am=b,得 (1)an=3-2n;(2)an=n2-n. (a1+(m-1)d=a, 求出a1和d,从而确定通 a1+(n-1)d=b, 项公式. 2.若已知等差数列中的任意两项am,an,求通项 公式或其他项时，则运用an=an十(m一n)d较 规律方法 为简捷。 定义法判定等差数列 ◇[变式训练] (1)作差an+1一am； 2.在等差数列{an}中， (2)对差式进行变形： (1)若a,=15,a1,=39,试判断91是否为此数列中 (3)当an+1一an是一个与n无关的常数时，数列 的项 {an}是等差数列；当an+1一an不是常数，是与 (2)若a2=11,ag=5,求a1w n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列. ◇[变式训练] 1.判断下列数列是不是等差数列？ (1)9,7,5,3,…,-2+11,…;(2)-1,11,23,35, …,12n-13,…;(3)1,2,1,2,…;(4)1,2,4,6,8, 10,…;(5)a,a,a,a,a,… 题型三 判定与证明等差数列 [例3]已知数列{an}满足a1=2,an+1 2an am十21 (1)数列1) 是否为等差数列？说明理由； la. (2)求{an}的通项公式。 题型二等差数列的通项公式及其应用 汇思路点拨] ①要判断数列 是否为等差数 a. [例2](1)在等差数列{an}中，已知a4=7,a1。=25, 列，需要先求1 工的表达式， 求通项公式an: an+1 (2)已知数列{a,}为等差数列，a,=三 4,a,= ②求出数列 {工}的通项公式. 4 a 求a1s的值 [思路点拨]设出基本量a1,d,利用方程组的思 想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式a =am十(n一m)d求解. ·8· 第一章数列 五维课堂型 [母体变式] 规律方法 1.(变条件，变结论)将本例题中的条件“a1=2,am+1 等差数列的判定方法有以下二种： 202”换为a=4a,=4-（n>1,i记6， (1)定义法：an+1-an=d(常数)(n∈N+)台{an} an+2 an-1 为等差数列： 1” (2)通项公式法：an=an十b(a,b是常数，n∈N+) an-2· 台{an}为等差数列. (1)试证明数列b}为等差数列； 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定 (2)求数列{an}的通项公式. 义法 ◇[变式训练] 3.已知函数f(x)=g·数列红，》的道项由之， f(xn-1)(n≥2且x∈N+)确定. 1)求证：份}是等差数列： (2)当=时，求a 2.(变条件)将本例题中的条件“a=24+1=。干2 2an” 换为“a1=1,a2=2,2an+1=2an十3(n≥2，n∈N+)” 题型四 等差数列的实际应用 试判断数列{a,}是否是等差数列. [例4]某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步 价为10元，即最初的4km(不含4km)计费10元. 如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的 地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付车费 多少元？ ·9· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 [母体变式] [当堂达标] 1.(变条件)在本例中，若某人乘坐该市的出租车去往 1.(多选)下列数列中，是等差数列的是 18.5km处的目的地（不足1km,按1km计费）， A.1,4,7,10 B.Ig 2,1g 4,1g 8,1g 16 且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付车费多 C.2,2,2,22 D.10,8,6,4,2 少元？ 2.等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是 ) A.第7项 B.第8项 C.第9项 D.第10项 3.已知在等差数列{an}中，a3十a8=22,a6=7,则a5 等于 () 2.(变结论)在本例中，若某人乘坐该市的出租车去往 A.15 B.22 nkm(n∈N+)处的目的地，求其需支付的车费an C.7 D.29 4.已知数列{an},a1=a2=1,a,=a,-1十2(n≥3)，判 断数列{a}是否为等差数列？说明理由. 汇方法总结]应用等差数列解决实际问题的步骤 (1)审题，读懂题意，把握已知条件与求解问题. (2)将实际问题抽象为等差数列模型. (3)利用等差数列解决问题. (4)验证答案是否符合实际问题的意义 ⊙[变式训练] 4.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设 备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表 明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数)万元. 已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它 的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确 定d的范围. C温攀提 学习至此，请完成配套训练 ·10·