第03讲 等差数列的前n项和及其性质（高效培优讲义）高二数学北师大版选择性必修第二册

本讲义聚焦高中数学等差数列前n项和及其性质，以定义为起点，通过倒序相加法推导核心公式，衔接函数性质分析、片段和与奇偶项和等核心性质，最终落实到最值求解方法，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料以新课标核心素养为导向，通过公式推导培养逻辑推理能力，结合二次函数图像发展直观想象，融入天坛石板等实际问题强化应用意识。题型分层设计，即学即练即时巩固，综合题提升解题能力，课中助力教师突破重难点，课后方便学生查漏补缺。

第3讲 等差数列的前n项和及其性质 教学目标 1.数学抽象：理解等差数列前n项和的定义，把握“累加求和”的本质，能区分前n项和与任意项的概念差异. 2.逻辑推理：能从等差数列的定义出发，推导前n项和的两个核心公式（倒序相加法、错位相减法），理解公式的推导逻辑；能结合前n项和的函数性质，推理等差数列的单调性与前n项和最值的关系. 3.数学运算：熟练掌握前n项和公式的“知三求一”应用（已知、、、中三项求第四项），能利用前n项和性质简化求和计算；能求解前n项和的最值问题，掌握相关运算技巧. 4.直观想象：理解前n项和作为二次函数（或一次函数）的图像特征，能通过图像分析前n项和的增减性、最值位置，建立数与形的联系. 5.应用意识：能将实际中的求和问题转化为等差数列前n项和模型，准确识别首项、公差、项数，利用公式或性质求解，培养数学建模能力. 教学重难点 （一）核心重点 1.等差数列前n项和两个核心公式的推导过程与记忆. 2.前n项和公式的灵活应用（知三求一、结合通项公式综合计算）. 3.前n项和核心性质的理解与应用（片段和性质、奇偶项和性质等）. 4.前n项和最值的求解方法. （二）高频难点 1.前n项和公式推导思路的理解（倒序相加法的本质与适用场景）. 2.前n项和性质的灵活迁移应用（如片段和性质在复杂求和问题中的运用）. 3.前n项和最值问题中，项数的正整数限制对结果的影响. 4.实际应用问题中，首项、公差、项数的准确识别与转化（如“第几项对应实际问题中的第几个阶段”）. 知识点01 等差数列前n项和的定义 1.定义：对于等差数列，从第1项到第n项的所有项的和，叫做等差数列的前n项和，记作（）. 2.符号表示：. 3.特殊说明：当时，规定（辅助理解递推关系，）；当时，. 易错辨析： 易错点1：混淆“前n项和”与“第n项”，误将当作，忽略是累加和的本质. 易错点2：忽略的取值范围，将时当作实际求和结果，导致逻辑错误（实际求和中为正整数）. 重点记忆内容： 前n项和的核心本质：“累加求和”，是从首项到第n项的所有项的代数和. 与的基础关联：，（），这是连接前n项和与通项的关键递推关系. 常考结论： 若数列是等差数列，则，，，…仍为等差数列（片段和性质的基础）. 若（），则（由前n项和公式推导）. 【即学即练】 1．（25-26高二上·北京平谷·月考）在等差数列中，已知，那么这个数列前100项的和等于（  ） A．170 B．145 C．120 D．80 2.（25-26高二上·江苏连云港·月考）在等差数列中，，则它的前7项和（    ） A．18 B．21 C．24 D．28 知识点02 等差数列前n项和的两个核心公式 1.公式一（已知首项、公差、项数）：（）. 2.公式二（已知首项、第n项、项数）：（），也可写作，本质是“项数×等差中项”. 3.推导过程： 公式二推导（倒序相加法）：由，倒序得，两式相加得，整理得. 公式一推导（代入转化）：将通项公式代入公式二，得. 易错辨析： 易错点1：公式记忆错误，如将公式一误写为，或公式二误写为（遗漏项数）. 易错点2：选择公式不当，已知时未优先用公式二，导致计算繁琐；已知时未用公式一，增加解题难度. 易错点3：计算时忽略运算顺序，如公式一中的计算，先算乘法再算除法，避免出现符号或数值错误. 重点记忆内容： 两个公式的适用场景：①已知、、，用公式一；②已知、、，用公式二；③已知、、，可先由求，再用公式一或二. 倒序相加法的核心思想：利用等差数列“”的对称性，将分散的项合并求和，这是等差数列求和的专属核心方法. 公式的统一关系：两个公式本质等价，可通过通项公式相互转化，解题时需根据已知条件灵活选择. 常考结论： 若等差数列的前n项和为，前m项和为（），则. 若，则，即前n项和为与前n个正整数和的乘积. 【即学即练】 1．（25-26高二上·河南·月考）在等差数列中，为其前项和．若，则（　　） A．205 B．410 C．230 D．460 2．（25-26高二上·山东青岛·月考）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 知识点03 等差数列前n项和的函数性质 1.函数形式转化：将公式一整理为关于的函数，得（）. 2.函数性质分析： 当时，是关于的二次函数，且二次项系数为，一次项系数为，常数项为0；其图像是抛物线上的孤立点（为正整数）. 当时，，若，则是关于的一次函数；若，则（常函数），对应常数列的前n项和. 3.核心关联：数列是等差数列的充要条件是其前n项和为关于的二次函数（）或一次函数（，）或常函数（，），且常数项为0. 易错辨析： 易错点1：误将的函数图像当作连续抛物线，忽略的限制，导致最值求解时误取非正整数. 易错点2：认为“所有二次函数对应的数列都是等差数列”，忽略“常数项为0”的前提（如，常数项为1，对应的数列不是等差数列）. 易错点3：混淆的符号与二次函数开口方向的关系，时二次项系数，抛物线开口向上；时开口向下. 重点记忆内容： 的函数本质：等差数列前n项和是“不含常数项的二次函数（或一次函数、常函数）对应的正整数离散点”，这是判断数列是否为等差数列的重要依据. 二次函数视角下的最值规律：当时，的最值对应抛物线的顶点横坐标，需结合顶点横坐标是否为正整数，判断最值所在的项数. 常考结论： 若（、为常数），则数列是等差数列，且公差，首项. 若等差数列的前n项和为，且（），则数列从第2项起为等差数列，第1项为，第2项及以后的公差为. 当时，的顶点横坐标为，若为正整数，则时取得最值；若不是正整数，则取左右相邻的正整数，比较对应的大小得最值. 【即学即练】 1．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知等差数列的前项和为，，且，则取最大值时的值为 . 2.（2025高三·全国·专题练习）已知在等差数列中，，，则该数列前多少项的和最小？ 知识点04 等差数列前n项和的核心性质 1.片段和性质：若等差数列的前n项和为，则，，，…，（）仍为等差数列，且新数列的公差为. 2.奇偶项和性质：设等差数列的前n项和为，公差为： 当为偶数时，；且（此处为偶数，，，）. 当为奇数时，（为第项，即中间项）；且，. 3.与的关系性质：（），；延伸：若，（公差）. 4.对称项和与和的关系：若（），则，对应前n项和的关联：. 易错辨析： 易错点1：应用片段和性质时，忽略“连续n项和”的前提，误将非连续片段（如，）当作等差数列的项. 易错点2：奇偶项和性质中，混淆为奇数与偶数的结论，如将为奇数时的误用于为偶数的情况. 易错点3：应用时，遗漏“”项，直接写作，导致计算错误. 易错点4：利用与的关系时，忽略的限制，直接用求，导致首项错误. 重点记忆内容： 片段和性质的核心作用：简化“连续多段n项和”的计算，无需逐一求各段和，可通过等差数列性质快速推导未知段和. 奇偶项和性质的记忆关键：分的奇偶性梳理结论，重点牢记为奇数时“和等于项数×中间项”，这是快速计算奇数项和的核心技巧. 与的关系是“连接和与通项”的桥梁，适用于已知前n项和求通项的题目，必须优先验证的情况. 常考结论： 若等差数列的前n项和为，且，（），则. 若等差数列的前n项和为，前p项和，前q项和（），则. 片段和性质的延伸：，，满足. 当等差数列的公差时，前n项和的最大值与最小值可通过“且（求最大值）”或“且（求最小值）”求解. 【即学即练】 1．【多选题】（2025·广东汕尾·一模）分别是等差数列的前项和，则（    ） A．是等差数列 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（25-26高二上·江苏连云港·月考）等差数列共有12项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则公差 ． 知识点05 等差数列前n项和的最值求解方法 1.方法一（函数法）：利用的二次函数性质（时），通过求二次函数的顶点横坐标，结合确定最值项数，再代入公式求最值. 2.方法二（通项法）：根据等差数列的单调性，通过判断通项的符号变化确定最值： 求最大值：若（数列递减），令且，解得的取值范围，对应的即为使最大的项数；若所有，则的最大值为（为最后一项）. 求最小值：若（数列递增），令且，解得的取值范围，对应的即为使最小的项数；若所有，则的最小值为（为最后一项）. 3.方法三（性质法）：利用为奇数时的性质，若是最值项，则对应的即为最值. 易错辨析： 易错点1：用函数法求最值时，未结合的限制，直接将二次函数顶点横坐标对应的实数作为项数，导致结果无意义. 易错点2：用通项法时，遗漏“”的符号判断，仅根据的符号确定最值项数，导致漏判（如时，与相等，均为最值）. 易错点3：忽略无穷等差数列与有穷等差数列的区别，认为无穷递减等差数列有最小值（实际无穷递减等差数列无最小值，仅有最大值）. 重点记忆内容： 三种方法的适用场景：①已知的函数表达式，用函数法；②已知通项公式或首项、公差，用通项法；③已知为奇数且能确定中间项，用性质法. 最值求解的核心逻辑：找到“正负项分界点”（或函数顶点），结合项数的正整数属性确定最值位置，无论哪种方法，最终都需代入公式计算具体最值. 常考结论： 若等差数列满足且（），则为前n项和的最大值；若且（），则为前n项和的最小值. 若等差数列的前n项和的最大值为，则且；最小值为，则且. 当时，若的顶点横坐标（为非整数），则的最值为（时取最小值，时取最大值），其中表示不大于的最大整数. 【即学即练】 1．（25-26高二上·山东青岛·月考）数列的通项公式是，的前项和为，则取得最小值时 . 2.（25-26高二上·湖北武汉·月考）在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取得最大值，则的取值范围为 ． 题型01 求等差数列的前n项和 【典例1】（25-26高二上·福建厦门·月考）在数列中，，.记是数列的前项和，则（   ） A．1325 B．1300 C．1350 D．1375 【变式1】（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知等差数列的前n项和为，且，则（   ） A．52 B．104 C．112 D．120 【变式2】（25-26高二上·河北衡水·月考）已知某等差数列共7项，若该数列后4项和比前4项和大24，且前3项和为9，则该数列所有项的和为 . 【变式3】（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B．11 C．15 D．20 方法技巧与步骤： 1.第一步：匹配已知条件与公式 已知（首项）、（公差）、（项数）→用公式： 已知、（第n项）、→用公式：（优先选用，简化计算） 已知、、→先由通项公式求，再代入上述任一公式 2.第二步：代入计算，遵循“先括号/乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序 3.第三步：结果验证（可选）：结合数列单调性判断和的合理性（如时，随递增，） 题型02 等差数列前n项和基本量的计算 【典例1】（25-26高二上·江苏苏州·月考）等差数列前n项的和为，已知，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式1】（25-26高三上·广西崇左·月考）已知等差数列的前项和为，若，，则公差 . 【变式2】（25-26高二上·重庆·月考）已知数列为等差数列，其前项和为，若，，则 . 【变式3】（2025高三上·河南开封·专题练习）已知等差数列，前n项和为则（    ） A．200 B．300 C．400 D．500 方法技巧与步骤： 1.第一步：定位未知量，筛选核心公式 含与混合计算→联立与对应前n项和公式 仅含计算→直接选用匹配的前n项和公式 2.第二步：建立方程（组）求解 单未知量→公式变形直接求解（如已知、、求，需解一元二次方程） 双未知量→联立两个独立公式列方程组（如已知、求、，联立与） 3.第三步：检验结果：确保，的符号与数列单调性一致 题型03 含绝对值的等差数列前n项和 【典例1】（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）已知数列的前n项和Sn满足，则数列的前12项和为（　　） A．112 B．48 C．80 D．64 【变式1】（25-26高二上·天津红桥·月考）已知数列满足，则数列的前10项和为（　　） A．58 B．52 C．62 D．60 【变式2】（25-26高二上·山东菏泽·月考）在等差数列中，已知，. (1)求通项及前项和； (2)求数列的前n项和. 【变式3】（25-26高二上·重庆·月考）已知数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 方法技巧与步骤： 1.第一步：求正负分界项数（关键步骤） （数列递减）→解不等式组 （数列递增）→解不等式组 计算：代入列不等式，解得正整数 2.第二步：分段计算绝对值和 时：（直接用前n项和公式） 时：（为前k项和，抵消后项的负号） 3.第三步：特殊值验证：如时，时，确保分段逻辑正确 题型04 等差数列奇数项或偶数项的和 【典例1】（25-26高二上·江苏苏州·月考）若成等差数列，奇数项的和为75，偶数项的和为60，则该数列的项数为（   ） A．4 B．5 C．9 D．11 【变式1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知一个项数为的等差数列，设其前项和为，其所有奇数项的和为480，所有偶数项的和为360，公差，则当为偶数时，此数列首尾两项之和为 ． 【变式2】（24-25高二下·山西晋中·月考）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 【变式3】（24-25高二·全国·课堂例题）若等差数列的项数为，则 ． 方法技巧与步骤： 1.第一步：定义相关量：设为奇数项和（），为偶数项和（），明确项数的奇偶性 2.第二步：应用对应性质 为偶数（）： 性质1：（，差值为个公差） 性质2：（奇偶项各项，分别以、为中间项） 为奇数（）： 性质1：（中间项，奇数项比偶数项多1项） 性质2：（和=项数×中间项） 性质3：（奇数项项，偶数项项） 3.第三步：结合总前n项和验证结果 题型05 等差数列的片段和性质及其应用 【典例1】（25-26高二上·广东佛山·月考）已知等差数列的前项和为，，，则 . 【变式1】（25-26高二上·广东梅州·月考）在等差数列中，若，，则（   ） A．10 B．18 C．26 D．32 【变式2】（25-26高二上·吉林四平·月考）已知等差数列的前项和为，若，则 . 【变式3】（25-26高二上·河北·月考）已知等差数列的前项和为，且，则 ． 方法技巧与步骤： 1.第一步：定义片段和序列：设为前n项和，片段和为（记为，其中，） 2.第二步：应用核心性质 性质1：是等差数列，公差（原公差的倍） 性质2：前个片段和的和 性质3：连续三个片段和满足等差中项： 3.第三步：结合已知计算 已知两个片段和求第三个→用等差中项性质 已知片段和求原数列参数→先求，再由求，进而求等 题型06 等差数列前n项和与n的比值为等差数列 【典例1】（25-26高二上·安徽·月考）（1）若为等差数列，且，，求的通项公式； （2）记的前项和为，若，，且为等差数列，求和． 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中，，其前n项和为，若，则 ． 【变式2】（2024·四川乐山·三模）已知是等差数列的前项和. (1)证明：是等差数列； (2)设为数列的前项和，若，求. 【变式3】（23-24高二下·四川成都·月考）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)求证：数列是等差数列，并写出其首项与公差. 核心考点：证明为等差数列，或利用该性质求参数 方法技巧与步骤： 1.方法一：定义法证明 步骤1：写出的函数形式： 步骤2：化简比值：（关于的一次函数） 步骤3：证明公差为常数：（与无关），故为等差数列，公差，首项 2.方法二：性质法求参数 性质：若为等差数列，则（为常数），即 计算：结合已知列方程求，进而得、 3.方法三：等差中项应用：若成等差数列，则 题型07 两个等差数列前n项和之比的问题 【典例1】（25-26高二上·天津河东·月考）已知等差数列的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·江苏泰州·月考）已知等差数列，前项和分别为和，若，则 . 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）设与是两个等差数列，它们的前n项和分别为和，若， 则：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ； 【变式3】（25-26高二上·江苏泰州·月考）已知是等差数列的前项和，是等差数列的前项和，若，则 ． 核心考点：用转化项之比与和之比 方法技巧与步骤： 1.第一步：推导桥梁公式：对任意等差数列，，故 2.第二步：转化比值关系 设两等差数列、的前n项和为、，则（） 推导：（消去分母） 3.第三步：代入计算：已知的表达式，代入即可求，反之亦然 题型08 由等差数列前n项和的函数特性求最值 【典例1】（25-26高二上·陕西咸阳·月考）已知数列的前项和满足， (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最大值. 【变式1】（25-26高二上·贵州贵阳·月考）记为等差数列的前项和，且满足，. (1)求； (2)是否存在最值，如果存在，求出取得最值时的值？如果不存在，请说明理由. 【变式2】（25-26高三上·贵州·月考）已知等差数列满足. (1)求的通项公式； (2)记为的前项和，若单调递减，求的最值. 【变式3】（25-26高二上·天津红桥·月考）已知数列的通项公式为，前项和为，则的最大值为 ． 方法技巧与步骤： 1.方法一：二次函数法（通用） 步骤1：整理为标准二次函数：（其中，） 步骤2：判断开口方向：（）→开口向上，有最小值；（）→开口向下，有最大值 步骤3：求顶点横坐标：（最值对应的理论n值） 步骤4：确定最值项数：若，则时取最值；若，取左右相邻正整数、，比较与得最值 2.方法二：通项符号法（简便） 求最大值（）：找最大使，则为最大值（需满足） 求最小值（）：找最大使，则为最小值（需满足） 题型09 根据等差数列前n项和的最值求参数范围 【典例1】（25-26高三上·全国·期中）已知等差数列的前项和为，若有且只有两个正整数满足，则实数的取值范围是 . 【变式1】（25-26高二·全国·假期作业）已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为 ． 【变式2】（24-25高二下·北京·期中）已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·上海嘉定·期末）设等差数列的前项和为，且. (1)若，求数列的通项公式； (2)若，且是数列中最大的项，求所有可能的值. 核心考点：由最值条件反向求、等参数的取值范围 方法技巧与步骤： 1.第一步：转化最值条件为不等式组 在处取最大值（）→ 在处取最小值（）→ 的最小值为→顶点横坐标 2.第二步：代入通项公式列含参不等式组 求范围（已知）：代入、列不等式 求范围（已知）：代入上述通项公式列不等式 3.第三步：求解不等式组，结合参数实际意义（如、）确定范围 题型10 等差数列前n项和的应用 【典例1】（2025高二上·福建福州·专题练习）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则中下两层的扇面形石板共有 块. 【变式1】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织的布量相同），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织360尺布”，则第30天织布（    ） A．7尺 B．14尺 C．21尺 D．19尺 【变式2】（25-26高二·全国·假期作业）中国古代建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圜丘坛的地面由扇环形的石板铺成，如图，最高层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共9圈，则第7圈的石板数为 ，前9圈的石板总数为 ．    【变式3】（2025·江苏宿迁·模拟预测）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若小寒、雨水、清明日影长之和为36尺，前八个节气日影长之和为92尺，则谷雨日影长为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 一、单选题 1．（25-26高三上·北京·月考）已知等差数列的前项和为，则（     ） A． B． C．8 D．9 2．（25-26高三上·河南·月考）设等差数列的公差为，其前项和为，若存在唯一的最大值，则下列可能成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高二上·重庆·月考）已知等差数列 和 的前 项和分别为 、 ，若 ，则=（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·山西长治·期中）数列满足，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（25-26高二上·江苏苏州·月考）等差数列前项和为，，，则（   ） A．数列的公差为 B． C． D． 7．（25-26高二上·重庆·期中）若数列为等差数列，其公差为，为其前项和，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C．若 ，则 D．若 ，则 8．（25-26高二上·浙江宁波·月考）（多选）等差数列是递增数列，公差为，前项和为，满足，下列选项正确的是（    ） A． B． C．取得最小值时，或5 D．时，的最小值为10 9．（24-25高二下·黑龙江·月考）设等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D．数列是递减数列 10．（25-26高二上·河北衡水·月考）已知等差数列的前项和为，公差为，则下列结论正确的是（    ） A．若，则数列是递增数列 B．若，，则数列先增后减 C．若，则 D．，，成等差数列 11．（25-26高二上·河南·月考）已知数列是等差数列，其公差为，前项和为，则下列说法正确的有（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则当时最小 D．若，则 12．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知等差数列的前项和为，公差为，则下列判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 13．（25-26高二上·江苏泰州·月考）设为等差数列的前项和，若，，，则（　　） A．数列的公差小于 B． C．的最小值是 D．使成立的的最小值是 三、填空题 14．（江苏省苏南五校2025-2026学年高三上学期12月月考数学试卷）已知等差数列的前n项和为，的前n项和为.若，，则 . 15．（2026高三·全国·专题练习）已知一个等差数列的项数为奇数，其中，，则项数为 ． 四、解答题 16．（2025·广东·模拟预测）已知等差数列的前项和为，其中，. (1)求数列的通项公式； (2)求使得不等式成立的的值. 17．（2025高三·全国·专题练习）已知数列是等差数列． (1)若前四项和为21，末四项和为67，且前项和为286，求； (2)若，，求； (3)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数． 18．（25-26高二上·河南新乡·月考）（1）若为等差数列，且，求的通项公式； （2）记的前项和为，若，且为等差数列，求和． 19．（25-26高三上·新疆昌吉·月考）已知数列是等差数列. (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，求此数列的项数. 20．（25-26高二上·天津西青·月考）设等差数列的前项和为 ，． (1)求的通项公式； (2)求的最大值； (3)设数列的前项和为，求． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 等差数列的前n项和及其性质 教学目标 1.数学抽象：理解等差数列前n项和的定义，把握“累加求和”的本质，能区分前n项和与任意项的概念差异. 2.逻辑推理：能从等差数列的定义出发，推导前n项和的两个核心公式（倒序相加法、错位相减法），理解公式的推导逻辑；能结合前n项和的函数性质，推理等差数列的单调性与前n项和最值的关系. 3.数学运算：熟练掌握前n项和公式的“知三求一”应用（已知、、、中三项求第四项），能利用前n项和性质简化求和计算；能求解前n项和的最值问题，掌握相关运算技巧. 4.直观想象：理解前n项和作为二次函数（或一次函数）的图像特征，能通过图像分析前n项和的增减性、最值位置，建立数与形的联系. 5.应用意识：能将实际中的求和问题转化为等差数列前n项和模型，准确识别首项、公差、项数，利用公式或性质求解，培养数学建模能力. 教学重难点 （一）核心重点 1.等差数列前n项和两个核心公式的推导过程与记忆. 2.前n项和公式的灵活应用（知三求一、结合通项公式综合计算）. 3.前n项和核心性质的理解与应用（片段和性质、奇偶项和性质等）. 4.前n项和最值的求解方法. （二）高频难点 1.前n项和公式推导思路的理解（倒序相加法的本质与适用场景）. 2.前n项和性质的灵活迁移应用（如片段和性质在复杂求和问题中的运用）. 3.前n项和最值问题中，项数的正整数限制对结果的影响. 4.实际应用问题中，首项、公差、项数的准确识别与转化（如“第几项对应实际问题中的第几个阶段”）. 知识点01 等差数列前n项和的定义 1.定义：对于等差数列，从第1项到第n项的所有项的和，叫做等差数列的前n项和，记作（）. 2.符号表示：. 3.特殊说明：当时，规定（辅助理解递推关系，）；当时，. 易错辨析： 易错点1：混淆“前n项和”与“第n项”，误将当作，忽略是累加和的本质. 易错点2：忽略的取值范围，将时当作实际求和结果，导致逻辑错误（实际求和中为正整数）. 重点记忆内容： 前n项和的核心本质：“累加求和”，是从首项到第n项的所有项的代数和. 与的基础关联：，（），这是连接前n项和与通项的关键递推关系. 常考结论： 若数列是等差数列，则，，，…仍为等差数列（片段和性质的基础）. 若（），则（由前n项和公式推导）. 【即学即练】 1．（25-26高二上·北京平谷·月考）在等差数列中，已知，那么这个数列前100项的和等于（  ） A．170 B．145 C．120 D．80 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质，由奇数项之和与公差可求出偶数项之和，两者相加即为该数列前100项的和. 【详解】因为， 所以 故选：B. 2.（25-26高二上·江苏连云港·月考）在等差数列中，，则它的前7项和（    ） A．18 B．21 C．24 D．28 【答案】D 【分析】应用等差数列项的性质结合等差数列求和公式计算求解. 【详解】在等差数列中，，则， 则该数列的前7项和. 故选：D. 知识点02 等差数列前n项和的两个核心公式 1.公式一（已知首项、公差、项数）：（）. 2.公式二（已知首项、第n项、项数）：（），也可写作，本质是“项数×等差中项”. 3.推导过程： 公式二推导（倒序相加法）：由，倒序得，两式相加得，整理得. 公式一推导（代入转化）：将通项公式代入公式二，得. 易错辨析： 易错点1：公式记忆错误，如将公式一误写为，或公式二误写为（遗漏项数）. 易错点2：选择公式不当，已知时未优先用公式二，导致计算繁琐；已知时未用公式一，增加解题难度. 易错点3：计算时忽略运算顺序，如公式一中的计算，先算乘法再算除法，避免出现符号或数值错误. 重点记忆内容： 两个公式的适用场景：①已知、、，用公式一；②已知、、，用公式二；③已知、、，可先由求，再用公式一或二. 倒序相加法的核心思想：利用等差数列“”的对称性，将分散的项合并求和，这是等差数列求和的专属核心方法. 公式的统一关系：两个公式本质等价，可通过通项公式相互转化，解题时需根据已知条件灵活选择. 常考结论： 若等差数列的前n项和为，前m项和为（），则. 若，则，即前n项和为与前n个正整数和的乘积. 【即学即练】 1．（25-26高二上·河南·月考）在等差数列中，为其前项和．若，则（　　） A．205 B．410 C．230 D．460 【答案】A 【分析】根据等差数列的下标和性质得出，再利用等差数列的前项和公式求出. 【详解】因为，所以， 由等差数列的性质得， 所以 ． 故选：A． 2．（25-26高二上·山东青岛·月考）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】C 【分析】先明确前项和公式与通项公式；再将代入前项和公式，列出关于和的方程组；接着化简求解得、；最后把基本量代入通项公式，算出. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，前项和为， 根据条件代入得：，即， 根据条件，分别计算和：， ，代入条件得， 得，即将代入，得， 因此. 故答案选：C 知识点03 等差数列前n项和的函数性质 1.函数形式转化：将公式一整理为关于的函数，得（）. 2.函数性质分析： 当时，是关于的二次函数，且二次项系数为，一次项系数为，常数项为0；其图像是抛物线上的孤立点（为正整数）. 当时，，若，则是关于的一次函数；若，则（常函数），对应常数列的前n项和. 3.核心关联：数列是等差数列的充要条件是其前n项和为关于的二次函数（）或一次函数（，）或常函数（，），且常数项为0. 易错辨析： 易错点1：误将的函数图像当作连续抛物线，忽略的限制，导致最值求解时误取非正整数. 易错点2：认为“所有二次函数对应的数列都是等差数列”，忽略“常数项为0”的前提（如，常数项为1，对应的数列不是等差数列）. 易错点3：混淆的符号与二次函数开口方向的关系，时二次项系数，抛物线开口向上；时开口向下. 重点记忆内容： 的函数本质：等差数列前n项和是“不含常数项的二次函数（或一次函数、常函数）对应的正整数离散点”，这是判断数列是否为等差数列的重要依据. 二次函数视角下的最值规律：当时，的最值对应抛物线的顶点横坐标，需结合顶点横坐标是否为正整数，判断最值所在的项数. 常考结论： 若（、为常数），则数列是等差数列，且公差，首项. 若等差数列的前n项和为，且（），则数列从第2项起为等差数列，第1项为，第2项及以后的公差为. 当时，的顶点横坐标为，若为正整数，则时取得最值；若不是正整数，则取左右相邻的正整数，比较对应的大小得最值. 【即学即练】 1．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知等差数列的前项和为，，且，则取最大值时的值为 . 【答案】6 【分析】首先由条件得到，再代入等差数列的前项和公式，根据二次函数的性质，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，则，即， ，其中， 对称轴为，所以当时，取得最大值. 故答案为：6 2.（2025高三·全国·专题练习）已知在等差数列中，，，则该数列前多少项的和最小？ 【答案】或时，取最小值 【分析】解法1：由等差数列的基本量运算求得，然后求出 ，利用二次函数性质求解最小值即可； 解法2：由等差数列的基本量运算求得，由的符号法求解和的最小值； 解法3：由及等差数列的性质可知，又，可知前10项或前11项和最小． 【详解】解法1：设等差数列的公差为， 由题意得， 即，即， 因为，所以， 所以 ． 因为，所以有最小值． 又因为，所以或时，取最小值． 解法2：同解法1，由，得． 由得 解得． 故取10或11时，取最小值． 解法3：因为，所以，所以，所以． 因为，所以前10项或前11项和最小． 知识点04 等差数列前n项和的核心性质 1.片段和性质：若等差数列的前n项和为，则，，，…，（）仍为等差数列，且新数列的公差为. 2.奇偶项和性质：设等差数列的前n项和为，公差为： 当为偶数时，；且（此处为偶数，，，）. 当为奇数时，（为第项，即中间项）；且，. 3.与的关系性质：（），；延伸：若，（公差）. 4.对称项和与和的关系：若（），则，对应前n项和的关联：. 易错辨析： 易错点1：应用片段和性质时，忽略“连续n项和”的前提，误将非连续片段（如，）当作等差数列的项. 易错点2：奇偶项和性质中，混淆为奇数与偶数的结论，如将为奇数时的误用于为偶数的情况. 易错点3：应用时，遗漏“”项，直接写作，导致计算错误. 易错点4：利用与的关系时，忽略的限制，直接用求，导致首项错误. 重点记忆内容： 片段和性质的核心作用：简化“连续多段n项和”的计算，无需逐一求各段和，可通过等差数列性质快速推导未知段和. 奇偶项和性质的记忆关键：分的奇偶性梳理结论，重点牢记为奇数时“和等于项数×中间项”，这是快速计算奇数项和的核心技巧. 与的关系是“连接和与通项”的桥梁，适用于已知前n项和求通项的题目，必须优先验证的情况. 常考结论： 若等差数列的前n项和为，且，（），则. 若等差数列的前n项和为，前p项和，前q项和（），则. 片段和性质的延伸：，，满足. 当等差数列的公差时，前n项和的最大值与最小值可通过“且（求最大值）”或“且（求最小值）”求解. 【即学即练】 1．【多选题】（2025·广东汕尾·一模）分别是等差数列的前项和，则（    ） A．是等差数列 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】由等差数列的性质及前项和性质进行求解． 【详解】设等差数列的公差分别为， 则， 所以是等差数列，A正确； ，故B错误； 设， 则， 又， 所以. 可设， 所以， 所以，故C正确； 成等差数列， 又， 所以，所以，故D错误. 故选：AC 2．（25-26高二上·江苏连云港·月考）等差数列共有12项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则公差 ． 【答案】 【分析】根据等差数列偶数项和与奇数项和的差即可求解. 【详解】由题意，①， ②， ②①可得，，即， 故答案为： 知识点05 等差数列前n项和的最值求解方法 1.方法一（函数法）：利用的二次函数性质（时），通过求二次函数的顶点横坐标，结合确定最值项数，再代入公式求最值. 2.方法二（通项法）：根据等差数列的单调性，通过判断通项的符号变化确定最值： 求最大值：若（数列递减），令且，解得的取值范围，对应的即为使最大的项数；若所有，则的最大值为（为最后一项）. 求最小值：若（数列递增），令且，解得的取值范围，对应的即为使最小的项数；若所有，则的最小值为（为最后一项）. 3.方法三（性质法）：利用为奇数时的性质，若是最值项，则对应的即为最值. 易错辨析： 易错点1：用函数法求最值时，未结合的限制，直接将二次函数顶点横坐标对应的实数作为项数，导致结果无意义. 易错点2：用通项法时，遗漏“”的符号判断，仅根据的符号确定最值项数，导致漏判（如时，与相等，均为最值）. 易错点3：忽略无穷等差数列与有穷等差数列的区别，认为无穷递减等差数列有最小值（实际无穷递减等差数列无最小值，仅有最大值）. 重点记忆内容： 三种方法的适用场景：①已知的函数表达式，用函数法；②已知通项公式或首项、公差，用通项法；③已知为奇数且能确定中间项，用性质法. 最值求解的核心逻辑：找到“正负项分界点”（或函数顶点），结合项数的正整数属性确定最值位置，无论哪种方法，最终都需代入公式计算具体最值. 常考结论： 若等差数列满足且（），则为前n项和的最大值；若且（），则为前n项和的最小值. 若等差数列的前n项和的最大值为，则且；最小值为，则且. 当时，若的顶点横坐标（为非整数），则的最值为（时取最小值，时取最大值），其中表示不大于的最大整数. 【即学即练】 1．（25-26高二上·山东青岛·月考）数列的通项公式是，的前项和为，则取得最小值时 . 【答案】12或13 【分析】根据条件得数列的前项均为负数，，即可求解. 【详解】因为，易知数列是等差数列，且公差为，所以为递增数列， 由，得到，所以数列的前项均为负数，， 则取得最小值时 或， 故答案为：或. 2.（25-26高二上·湖北武汉·月考）在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取得最大值，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得数列是递减数列，则有，解出即可得. 【详解】由等差数列中，当且仅当时取得最大值， 则数列是递减数列，又， 则，解得， 故的取值范围为. 故答案为：. 题型01 求等差数列的前n项和 【典例1】（25-26高二上·福建厦门·月考）在数列中，，.记是数列的前项和，则（   ） A．1325 B．1300 C．1350 D．1375 【答案】B 【分析】按n为奇数，偶数分类，然后结合等差数列求和公式可得答案. 【详解】当为奇数，由题可得，即数列所有奇数项为首项为1，公差为1的等差数列， 则； 当为偶数，由题可得，即数列所有相邻偶数项和为1， 则， 从而. 故选：B 【变式1】（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知等差数列的前n项和为，且，则（   ） A．52 B．104 C．112 D．120 【答案】A 【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质即可求解. 【详解】， 故选：A 【变式2】（25-26高二上·河北衡水·月考）已知某等差数列共7项，若该数列后4项和比前4项和大24，且前3项和为9，则该数列所有项的和为 . 【答案】 【分析】结合等差数列的通项和前项和的基本量运算，列式计算即得. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意知，解得， 又因为，所以， 所以. 故答案为：49. 【变式3】（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B．11 C．15 D．20 【答案】C 【分析】利用等差数列通项公式将已知条件转化为的表达式，结合等差数列性质求出前15项和. 【详解】设等差数列的公差为， 由等差数列通项公式，，，代入， 得， 化简得，即，故. 等差数列前项和，由等差数列性质， 得. 故选：C 方法技巧与步骤： 1.第一步：匹配已知条件与公式 已知（首项）、（公差）、（项数）→用公式： 已知、（第n项）、→用公式：（优先选用，简化计算） 已知、、→先由通项公式求，再代入上述任一公式 2.第二步：代入计算，遵循“先括号/乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序 3.第三步：结果验证（可选）：结合数列单调性判断和的合理性（如时，随递增，） 题型02 等差数列前n项和基本量的计算 【典例1】（25-26高二上·江苏苏州·月考）等差数列前n项的和为，已知，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据等差数列性质可得，，结合题意运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，则， 又因为，即，解得或， 若，则，不合题意； 若，则，解得； 综上所述：. 故选：D. 【变式1】（25-26高三上·广西崇左·月考）已知等差数列的前项和为，若，，则公差 . 【答案】 【分析】利用等差数列的性质和通项公式计算求解即可. 【详解】因为数列是等差数列，所以，解得， 所以，解得， 故答案为： 【变式2】（25-26高二上·重庆·月考）已知数列为等差数列，其前项和为，若，，则 . 【答案】 【分析】根据等差数列的性质和求和公式得到，，从而得到公差，进而得到. 【详解】由题意得，又，故，解得， 又，，所以，解得， 所以的公差为，所以. 故答案为： 【变式3】（2025高三上·河南开封·专题练习）已知等差数列，前n项和为则（    ） A．200 B．300 C．400 D．500 【答案】D 【分析】本题可以通过等差数列的前项和计算得出结果． 【详解】设数列的首项为，公差为， 则， 化简得. 故选：D. 方法技巧与步骤： 1.第一步：定位未知量，筛选核心公式 含与混合计算→联立与对应前n项和公式 仅含计算→直接选用匹配的前n项和公式 2.第二步：建立方程（组）求解 单未知量→公式变形直接求解（如已知、、求，需解一元二次方程） 双未知量→联立两个独立公式列方程组（如已知、求、，联立与） 3.第三步：检验结果：确保，的符号与数列单调性一致 题型03 含绝对值的等差数列前n项和 【典例1】（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）已知数列的前n项和Sn满足，则数列的前12项和为（　　） A．112 B．48 C．80 D．64 【答案】C 【分析】根据，先求出数列的通项公式，即可判断各项的正负，然后再直接求解数列的前12项的和即可. 【详解】由，得当时，， 当时，满足上式，则，当时，；当时，， 所以 ． 故选：C 【变式1】（25-26高二上·天津红桥·月考）已知数列满足，则数列的前10项和为（　　） A．58 B．52 C．62 D．60 【答案】B 【分析】先根据判断数列的正负性，进而确定数列的表达式，再计算数列的前10项和. 【详解】因为，，令，得， 因为，所以当时，； 当时，. 所以，记数列的前项和为， 则 . 故选：B 【变式2】（25-26高二上·山东菏泽·月考）在等差数列中，已知，. (1)求通项及前项和； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式列方程求出和，即可得通项和前项和； （2）利用绝对值的性质，分和两类情况求和即得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得； ， 则， ； （2）数列的前n项和， 由（1）知，当时，，所以， 当时， ； 综上，. 【变式3】（25-26高二上·重庆·月考）已知数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，由可得，两式作差可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式； （2）化简的表达式，分、两种情况讨论，结合等差数列的求和公式可得出的表达式. 【详解】（1）因为数列的前项和为，，， 当时，由可得， 上述两个等式作差得， 即，所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，故. （2）， 当且时，，且， 当且时，. 综上所述，. 方法技巧与步骤： 1.第一步：求正负分界项数（关键步骤） （数列递减）→解不等式组 （数列递增）→解不等式组 计算：代入列不等式，解得正整数 2.第二步：分段计算绝对值和 时：（直接用前n项和公式） 时：（为前k项和，抵消后项的负号） 3.第三步：特殊值验证：如时，时，确保分段逻辑正确 题型04 等差数列奇数项或偶数项的和 【典例1】（25-26高二上·江苏苏州·月考）若成等差数列，奇数项的和为75，偶数项的和为60，则该数列的项数为（   ） A．4 B．5 C．9 D．11 【答案】C 【分析】利用奇偶数项的和及等差数列的性质有，即可求项数. 【详解】由题设，则，显然， 所以，可得，则共有项. 故选：C 【变式1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知一个项数为的等差数列，设其前项和为，其所有奇数项的和为480，所有偶数项的和为360，公差，则当为偶数时，此数列首尾两项之和为 ． 【答案】56 【分析】只需根据等差数列前项和性质求得的值，再结合等差数列性质即可求解. 【详解】当为偶数时，由题意可知， 所以，所以， 此时，解得， ，解得， 则． 故答案为：56. 【变式2】（24-25高二下·山西晋中·月考）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【分析】设等差数列的项数为，利用等差数列的性质，求出所有奇数和与所有偶数和的比与的关系，求出，即可求出项数. 【详解】设等差数列的项数为， 设所有的奇数项和为，则， 设所有的偶数项和为，则， 由，解得， 项数. 故选：C. 【变式3】（24-25高二·全国·课堂例题）若等差数列的项数为，则 ． 【答案】 【分析】根据，与联立求出，即可化简得到结果. 【详解】因 联立解得： 故. 故答案为：. 方法技巧与步骤： 1.第一步：定义相关量：设为奇数项和（），为偶数项和（），明确项数的奇偶性 2.第二步：应用对应性质 为偶数（）： 性质1：（，差值为个公差） 性质2：（奇偶项各项，分别以、为中间项） 为奇数（）： 性质1：（中间项，奇数项比偶数项多1项） 性质2：（和=项数×中间项） 性质3：（奇数项项，偶数项项） 3.第三步：结合总前n项和验证结果 题型05 等差数列的片段和性质及其应用 【典例1】（25-26高二上·广东佛山·月考）已知等差数列的前项和为，，，则 . 【答案】9 【分析】利用片段和性质求解可得. 【详解】在等差数列中，，，所以，， 故构成公差为2的等差数列， 所以，即. 故答案为：9 【变式1】（25-26高二上·广东梅州·月考）在等差数列中，若，，则（   ） A．10 B．18 C．26 D．32 【答案】D 【分析】利用等差数列片段和的性质求解. 【详解】因为数列为等差数列，所以等差数列的片段和： ，，，仍为等差数列. 又，， 所以 ， . 故选：D 【变式2】（25-26高二上·吉林四平·月考）已知等差数列的前项和为，若，则 . 【答案】56 【分析】利用等差数列前项和的性质结合等差中项即可求解 【详解】因为是等差数列，所以成等差数列， 则，即，解得. 故答案为： 【变式3】（25-26高二上·河北·月考）已知等差数列的前项和为，且，则 ． 【答案】4 【分析】根据等差数列的部分和性质可得，，，成等差数列，设，分别用表示即可得. 【详解】由等差数列前项和的性质可得：，，，成等差数列． 令，则，，，成等差数列． 由，设，得， 则，，， 所以，， 所以． 故答案为：. 方法技巧与步骤： 1.第一步：定义片段和序列：设为前n项和，片段和为（记为，其中，） 2.第二步：应用核心性质 性质1：是等差数列，公差（原公差的倍） 性质2：前个片段和的和 性质3：连续三个片段和满足等差中项： 3.第三步：结合已知计算 已知两个片段和求第三个→用等差中项性质 已知片段和求原数列参数→先求，再由求，进而求等 题型06 等差数列前n项和与n的比值为等差数列 【典例1】（25-26高二上·安徽·月考）（1）若为等差数列，且，，求的通项公式； （2）记的前项和为，若，，且为等差数列，求和． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）由等差数列的通项公式列方程组求解可得结果； （2）设的公差为，由等差数列的通项公式得到的通项公式，从而得到的表达式，由可得的值，从而得到和. 【详解】（1）设的公差为． 由题意知解得 所以． （2）设的公差为， 则，即． 当时，， 所以，得， 所以，也符合该式． 所以． 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中，，其前n项和为，若，则 ． 【答案】 【分析】由等差数列前n项和的性质,知也为等差数列，由题意得其公差，，根据等差数列的通项公式可得，即可求解. 【详解】由等差数列前n项和的性质可知，数列也为等差数列， 设其公差为d，则由， 可得，即． 又， 所以， 所以． 故答案为：. 【变式2】（2024·四川乐山·三模）已知是等差数列的前项和. (1)证明：是等差数列； (2)设为数列的前项和，若，求. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，然后由等差数列的定义证明即可； （2）由（1）可知数列是等差数列，由求出其首项和第四项，然后求出公差，利用等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）证明：设等差数列的公差为， ，． ． 是等差数列． （2）， 数列的首项为2，第四项为． 数列的公差． ． 【变式3】（23-24高二下·四川成都·月考）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)求证：数列是等差数列，并写出其首项与公差. 【答案】(1) (2)证明见解析，首项为，公差为 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解， （2）根据等差数列的定义证明即可. 【详解】（1）设数列的首项为，公差为， 依题意得：，解得：， 故. 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知， 所以，所以， 所以数列是以为公差的等差数列，又， 故数列的首项为，公差为. 核心考点：证明为等差数列，或利用该性质求参数 方法技巧与步骤： 1.方法一：定义法证明 步骤1：写出的函数形式： 步骤2：化简比值：（关于的一次函数） 步骤3：证明公差为常数：（与无关），故为等差数列，公差，首项 2.方法二：性质法求参数 性质：若为等差数列，则（为常数），即 计算：结合已知列方程求，进而得、 3.方法三：等差中项应用：若成等差数列，则 题型07 两个等差数列前n项和之比的问题 【典例1】（25-26高二上·天津河东·月考）已知等差数列的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差数列前项和公式以及下标和性质可得 【详解】由等差数列的前项和分别为且， 所以 故选： D 【变式1】（25-26高二上·江苏泰州·月考）已知等差数列，前项和分别为和，若，则 . 【答案】1 【分析】利用等差数列下标和的性质及等差数列前n项和公式有，结合已知求值即可. 【详解】由，， 所以. 故答案为： 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）设与是两个等差数列，它们的前n项和分别为和，若， 则：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ； 【答案】 【详解】（1）因为等差数列，的前n项和分别是，，所以； （2）若，不妨设，，时，，同理可得，则． （3）； （4），同（3）； （5）； 【变式3】（25-26高二上·江苏泰州·月考）已知是等差数列的前项和，是等差数列的前项和，若，则 ． 【答案】/ 【分析】设，其中，则，可得出，，即可得出的值. 【详解】因为是等差数列的前项和，是等差数列的前项和，若， 可设，其中，则， 所以， ， 故. 故答案为：. 核心考点：用转化项之比与和之比 方法技巧与步骤： 1.第一步：推导桥梁公式：对任意等差数列，，故 2.第二步：转化比值关系 设两等差数列、的前n项和为、，则（） 推导：（消去分母） 3.第三步：代入计算：已知的表达式，代入即可求，反之亦然 题型08 由等差数列前n项和的函数特性求最值 【典例1】（25-26高二上·陕西咸阳·月考）已知数列的前项和满足， (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最大值. 【答案】(1) (2)42 【分析】（1）由与的关系式可得答案； （2）配方，结合二次函数最值可得答案. 【详解】（1）由 ，得 当 时，； 当 时，， 又 时，，符合上式， 故数列 的通项公式为 （）. （2）， 由于 为正整数，且 ，， 故 . 【变式1】（25-26高二上·贵州贵阳·月考）记为等差数列的前项和，且满足，. (1)求； (2)是否存在最值，如果存在，求出取得最值时的值？如果不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在；或时，取得最大值，无最小值 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据条件求出，然后写出等差数列通项公式即可； （2）根据等差数列的前项和公式写出，再利用函数性质求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意得：，， 则，解得， 所以. （2）由， 函数开口向下，对称轴为， 而，则或6， 此时， 所以在或6时，取得最大值，无最小值. 【变式2】（25-26高三上·贵州·月考）已知等差数列满足. (1)求的通项公式； (2)记为的前项和，若单调递减，求的最值. 【答案】(1)或. (2)最大值为， 无最小值 【分析】（1）设的公差为，则，然后解得或2，再根据求通项即可； （2）根据题意得，进而得到，结合二次函数性质可得最值． 【详解】（1）设的公差为， 由题意可得，    即，解得或2， 于是或； （2）由单调递减可知， 故，    当且仅当时， 取得最大值为，    由二次函数图象知无最小值． 【变式3】（25-26高二上·天津红桥·月考）已知数列的通项公式为，前项和为，则的最大值为 ． 【答案】35 【分析】首先根据通项公式判断为等差数列，再利用的公式求得为二次函数的性质，结合，即可求得的最大值. 【详解】因为数列的通项公式为，所以为等差数列，且； 所以，根据二次函数的性质可得，当时，取得最大值，又因为，所以当时，取得最大值； 方法技巧与步骤： 1.方法一：二次函数法（通用） 步骤1：整理为标准二次函数：（其中，） 步骤2：判断开口方向：（）→开口向上，有最小值；（）→开口向下，有最大值 步骤3：求顶点横坐标：（最值对应的理论n值） 步骤4：确定最值项数：若，则时取最值；若，取左右相邻正整数、，比较与得最值 2.方法二：通项符号法（简便） 求最大值（）：找最大使，则为最大值（需满足） 求最小值（）：找最大使，则为最小值（需满足） 题型09 根据等差数列前n项和的最值求参数范围 【典例1】（25-26高三上·全国·期中）已知等差数列的前项和为，若有且只有两个正整数满足，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求等差数列公差，得到前项和的二次函数表达式，利用二次函数的对称性与单调性，计算关键项的和，确定的取值范围. 【详解】由等差数列性质，，代入，，得，解得. 前项和. 是开口向下的二次函数，对称轴为. ，， ，. 因只有两个正整数满足，结合的单调性，需满足. 故答案为： 【变式1】（25-26高二·全国·假期作业）已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据等差数列通项和前项和的函数性可证得数列为等差数列，结合已知等式可求得，由可构造不等式组求得结果. 【详解】设等差数列的公差为， ， ， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ，解得， 解得， 即的取值范围为． 故答案为：． 【变式2】（24-25高二下·北京·期中）已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由数列通项可证明数列为等差数列，再由恒成立即可得，解不等式即可求得结果. 【详解】根据题意令， 显然为常数； 所以为等差数列，首项为， 由对任意的恒成立,可知数列为递减数列，且从第11项起开始小于等于0， 所以，即，解得， 故选：A 【变式3】（24-25高二上·上海嘉定·期末）设等差数列的前项和为，且. (1)若，求数列的通项公式； (2)若，且是数列中最大的项，求所有可能的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得的公差和首项，进而可求通项. （2）根据数列中的最大项列不等式，从而求得的所有可能取值. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则 ，解得， ∴. （2）由（1）得， 由于是数列中最大的项， ∴，则 ， 所以，即 即 解得， 由于是整数，所以的可能取值是. 核心考点：由最值条件反向求、等参数的取值范围 方法技巧与步骤： 1.第一步：转化最值条件为不等式组 在处取最大值（）→ 在处取最小值（）→ 的最小值为→顶点横坐标 2.第二步：代入通项公式列含参不等式组 求范围（已知）：代入、列不等式 求范围（已知）：代入上述通项公式列不等式 3.第三步：求解不等式组，结合参数实际意义（如、）确定范围 题型10 等差数列前n项和的应用 【典例1】（2025高二上·福建福州·专题练习）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则中下两层的扇面形石板共有 块. 【答案】2997 【分析】将其转化为等差数列求和问题，运用等差数列通项及前n项和性质求解. 【详解】设第k环扇形石板块数为，上层共有n环，为数列的前n项和， 则是首项为9，公差为9的等差数列，，， 上层、中层、下层的块数分别为， 由下层比中层多729块，得， 即，解得， 所以中下两层共有扇形石板（块）. 故答案为：2997 【变式1】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织的布量相同），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织360尺布”，则第30天织布（    ） A．7尺 B．14尺 C．21尺 D．19尺 【答案】D 【分析】由题意该女每天织布数量构成首项为的等差数列，由等差数列前项和公式计算可得公差的值，由此能求出第30天织布数量． 【详解】由题意该女每天织布数量构成首项为的等差数列，设公差为， 则， 解得， 所以第30天织布（尺）． 故选：D． 【变式2】（25-26高二·全国·假期作业）中国古代建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圜丘坛的地面由扇环形的石板铺成，如图，最高层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共9圈，则第7圈的石板数为 ，前9圈的石板总数为 ．    【答案】 63 405 【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式即可求解. 【详解】由题可知从第1圈到第9圈的石板数形成等差数列，且首项，公差， 则第7圈的石板数为，前9圈的石板总数为． 故答案为：63；405． 【变式3】（2025·江苏宿迁·模拟预测）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若小寒、雨水、清明日影长之和为36尺，前八个节气日影长之和为92尺，则谷雨日影长为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【分析】令所给等差数列为，由给定的两个和建立方程，结合等差数列性质求解. 【详解】令所给等差数列为，其前项和为， 则，即，因此， 解得， 则数列的公差，所以谷雨日影长. 故选：B 一、单选题 1．（25-26高三上·北京·月考）已知等差数列的前项和为，则（     ） A． B． C．8 D．9 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用等差数列通项公式求出公差，进而求出其前5项和. 【详解】设等差数列 的公差为，由，得， 解得，因此， 所以. 故选：A 2．（25-26高三上·河南·月考）设等差数列的公差为，其前项和为，若存在唯一的最大值，则下列可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，可得出，再由，可得出，可求出的取值范围，然后逐项检验即可. 【详解】因为数列为等差数列，且其前项和为， 若存在唯一的最大值，则必有，， 根据题意可知，解得， 且，解得， 故，即，解得，故A不符合题意； 对于B选项，当时，，故B不符合题意； 对于C选项，当时，，故C符合题意； 对于D选项，当时，，故D不符合题意. 故选：C. 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意，由等差数列前n项和的性质可得，要使为整数，只需要为的因数即可. 【详解】， 又， ， 当时，，所以使得为整数的正整数的个数是4个. 故选：D. 4．（25-26高二上·重庆·月考）已知等差数列 和 的前 项和分别为 、 ，若 ，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列下标和性质及等差数列求和公式计算可得. 【详解】依题意得. 故选：A 5．（25-26高三上·山西长治·期中）数列满足，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简，根据裂项相消法计算即可求解. 【详解】因为， 所以， 设数列的前项和为， 则. 故选：B 二、多选题 6．（25-26高二上·江苏苏州·月考）等差数列前项和为，，，则（   ） A．数列的公差为 B． C． D． 【答案】AB 【分析】设等差数列的公差为，根据等差数列的求和公式可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列通项公式和求和公式逐项判断即可. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得， 对于A选项，数列的公差为，A对； 对于B选项，，，则，B对； 对于C选项，， ，，故，C错； 对于D选项，，所以，D错. 故选：AB. 7．（25-26高二上·重庆·期中）若数列为等差数列，其公差为，为其前项和，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】AB 【分析】根据等差数列的求和公式，可判定A、B正确；结合特例法，可判定C、D不正确. 【详解】对于A，根据等差数列的求和公式，可得，所以A正确； 对于B，根据等差数列的求和公式，可得，所以B正确； 对于C，取，可得，而，所以C错误； 对于D，取，可得，而，所以D错误. 故选：AB. 8．（25-26高二上·浙江宁波·月考）（多选）等差数列是递增数列，公差为，前项和为，满足，下列选项正确的是（    ） A． B． C．取得最小值时，或5 D．时，的最小值为10 【答案】BCD 【分析】对于：因为等差数列是递增数列，即可判断公差为的正负； 对于：利用等差数列的通项公式，可化简为，即可判断的正负； 对于：利用的公式，结合可得：，再结合数列的性质，即可得取得最小值时，的取值； 对于：令，解得的取值范围，结合，即可得出时，的最小值； 【详解】对于：因为等差数列是递增数列，所以公差为，故选项错误； 对于：，因为，所以，故选项正确； 对于：，将代入得：， 因为，根据二次函数的性质可知，当时，取得最小值， 又因为，所以当或者时，取得最小值，故选项正确； 对于：因为，为开口向上的二次函数，令得或者， 又因为，所以时，的最小值为10，故正确. 故选： 9．（24-25高二下·黑龙江·月考）设等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D．数列是递减数列 【答案】ABD 【分析】利用等差数列的通项公式及已知得，结合等差数列的前n项和公式、等差数列的定义和性质判断各项的正误. 【详解】设的公差为，又，则， 所以，即，A、B对； ，C错； 由，则， 所以数列是递减的等差数列，D对. 故选：ABD 10．（25-26高二上·河北衡水·月考）已知等差数列的前项和为，公差为，则下列结论正确的是（    ） A．若，则数列是递增数列 B．若，，则数列先增后减 C．若，则 D．，，成等差数列 【答案】CD 【分析】利用等差数列的通项公式、前项和公式，结合等差数列性质、二次函数性质分析判断即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则， 当时，是关于的二次函数. 选项A，若，是开口向上的二次函数，单调性由对称轴决定. 如，时，，，，此时，不是递增数列，故A错误； 选项B，若，，是开口向上的二次函数，对称轴，此时先减后增， 如，时，，，，，先减后增，而非先增后减数列，故B错误； 选项C，若，则，即，所以，故C正确； 选项D，因为， ， 所以，， 所以成等差数列，故D正确. 故选：CD. 11．（25-26高二上·河南·月考）已知数列是等差数列，其公差为，前项和为，则下列说法正确的有（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则当时最小 D．若，则 【答案】BCD 【分析】对于A，根据等差数列基本量计算即可；对于B，由等差数列的性质可得即可；对于C，由等差数列的单调性，时，，当时，即可判断；对于D，由等差数列前项和性质，为等差数列即可求解． 【详解】因为，所以，解得，故A错误． 因为，所以 ，所以．故B正确． 因为，所以当时，，当时，，所以当时最小．故C正确． 由等差数列的性质，得是公差为的等差数列， 即是等差数列． 因为，所以成等差数列， 即，解得．故D正确． 故选：BCD． 12．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知等差数列的前项和为，公差为，则下列判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据等差数列的通项公式、求和公式及性质逐一判断各选项. 【详解】等差数列的前项和为，公差为， 对于A：若，则，A选项正确； 对于C：若，则，C选项正确； 对于B：若，则，B选项错误； 对于D：若，则，D选项正确； 故选：ACD. 13．（25-26高二上·江苏泰州·月考）设为等差数列的前项和，若，，，则（　　） A．数列的公差小于 B． C．的最小值是 D．使成立的的最小值是 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，结合等差数列前项和公式及等差数列的性质，逐项计算判断作答. 【详解】对于A选项，设等差数列的公差为，则， 由得，故， 可得，故数列的公差大于，A错； 对于B选项，由得， 因为，故数列单调递增，所以，B对； 对于C选项，因为数列单调递增，且， 故当且时，；当且时，. 所以的最小值是，C对； 对于D选项，因为， ， ， 故成立的的最小值是，D对. 故选：BCD. 三、填空题 14．（江苏省苏南五校2025-2026学年高三上学期12月月考数学试卷）已知等差数列的前n项和为，的前n项和为.若，，则 . 【答案】 【分析】根据等差数列的性质设出，再根据已知条件求出，即可计算出的值. 【详解】因为数列为等差数列，为其前n项和，由其性质可知数列为等差数列， 又因为为等差数列的前n项和，即， 因为，所以，解得， 所以，故. 故答案为： 15．（2026高三·全国·专题练习）已知一个等差数列的项数为奇数，其中，，则项数为 ． 【答案】19 【分析】根据给定条件，利用等差数列前项和公式，结合等差数列的性质列式求解. 【详解】设等差数列的项数为， 则， ， 因此，解得，所以所求项数为. 故答案为：19 四、解答题 16．（2025·广东·模拟预测）已知等差数列的前项和为，其中，. (1)求数列的通项公式； (2)求使得不等式成立的的值. 【答案】(1) (2)1，2 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及求和公式列出方程求公差和首项即可得解； （2）由等差数列的求和公式、通项公式化简不等式求解即可． 【详解】（1）依题意，，解得， 故数列的公差， 则； （2）， 故，即，即，解得， 因为，所以使得不等式成立的的值为1，2． 17．（2025高三·全国·专题练习）已知数列是等差数列． (1)若前四项和为21，末四项和为67，且前项和为286，求； (2)若，，求； (3)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数． 【答案】(1) (2) (3)中间项为，项数为7项 【分析】（1）利用即可求解； （2）根据等差数列的前项和的性质：，，成等差数列即可求解； （3）设项数为，分别表示出奇数项和偶数项的和，即可求解项数和中间项. 【详解】（1）依题意知， ， 所以， 所以．因为，所以． （2）因为，，成等差数列， 所以 即． （3）设项数为，则奇数项有项，偶数项有项，中间项为， 则 ，， 所以．所以，中间项为，项数为7项． 18．（25-26高二上·河南新乡·月考）（1）若为等差数列，且，求的通项公式； （2）记的前项和为，若，且为等差数列，求和． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用等差数列的通项公式列方程组计算即可. （2）利用为等差数列求出表达式，利用求出表达式，进而求出的通项公式. 【详解】（1）设的公差为． 由题意知，解得， 所以． （2）设的公差为， 则，即． 当时，， 又，得， 所以，也符合该式． 此时． 19．（25-26高三上·新疆昌吉·月考）已知数列是等差数列. (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，求此数列的项数. 【答案】(1)7； (2)2700； (3)19. 【分析】（1）求出公差，再根据等差数列通项公式即可得到答案； （2）利用等差数列求和公式即可得到答案； （3）根据等差数列的性质得和，从而得到项数. 【详解】（1）在等差数列中，，，公差， 所以. （2）在等差数列中，，， 所以. （3）设项数为，，数列公差为， 则， 所以， 而. ∴此数列共有19项. 20．（25-26高二上·天津西青·月考）设等差数列的前项和为 ，． (1)求的通项公式； (2)求的最大值； (3)设数列的前项和为，求． 【答案】(1)； (2)36； (3) ； 【分析】（1）根据通项公式及求和公式求解即可； （2）求得，根据二次函数的性质求解即可； （3）由题意可得数列的前6项为正，从第7项起为负，分和，分别求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，解得， 所以； （2）因为， 所以， 所以当时，取最大值，为36； （3）令， 解得， 又因为， 所以， 即数列的前6项为正，从第7项起为负， 所以当时，， 所以， 当时，， 所以 ， 综上， ； 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $