第1章 2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

2.2等差数列的前n项和 第1课时等差数列的前n项和公式 课前预习学案 知识梳理 [思考] [提示]S,=3aa）=3a,=21, 2 预习自测 1.(1)×(2)×(3)/(4)/ 2.A[由a4=18-a5,可得a4+a5=18,所以Sg= 8(a+a82=4a4+a5)=4×18=72.] 2 3.解析：S19 19(a1+a192_19×2a10=190. 2 2 答案：190 4.解：设等差数列{an}的公差为d,由已知得a1十5d=10, 5u1+5X4×d=5,解得a1=-5,d=3, 2 所以S8=8×(-5)+8)X3=-40+84=44, 课堂互动学案 [例】[解]1)由题意得，S,a十a_ 2 2 =-5,解得n=15. +15-1d=-d=-合∴m=15d 又a15=6 1 6 (2由已知得S,-8a1十a_84十a1=172,解得ag 2 2 39,又ag=4+(8-1)d=39,∴.d=5.∴.a8=39,d=5. 变式训练 1解：(1) s=+4=5 解得a1=-5,d=3. (a6=a1+5d=10, ∴.ag=a6+2d=10+2×3=16, S1o=10a1+10,X94=10X(-5)+5X9X3=85. 2 (2)S17= 17×(a十a1z2=17×(a3十a452=17×40 2 2 2 =340. [例2](1)[解析]利用等差数列的性质：Sm,S2一S, S3w一S2成等差数列. 所以Sn十(S3m-S2n)=2(S2m-Sn),即30+(S3n-100) =2(100-30), 解得S3n=210. 答案：C (2)[解析]因为等差数列共有2十1项，所以S奇一S偶 a11=2"号，即132-120=2，解得n=10. 2n+1 [答案]10 ·8 参考答案 aitas (3)[解析] a5 2 S97×921 b+b-元-9+34： [答案] 21 母体变式 [解析] 9a5 :{an,{b}均为等差数列，则元)=9 2×5+111 3×5-2131 [答案] 11 变式训练 2.(1)A[设{an}的公差为d,则a5十a6十a十ag=Sg-S4 =12,(a5+a6十a7+a8)-S,=16d,解得d=4an十a12 +a13+a4=a1+10d+a2+10d+a3+10d+a4+10d= S4+40d=18.] (2)解析：因为a=21十1，所以a1=3,所以Sw= n(3+21+卫=m2+2,所以3=n十2，所以S}是公差 2 n 为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10+ 10×9×1=75. 2 答案：75 当堂达标 7 1.B[2a6-ag=a=6,S,=2a1+a)=7a4=42.] 2.ACSg=72,a7=10, 90+28×d=2. ja1=4 (d=1 .aw=4+(n-1)X1 （a1+6d=10 =十3：周S中+-安+号故选AC] 2 3.解析：由2S3=3S2十6可得2(a1十a2十a3)=3(a1十a2) +6,化简得2a3=a1+a2+6,即2(a1+2d)=2a1+d+6, 解得d=2. 答案：2 4[解]s,=…号+2() 2 -15,整理得 2-7m-60=0,解得n=12或1=-5（舍去），a12= 3 12-Dx(2)=-4 第2课时等差数列前n项和的应用 课堂互动学案 [例1][解]从第一辆车投入工作算起，各车工作时间 (单位：小时)依次设为a1,a2,…,a25·由题意可知，此数列 为等差教到，且a1=24,公差d=一了25辆翻+车完成 的工作量为：a1十a2+…+a25=25×24+25×12× (3)）=500, 而需要完成的工作量为24×20=480. 500>480,∴.在24小时内能构筑成第二道防线.世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 2.2等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和公式 课程标准 素养解读 1.经过等差数列前n项和公式的推导，提升数学抽 1.探索并掌握等差数列前n项和公式」 象和逻辑推理的核心素养。 2.理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系. 2.通过等差数列前n项和公式的运用，达成逻辑推 理和数学运算的核心素养」 课前。预习学案 [情境引入] [知识点二]等差数列的前n项和公式与二次函数 高斯(Gauss,1777 的关系 1855),德国数学家，近代数学 h9tl+wi中l0e月 将等差数列前n项和公式S。=a,十nn。1d 2 的奠基者之一，他在天文学、 大地测量学、磁学、光学等领 整理成关于m的函数可得S,=号十a,一号)m 域都做出过杰出贡献. [预习自测] 200多年前，高斯的算术老师 1.判断下列说法是否正确（正确的打“/”，错误的打 提出了下面的问题： “X”) 1+2+3+…+100=? 你准备怎么算呢？ (1)公差为零的等差数列不能应用等差数列前n项 提示：高斯的算法：(1+100)十(2+99)+…+(50+ 和公式求和 51)=101×50=5050. (2)数列{n}可以用等差数列的前n项和公式求其 [知识梳理] 前n项和. [知识点一] 等差数列的前n项和公式 (3)等差数列的前n项和，等于其首项、第n项的等 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 差中项的n倍。 () (4)若数列{an}的前n项和为Sn=n2+2n十1，则数 求和 n(a1十an） S。=a,+nn2Dd 公式 2 列{an}一定不是等差数列。 () 2.已知等差数列{an}的前n项和为S,若a=18一 2思考 等差数列{an}中，若已知a2=7,能求出前 a5,则Ss等于 ) A.72 B.54 3项和S,吗？ C.36 D.18 3.在一个等差数列中，已知ao=10,则S= 4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a6=10,S,= 5,求S8 。14· 第一章数列 五维课堂乡 ● 课堂。互动学案 题型一 等差数列前项和的有关计算 ⊙[变式训练] [例1] 在等差数列{an}中 1.在等差数列{an}中， (1)已知a,=君a,=-号S,=-5,求n和d: 5. 3 (1)已知a6=10,S,=5,求ag和S10; (2)已知a3十a15=40,求S17 (2)已知a1=4,S8=172,求ag和d. 题型二等差数列前项和有关的性质问题 [例2](1)等差数列前n项的和为30，前2n项的和 为100，则它的前3n项的和为 A.130 B.170 规律方法 C.210 D.260 a1,d,n称为等差数列的三个基本量，a。和 (2)等差数列{a,}共有2n十1项，所有的奇数项之和为 S。都可以用这三个基本量来表示，五个量a1,d, 132,所有的偶数项之和为120，则n等于 n,an,Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n (3)等差数列{an}与{b,}的前n项和分别是S。和Tm, 项和公式联立方程（组）求解，在求解过程中要注 意整体思想的运用 ·15· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 [母体变式] 2.(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S。 将本例(3)条件变为：an:bn=(2n十1)：(3n-2), =72,a2=10,则 () A.a=n+3 B.a=2n-4 D.S,=n2-n 规律方法 1.等差数列前n项和的有关性质 3.(2022·全国乙卷)记S,为等差数列{an}的前n项 (1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列 和.若2S3=3S2+6,则公差d= {侣}也是等差数列，且公差为号 4已知等差数列a,中，a=号d=分S=-15, 1n了 (2)若Sm,S2m,Sm分别为{an}的前m项，前2m 求n及a12: 项，前3m项的和，则Sm,S2m一Sm,Sm一S2m也 成等差数列，公差为md. (3)设两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为 S2n-1 (4)若等差数列的项数为2n,则S2m=n(an+ S=a中 ),Sx-S=nd. (5)若等差数列的项数为2n十1，则S2+1=(2n十 S组=n 1)a+1,Sm-S4=一a.+1'S秀n十 2.等差数列前n项和运算的几种思维方法 (1)整体思路：利用公式S,=na,十a),设法求 2 出整体a1十an,再代入求解. (2)待定系数法：利用S。是关于n的二次函数，设 S.=An2十Bn(A≠0)，列出方程组求出A,B 即可，或利用三是关于”的一次函数，设三 n an十b(a≠0)进行计算. (3)利用SS一SS。S成等差数列进行求解。 ⊙[变式训练] 2.（1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S.=8,S。 =20,则a11十a12+a13十a14= ( A.18 B.17 C.16 D.15 (2)等差数列{an}的通项公式是an=2n十1，其前n 项和为5，则数列三}的前10项和为 [当堂达标] 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若2a:=ag十 6,则S,等于 ( C温攀提 A.49 B.42 学习至此，请完成配套训练 C.35 D.28 ·16·