第1章 2.1 第1课时 等差数列的概念及其通项公式（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 §2等差数列 2.1等差数列的概念及其通项公式 第1课时 等差数列的概念及其通项公式 课程标准 素养解读 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的判定方法 通过对等差数列概念及其通项公式的学习，达成数学抽 3.会求等差数列的通项公式及利用通项公式求特 象、逻辑推理和数学运算的核心素养 定的项 课前。预习学案 对应学生用书P7 [情境引入] 纪思考2.等差数列的通项公式一定是n的一次函 我们知道数列是一种特殊的函数， 1|357911 数吗？ 在函数的研究中，我们在理解了函数的 [提示]不一定，当公差为0时，等差数列的通项公 一般概念，了解了函数变化规律的研究 式不是n的一次函数，而是常数函数. 内容（如单调性，奇偶性等）后，通过研 究基本初等函数，不仅加深了对函数的理解，而且掌 [预习自测] 握了幂函数，指数函数，对数函数，三角函数等常用的 1.判断下列说法是否正确，（正确的打“√”，错误的打 函数模型.类似地，在了解了数列的一般概念后，我们 “X”) (1)常数列是等差数列. 要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的 (2)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一 通项公式和前项和公式，并应用它们解决实际问题 个常数，那么这个数列是等差数列， 和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用 (3)数列0,0,0,0，…不是等差数列. ) [知识梳理] (4)若数列{an}是等差数列，则其公差d=a,一a8· [知识点一]等差数列的概念 () 等差数列概念 答案(1)√(2)×(3)×(4)× 1.文字语言：对于一个数列，如果从第2项起，每一项 与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的 2.已知等差数列{an}的首项a1=4,公差d=一2，则 通项公式an= () 数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差， A.4-2n B.2n-4 通常用字母d表示 C.6-2n D.2n-6 2.符号语言：a+1一a,=d(d为常数，n∈N+). 解析：C[an=a1+(n-1)d=4+(n-1)X(-2) 2思考1.(1)数列{an}的各项为：n,2n,3,4n,…, =4-2n+2=6-2m.] 数列{an}是等差数列吗？ 3.在等差数列{an}中，a1=2,a3=8,则公差d= (2)若一个数列从第二项起每一项与它前一项的差 ( ) 都是常数，这个数列一定是等差数列吗？ A.4 B.3 [提示](1)不是，该数每一项与其前一项的差都是 C.-4 D.-3 ,不是常数，所以不是等差数列. 解析：B[a3一a1=8-2=2d,故d=3.] (2)不一定，当一个数列从第二项起每一项与它前一 4已知在等差数列a,中，d=一子a,=8,则a 项的差都是同一个常数时，这个数列才是等差数列. 如数列：1,2,3,5,7,9，就不是等差数列 [知识点二]等差数列的通项公式 解析：由a,=a,十6d=8且d=一子 若首项是a1,公差是d,则等差数列{an}的通项 代入解得a1=8-6d=8+2=10. 公式为an=a1+(n-1)d. 答案：10 ·12· 第一章数列 五维课堂 课堂。互动学案 对应学生用书P8 题型一 等差数列的概念 [例1]判断下列数列是否为等差数列： (2)法一：（方程组法）由 (1)an=3-2n;(2)an=n2-n. 4 [解](1)：am+1一an=[3-2(n+1)]-(3-2n) a,+2d=5 =一2，是常数， 得 a1+6d=- 数列{an}是等差数列. 4 (2)am+1-an=[(n+1)2-(n+1)]-(n2-n)= 。-a+15-1Dd-+14×() 2n,不是常数， ∴.数列{an}不是等差数列. 法二：（利用an=am十(n-m)d求解）由a,=a3十 (7-3)d, 规律方法 定义法判定等差数列 即-子-十4d,解得d= 4 (1)作差an+1一am； a=a+(15-3d=+12x()=- 4 (2)对差式进行变形； 规律方法 (3)当an+1一an是一个与n无关的常数时，数列 1.应用等差数列的通项公式求a1和d,运用了方 {a}是等差数列；当an+1一a,不是常数，是与 程的思想.一般地，可由am=a,an=b,得 n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列. a1十(m-1Dd=a'求出a1和d,从而确定通 ◇[变式训练] a1+(n-1)d=b, 项公式 1.判断下列数列是不是等差数列？ 2.若已知等差数列中的任意两项am,an,求通项 (1)9,7,5,3,…,-2m+11,…;(2)-1,11,23,35, 公式或其他项时，则运用am=an十(m一n)d较 …,12n-13,…;(3)1,2,1,2,…;(4)1,2,4,6,8, 为简捷。 10,…;(5)a,a,a,a,a,… 解：由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数 ◇[变式训练] 2.在等差数列{an}中， 列，(3)，(4)不是等差数列. (1)若a=15,a1,=39,试判断91是否为此数列中 题型二等差数列的通项公式及其应用 的项. [例2](1)在等差数列{an}中，已知a4=7,a1w=25, (2)若a2=11,a8=5,求a1w. 求通项公式an; 解：(1)设a,}的公差为山.因为十以=15.解 (2)已知数列a,}为等差数列，a,=号，a,= 5 7 (a1+16d=39, 求a1s的值. 得0,7， d=2. 汇思路点拨]设出基本量a1,d,利用方程组的思 所以an=7+2(n-1)=2n十5. 想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式a。 令2n十5=91，得n=43.因为43为正整数，所以91 =am十(n-m)d求解。 是此数列中的项. [解](1)，a4=7,a1w=25, (2)设{an}的公差为d,则 ’解 则/+3d=-7, 得4，2. {a+9d=25,{d=3, 得/012， d=-1. ∴an=-2+(n-1)×3=3n-5, .an=12+(n-1)×(-1)=13-n,所以a1w=13 ∴.通项公式为an=3n-5(n∈N+) -10=3. ·13· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 题型】 判定与证明等差数列 [解]当n≥2时，由2am+1=2a,十3，得an+1一a。 2a. 心 3 [例3] 已知数列{an}满足a1=2,a+1 ,但a2-a=1≠2， an十2 故数列{an}不是等差数列. 1)数列日}是香为等差数列？说明理由： 规律方法 (2)求{an}的通项公式 等差数列的判定方法有以下三种： [思路点拨] ①要判断数列 是否为等差数 (1)定义法：an+1-an=d(常数)(n∈N+)台{an》 为等差数列； 列，需要先求 工的表达式， (2)通项公式法：an=an十b(a,b是常数，n∈N+) an+1 曰{an}为等差数列 ②求出数列 1}的通项公式. an 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定 [解] (1)数列{1}是等差数列，理由如下： 义法 ◇[变式训练] ,a1=2,am+1 1-a,十21+1 a,十2 an+1 2an 2 an 3已知函数f()=千g·数列x的通项由 》是首项为1= ，公差为 1 f(xm-1)(n≥2且x∈N+)确定. an+1 日=的等装数列 1)求证：}是等差数列： (2南上速可知d-=d十(m-1d=受.∴a=号 (2)当2= 时，求a an al n [母体变式] 解：D证明：之=，气≥2且D 1.(变条件，变结论)将本例题中的条件“a1=2,an+1 ∈N+), = 2a”换为*a,=4,4,=4-4(n>1),记6= an+2 an-1 1” 3xm-1 11=(n≥ x-1 Zn n-1 3 an-2 2且n∈N+), (1)试证明数列(b}为等差数列； (2)求数列{a,}的通项公式. 一份}是公差为号的等益数列。 [解](1)证明：bn+1一bn 1 1 an+1-2an-2 (2)由(1)知2=+(n-10×3=2+” 1 an 1 =n+5 -2 a.-2=2(a,-2 -an-2 3 .1=2023+5=2028 3 an-2 3 3 1 X2023 .x223一2028 2(an-2)2· 题型四 等差数列的实际应用 又么宁致列低浅对项为宁公送为 [例4]某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步 价为10元，即最初的4km(不含4km)计费10元. 弓的等差数列。 如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的 1 11 地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付车费 (2)由(1)知b.=2+(n-1)X2=zn. 多少元？ a2a,=+2=+2 [解]根据题意，当该市出租车的行程大于或等于 4km时，每增加1km,乘客需要支付1.2元. 戴列a,的道项公式为a.=品十2 所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费. 2.(变条件)将本例题中的条件“a=2,a+1一a。干2 2am” 令a1=11.2,表示4km处的车费，公差d=1.2, 那么当出租车行至14km处时，n=11, 换为“a1=1,a2=2,2an+1=2a,十3(n≥2，n∈N+)” 此时需要支付车费a11=11.2+(11-1)×1.2 试判断数列{a}是否是等差数列. 23.2(元).即需要支付车费23.2元. ·14 第一章数列 五维课堂兰 [母体变式] 由题意，得a1w≥11，a1<11. 1.(变条件)在本例中，若某人乘坐该市的出租车去往 (220-10d≥11， 解得19<d≤20.9， 18.5km处的目的地（不足1km,按1km计费）， 220-11d<11, 且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付车费多 所以d的取值范围为19<d≤20.9. 少元？ [当堂达标] [解]由题意知，当出租车行至18.5km处时，按 1.(多选)下列数列中，是等差数列的是 行至19km计费，n=16,此时需支付车费a16=11.2+ A.1,4,7,10 B.1g 2,1g 4,1g 8,1g 16 (16-1)×1.2=29.2(元).即需要支付车费29.2元. C.25,2,23,2 D.10,8,6,4,2 2.（变结论)在本例中，若某人乘坐该市的出租车去往 解析：ABD[根据等差数列的定义，可得：A中，满 nkm(n∈N+)处的目的地，求其需支付的车费an 足am+1一an=3(常数)，所以是等差数列；B中，lg4 [解]当n∈{1,2,3}时，an=10, -lg2=1g8-lg4=lg16-lg8=lg2(常数)，所以 当n∈N+,且n≥4时，an=11.2+(n-4)×1.2= 是等差数列：C中，因为2一2≠2一2≠22-23， 1.2+6.4. 不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；D中， 10,n∈{1,2,3}， 所以an= 满足a+1一an=一2（常数），所以是等差数列.] 01.2m+6.4,n≥4且n∈N+. 2.等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是 汇方法总结了“应用等差数列解决实际问题的步骤 (1)审题，读懂题意，把握已知条件与求解问题. A.第7项 B.第8项 (2)将实际问题抽象为等差数列模型. C.第9项 D.第10项 (3)利用等差数列解决问题. 解析：B[.a1=20,d=-3,.an=20+(n-1)× (4)验证答案是否符合实际问题的意义。… (-3)=23-3n. ⊙[变式训练] .a2=2>0,ag=一1<0.故数列中第一个负数项 4.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设 是第8项.] 备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表 3.已知在等差数列{an}中，a3十a8=22,a6=7,则a5 明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数)万元. 等于 已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它 A.15 B.22 的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确 C.7 D.29 定d的范围. 解析：A[设数列{an}的首项为a1,公差为d,根据 题意得十a,=a+2d+a+7d=2. (a6=a1+5d=7, 解得a1=47,d=-8.所以a=47+(5-1)×(-8) =15.] 解：设使用n年后，这台设备的价值为a,万元，则 4.已知数列{an},a1=a2=1,an=an-1十2(n≥3)，判 可得数列{an}. 断数列{an}是否为等差数列？说明理由. 由已知条件，得an=an-1一d(n≥2). 解：因为a=a,-1十2(n≥3)，所以a-a。-1=2(常 所以数列{an}是一个公差为一d的等差数列. 数).又n≥3，所以从第3项起，每一项减去前一项 因为a1=220-d,所以an=220-d+(n-1)(-d) 的差都等于同一个常数2，而a2一a1=0≠a3一a2' =220-nd. 所以数列{an}不是等差数列. 课时。素养提升 对应学生用书P5 基础达标练 「 解析：ABD[根据等差数列的定义，可得：A中，满 1.(多选题)下列数列中，是等差数列的是 ( 足a+1一an=3(常数)，所以是等差数列；B中，lg4 A.1,4,7,10 -lg2=1g8-lg4=lg16-lg8=lg2(常数)，所以 B.Ig 2,1g 4,1g 8,1g 16 是等差数列；C中，因为24一2≠2一2≠22一2， C.2,2,23,2 不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；D中， D.10,8,6,4,2 满足a+1一an=一2（常数），所以是等差数列.] 15· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 1 2.在等差数列{a}中，已知a1=3a:十a=4,a, 6.已知f(n+1)=f()-(m∈N+),且f(2)=2, 35,则n= 则f(2023)= A.50 B.51 C.52 D.53 解析：由f(n+1D=fn)-子，得fn十1)-f(m） 解析：D[依题意，a2十a5=a1十d十a1十4d=4,代 =一子(n∈N+)fm)》是一个以-子为公差 入a=子得d=子.所以a,=a,十m-Dd=吉 的等差数列： +(n-1)号=2m f(2)=2,∴.f(2023)=f(2)+(2023-2)d=2 3=3m3·令0，=35，解得n=53.门 22013 3已知数列a.中a,=2a,=1,若{十}为等差 +2o21x() 数列，则a1g= 答案：-2013 4 A.0 B吉 7.在数列{an}中，a1=2,2an+1一2an=1,则a1o1的值 为 c号 D.2 解析：由题意，数列{an}满足2a+1一2an=1,即 解A[因为，=2=1，故a a+1一a,=2,又由a1=2,所以数列{a,}是首项为 1 1以+2316 2,公差为号的等差数列，所以0m=a1十100d=2 a19十1a3+1 +100×2=52. 号三1，故0，故选A 答案：52 4,目前农村电子商务发展取得了良好的进展，若某家 8.某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万 农村网店从第二个月起利润就成递增等差数列，且 元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润 第2个月利润为2500元，第5个月利润为4000 每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公 元，第m个月后该网店的利润超过5000元，则m 司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起， 三 ( ) 该公司经销这种数码产品将亏损？ A.6 B.7 解：设从第一年起，第n年的利润为a。万元，则a1 C.8 D.10 =200,a+1-an=-20(n∈N+). 解析：B[设该网店从第一个月起每个月的利润构 .每年的利润构成首项为200、公差为一20的等差 成等差数列{an},则a2=2500,a5=4000.由a5= a2+3d,即4000=2500+3d,得d=500.由am= 数列{an}. a2+(m-2)×500=5000,得m=7.] .an=a1+(n-1)d=200十(n-1)×(-20)=220 5.(多选)下列命题中，正确的是 -20n. A.数列6,4,2,0是公差为2的等差数列 若an<0,则该公司经销这一产品将亏损. B.数列a,a一1，a一2，a一3是公差为一1的等差 由an=220-20n<0,得n>11,即从第12年起，该 数列 公司经销这种数码产品将亏损. C.等差数列的通项公式一定能写成an=kn2十b的 [能力提升练] 形式(k,b为常数) 9.(多选)下列命题中为真命题的是 D.数列{2n十1}(n∈N+)是等差数列 A.若a,b,c成等差数列，则a,b,c2一定成等 解析：BD[对于A,根据等差数列的定义可知，数 差数列 列6,4,2,0的公差为一2，A错误；对于B,由等差 B.若a,b,c成等差数列，则2,2,2可能成等差 数列的定义可知，数列a,a一1，a一2，a一3是公差 数列 为一1的等差数列，所以B正确； C.若a,b,c成等差数列，则ka+2,b十2，kc十2(k 对于C,由等差数列的通项公式an=a1十(n-1)d 为常数)一定成等差数列 知，n的次幂不能为2次幂，故C错误；对于D,因 为am+1一an=2(n十1)+1-(21十1)=2，所以数列 D若06c成等差数列，则片，。上可能成等差 {2n+1}(n∈N+)是等差数列，所以D正确.] 数列 ·16· 第一章数列 五维课堂 解析：BCD[对于A,取a=1,b=2,c=3,显然a, 12.设数列(a,)满足当n>1时，a.=1十4a, am-1一，且a1 b,c成等差数列，而a=1,b=4,c2=9,此时a2, b,c2不成等差数列，A是假命题；对于B,令a=b =c,显然a,b,c成等差数列，则2=2=2，此时 2“,2,2是公差为0的等差数列，B是真命题： (1)求证：数列{1}为等差数列： 对于C,因a,b,c成等差数列，则b-a=c-b=d(d (2)a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，求出是 为常数)， 第几项如果不是，请说明理由 于是得(kb十2)-(ka+2)=k(b-a)=kd,(kc+2) -(b十2)=k(c一b)=kd,而k为常数， 解：(1)证明：根据题意4，=及递推关系知4，≠ 5 因此，(kb+2)-(ka+2)=(kc+2)-(kb+2)=kd an-1 (kd为常数)， 0图为@，一取倒数得品。十4，即 an an-1 所以ka十2，kb十2，kc十2(k为常数)成等差数列，C 1 是真命题； 。己=4m>1,所以数列{侣}是首项为5 a。am-1 对于D,令a=b=c≠0，显然a,b,c成等差数列，则 公差为4的等差数列， 日-片=日此时日分是公区为0的等送数 (2)由(1)，得1=5十4(n-1)=4m+1,a. a 列，D是真命题.] 1 4n+1 10.(多选)设d为正项等差数列{an}的公差，若d> 0,a3=2,则 又a1a2= A.a2·a4<4 B+a,≥盟 所以a1a2是数列{an}中的项，是第11项. [素养培优练] C.1+1>1 a as D.a1·a5>a2·a4 13.我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量 (a1=2-2d>0 影子的长度.《周髀算经》中记载：一年有二十四个节 解析：ABC[由题知，只需 →0 d>0 气，每个节气晷长损益相同.二十四个节气及晷长变 d<1,a2·a4=(2-d)·(2+d)=4-d<4,A正 化如图所示.相邻两个节气晷长的变化量相同，周而 确a+a,=(2-)+(2+d)=d-3d+6≥g, 复始.从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、 春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其 B正确：1十1=、1 aa,2-2d2+2a1-d>1,C正 11 日影长依次成等差数列，若测得冬至、立春、春分日影 长之和为31.5尺，大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为25. 确；a1·a5-a2·a4=(2-2d)·（2+2d)-(2 5尺，则冬至日影的长为 d)·(2十d)=-3<0,所以a1·as<a2·a4,D 错误.] 1.已知fn+1D=fm）-子(n∈N),f2)=2,则f2 017)= 解析：由fn+1)=fm)-子，得f(n+1D-fm) 晷长逐渐变小 春分 三 neN》 味。0黄立夏 立春330 大寒300 60小满 {f()}是一个以-二为公差的等差数列. 小寒， ·芒种 4 冬至270 90夏至 个大雪· ·小暑 f(2)=2, 小雪24 立冬210， 。120大暑 .f(2017)=f(2)+(2017-2)d=2+2015× :150立秋 霜降寨露180白辉处暑 () 2007 秋分 4 晷长逐渐变大 答案：-2007 A.11.5 B.12.5 4 C.13.5 D.14.5 ·17· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 解析：C[由题意，从冬至日起，依次小寒、大寒、 立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、苦 十十号十其中，y是以101为首项的等 y 种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，设冬 差数列，则y十之的值为 至的日影长为a1,公差为d,则a1十a4十a,=31.5, 解析：依题意，拆分后的分数，分子都是1，分母依 a3十a6十ag=25.5,两式相减得-6d=6,解得d= 大度大，又后品+十+中合品故可 -1,所以a1十a4十a,=3a1+9d=31.5,解得a1= 分解如下总可+而高+动+应司 11 1 11 13.5,故选：C.] 14.单分数（分子为1，分母为正整数的分数）的广泛 13 1 112 1 111 使用成为埃及数学重要而有趣的特色，埃及人将 202+606-101+202+606+606=101+202 所有的真分数都表示为一些单分数的和，例如号 1 1 十303十66，又y之是以101为首项的等差数 列，故x=101,y=202,之=303.故y+之=202+ 303=505. 已知忌可以表示成4个单分数的和，记品-6G 1 答案：505 第2课时 等差数到的性质 课程标准 素养解读 1.掌握等差中项的概念及其应用. 1.通过对等差数列性质的研究培养逻辑推理的 2.掌握等差数列的项与序号的性质」 核心素养 3.理解等差数列的项的对称性. 2.通过学习等差中项的概念提升数学运算的核 4.能够熟练应用等差数列的性质解决有关实际问题， 心素养 课堂。互动学案 对应学生用书P11 [情境引入] 2思考1.(1)等差数列{am}中，a=4,a4=2,则数 请同学们思考以下问题： 若等差数列{an}为1,3,5,7，…，2n-1,则数列{an十 列{an}是递增数列，还是递减数列？ 2},{2an}是等差数列吗？ (2)等差数列的公差与直线的斜率之间有什么关系？ 提示：{a,十c},{can}也是等差数列，这是等差数列的 [提示](1)因为公差d=a4-a=-2<0,所以数 一个性质，你还知道等差数列的其他性质吗？ 列{an}是递减数列. [知识梳理] (2)等差数列的公差相当于图像法表示数时直线的 [知识点一]等差数列的单调性与图像 从函数角度研究等差数列的性质与图像 斜率。 由an=f(n)=a1+(n-1)d=dn十(a1-d),可知其 [知识点二]等差中项 图像是直线y=dx十(a1一d)上的一些等间隔的点， 如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等 这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的斜 差数列，那么A叫作a与b的等差中项. 率，即自变量每增加1，函数值增加d. 如果A是a与b的等差中项，那么A一a=b一A.所 当d>0时，{an}为递增数列，如图（甲）所示。 当d≤0时，{an}为递减数列，如图（乙）所示. 以A=Q十b 2 当d=0时，{an}为常数列，如图（丙）所示. 2思考2.若数列{an}中，an是a,1和a+1的等差中 项，那么数列{an}是等差数列吗？为什么？ 21 a-d、 [提示]是.因为a,是a1和an+1的等差中项，所 01234n0124n01234 以aa1,an,an+1成等差数列，故an一an-1=an+1 丙 an,由等差数列的定义知数列{an}是等差数列. ·18·