第1章 1.1 数列的概念（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

第一章数列 五维课堂剑 第一章 数列 §1数列的概念及其函数特性 1.1数列的概念 课程标准 素养解读 1.了解数列通项公式的概念。 2.能根据通项公式确定数列的某一项 1.通过数列基本概念的学习培养数学抽象的核心素养. 3.能根据数列的前几项写出数列的一个通项2.通过数列通项公式的概念培养逻辑推理的核心素养 公式. 课前。预习学案 [情境引入] ?思考1.(1)数列的项和它的项数是否相同？ 古语云：“勤学如春起之苗，不见其 (2)数列1,2,3,4,5，数列5,3,2,4,1与集合{1,2， 增，日有所长”，如果对“春起之苗”每日 3,4,5}有什么区别？ 用精密仪器度量，则每日的高度值按日 期排在一起，可组成一个数列.那么什 么叫数列呢？ [知识梳理] [知识点一]数列的有关概念 [知识点二]通项公式 1.数列的有关概念 如果数列{an}的第n项a,与n之间的函数关系 数列 按 可以用一个式子表示成 ,那么这个式子就叫 排列的一列数叫作数列 作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函 数的解析式.数列可以看作是定义域为正整数集N+ 项 数列中的 叫作这个数列的项 (或其子集)的函数， 首项 数列的 常称为首项 ?思考2.(1)若an=2n-1,则a2十a的值是什么？ (2)数列的通项公式an=f(n)与函数解析式y= 通项 数列中的 叫数列的通项 f(x)有什么异同？ 2.数列的表示 (1)一般形式：a1,a2,a3,…,an,…; (2)字母表示：上面数列也可记为· 3.数列的分类 [预习自测] 分类标准 名称 含义 举例 1.判断下列说法是否正确，（正确的打“√”，错误的打 有穷 项数有限 “X”) 1,2,3,4,…,n 按项的 数列 的数列 (1)数列1,2,3,5,7可表示为{1,2,3,5,7}.( (2)数列的项不能相等. 个数 无穷 项数无限 1,4,9,…,n2,… (3)数列可以用图形表示. 数列 的数列 (4)数列的通项公式不唯一 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 2.下列各项表示数列的是() 3.已知数列{an}的通项公式是an=n2+1,则122是 A.△，○，☆，□ 该数列的 B.2020,2021,2022,2023 A.第9项 B.第10项 C.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 C.第11项 D.第12项 D.a+b,a-b,ab,入a 4.数列2,4,6,8，…的通项公式为 ● 课堂。互动学案 题型一 数列的概念及分类 题型三 由数列的前九项写通项公式 [例1](1)下列说法错误的是 [例2]写出下列数列的一个通项公式，使它的前四 A.数列4,7,3,4的首项是4 项为下列各数， B.数列{an}中，若a1=3,则从第2项起，各项均不 等于3 172号8是4号… 4 C.数列1,2,3，…就是数列{n} (2)11,102,1003,10004,…; D.数列中的项不能是三角形 (3)9,99,999,9999,…; (2)下列各组元素能构成数列吗？如果能，构成的 02号8 *… 数列是有穷数列，还是无穷数列？并说明理由. ①8,8,8,8； [思路点拨]①求数列的通项公式时，应考虑将 ②-3，-1,1，x,5,7,y,11: 个别项或各项进行适当的变形，②数列的通项公 ③当n取1,2,3,4，…时，（一1）”的值排成的一列数. 式不唯： 规律方法 数列及其分类的判定方法 规律方法 1.判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不 由数列的前几项求通项公式的思路 是按一定次序排列的数. (1)通过观察、分析、联想、比较，去发现项与序号 2.判断所给的数列是有穷数列还是无穷数列，只 之间的关系. 需观察数列含有限项还是无限项，若数列含有 (2)如果关系不明显，可将各项同时加上或减去一 限项，则是有穷数列，否则是无穷数列. 个数，或分解、还原等，将规律呈现，便于找通 ◇[变式训练] 项公式 1.(1)(多选)下面四个结论正确的是 (3)要借助一些基本数列的通项，如正整数数列、 A.数列1,2,3,4和数列1,3,4,2是相同的数列 正整数的平方数列、奇数列、偶数列等. B.数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有 (4)符号用(-1)”或(-1)+1来调整. 限子集{1,2,3，…，n})上的函数 (5)分式的分子、分母分别找通项，还要充分借助 C.数列{2n+1}的第6项是13 分子、分母的关系 D.数列的项数是无限的 ⊙[变式训练] (2)下列各题哪些是数列？若是数列，则哪些是有 2.写出下列数列的一个通项公式： 穷数列？哪些是无穷数列？ (1)0,3,8,15,24,…; ①{1,3,5,7,9}；②4,3,2,1,0 (2)1,-3,5,-7,9,… ③1,2,3,4，…；④2,2,2,2,2. (3)1,11,111,1111,… ·2· 第一章数列 五维课堂乡 题型 数列通项公式的应用 ⊙[变式训练] [例3]已知数列{an}的通项公式为a,=3n2-28n. 3.数列{a,}的通项公式是a,=,21(m∈N+) 2 (1)写出此数列的第4项和第6项； (1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是 (2)问一49是否是该数列的一项？如果是，应是哪 第几项？ 项？68是否是该数列的一项？ (2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存 [思路点拨](1)将n=4,n=6分别代入a。求出 在，分别是第几项？ 数值即可； (2)由3n2-28n=-49和3n2-28n=68,求得n 是否为正整数并判断。 [当堂达标] 1.下列有关数列的说法正确的是 ①同一数列的任意两项均不可能相同；②数列一1， [母题探究] 0,1与数列1,0，一1是同一个数列：③数列中的每 若本例中的条件不变， 一项都与它的序号有关 (1)试写出该数列的第3项和第8项； A.①② B.①③ (2)问20是不是该数列的一项？若是，应是哪 C.②③ D.③ 一项？ 2.已知数列-1，子-日…(-1D… 1 1 …,则它的 第6项的值为 ( A日 c D病 3.若数列{an}的通项公式是an=3一2”，则a2n= ,= a3 4.已知数列{n(n十2)}. (1)写出这个数列的第8项和第20项： 规律方法 (2)323是不是这个数列中的项？如果是，是第 1.由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进 几项？ 行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已 知函数解析式和自变量的值求函数值. 2.判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可 由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程 有无正整数根便可确定这个数是否为数列中 的项. 3.在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意 -©温馨提西 它的定义域是N(或它的有限子集{1,2,3， 学习至此，请完成配套训练 …,n})这一约束条件. 3·数学(BS)·选择性必修第二册 参芳 第一章数列 §1数列的概念及其函数特性 1.1数列的概念 课前预习学案 知识梳理 知识点一、l.一定次序每一个数第1项第项a 2.(2){an》 [思考] 1.[提示](1)数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项 是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，而项数 是指该数列中的项的总数.(2)数列1,2,3,4,5和数列5,3,2， 4,1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合 {1,2,3,4,5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致， 另一方面，集合中的元素具有无序性. 知识点二an=f(n) [思考] 2.[提示](1)因为a,=2-1,所以a2=2×2-1=3,a3= 2×3-1=5,则a2十a3=3+5=8. (2)相同之处是：数列可以看成以正整数集N+(或它的有限 子集{1,2,3，…，m)为定义域的函数au=f(n),当自变量按照 从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.不同之处 是定义域：数列中的”必须是从1开始且连续的正整数，函 数的定义域可以是任意非空数集。 预习自测 1.(1)×(2)×(3)/(4)/ 2.B[数列是指按照一定次序排列的一列数，而不能是图形、 文字、向量等，只有B项符合.门 3.C[由2+1=122，得2=121，所以n=11.] 4.解析：由2=2×1,4=2×2,6=2×3,8=2×4，得该数列的通 项公式为an=21. 答案：an=2n 课堂互动学案 [例1](1)汇解析]根据数列的相关概念，数列4,7,3,4的第 1项就是首项，即4，故A正确；同一个数在数列中可以重复 出现，故B错误；根据数列的相关概念可知C正确：数列中的 项必须是数，不能是其他形式，故D正确. [答案]B (2)解：①能构成数列，且构成的是有穷数列. ②当x,y代表数时是数列，此时构成的是有穷数列；当x,y 中有一个不代表数时，便不能构成数列，这是因为数列必须 是由一列数按一定的顺序排列组成的 ③能构成数列，且构成的是无穷数列.所构成的数列是一1， 1,-1,1,… 变式训练 1.(1)BC[对A,因为数列的项是有顺序的，所以两个数列是 不同的数列，A错误：对B,由数列和函数的关系可知B正确： 对C,由数列的表示可知C正确：对D,因为数列的项数可以 是有限的也可以是无限的，所以D错误.] (2)解：①是集合，不是数列：②③④是数列：②④是有穷数列， ③是无穷数列. ·7 答案 [例2][解](1)这个数列各项的整数部分分别为1,2,3,4， …治好是序号分复事分分别为号号子青，与序号 n的关系是升所以这个数列的一个通项公式是a,=n十 ”=+2(∈N4). n+1n+1 (2)这个数列可以改写为10+1,100十2,1000+3,10000+4， …,所以这个数列的一个通项公式是a=10”十n(m∈N+). (3)这个数列可以改写为10一1,100一1,1000-1,10000一1， …,所以这个数列的一个通项公式是a,=10"一1(n∈N+). (④将每一项都统一写成分母为2的分数，即号，4,9,16， 22’22 空，所以它的-个道项公式是a=号∈N力 变式训练 2.解：(1)观察数列中的数，可以看到0=1一1,3=4-1,8=9 1,15=16-1,24=25-1,…,所以它的一个通项公式是am= 2-1(n∈N+）. (2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并 且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式 为a,=(-1)+1(21-1)(m∈N+). (③)原数列的各项可变为号×9，号×9，号×99， 号X999,…,易知数列9,99,99,9999，…的一个通项公式 为6，=10-1，所以原数列的-个通项公式为6，=号（10 1)(n∈N+). [例3][解](1)a4=3×42-28×4=-64,a6=3×62- 28×6=-60. （2)由32-28m=-9,解得n=7或m=子（含去），所以 一49是该数列的第7项：由3n2一281=68解得n=一2 或川-兰均不合题意，所以63不是该：到的项。 母题探究 [解](1)因为an=3n2-281,所以a3=3×32-28×3= -57,a8=3×82-28×8=-32. （2)令32-28m=20,解得1=10或1=-号〔舍去).所以 20是该数列的第10项. 变式训练 3.解：1)若0是{a,中的第n项，则21=0， 2 因为(n∈N+),所以n=21.所以0是{an}中的第21项. 若1是{a,}中的第项，则心21=1， 2 所以n2-21n=2,即n2-211-2=0. 因为方程n2-211一2=0不存在正整数解，所以1不是 {an}中的项. (2)假设{an〉中存在第m项与第m十1项相等，即am= a+1,m≥2m=m+D2-21m+D,解得m=10. 2 2 所以数列{a}中存在连续且相等的两项，即第10项与第 11项. 当堂达标 1.D[①错误，例如无穷个3构成的常数列3,3,3，…的各 项都是3：②错误，数列一1,0,1与数列1,0，一1各项的顺 序不同，表示不同的数列：③正确.] 2.D[由题设，载列的通项公式为（一1…当m=6 时，被项为一1×品品] 3.解析：根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项. 因为a,=3-2”,所以a2w=3-22m=3-4”,2=3-2 a33-23 答案3-”司 4.解：(1)am=n(n+2)=n十2，所以ag=82+2×8=80, a20=202+2×20=440. (2)由an=n2+2=323,解得1=17或n=-19(舍去). 所以323是数列{(1十2)}中的项，是第17项. 1.2数列的函数特性 课前预习学案 知识梳理 知识点一、列表法 [思考] [提示]若函数f(x)在[1，十o∞)上单调递增，则函数a =f(n)也单调递增，但反之不成立，例如f(x)= (-是)，数列a,=f0m)单调递增，但f)=(e-是)月 在[1，十∞)上不是单调递增， 预习自测 1.(1)×(2)×(3)/(4)/(5)× 2.B[a+1-an=[-(n+1)+1]-(-n+1)=-1<0,故 am+1<au,所以{an}是递减数列.] 3.C[由于面数f)=(付)厂是减画数，故教列a, (仔)是递减数列，故选C] 4.解析：由题意知an+1一a,=[k(n十1)一2]-(k1-2)=k >0,即实数k的取值范围是(0，十∞). 答案：(0，十∞) 课堂互动学案 2 [例1门解：1u,=20一9令n=1,2,3,4,可得该数列的 4项分别是1=一号g=一0=-号4 -2. (2)该数列的图像如图所示， 。--。- 02。.45678 -1 由图像可知，该数列在{1,2,3,4}上是递减的，在{5,6， …》上也是递减的. ·7 参考答案 变式训练 1.解：an=-2+10m十11=-(n-5)2+36. 图像如图所示 1 40 30 20· 10H 024681011 n 由数列的图像可知，当1≤≤5时数列递增：当≥5时数 列递减. [例2][解] +1 am=3m+a+1=3(mD+ n+1 3+4 n+1 法一：（作差法）a+1一an=31十43十1 =1十1)(31+1)-n(3十4) (3n+4)(3+1) (31+4)(31+1)' n∈N+,a+1-an>0,即a+1>an' “数列{}为递增数列. 法二：（作商法）n∈N+,aw>0. n+1 ,0+1=31十4= (m+10(3m+1)=3m2+4+1=1十 an n (3+4)n 3n2+4n 31+1 1 3n2+4 >1,a=1>a教列{n十}为运增数列. 法三：（梢造通数法）◆f)=3千≥1， 周)=号(）-) ∴函数f(x)在[1，十oo)上是增函数， “数列{}是道增教列. 变式训练 2B[因为4，-背-1+号+1≥2.片以当c-1> 0,即c>1时，f(n)=aw单调递减，.aw+1<aw,当c-1= 0,即c=1时，an=1,aw+1=an=1,当c-1<0,即c<1 时，f()=a,单调递增，a十1>a,所以an+1与a,的大小 关系和c有关，和1无关，故选B.] [例3]方法一 (1)证明令01>1(m≥2)， an-1 (n+1)· 10 11 即 >1,整理得”十1、11 >101 解得n<10. …() (+1)· 令>1,即 n+1 >1,整理得0+1、10 n+21' (n+2) 10 11 解得n>9. 所以数列{an}从第1项到第9项递增，从第I0项起递减， 即数列{an}先递增后递减。 (2)解：由(1)知ag=a10= 1010 为最大项