第1章 1.1 数列的概念（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

第一章数列 五维课堂兰 第一章 数列 §1数列的概念及其函数特性 1.1 数列的概念 课程标准 素养解读 1.了解数列通项公式的概念。 2.能根据通项公式确定数列的某一项 1.通过数列基本概念的学习培养数学抽象的核心素养. 3.能根据数列的前几项写出数列的一个通项2.通过数列通项公式的概念培养逻辑推理的核心素养 公式 课前。预习学案 对应学生用书P] [情境引入] ?思考1.(1)数列的项和它的项数是否相同？ 古语云：“勤学如春起之苗，不见其 (2)数列1,2,3,4,5，数列5,3,2,4,1与集合{1,2， 增，日有所长”，如果对“春起之苗”每日 3,4,5}有什么区别？ 用精密仪器度量，则每日的高度值按日 [提示](1)数列的项与它的项数是不同的概念. 期排在一起，可组成一个数列.那么什 数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是 么叫数列呢？ 一个函数值，而项数是指该数列中的项的总数 (2)数列1,2,3,4,5和数列5,3,2,4,1为两个不 [知识梳理] 同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1， [知识点一] 数列的有关概念 2,3,4,5}与这两个数列也不相同，一方面形式上 1.数列的有关概念 不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性， 数列 按一定次序排列的一列数叫作数列 [知识点二]通项公式 如果数列{an}的第n项a,与n之间的函数关系 项 数列中的每一个数叫作这个数列的项 可以用一个式子表示成an=f(n),那么这个式子就叫 首项 数列的第1项常称为首项 作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函 通项 数列中的第n项a,叫数列的通项 数的解析式.数列可以看作是定义域为正整数集N (或其子集)的函数， 2思考2.(1)若a,=2n-1,则a2十a的值是什么？ 2.数列的表示 (2)数列的通项公式a,=f(n)与函数解析式y= (1)一般形式：a1,a2,a3,…,an,; f(x)有什么异同？ (2)字母表示：上面数列也可记为{an}. [提示](1)因为an=2n-1,所以a2=2×2 3.数列的分类 -1=3,a3=2×3-1=5,则a2十a3=3+5=8. 分类标准 名称 含义 举例 (2)相同之处是：数列可以看成以正整数集N+ 有穷 项数有限 (或它的有限子集{1,2,3，…，n})为定义域的函 1,2,3,4,…,n 数am=f(),当自变量按照从小到大的顺序依 按项的 数列 的数列 次取值时所对应的一列函数值.不同之处是定义 个数 无穷 项数无限 1,4,9,…,n2,… 域：数列中的n必须是从1开始且连续的正整 数列 的数列 数，函数的定义域可以是任意非空数集. 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 [预习自测] 解析：B[数列是指按照一定次序排列的一列数， 1.判断下列说法是否正确，（正确的打“√”，错误的打 而不能是图形、文字、向量等，只有B项符合.] “X”) 3.已知数列{an}的通项公式是an=n2十1，则122是 (1)数列1,2,3,5,7可表示为{1,2,3,5,7}.( 该数列的 () (2)数列的项不能相等. ( A.第9项 B.第10项 (3)数列可以用图形表示. C.第11项 D.第12项 (4)数列的通项公式不唯一. 解析：C[由n2+1=122,得n2=121,所以n 答案：(1)×(2)×(3)√(4)/ =11.] 2.下列各项表示数列的是( 4.数列2,4,6,8，…的通项公式为 A.△，○，☆，□ B.2020,2021,2022,2023 解析：由2=2×1,4=2×2,6=2×3,8=2×4，得 C.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 该数列的通项公式为an=2n. D.a+b,a-b,ab,入a 答案：an=2n 课堂。互动学案 对应学生用书P2 题型一 数列的概念及分类 ◇[变式训练] [例1](1)下列说法错误的是 1.(1)(多选)下面四个结论正确的是 A.数列4,7,3,4的首项是4 A.数列1,2,3,4和数列1,3,4,2是相同的数列 B.数列{an}中，若a1=3,则从第2项起，各项均不 B.数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有 等于3 限子集{1,2,3，…，n})上的函数 C.数列1,2,3，…就是数列{n} C.数列{2n+1}的第6项是13 D.数列中的项不能是三角形 D.数列的项数是无限的 (2)下列各组元素能构成数列吗？如果能，构成的 解析：BC[对A,因为数列的项是有顺序的，所以 数列是有穷数列，还是无穷数列？并说明理由. 两个数列是不同的数列，A错误：对B,由数列和函 ①8,8,8,8 数的关系可知B正确；对C,由数列的表示可知C ②-3，-1,1，x,5,7,y,11； 正确；对D,因为数列的项数可以是有限的也可以 ③当n取1,2,3,4，…时，（一1）”的值排成的一列数. 是无限的，所以D错误.] [解析]根据数列的相关概念，数列4,7,3,4的第 1项就是首项，即4，故A正确；同一个数在数列中 (2)下列各题哪些是数列？若是数列，则哪些是有 可以重复出现，故B错误；根据数列的相关概念可 穷数列？哪些是无穷数列？ 知C正确；数列中的项必须是数，不能是其他形式， ①{1,3,5,7,9}；②4,3,2,1,0： 故D正确. ③1,2,3,4，…；④2,2,2,2,2. [答案]B 解：①是集合，不是数列；②③④是数列：②④是有 解：①能构成数列，且构成的是有穷数列. 穷数列，③是无穷数列. ②当x,y代表数时是数列，此时构成的是有穷数 题型二 由数列的前几项写通项公式 列；当，y中有一个不代表数时，便不能构成数列， 这是因为数列必须是由一列数按一定的顺序排列 [例2]写出下列数列的一个通项公式，使它的前四 组成的. 项为下列各数 ③能构成数列，且构成的是无穷数列.所构成的数 12号3是4… 列是-1,1，-1,1，… 规律方法 (2)11,102,1003,10004,…; 数列及其分类的判定方法 (3)9,99,999,9999,…; 1,判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不 402号8，… 25 是按一定次序排列的数. 2.判断所给的数列是有穷数列还是无穷数列，只 思路点拨]“①求数列的通项公式时，应考虑将 需观察数列含有限项还是无限项，若数列含有 个别项或各项进行适当的变形.②数列的通项公 限项，则是有穷数列，否则是无穷数列. 式不唯一 第一章数列 五维课堂兰 [解](1)这个数列各项的整数部分分别为1,2， 题型 数列通项公式的应用 3,4,…,恰好是序号：分数部分分别为2，行，1 123 [例3]已知数列{a,}的通项公式为a,=3n2一28n. (1)写出此数列的第4项和第6项； 青，与序号加的关系是干所以这个数列的一 (2)问一49是否是该数列的一项？如果是，应是哪 个通项公式是a=a十行-2a∈N, 一项？68是否是该数列的一项？ [思路点拨](1)将n=4,n=6分别代入an求出 (2)这个数列可以改写为10十1,100十2,1000十3， 数值即可； 10000十4，…，所以这个数列的一个通项公式是 an=10"+n(n∈N+). (2)由3n2-28n=-49和3n2-28n=68,求得n (3)这个数列可以改写为10-1,100-1,1000-1， 是否为正整数并判断， 10000一1，…，所以这个数列的一个通项公式是 [解](1)a,=3×42-28×4=-64,a6=3×62 an=10”-1(n∈N+). 28×6=-60. (④)将每一项都统一写成分母为2的分数，即2， (2)由3m-28m=-40,解得n=7或m=子（舍 491625 n 去)，所以一49是该数列的第7项；由3n2一28n= 2?,,受，所以它的一个通项公式是2 (n∈Nt). 68解得m=-2或1=，均不合题意，所以68不 规律方法 是该数列的项。 由数列的前几项求通项公式的思路 [母题探究] (1)通过观察、分析、联想、比较，去发现项与序号 若本例中的条件不变， 之间的关系 (1)试写出该数列的第3项和第8项； (2)如果关系不明显，可将各项同时加上或减去 (2)问20是不是该数列的一项？若是，应是哪 个数，或分解、还原等，将规律呈现，便于找通 一项？ 项公式. [解](1)因为an=3n2-28n,所以a3=3×32-28 (3)要借助一些基本数列的通项，如正整数数列、 ×3=-57,a8=3×82-28×8=-32. 正整数的平方数列、奇数列、偶数列等 (4)符号用（一1）”或（一1）+1来调整。 (2②)令3n-28m=20,解得1=10或n=-号（含 (⑤)分式的分子、分母分别找通项，还要充分借助 去)，所以20是该数列的第10项。 分子、分母的关系. 规律方法 ◇[变式训练] 1.由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进 2.写出下列数列的一个通项公式： 行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已 (1)0,3,8,15,24,…: 知函数解析式和自变量的值求函数值， (2)1,-3,5,-7,9,… 2.判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可 (3)1,11,111,1111,…. 由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程 解：(1)观察数列中的数，可以看到0=1一1,3=4 有无正整数根便可确定这个数是否为数列中 -1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,…,所以它的 的项. 一个通项公式是an=n2-1(n∈N+). 3.在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意 (2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的 它的定义域是N+(或它的有限子集{1,2,3， 正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它 …,n})这一约束条件. 的一个通项公式为an=(-1)+1(2m-1)(n∈N+). ◇[变式训练] (3)原益列的各项可变为)×9，日×9，日×99， 3.数列{a,的通项公式是a,=-,21(m∈N+). 2 号×9999，…，易知数列9,99,999,999…的- (1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是 个通项公式为an=10”-1,所以原数列的一个通项 第几项？ 公式为a,=号(10-1D(m∈N). (2)数列{a.}中是否存在连续且相等的两项？若存 在，分别是第几项？ ·3· 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 解：(1)若0是{a,}中的第n项，则”，21n=0, 2 2.已知数列-1，…，（一10……，则它的 因为(n∈N),所以n=21.所以0是{a,}中的第21项. 第6项的值为 若1是{a,}中的第n项，则”，21n=1, 2 A日 所以n2-21n=2,即n2-21n-2=0. C.一6 1 0.6 1 因为方程n2一21n一2=0不存在正整数解，所以1 解析：D[由题设，数列的通项公式为（一1）”· 不是{an}中的项. (2)假设{an}中存在第m项与第m十1项相等，即 六当=6时，孩项为(1×合品 a.=an+1,则m2,21m=m十102-21m+1D 3.若数列{an}的通项公式是an=3-2”,则an= 2 2= 解得m=10. az 所以数列{an}中存在连续且相等的两项，即第10 解析：根据通项公式我们可以求出这个数列的任意 项与第11项 一项.因为an=3-2”,所以a2n=3一2m=3-4”, [当堂达标] 42_3-221 a3-2=5 1.下列有关数列的说法正确的是 ( ①同一数列的任意两项均不可能相同；②数列一1， 答案：8-日 0,1与数列1,0，一1是同一个数列；③数列中的每 4.已知数列{n(n十2)}. 一项都与它的序号有关 (1)写出这个数列的第8项和第20项； A.①② B.①③ (2)323是不是这个数列中的项？如果是，是第 C.②③ D.③ 几项？ 解析：D[①错误，例如无穷个3构成的常数列3， 解：(1)an=n(n+2)=n2十2n,所以a8=82十2×8 3,3,…的各项都是3；②错误，数列一1,0,1与数列 =80,a2w=202+2×20=440. 1,0,一1各项的顺序不同，表示不同的数列；③ (2)由an=n2+2n=323,解得n=17或n=-19 正确.] （舍去). 所以323是数列{n(n十2)}中的项，是第17项. 课时。素养提升 对应学生用书P1 [基础达标练] 1 234 3.之3,5…的第9项是 1.下列说法中，正确的是 A.数列2,4,6,8可表示为{2,4,6,8} 8 B.数列3,0，一1，-3与数列一3，一1,0,3是相同 A. B是 的数列 D.以上均不对 C数列告}的第项为1+日 c 解析：B n D.数列0,2,4,6,8，…可记为{2n} B[由题意可知a=士，故第9项为0了 解析：C[在A中，{2,4,6,8}表示集合，所以A不 4.在1,2,3，…，2020这2020个自然数中，将能被2 正确；在B中，数列中的各项是有顺序的，所以B不 正精：在C中，第项为=1十。，所以C正 除余1，且被3除余1的数按从小到大的次序排成 k 列，构成数列{an},则ao= 确；在D中，数列应记为{2n一2}，所以D不正确.] 2.数列3,5,7,9，…的一个通项公式是 ( ) A.289 B.295C.301 D.307 A.a=2n+1 B.an=2"+1 解析：B[由题意可知a,-1即是2的倍数，又是3 C.a,=2"+1 D.an=2+1-1 的倍数，即an一1是6的倍数，则an一1=6(n-1), 解析：A[因为a1=2×1+1,a2=2×2+1,a3=2 ×3+1,a4=2×4+1,…,所以an=2n十1，故 (n∈N+),所以am=6n-5,所以a5o=50X6-5= 选A.] 295,故选：B.] 第一章数列 五维课堂兰 5.(多选)已知数列{an}前三项分别为一1,0,1，下列 无穷数列，所以两数列不是同一数列，故B错误；对 各式中，能作为数列{a,}的通项公式的有( 于C,由数列的定义，可知1,1,1，.能构成一个常 A.a=n-2 数列，故C正确；对于D,该数列的一个通项公式为 B.a,--1)-1 [n+1 ,n为奇数 2 ,所以数列1,3,2,6,3,9,4， C.an=(n-2)5 3 D.a,=(n-2)+(n-1)(n-2)(n-3) 21,n为偶数 解析：ACD[取n=1,n=2,n=3分别代入验证可 12,5,15..存在通项公式，故D正确.故选：CD.] 知A,C,D正确，B不正确.] 10.已知正项数列{an}中，√a1+√a2+…+√a, 6.下图中的一系列图案称为谢尔宾斯基地毯.在图中 nn十D(n∈N),则数列{a,}的通项公式a. 4个大正方形中，着色的正方形的个数依次构成一 个数列{an}的前4项，则数列{an}的第5项为 ( A.n B.n c受 ■ ■ 解析：B[:a+g+…+√a=nn, 2 解析：分析题图可知a1=1,a2=8十1，a3=82十8十 ·Va+Va+…+a,-nnD(m≥2， 2 1,a4=83+82+8+1,所以a5=8+83+82+8+1 =4681. 两式相减得√a-um,+)_nn,)=n, 2 2 答案：4681 .an=n2,(n≥2). 7数列a.〉的通项公式a+√行则而-3 又当n=1时，√a=1X2=1, 2 是此数列的第 项 .an=n2.n∈N+.故选B.] 解析：令 =√10-3，即√n+1-√n=√10 n+√n+I 11.在数列5，而，亚，ab 3’8’a+b24 ,…中，有序数对 -3,.n=9. (a,b)的值可以是 答案：9 解析：从上面的规律可以看出分母呈现以下特，点： 8.已知数列2，子，…的通项公式为a,=十b,求 3=22-1,8=32-1,24=52-1,即a+b=42-1 2n =15.又被开方数5,10,17，a一b后一项比前一项 a4a5. 分别多5,7,9，故a-b=17+9=26.所以 (a+b=2, 41 解将a,=2a,=子代入通项公式得 a= 2 4a+b7 十b=15解 4 4 a -b=26. b=- 2 解得1‘所以a,n3 42+319 (b=3. 2n 所以a4=2X4 8 答案（号） 52+3_14 a=2×5-5 12已知无分数列号品号第… [能力提升练] (1)求出这个数列的一个通项公式； 9.(多选)下列说法中正确的是 A.数列1,3,5,7与数列7,5,3,1是同一数列 (2)该数列在区问[品鹗]内有没有项？若有，有 B.数列1,3,5,7与数列1,3,5,7，..是同一数列 几项？若没有，请说明理由 C.1,1,1,..能构成一个数列 解：(1)因为数列的分子依次为4,9,16,25，…可 D.数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，..存在通项 看成与项数n的关系式为(n十1)2，而每一项的分 公式 母恰好比分子大1，所以通项公式的分母可以为 解析：CD[对于A,两数列中的数排列次序不相 (n+1)2+1.所以这个数列的一个通项公式为an 同，所以两数列不是同一数列，故A错误；对于B, (n+1)2 数列1,3,5,7是有穷数列，而数列1,3,5,7，.·是 (n+1)+1 ·5 世五维课堂 数学(BS)·选择性必修第二册 e品<a第时，可终品< 36 列，从2020年到2049年一共有30年，且2020年 为庚子年，则30÷10=3,2049年的天千为已，30 36 ÷12=2余6,2049年的地支为已，故2049年为已 37· 已年. (n+1)2 9 由 +1)+110 解得(n十1)≥9，可得n≥2. 答案：已已 由 (n+1)2 s36 14.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象 (n十1)2+137 ,解得(n十1)≤36，可得n≤5. 的几何学，它的创立，为解决传统科学众多领域的 [品]内有 难题提供了全新的思路.如图是按照一定的分形 所以2≤n≤5.综上，该数列在区间 规律生长成的一个树形图，则第13行中实心圆点 项，并且有4项. 的个数是 [素养培优练] 第1行 13.天干地支年纪法源于中国，中国自古便有十天干 -第2行 与十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、 第3行 壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、 第4行 西、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干 第5行 和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后， 第6行 天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲 解析：由题意及图形可知，不妨构造数列{an}表示 子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此 第n行实心圆点的个数的变换规律，其中每一个 类推，排列到“癸西”后，天干回到“甲”重新开始， 实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空 即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始， 心圆点，每个空心圆点下一行均为实心圆点.故从 即“丙子”，…，以此类推，已知2020年为庚子年， 第三行开始，每行的实心圆点数均为前两行实心 那么到建国100年时，即2049年以天干地支纪年 圆，点数之和.即a1=0,a2=1,且n≥3时，an=am-1 法为 十a。-2,故第1行到第13行中实心圆点的个数分 解析：由题意可知数列天千是10个为一个循环的 别为：0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144. 循环数列，地支是以12个为一个循环的循环数 答案：144 1.2 数列的函数特性 课程标准 素养解读 1.通过数列的函数性质的学习培养数学抽象的核心 1.了解递增数列、递减数列、常数列的概念。 素养 2.掌握判断数列增减性的方法， 2.借助数列增减性的研究培养学生的逻辑推理的核心 3.利用数列的增减性求最大值、最小值。 素养 课前。预习学案 对应学生用书P4 [情境引入] [知识梳理] 古希腊的毕达哥拉斯学派将1,4,9,16等数称 [知识点一] 数列的函数特性 数列是一类特殊的函数，由于一般函数有三种表 为正方形数，因为这些数目的点可以摆成一个正方 示方法，数列也不例外，有列表法、图像法和解析法。 形，如图所示：依据这个规律我们很容易就能知道，下 [知识点二]数列的单调性定义 一个正方形数应该是25，再下一个是36，等等. 1.一般地，一个数列{an},如果从第2项起，每一项都 大于它的前一项，即a+1>an,那么这个数列叫作 ●●●● ●●● ●●●● 递增数列. ●●●●● ●●●● ●●●●●●●●●● 2.如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即 a+1<a,那么这个数列叫作递减数列. 你知道吗？通过寻找数字出现的规律，可以产生新的 3.如果数列{an的各项都相等，那么这个数列叫作常 发现 数列. ·6·