精品解析：湖北荆州市沙市区2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题 注意事项： 1．本卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．本卷是试题卷，不能答题，答题必须写在答题卡上． 3．在答题卡上答题，选择题必须用2B铅笔填涂，非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔或黑色墨水钢笔作答． 第一部分（基础性题，满分90分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分） 1. 三角形的两边分别为5、10，则第三边的长可能等于（ ）． A. 4 B. 5 C. 9 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三角形三边的关系，解答本题的关键在于熟练掌握三角形三边的关系，本题即可求解． 【详解】解：设三角形的第三条边长为， 则根据组成三角形的三条边长之间的关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”， 得到，， ． 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方，同底数幂乘法和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据积的乘方，同底数幂乘法和合并同类项等计算法则求解判断即可． 【详解】解：A. 不是同类项不能合并，故该选项不符合题意； B. ，故该选项不符合题意； C. ，故该选项符合题意； D. 不是同类项不能合并，故该选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简分式，根据最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，分别检查各选项分子与分母是否可约分． 【详解】解：∵选项A∶，分子与分母有公因式x，可化简为，不是最简分式； ∵ 选项B∶，分子x与分母3x+1无公因式，是最简分式； ∵ 选项C∶ ，分子与分母有公因式3，可化简为，不是最简分式； ∵ 选项D∶，分母，与分子有公因式，可化简为，不是最简分式． 故选B． 4. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下四款人工智能大模型的标识是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是轴对称图形，则此项不符合题意； B、是轴对称图形，则此项符合题意； C、不是轴对称图形，则此项不符合题意； D、不是轴对称图形，则此项不符合题意； 故选：B． 5. 如图，点在上，，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键； 根据，可得，再由可得结果． 【详解】解：， ， 又， ， 故选：C． 6. 如图，在中，，，根据尺规作图保留的痕迹，下列结论错误的是（ ） A. 是的平分线 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由尺规作图知是的平分线，可得，由等角对等边得，再由的直角三角形的性质得，再由得． 【详解】解：由尺规作图可知是的平分线， 故选项A正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选项B正确； 在中，，， ∴ 故选项C错误； ∵ ∴ 故选项D正确． 故选：C． 【点睛】本题考查的直角三角形的性质，角平分线的尺规作图，等边对等角，理解所对的直角边等于斜边的一半是解题关键． 7. “白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.00000838米．则数据0.00000838用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 8. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义．因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此对各项进行判断即可． 【详解】解：A、是单项式乘多项式的运算，不符合题意； B、右边结果不是积的形式，不符合题意； C、是多项式与多项式的乘法运算，不符合题意； D、属于因式分解，符合题意． 故选：D． 9. 若关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围为（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，求不等式的解集，能够熟练地解分式方程式解决本题的关键．先解方程，含有k的代数式表示x，在根据x的取值范围确定k的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∵解为正数， ∴， ∴， ∵分母不能为0， ∴， ∴，解得， 综上所述：且， 故选：A． 10. 习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．图书管理员用3600元购买若干套“四大名著”后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，因此又用2400元购买了第二批该套书，此时正赶上图书城八折优惠，于是第二批购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据第二批购买的套数只比第一批少4套，列出方程即可． 【详解】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则第二批购买的“四大名著”每套的价格为元， 由题意，得：； 故选B． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，熟练掌握积的乘方法则是解题的关键．应用积的乘方法则，将积中每个因子分别乘方，再将所得的幂相乘． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 如图，若与全等，且，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先计算出，再结合与全等，且，且，故，即可作答． 【详解】解：观察图中的信息，得， ∵与全等，且，且， ∴， 故答案为：． 13. 已知，，则=_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据同底数幂除法、幂的乘方法则的逆用进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂除法、幂的乘方法则的逆用，掌握同底数幂相除、幂的乘方法则是解题的关键． 14. 因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是_____ 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查因式分解，由多项式相等，比较系数得和，其中、为整数．列举所有整数满足，计算的所有可能值，并求最大值． 【详解】由 ， ∴，， ∵、为整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∵， ∴这样的的最大值是11． 故答案为：11． 15. 若关于的分式方程无解，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程无解的条件，熟练掌握分式方程增根的产生原因及求解方法是解题的关键． 先将分式方程化为整式方程，再根据分式方程无解的条件（解为增根），求出的值． 【详解】解：， ， ， ， ， 当时，原方程分母为零，是增根，此时方程无解， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题6小题，共45分） 16. 化简： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式、平方差公式、完全平方公式及合并同类项，熟练掌握整式乘法法则和乘法公式，并能准确合并同类项是解题的关键． （1）先利用单项式乘多项式法则展开，再合并同类项化简． （2）先利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项化简． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 把下列各式因式分解： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了提公因式法与公式法（平方差公式、完全平方公式）的综合运用，熟练掌握因式分解的一般步骤（一提、二套、三查）是解题的关键． （1）先找出多项式各项的公因式，再提取公因式完成因式分解． （2）将多项式看作平方差形式，利用平方差公式进行分解． （3）先提取公因式，再对余下的多项式使用完全平方公式进行二次分解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 18. 如图，A、C、E、F四点在同一直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定以及全等三角形的判定和性质． 根据得到，利用三角形全等的条件得出，求得，进而证明即可． 【详解】略 19. 解分式方程： （1） （2） 【答案】（1）； （2）无解 【解析】 【分析】本题考查分式方程的求解，核心思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验根的合理性． （1）确定最简公分母为，去分母转化为整式方程求解后进行检验； （2）确定最简公分母为，去分母转化为整式方程求解，检验发现所得根为增根，故原方程无解． 【小问1详解】 解：方程两边同时乘以最简公分母，得：， 移项合并同类项得， 两边同时除以3得； 检验：当时，得， ∴是原分式方程的解； 【小问2详解】 解：方程两边同时乘以最简公分母，得：， 去括号得， 合并同类项得， 移项得，即， 两边同时除以7得； 检验：当时，， ∴是增根，原分式方程无解． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于x轴的对称图形； （2）请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标； （3）在x轴上画出点Q，使最小． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称的性质，限定工具作图，点的坐标； （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据轴对称的性质写出点的坐标即可； （3）连接，与x交点即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：点C关于y轴的对称点的坐标为； 【小问3详解】 解：如图．点Q即为所求． 21. 一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地，求前一小时的行驶速度． 【答案】前一小时的行驶速度为60千米/小时 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设前一小时的行驶速度为千米/小时，则一小时后的行驶速度为千米/小时，根据实际比计划提前40分钟到达目的地建立方程求解即可． 【详解】解：设前一小时的行驶速度为千米/小时， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：前一小时的行驶速度为60千米/小时． 第二部分（发展性题，满分30分） 一、选择题（本大题共3小题，每小题3分，共9分） 22. 如图，两个正方形的边长分别为a和b，其中三点在同一直线上，若，那么阴影部分的面积等于（ ） A. 80 B. 100 C. 120 D. 160 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查组合图形求面积，整式的运算，完全平方公式变形运用． 运用组合图形中求面积的方法：用参数分别表示整体面积、空白部分面积，两者之差表示阴影部分面积，化简，运用完全平方公式变形求解． 【详解】解：如图，图形整体面积， 图中空白部分面积 ∴阴影部分的面积 ； 故选：C． 23. 如果，那么代数式的值是（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】分析：先把括号内通分，再把分子分解后约分得到原式，然后利用进行整体代入计算． 详解：原式 ∵ ∴ ∴原式=2. 故选C. 点睛：考查分式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键.注意整体代入法的应用. 24. 若，为实数且满足，，设，，有以下个结论：①若，则；②若，则下列判断正确的是( ) A. ①对②错 B. ①错②对 C. ①②都错 D. ①②都对 【答案】D 【解析】 【分析】①中只需通过求出M-N=0需要满足的条件，看是否与ab=1相同即可； ②通过计算得到，根据，得到a，b互为相反数，得到ab≤0，从而得出结论． 【详解】解：∵，且，， ∴当时，，即， 故正确； ∵， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 故正确． 综上所述，结论都正确， 故选：． 【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算的运算法则是解答本题的关键． 二、填空题（本大题3小题，每小题3分，共9分） 25. 利用可求某些整式的最值．例如，由可知，当时，多项式有最小值是2．对于多项式，当_______时，该多项式有最小值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用和非负数的性质，熟练掌握利用配方法将二次三项式化为完全平方式是解题的关键． 利用配方法将二次多项式化为完全平方的形式，再根据非负数的性质求出多项式取得最小值时的值． 【详解】解： ， 由可知，当，即时，多项式取得最小值． 故答案为：． 26. 已知，，则的值_____0．（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式的乘法，分式的加法． 将通分后得到，代入得，由， 得到，即，根据可知． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 27. 如图，在中，，，点D为中点，连接，点E、点F分别为、上两动点，过点F作于点H，当取最小值时，，则的面积是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，垂直平分线的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质．连接，过作点C的对称点O，连接，过点F作于点N，作于点P，利用对称的性质当点C，E，F，N，P共线时，取得最小值，设，交于点Q，证明，求得的值，再进一步证得为等边三角形，从而得到的值，由于C，O关于对称，可求出的值，最终利用三角形面积公式求得结果． 【详解】解：如图，连接，作点C关于的对称点O，连接，过点F作于点N，作于点P， 由对称可知，，， ∵，，点D为中点， ∴，即垂直平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短，垂线段最短， ∴当点C，E，F，N，P共线时，取得最小值，此时点P与点N重合， 如图，设，交于点Q， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵C，O关于对称， ∴，， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题1小题，共12分） 28. “杨辉三角”揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 根据上述规律，完成下列各题： （1）将展开后，各项的系数和为_______． （2）将展开后，各项的系数和为_______． （3）写出的展开式． 下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： 第一行 第二行 第三行 第四行 第五行 ．．．．．． （4）请你描述一下“莱布尼茨三角形”的数字变化规律． （5）若表示第行，从左到右数第个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是多少？ 【答案】（1）4；（2）；（3）；（4）见解析；（5） 【解析】 【分析】（1）根据规律可知：将展开后，各项的系数和为4； （2）根据规律可得结论； （3）把展开，即可得出答案； （4）著名的“莱布尼茨三角形”，规律是：①下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，②每一行的第一个数都是； （5）利用（4）得到的规律，经过计算可得结论． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：4； （2）第二行：，各项系数和为， 第三行：，各项系数和为， 第四行：，各项系数和为， 第五行：，各项系数和为， … 第行：展开后各项系数和为； 故答案为：； （3）由（2）得：， 故答案为：； （4）由题意得：这个三角的规律就是下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，还发现每一行的第一个数都是； （5）由规律可知，分子总是1， 第n行的第一个数的分母就是n， 第二个数的分母是第一个数的倍， 第三个数的分母是第二个数的分母的倍， 第四个数的分母是第三个数的分母的倍， ....， 根据图表的规律，可得第8行第6列为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了对于规律性，杨辉三角和莱布尼茨三角是比较常见的数字变化类，要求学生通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题 注意事项： 1．本卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．本卷是试题卷，不能答题，答题必须写在答题卡上． 3．在答题卡上答题，选择题必须用2B铅笔填涂，非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔或黑色墨水钢笔作答． 第一部分（基础性题，满分90分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分） 1. 三角形的两边分别为5、10，则第三边的长可能等于（ ）． A. 4 B. 5 C. 9 D. 17 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下四款人工智能大模型的标识是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点在上，，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 6. 如图，在中，，，根据尺规作图保留的痕迹，下列结论错误的是（ ） A. 是的平分线 B. C. D. 7. “白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.00000838米．则数据0.00000838用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 8. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A. B. C. D. 9. 若关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围为（ ） A. 且 B. C. 且 D. 10. 习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．图书管理员用3600元购买若干套“四大名著”后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，因此又用2400元购买了第二批该套书，此时正赶上图书城八折优惠，于是第二批购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. _____． 12. 如图，若与全等，且，则______． 13. 已知，，则=_______ 14. 因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是_____ 15. 若关于的分式方程无解，则的值是______． 三、解答题（本大题6小题，共45分） 16. 化简： （1） （2） 17. 把下列各式因式分解： （1）； （2）； （3）． 18. 如图，A、C、E、F四点在同一直线上，，，．求证：． 19. 解分式方程： （1） （2） 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于x轴的对称图形； （2）请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标； （3）在x轴上画出点Q，使最小． 21. 一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地，求前一小时的行驶速度． 第二部分（发展性题，满分30分） 一、选择题（本大题共3小题，每小题3分，共9分） 22. 如图，两个正方形的边长分别为a和b，其中三点在同一直线上，若，那么阴影部分的面积等于（ ） A. 80 B. 100 C. 120 D. 160 23. 如果，那么代数式的值是（ ） A. B. C. 2 D. 3 24. 若，为实数且满足，，设，，有以下个结论：①若，则；②若，则下列判断正确的是( ) A. ①对②错 B. ①错②对 C. ①②都错 D. ①②都对 二、填空题（本大题3小题，每小题3分，共9分） 25. 利用可求某些整式的最值．例如，由可知，当时，多项式有最小值是2．对于多项式，当_______时，该多项式有最小值． 26. 已知，，则的值_____0．（填“”、“”或“”）． 27. 如图，在中，，，点D为中点，连接，点E、点F分别为、上两动点，过点F作于点H，当取最小值时，，则的面积是____． 三、解答题（本大题1小题，共12分） 28. “杨辉三角”揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 根据上述规律，完成下列各题： （1）将展开后，各项的系数和为_______． （2）将展开后，各项的系数和为_______． （3）写出的展开式． 下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： 第一行 第二行 第三行 第四行 第五行 ．．．．．． （4）请你描述一下“莱布尼茨三角形”的数字变化规律． （5）若表示第行，从左到右数第个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $